MATEMÁTICA. CADERNO DO 3° CICLO

PROGRAMA DE CONSOLIDAÇÃO DAS APRENDIZAGENS
CADERNO PEDAGÓGICO COMPLEMENTAR
MATEMÁTICA
ENSINO FUNDAMENTAL REGULAR
7º ANO
Escola:__________________________________
Aluno(a): ________________________________
Turma: __________________________________
1
Prefeito de Niterói
Rodrigo Neves
Vice-prefeito
Axel Grael
Secretário Municipal de Educação, Ciência e Tecnologia
Waldeck Carneiro
Presidente da Fundação Municipal de Educação de Niterói
José Henrique Antunes
Subsecretária Municipal de Educação
Flávia Monteiro de Barros Araújo
Diretora do Ensino Fundamental
Viviane Merlim Moraes
Coordenação de 3º e 4º ciclos
Maria Cristina Rezende de Campos
Coordenação de Matemática
Nice Castro de Oliveira
Professor(a) Produtor(a) do Caderno Pedagógico
Complementar
Christiane de Campos Costa
Equipe de Revisão Linguística
Aline Javarini
Cristina Ferreira Gonçalves Padilha
Marizeth Faria dos Santos
Ilustração
Bruna Lemos Motta
2013
2
SUMÁRIO
Unidade 1 – Números Inteiros – Conjunto Ζ .................................................................................. 4
Significado e representação
Esboço de reta numérica
Ordenação e comparação de números inteiros
Realização das quatro operações elementares
Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados
Conjunto dos Números Racionais
Unidade 2 – Equação do 1º Grau................................................................................................... 42
Resolução de equações do 1º grau
Identificação da raiz de uma equação do 1º grau
Inequação do 1º grau
Unidade 3 – Razões e Proporções.................................................................................................. 54
Análise de razões e proporções
Identificação de grandezas diretamente proporcionais
Identificação de grandezas inversamente proporcionais
Unidade 4 – Porcentagem............................................................................................................. 60
Reconhecimento de porcentagem como representação de uma fração decimal
Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados
Unidade 5 – Área e Perímetro....................................................................................................... 69
Cálculo de área e perímetro dos seguintes polígonos: quadrado, retângulo e losango
Avaliação...................................................................................................................................... 80
Gabaritos...................................................................................................................................... 84
Gabarito das atividades
Gabarito da avaliação
Bibliografia.................................................................................................................................. 106
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Caro(a) aluno(a), nesta Unidade vamos estudar o conjunto dos números inteiros,
especificamente as operações matemáticas, a fim de reconhecer a necessidade de ampliação do
conjunto dos números naturais, a partir de problemas do cotidiano.
Vamos aprender a ordenar os números inteiros na reta numérica e também lidar com
atividades bancárias, dentre outras, que envolvem as operações de adição, subtração, multiplicação
e divisão desses números. Além disso, veremos problemas que envolvem a média aritmética de um
conjunto de números, em diversas situações comuns da vida prática, inclusive apresentadas
graficamente.
Ao término deste estudo, esperamos que você seja capaz de efetuar cálculos com números
inteiros, envolvendo as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, bem como
identificar a localização de números inteiros na reta numérica.
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Unidade 1 – NÚMEROS INTEIROS – CONJUNTO Ζ
Significado e Representação
Oi, Amanda! Você
conhece os números
negativos?
Claro! Eles fazem
parte do Conjunto dos
Números Inteiros e é
denotado por Ζ.
CURIOSIDADE: Você sabe por que esse conjunto começa com a letra Ζ? É porque a
palavra número, em alemão, é Zahlen e também começa com Z!
Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro>. Acesso em: 30/07/2013.
Ζ é formado por infinitos números negativos, pelo zero e por infinitos números positivos.
Ζ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Observe que o conjunto Z* não possui o zero.
Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Mas onde encontramos
os números negativos?
SE LIGA NESSA!
Os números negativos podem ser usados em:
• Saldos bancários;
• Temperaturas;
• Saldos de gols nas tabelas esportivas;
• Profundidade do nível do mar etc.
CURIOSIDADE: O Meridiano de Greenwich é o meridiano que passa sobre a
localidade de Greenwich, um território a sudeste de Londres que, por convenção,
divide o globo terrestre em ocidente e oriente, permitindo medir a longitude. Por
definição, a longitude do Meridiano de Greenwich é 00 (zero grau).
Exemplo 1: Na figura abaixo temos um planisfério. Observe que estão marcados os fusos horários. A
origem escolhida é o meridiano de Greenwich, no centro da figura, onde está localizado o zero. Os
locais situados a Leste (direita da figura) têm valores positivos e os locais situados a Oeste (esquerda
da figura) têm valores negativos.
5
FONTE: Caderno de Revisão de Matemática 2011 – Prefeitura do Rio de Janeiro.
Quer saber mais? Visite o site:
http://pt.wikipedia.org
Exemplo 2: Quando tratamos de temperaturas representadas por números positivos, identificamos
que são temperaturas acima de 00 e quando representadas por números negativos, identificamos
que são temperaturas abaixo de 00.
370 C acima de zero,
significa + 370 C.
Que calor!
40 C abaixo de zero,
significa – 40 C.
Imagina o frio!
GLOSSÁRIO
Meridiano: é uma linha norte-sul entre o Polo Norte e o Polo Sul.
Longitude: descreve a localização de um lugar na Terra medido em graus, de zero a 180 para leste ou
para oeste, a partir do Meridiano de Greenwich.
Grau (símbolo: °): é uma medida dos ângulos planos que corresponde a 1/360 de uma circunferência.
Cada grau pode ser dividido em minutos, que equivalem a 1/60 do grau e segundos, equivalentes a
1/60 do minuto.
Planisfério: é a representação do globo terrestre no papel, porém, em forma plana, embora sua cópia
mais fiel seja no próprio globo, pelo fato do planeta ser esférico. Também é conhecido como mapamúndi.
Fuso horário: cada uma das vinte e quatro áreas em que se divide a Terra, seguindo a mesma
definição de tempo.
(Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 11/07/2013)
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Exemplo 3: Em extratos bancários, os créditos são representados por números positivos e os débitos,
por números negativos.
Crédito de 36
reais: significa que
recebi 36 reais em
minha conta.
+ R$ 36,00
Débito de 60 reais:
significa que 60 reais
foram descontados de
minha conta.
– R$ 60,00
EXERCÍCIOS
1) Represente com números inteiros, as situações abaixo:
Exemplo: 50 C acima de zero. (+ 50 C) / 70 C abaixo de zero. (– 70 C)
a) 90 C abaixo de zero. ................
b) 30 C acima de zero. .................
c) 150 C acima de zero. ................
d) 100 C abaixo de zero. ..............
2) Represente com números inteiros, as situações abaixo:
a) Crédito de R$ 300,00.
b) Débito de R$ 45,00.
c) Prejuízo de R$ 90,00.
d) Depósito de R$ 70,00.
e) Retirada de R$ 150,00.
f) Nem ganho nem perda.
g) Ganho de R$ 120,00.
h) Perda de R$ 55,00.
i) Lucro de R$ 48,00.
....................
....................
....................
....................
....................
....................
....................
....................
....................
Crédito, depósito, ganho e
lucro representamos com
números positivos; mas
débito, prejuízo, perda e
retirada, representamos
com números negativos.
3) Marque ao lado do termômetro as temperaturas registradas nas cidades, de acordo com a
tabela. A cidade do Rio de Janeiro já está marcada, faça o mesmo com as outras:
Rio de Janeiro
São Paulo
Curitiba
Nova York
Paris
320 C
220 C
40 C
– 60 C
– 40 C
Responda:
a) Em quais cidades as temperaturas estão abaixo de zero?
___________________________________________________________________________.
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b) Que cidade apresentou a temperatura mais alta?
___________________________________________________________________________.
c) Que cidade apresentou a temperatura mais baixa?
___________________________________________________________________________.
GLOSSÁRIO
Débito: quantia que se deve.
Crédito: quantia que se tem a receber.
Esboço de Reta Numérica
Podemos representar o conjunto Ζ construindo uma reta numerada, considerando o número
zero como origem e o número 1 à direita do zero, tomando a unidade de medida entre os
números, como a distância entre 0 e 1.
A ordem a que os números
inteiros obedecem é crescente,
da esquerda para a direita.
EXERCÍCIOS
4) Complete a reta numerada, com os números que estão faltando:
a)
b)
c)
5) Na reta numerada, alguns pontos estão representados por letras. Escreva abaixo o valor de cada
letra.
A = ...........
B = ........... C = ........... D = ...........
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Ordenação e Comparação de Números Inteiros
Oi, eu sou Thaís! Você sabia
que cada número inteiro,
tem apenas um antecessor
e um sucessor?
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente a sua direita na reta,
em Z, e o antecessor de um número inteiro é o que está imediatamente a sua esquerda na
reta, em Z.
•
•
•
•
•
•
+ 5 é sucessor de +4, pois +5 está à direita de +4. (+5 > +4)
+1 é sucessor de 0, pois +1 está à direita de 0. (+1 > 0)
– 3 é sucessor de – 4, pois está à direita de – 4. (– 3 > – 4)
+3 é antecessor de +4, pois +3 está à esquerda de +4. (+3 < +4)
0 é antecessor de +1, pois 0 está à esquerda de +1. (0 < +1)
– 5 é antecessor de – 4, pois está à esquerda de – 4. (– 5 < – 4)
< significa menor que.
(3 < 4, três é menor que 4)
> significa maior que.
(8 > 3, oito é maior que 3)
O vértice do sinal < fica virado
para o número menor e sua
abertura fica virada para o número
maior.
SE LIGA NESSA!
Os números positivos podem ser apresentados com ou sem
o sinal (+) e representam créditos ou valores ganhos.
Os números negativos devem ser apresentados com o sinal
(–) e representam dívidas, débitos ou descontos.
9
Podemos dizer que +3 = 3. Significa que temos 3 camisetas, por exemplo. Quando se trata de
números negativos, somos obrigados a representar esses números precedidos do sinal (–), para
indicar que esse valor se trata de uma dívida. Exemplo: É melhor dever 5 do que dever 8, então
podemos dizer que – 5 > – 8 (– 5 é maior que – 8).
EXERCÍCIOS
6) Observe a figura abaixo:
O número – 4 tem como antecessor o número – 5 e como sucessor, o número – 3. Agora responda:
a) Qual é o sucessor de + 5? ...............
d) Qual é o antecessor de + 5? .............
b) Qual é o sucessor de – 7? ...............
e) Qual é o antecessor de – 7? .............
c) Qual é o sucessor de 0?
c) Qual é o antecessor de 0? ..............
...............
7) Qual é o maior número?
a) – 15 ou + 15? ...............
b) + 50 ou – 50? ...............
c) + 14 ou – 20? ...............
d) 0 ou – 10? ...............
e) – 6 ou – 12? ...............
Quando
tivermos
dois
números, um positivo e
outro negativo, o maior é
sempre o número positivo.
Zero é maior que qualquer
número negativo.
8) Responda qual situação é a melhor:
a) Ter 10 (+ 10) ou dever 5 (– 5)?
...........................................................................
b) Dever 6 (– 6) ou dever 20 (–20)?
...........................................................................
c) Ter 8 (+ 8) ou não ter nada (0)?
...........................................................................
d) Dever 7 (– 7) ou não ter nada (0)?
...........................................................................
10
Observe a reta:
Oi, Lucas! Você sabia que todo
número inteiro, exceto o zero,
tem um elemento chamado
oposto?
Sim. São aqueles que na reta
numerada possuem a mesma
distância em relação ao zero.
Também podemos chamá-los de
simétricos.
Exemplos:
• – 3 é o oposto de + 3. (A distância de – 3 a 0 é 3).
• + 2 é o simétrico de – 2. (A distância de + 2 a 0 é 2).
• – 5 é o simétrico de + 5. (A distância de – 5 a 0 é 5).
• O oposto de zero é o próprio zero.
Ah! Então dizer que um número é o oposto do
outro, é o mesmo que dizer que esse número
é simétrico ao outro. Entendi.
EXERCÍCIOS
9) Responda:
a) O oposto de + 10 é ..................
c) O oposto de + 150 é ....................
b) O oposto de – 25 é ..................
d) O oposto de – 1.300 é .................
10) Complete:
a) O oposto ou ..................................... de ( – 9 ) é o ( + 9 ).
b) O simétrico ou............................. .... de (+ 15) é o .....................
c) O zero é o ............................... do próprio zero.
d) O simétrico do zero é .................................................................
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11) Escreva o oposto de cada situação abaixo:
a) Crédito de R$ 35,00.
.................................................................
d) 30 metros acima do nível do mar.
....................................................................
b) Prejuízo de R$ 50,00.
.................................................................
e) Lucro de R$ 20,00.
....................................................................
c) 50 C abaixo de zero.
.................................................................
f) Débito de R$ 45,00.
....................................................................
Realização das quatro operações elementares
Adição de Números Inteiros
Lembre-se de que a soma de
dois números positivos é um
número positivo.
+ 10 significa que tenho 10.
• Ganhei 2 canetas: (+2)
• Ganhei mais 4 canetas: (+4)
• Ganhei no total 6 canetas: (+2) + (+4) = + 6
E a soma de dois
números negativos é
sempre um número
negativo.
– 6 significa que
devo 6.
• Perdi 2 canetas: (– 2)
• Perdi mais 1 caneta (– 1)
• Perdi no total 3 canetas: (– 3)
EXERCÍCIOS
12) Imagine que cada parcela positiva é um valor em dinheiro que você está recebendo.
Exemplo: (+5) + (+8) = + 13. (Significa que eu tinha 5 e recebi mais 8, então fiquei com 13)
Responda:
a) (+3) + (+7) = ......................
c) (+6) + (+12) + (+2) = ............................
b) (+4) + (+9) = ......................
d) (+1) + (+2) + (+3) + (+5) = ...................
13) Faça as operações bancárias e dê os resultados:
Exemplo: Crédito de R$ 15,00 mais crédito de R$ 20,00 –> Resultado: R$ 35,00.
Débito de R$ 10,00 mais débito de R$ 30,00 –> Resultado: – R$ 40,00.
a) Crédito de R$ 25,00 mais crédito de R$ 10,00 –> Resultado: .............................................
12
b) Débito de R$ 20,00 mais débito de R$ 50,00 –> Resultado: .............................................
c) Crédito de R$ 35,00 mais crédito de R$ 50,00 –> Resultado: ............................................
d) Débito de R$ 8,00 mais débito de R$ 33,00 –> Resultado: ...............................................
e) Crédito de R$ 5,00 mais crédito de R$ 22,00 –> Resultado: .............................................
f) Débito de R$ 17,00 mais débito de R$ 55,00 –> Resultado: .............................................
Agora vamos somar dois
números com sinais
diferentes. Neste caso,
subtraímos seus valores
absolutos e damos o sinal
do número que tiver o
maior valor absoluto.
E o que é valor
absoluto?
Eu esqueci!
O valor absoluto de um número inteiro é a distância desse número até o zero, na reta dos inteiros.
Podemos chamar de valor absoluto ou módulo do número.
• O valor absoluto ou módulo de +7 é 7 e podemos indicar assim |+ 7| = 7.
• O valor absoluto ou módulo de – 12 é 12 e podemos indicar assim |– 12| = 12.
• O valor absoluto ou módulo de 0 é 0 e podemos indicar assim |0| = 0.
O menino que está
acenando para o avião,
está no nível do mar.
Sim. Ele está no ponto
zero!
Entendi. Então o avião está a
300m acima do nível do mar e os
peixes estão a 7m abaixo do
nível do mar!
Foto: Caderno de Revisão – 2011. Prefeitura da Cidade do Rio de Janeiro. Adaptado.
7 e 300 são os valores
absolutos dos números,
os chamados módulos
dos números.
13
14) Imagine que cada parcela positiva é um valor em dinheiro que você está recebendo e cada
parcela negativa é um valor que você gastou.
Exemplo: (+5) + (– 8) = – 3. (Significa que eu tinha 5 e gastei 8, então, fiquei devendo 3)
Responda:
a) (+ 3) + (– 2) = ............................
c) (+ 5) + (– 6) + (+ 3) = .................................
b) (– 4) + (+10) = ...........................
d) (– 2) + (+ 4) + (– 6) + (+ 4) = ......................
15) O módulo de (+ 12) é ............... O módulo de (– 12) é ............... Por isso, dizemos que eles têm
o mesmo valor absoluto.
16) Faça as operações bancárias e dê os resultados:
Exemplo: Crédito de R$ 15,00 mais débito de R$ 20,00 –> Resultado: – R$ 5,00.
a) Crédito de R$ 25,00 mais débito de R$ 15,00 –> Resultado: ..........................
b) Crédito de R$ 7,00 mais débito de R$ 25,00 –> Resultado: ...........................
c) Crédito de R$ 12,00 mais débito de R$ 30,00 –> Resultado: .........................
d) Débito de R$ 25,00 mais crédito de R$ 28,00 –> Resultado: .........................
e) Débito de R$ 35,00 mais crédito de R$ 40,00 –> Resultado: .........................
f) Débito de R$ 20,00 mais crédito de R$ 45,00 –> Resultado: ..........................
Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados
17) João tinha R$ 1.650,00 em um banco e fez uma
compra no débito de R$ 800,00. Qual o valor de seu
saldo? O saldo é positivo ou negativo?
Vamos resolver
algumas
situações do
nosso dia-a-dia?
18) Um termômetro está marcando 320 C em Niterói – RJ.
Se a temperatura cair 80 C, quantos graus marcará o termômetro? Com essa
queda de temperatura, fará mais frio ou mais calor?
19) Complete a tabela de gols marcados e sofridos por cada time.
EQUIPES
GOLS MARCADOS GOLS SOFRIDOS SALDO DE GOLS
BOTAFOGO
+ 20
– 15
FLAMENGO
+ 25
– 18
FLUMINENSE
+ 19
– 19
VASCO
+ 15
– 18
TOTAL
14
20) D. Ângela tem R$ 500,00 em sua conta bancária e observou que foram feitas as seguintes
operações em sua conta:
Quando somamos
Depósito de R$ 120,00;
números negativos, a
Saque de R$ 45,00;
ordem das parcelas
Saque de R$ 82,00;
não altera a soma.
Saque de R$ 288,00.
Qual o valor do saldo final de sua conta? .............................................................
O saldo é positivo ou negativo?.............................................................................
21) Em uma cidade do sudeste do Brasil, foram registradas as temperaturas nas datas indicadas
abaixo. Observe a tabela e responda:
Data
Temperatura Máxima
15/07/2013
260 C
16/07/2013
210 C
17/07/2013
220 C
18/07/2013
260 C
19/07/2013
180 C
20/07/2013
200 C
21/07/2013
240 C
22/07/2013
270 C
23/07/2013
290 C
a) Em que dia foi registrada a menor temperatura? ................................................................................
b) Em que dia foi registrada a maior temperatura? .................................................................................
c) Qual seria a sequência das temperaturas em ordem crescente?..........................................................
d) Em que data fez mais calor? .................................................................................................................
e) Em que data fez mais frio? ...................................................................................................................
22) Mateus e Jeferson estavam jogando e obtiveram os seguintes resultados:
Mateus
Jeferson
1ª partida
Ganhou 200 pontos
Perdeu 110 pontos
2ª partida
Perdeu 345 pontos
Ganhou 325 pontos
3ª partida
Perdeu 205 pontos
Ganhou 180 pontos
4ª partida
Ganhou 535 pontos
Perdeu 465 pontos
Veja que os pontos ganhos
ou perdidos estão em cada
uma das colunas.
15
A partir dos dados da tabela, responda:
a) Qual é o número total de pontos de Jeferson, após as quatro partidas?.............................................
b) Qual é o número total de pontos de Mateus, após as quatro partidas?...............................................
c) De quem foi a vantagem final? Por quantos pontos de diferença?......................................................
23) Observe no gráfico, a quantidade de pontos obtidos por cada jogador.
Resultado do Jogo
35
30
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
Amanda
Lucas
Gabriel
Thaís
Escreva os pontos obtidos por cada jogador na ordem crescente de pontos.
24) Escolha dois números da tabela abaixo:
– 10
+ 42
201
–75
– 54
+ 40
17
– 65
– 33
+ 10
a) cuja soma seja + 7.
b) cuja soma seja – 33.
c) cuja soma seja 0.
d) cuja soma seja + 147.
Escolha dois números e
vá somando até
encontrar os resultados
pedidos nas alternativas.
e) cuja soma seja – 58.
Lembre-se de que
a ordem crescente é
do menor número
para o maior.
16
Subtração de Números Inteiros
Para subtrairmos
dois números,
adicionamos ao
primeiro o
oposto do
segundo.
Veja que a
subtração é
a operação
inversa da
adição.
Exemplos:
•
•
•
(+ 10) – (+ 4) = (+ 10) + (– 4) = + 6
(+ 5) – (– 3) = (+ 5) + (+ 3) = + 8
(+ 2) – (+ 7) = (+ 2) + (– 7) = – 5
Veja:
O oposto de – 4 é + 4.
E o oposto de + 4 é – 4.
Quando aparecer o sinal negativo antes dos
parênteses, podemos eliminar os parênteses e
trocar o sinal do número.
Por exemplo: – (+ 2) = – 2 e – (– 3) = + 3.
EXERCÍCIOS
25) Complete:
a) O oposto de + 7 é ..........., isto é, – (+ 7) = ..................
b) O simétrico de + 15 é .........., isto é, – (+ 15) = ...........
O oposto de
perder 6 é
ganhar 6.
O oposto de
ganhar 7 é
perder 7.
c) O oposto de – 6 é ............., isto é, – (– 6) = ...................
d) O simétrico de – 3 é .............., isto é, – (– 3) = ..............
e) A diferença de dois números inteiros é igual à soma do
primeiro com o .............................................. do segundo.
26) Elimine os parênteses:
a) – (+ 2) = ............... (Significa menos um ganho de 2)
b) – (+ 24) = ............. (Significa menos um ganho de 24)
c) – (– 16) = ............. (Significa menos um prejuízo de 16)
17
d) – (+ 23) = ............. (Significa menos um ganho de 23)
e) – (– 37) = ............. (Significa menos um prejuízo de 37)
f) – (– 45) = .............. (Significa menos um prejuízo de 45)
27) Complete:
a) (– 4) + (+ 5) = – 4 + 5 = 1
Devo ............. e tenho 5, então tenho ..............
b) (+ 13) + (– 13) = 13 – 13 = 0
Tenho .............. e devo ..............., então ................ 0 ou ................
c) (– 7) – (+ 3) = – 7 – 3 = – 10
Devo ................ e devo................, então devo...............
Fique atento
ao significado.
d) (–14) – (– 18 ) = – 14 + 18 = 4
Devo................ e tenho ..............., então tenho .............
e) – 30 – (– 10) = – 30 + 10 = – 20
Devo ................. e tenho ..............., então devo .............
f) (– 2) + (– 3) = – 2 – 3 = – 5
Devo ................. e ................ 3, então devo ....................
28) Calcule as subtrações de acordo com o exemplo.
Exemplo: 8 – (– 7) = 8 + 7 = 15 (Significa que tenho 8 menos um prejuízo de 7, então tenho 15)
a) 5 – (– 3) =
b) 6 – (+ 2) =
c) 11 – (+ 11) =
d) – 2 – (– 5) =
e) –1 – (+ 3) =
f) (+ 20) – (– 30) =
g) (– 10) – (+ 13) =
Você vai precisar lembrar-se de
duas coisas:
1) Aplicar as regrinhas que vimos
sobre os números opostos;
2) Considerar
os números
negativos como dívidas ou
prejuízos.
h) 45 – (+ 15) =
i) 25 – (– 5) =
j) 50 – (+ 16) – (– 6) =
k) – 30 – (– 14) – (– 4) =
18
29) Calcule as subtrações de acordo com o exemplo.
Exemplo: (– 10) – (– 4) + (– 2) – (– 3) =
(Significa que devo 10, menos uma dívida de 4, gastei 2, menos uma dívida de 3)
= – 10 + 4 – 2 + 3 = (Significa que devo 10, tenho 4, devo 2 e tenho 3)
= – 10 – 2 + 4 + 3 =
= – 12 + 7 =
= – 5 (Significa que devo 5)
Vamos juntar as
a) (+ 6) + (– 1) + (– 5) + (– 3) =
dívidas e também
o que tenho, para
saber como fica a
minha situação?
b) (– 10) – (– 2) – (+ 4) – (– 1) =
c) (– 4) – (+ 2) – (– 1) + (– 5) =
Agora é a sua vez!
Imagine que está
fazendo operações
financeiras.
d) (+ 3) – (– 2) + (– 9) + (– 5) =
e) (– 10) – (– 2) + (+ 4) – (+ 8) + (+ 1) =
Quando iniciamos
uma
expressão
com um número
positivo, podemos
não escrever o
sinal (+) desse
número.
f) 20 + (– 7) + (+ 2) – (+ 4) – (– 1) + (– 5) =
g) 15 – (– 2) + (– 3) – (– 3) – (– 8) + (– 5) + (– 2) =
h) 50 + (+ 10) – (– 15) + (– 15) – (– 10) – (– 15) – (– 10) =
19
SE LIGA NESSA!
+ ( +) = +
+(–)=–
–(+)=–
–(–)=+
a) 10 + (+ 3) = 10 + 3 = 13
b) 10 + (– 3) = 10 – 3 = 7
c) 10 – (+ 3) = 10 – 3 = 7
d) 10 – (– 3) = 10 + 3 = 13
Sinais de operações
Sinais de números
Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados
Exemplos:
•
Um vendedor ganhou R$ 20,00 e teve uma dívida de R$ 6,00 perdoada. Quantos reais esse
vendedor ganhou?
Resposta: 20 – (– 6) = 20 + 6 = 26. O vendedor ganhou R$ 26,00.
Em Niterói, na quarta-feira, a temperatura era de 320 C e na quinta-feira, 250 C. Qual a queda
ocorrida?
Resposta: Esse problema se resolve calculando a temperatura final, menos a temperatura
inicial, então 25 – 32 = – 7. Conclusão: A queda foi de 70 C.
•
Vamos resolver
algumas situações
como essas?
EXERCÍCIOS
30) Um vendedor ganhou R$ 30,00 e teve uma dívida de R$ 14,00 perdoada. Quantos reais esse
vendedor ganhou?
31) Em Itaboraí, na sexta-feira, a temperatura era de 280 C e no sábado, 210 C. Qual a queda
ocorrida?
32) D. Ester verificou que antes de faltar energia elétrica, a temperatura de seu freezer era de – 100
C. Depois de 6 horas sem energia, a temperatura subiu para 80 C. A que temperatura se
encontrava o freezer, depois dessas 6 horas sem energia?
20
33) Nesta pilha de números, cada número é a soma dos dois números abaixo dele. Qual é o
número que está no lugar do símbolo @, no alto da pilha?
Some – 5 com 3 e
obtenha o número
de cima, e assim
descubra os outros.
34) No futebol, o saldo de gols é muito utilizado em campeonatos, como critério de desempate
entre dois times que apresentam o mesmo número de pontos. Ele é obtido pela diferença entre
gols marcados e gols sofridos.
TIME
Flamengo
Vasco
Fluminense
Botafogo
GOLS
MARCADOS
25
12
........
11
GOLS
SOFRIDOS
........
17
7
........
SALDO DE
GOLS
10
........
–1
0
De acordo com a tabela, responda:
a) A diferença entre os gols marcados e gols sofridos é chamado .........................................................
b) A expressão que determina o saldo de gols do Flamengo é 25 – .......................... = ..........................
c) Quantos gols o Flamengo sofreu?.........................................................................................................
d) Qual é o saldo de gols do Vasco? .........................................................................................................
e) Quantos gols o Fluminense marcou?....................................................................................................
f) Quantos gols o Botafogo sofreu?...........................................................................................................
35) Leia o problema e escolha a alternativa que o demonstra.
Felipe fez três vendas. Na primeira teve prejuízo de R$ 5,00, na segunda teve prejuízo de R$ 7,00, na
terceira teve lucro de R$15,00 e na última teve lucro de R$ 8,00.
Escolha a alternativa com a qual se pode calcular o saldo resultante desses quatro negócios:
a) 5 –7 + 15 + 8 = = + 21
b) – 5 – 7 – 15 + 8= – 19
c) – 5 + (– 7)+ 15 + 8 = + 11
Apenas uma
alternativa
demonstra essa
situação!
d) – 5 – (– 7) + 15 + 8 = 25
21
36) Em uma cidade dos Estados Unidos, a temperatura mais fria no inverno foi de – 70 C e a mais
quente no verão foi de 320 C. Qual é a diferença entre a temperatura mais quente e a temperatura
mais fria?
37) Quantos anos viveu uma pessoa que nasceu no ano 35 a.C. e morreu no ano 47 d.C.?
38) Escolha a alternativa que resolve o seguinte problema:
O professor de Ciências fez uma experiência em que a temperatura foi medida três vezes. A segunda
leitura foi de 8 graus a menos que a primeira, e a terceira foi de 10 graus a menos que a segunda. Se
a primeira leitura indicou 7 graus, qual foi a última temperatura indicada?
a) 7 graus
•
b) 8 graus
c) – 11 graus
d) – 1 graus
Eliminando os Parênteses
Sinal (+) antes dos parênteses
Conserve os
sinais dos
números que
estão dentro dos
parênteses.
Exemplos:
a) + (– 4 + 6) = – 4 + 6 = 2
b) + (8 + 2 – 3) = 8 + 2 – 3 = 7
Sinal (–) antes dos parênteses
Exemplos:
a) – (12 – 4 + 2) = – 12 + 4 – 2 = – 10
b) – (– 11 + 1 – 5) = + 11 – 1 + 5 = 15
Troque os sinais
dos números que
estão dentro dos
parênteses.
c) – (– 4 – 5) = 4 + 5 = 9 [Significa: o oposto de (– 4 – 5) é + 9]
d) – (+ 7 + 3) = – 7 – 3 = – 10 [Significa: o oposto de (+ 7 + 3) é – 10]
EXERCÍCIOS
39) Elimine os parênteses e dê o resultado:
a) + (3 – 2) =
b) + (– 5 + 8) =
c) – (3 – 5 + 7) =
22
d) + (9 + 6 – 10) =
e) 8 + (– 3 – 3) =
f) 25 – (– 4 – 5) =
g) – 20 – (– 2 + 3) =
h) 100 – (25 – 10 + 5) =
i) 200 + (– 30 + 70 + 40 – 20) =
j) 40 – (– 30 + 10) – (– 5 + 10 + 15) =
k) 25 + (15 – 50) + (– 20 – 10) =
•
Expressões numéricas
SE LIGA NESSA!
Devemos respeitar a seguinte ordem, para
resolvermos as expressões numéricas:
1º Parênteses ( );
2º Colchetes [ ];
3º Chaves { }.
Exemplos:
a) 8 + (+ 6 – 1) – (– 4 + 2 – 5) =
=8+6–1+4–2+5=
= 23 – 3 =
= 20
Veja que existe um
sinal (+) positivo e
outro negativo (–)
antes dos parênteses!
b) 35 + [– 4 + 1 – (– 3 + 6) ]=
= 35 + [– 4 + 1 + 3 – 6 ]=
= 35 – 4 + 1 + 3 – 6=
= 39 – 10=
= 29
c) –15 + {+ 3 – [ 2 – (– 7 + 10)]} =
= –15 + {+ 3 – [2 + 7 – 10]} =
= –15 + {+ 3 – 2 – 7 + 10} =
= –15 + 3 – 2 – 7 + 10 =
= – 24 + 13 = – 11
Ah, quando o sinal é positivo
(+), não trocamos os sinais
dos números que estão nos
parênteses, mas quando o
sinal é negativo (–),
trocamos todos os sinais dos
números que estão nos
parênteses!
Lucas, essa regra
vale para os
parênteses,
colchetes e chaves.
23
EXERCÍCIOS
40) Observe a figura:
A cidade de Gramado está localizada no Rio Grande do
Sul, região sul do Brasil. Considerando a tabela ao lado,
que mostra a temperatura em julho de 2013, responda às
questões que seguem.
a) A diferença entre a temperatura máxima e a mínima
de cada dia é:
Quarta-feira = ................ Quinta-feira = ..................
Sexta-feira =................... Sábado = .........................
Domingo = .......................
b) Qual o dia em que fez mais frio?
............................................................................................
c) Qual dia apresentou maior diferença de temperatura?
............................................................................................
d) Qual dia apresentou menor diferença de temperatura?
...........................................................................................
(Disponível em: <http://www.climatempo.com.br/previsao-do-tempo/cidade/780/gramado-rs>. Acesso em: 19/07/2013)
41) Resolva as seguintes expressões numéricas:
a) 15 – (8 – 7) + (9 – 4) =
b) 12 – { – 3 + [1 + (+ 2 – 9) – 8] + 5} =
42) Calcule a soma das diferenças entre a temperatura máxima e a temperatura mínima de cada
dia na cidade de Petrópolis, no Rio de Janeiro, em 2013, nos dias mostrados na figura a seguir:
24
Para resolver esta questão, siga
este esquema: (temperatura
máxima – temperatura mínima
de quarta) + (temperatura
máxima – temperatura mínima
de quinta) + ... Vai somando até
domingo.
(Disponível em: <http://www.climatempo.com.br/previsao-do-tempo/cidade/317/petropolis-rj>. Acesso em: 19/07/2013)
Multiplicação de Números Inteiros
a) (+ 4) . (+ 8) = 4.(+ 8) = (+ 8) + (+ 8) + (+ 8) + (+ 8) = + 32
b) (+ 4) . (– 8) = 4.(– 8) = (– 8) + (– 8) + (– 8) + (– 8) = – 32
A multiplicação
é uma soma de
parcelas iguais.
c) (– 4) . (+ 8) = – (+ 4) . (+ 8) = – (+ 32) = – 32
d) (– 4) . (– 8) = – (+ 4) . (– 8) = – (– 32) = + 32
Imagine que sua mãe fez uma compra e vai pagar 6 prestações de R$ 20,00.
Quanto ela pagará no total?
Lembre-se de que é uma dívida de 20 reais, durante 6 meses.
(+ 6) . (– 20) = 6.(– 20) =(– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20)= – 120
Ela pagará R$120,00.
SE LIGA NESSA!
Regras de sinais para a multiplicação:
(Número positivo) . (Número positivo) = Número positivo
(Número negativo) . (Número negativo) = Número positivo
(Número positivo) . (Número negativo) = Número negativo
(Número negativo) . (Número positivo) = Número negativo
25
EXERCÍCIOS
43) Determine o sinal do produto:
a) ( + ) . ( + ) =
b) ( + ) . ( – ) =
c) ( – ) . ( – ) =
d) ( – ) . ( + ) =
e) ( + ) . ( + ) . ( + ) =
f) ( + ) . ( – ) . ( – ) =
g) ( – ) . ( + ) . ( + ) =
h) ( – ) . ( – ) . ( – ) =
i) ( – ) . ( + ) . ( – ) . ( + ) =
j) ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( – ) =
k) ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( + ) . ( + ) =
l) ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( – ) =
m) ( – ) . ( + ) . ( + ) . ( + ) . ( – ) =
n) ( – ) . ( + ) . ( – ) . ( + ) . ( – ) =
44) Faça as multiplicações:
a) (+ 7) . (+ 8) =
g) (– 6) . (– 4) =
b) (– 7) . (– 8) =
h) (– 5) . (+ 9) =
c) (+ 7) . (– 8) =
i) (+ 4) . (– 8) =
d) (– 7) . (+ 8) =
j) (– 9) . (+ 9) =
e) 5 . (– 1) =
k) 7 . (– 6) =
f) 2 . (+ 8) =
l) (+ 2) . 0 =
45) Complete a tabela, realizando a multiplicação entre os números:
( . ) – 10 – 8 – 6 – 4 – 2
0
0
+4
– 32
– 16
+5
+6
+7
+8
+9
– 18
+ 10
– 60
0
+1
0
+3
+5
+7
+ 12
+9
+ 36
+ 35
0
0
+ 40
0 + 10
26
46) Calcule o valor das expressões, conforme o exemplo.
Exemplo: 60 – (+ 4) . (– 8) =
Efetue primeiro
as
multiplicações,
depois as
adições e
subtrações.
= 60 – (– 32) =
= 60 + 32 =
= 92
a) 5 . 3 – 30 =
b) 14 – 6 . 3 =
c) 15 . 4 – 80 =
d) – 50 + 11 . 5 =
e) – 48 – 6 . 7 =
f) 35 + (– 9) . (– 4) =
g) 18 – (– 6) . (– 2) =
h) (+ 8) . (– 8) + 64 =
i) 54 + (– 6) . (+ 9) =
•
•
Podemos eliminar o sinal indicativo da operação de multiplicação (.), escrevendo os números
dentro dos parênteses, um ao lado do outro, por exemplo: (– 9)(– 6) = 54.
Na multiplicação, se um dos fatores é representado por uma letra, podemos eliminar o sinal
indicativo da operação. Exemplos: 7.x pode ser escrito assim: 7x / 8.a.b pode ser escrito
assim: 8ab.
47) Calcule o valor da expressão, se x = 3, y= – 4 e z= – 5:
a) x + y =
d) x . y =
g) xyz =
b) x – z =
e) 5x + y =
h) xy + xz =
c) y . z =
f) 8y – z =
i) – 3z + 4x – 2z =
48) Calcule o valor das expressões:
a) (9 – 3) . (9 – 3) =
d) (3 – 9) . (3 – 9) =
b) (9 – 3) . (3 – 9) =
e) (– 3 – 9) . (3 – 9) =
c) (3 – 9) . (9 – 3) =
f) (– 9 – 3) . (9 – 3) =
27
49) Complete as questões abaixo:
a) O dobro de – 10 é: ................................................................................................................................
b) O triplo de – 18 é: .................................................................................................................................
c) A soma do dobro de – 20, com o triplo de – 42 é: ................................................................................
d) O próximo número da sequência – 3, – 6,– 12, – 24, ... é: ...................................................................
e) O quádruplo de – 32 é: .........................................................................................................................
f) Somando o dobro de – 16, com o triplo de 13, obtemos: .....................................................................
50) Escreva uma sequência de cinco termos, sabendo que o primeiro termo é – 5 e cada termo é o
triplo do anterior: ....................................................................................................................................
51) Lucas tem um saldo bancário de R$ 350,00. Ele emitiu três cheques, cada um de R$ 150,00.
Qual é o novo saldo bancário do Lucas?
..................................................................................................................................................................
52) Quais são os dois números, cuja soma é – 5 e cujo produto é – 50?
..................................................................................................................................................................
53) Encontre o valor do número desconhecido ☺, nas seguintes multiplicações:
a) ☺ . 7 = 21
b) 6 . ☺ = 48
Descubra qual o número
que, se colocado no lugar de
☺, obteremos o resultado
de cada questão.
c) 9 . ☺ = 27
d) ☺ . (– 4) = – 24
e) – 8 . ☺ = – 72
f) – 6 . 9 = ☺
g) (+ 5) . (– 2) . ☺ = – 40
h) (– 2) . ☺ . (+ 8) = – 64
i) (– 5) . (– 6) . ☺ . (– 2) = 300
j) (+ 1) . (+ 1) . (– 1) . ☺ = + 1
k) ☺ . ( – 1) . (– 2) = – 18
l) 3 . (– 15) . ☺ = + 90
54) Complete na tabela, a coluna da soma e a coluna do produto:
Calcule a soma dos três números de cada linha, para
completar a coluna da soma e calcule o produto dos
números de cada linha, para completar a coluna do
produto.
28
1º número 2º número 3º número Soma Produto
–7
–3
–5
–6
–2
–4
–5
+3
+2
0
– 30
–4
–5
–3
–3
+4
–5
–2
–1
+5
–1
–2
+5
0
–1
–2
+1
+5
+4
+2
+3
+5
+ 10
+ 30
+3
+4
–4
+4
+3
–4
+5
–1
+3
+6
+2
–2
+7
–5
+2
Divisão de Números Inteiros
Vamos dividir!
Tenho R$ 30,00
para dividir entre
5 pessoas. Com
quantos reais,
cada pessoa
ficará?
Com R$ 6,00!
Vocês sabiam
que a divisão é a
operação inversa
da multiplicação?
Sim. Para a
divisão valem as
mesmas regras
de sinais da
multiplicação
em Ζ!
Exemplos:
•
•
•
•
( + 30 ) : ( + 5 ) = ( + 6 ), porque ( + 5 ) . ( + 6 ) = + 30
( – 30 ) : ( – 5 ) = ( + 6 ), porque ( + 5 ) . ( – 6 ) = – 30
( + 30 ) : ( – 5 ) = ( – 6 ), porque ( – 5 ) . ( – 6 ) = + 30
( – 30 ) : ( + 5 ) = ( – 6 ), porque ( – 5 ) . ( + 6 ) = – 30
Regras:
Número positivo: Número positivo = Número positivo
Número negativo: Número negativo = Número positivo
Número positivo: Número negativo = Número negativo
Número negativo: Número positivo = Número negativo
Vamos dividir dois
números e usar a
regra de sinais para
ver como fica!
Exemplos:
(+ 35) : (+ 7 ) = + 5
(– 48) : (– 8) = + 6
(+ 63) : (– 9) = – 7
(– 52) : (+13) = – 4
EXEMPLOS:
a) (+ 36) : ( + 4) = + 9
b) (– 36) : ( – 4) = + 9
c) (+ 36) : ( – 4) = – 9
d) (– 36) : ( + 4) = – 9
29
SE LIGA NESSA!
•
•
Não é possível a divisão por zero
(–7):0
A divisão nem sempre é possível em Ζ
2 : 3 = ⅔ (⅔ ∉ Ζ)
EXERCÍCIOS
55) Calcule as seguintes divisões e relacione as colunas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
(– 16) : ( – 2) =
(+ 28) : ( – 4) =
( – 40) : ( + 2) =
(+ 24) : ( + 4) =
(+ 45) : ( – 5) =
(– 27) : ( – 3) =
(– 42) : ( + 7) =
(– 36) : ( – 2) =
(
(
(
(
(
(
(
(
)–6
) – 20
)–7
) + 18
)+6
)–9
)+9
)+8
Nesse exercício
você só precisa
dividir e aplicar a
regra de sinais.
Exemplo: As figuras abaixo mostram a representação geométrica de algumas divisões.
A oitava parte de 64 é
8, porque 64 : 8 = 8.
A quarta parte de 64 é
16 porque, pois 64 : 4 = 16.
No exemplo acima, quando
falamos em representação
geométrica, queremos dizer que
vamos representar em figuras.
A quinta parte
de 40 é 8, porque
40 : 5 = 8.
A oitava parte
de 40 é 5, pois
40 : 8 = 5.
Quando queremos a
metade de um número,
dividimos o número por
2. A terça parte,
dividimos por 3. A
quarta parte, dividimos
por 4 e assim por diante!
30
56) Responda:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
A metade de + 30 é .........................
A metade de – 50 é .........................
A terça parte de 60 é ......................
A quarta parte de – 80 é .................
A quinta parte de 100 é ..................
A sexta parte de – 120 é .................
A sétima parte de – 63 é .................
A oitava parte de 72 é .....................
A nona parte de 81 é .......................
A décima parte de – 200 é ...............
Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados
57) Dividiu-se 32 por um número inteiro, o resto da divisão é zero e o quociente é 4. Qual é o
divisor?
58) Dividiu-se – 42 por um número inteiro menor que 7, o resto da divisão é zero e o quociente – 7.
Qual é o divisor?
59) Complete a tabela usando a divisão:
Algumas quadrículas estão pintadas de cinza, mostrando que não iremos fazer as contas desses
locais. Os números que precisaríamos escrever nessas quadrículas, pertencem ao conjunto dos
números inteiros?.......................... Por quê? ...........................................................................................
– 100 + 80 – 60 + 48
+ 10
0 ( : ) + 24 – 36 + 42 + 64 – 72
–2
–4
+6
–8
+2
+ 42
+4
–6
+8
60) Em cada alternativa, responda qual o resultado da quantia em dinheiro, que deve ser dividida
para o número de pessoas indicado no círculo:
a)
: para ⑩ = .................................................
31
b)
: para ⑳ = ...........................
c)
: para ⑧ = ...................................................................
d)
: para ⑦ = ........
e)
: para ⑬ = ......................................................................................................
f)
: para ⑧ = ...........
g)
: para ⑤ = ...................................................................................
61) Responda as perguntas e resolva a cruzadinha (horizontal):
a) Na divisão 10: 5, o número 5 é chamado de .........................
b) Na divisão 12: 4 = 3, o número 3 é chamado de ....................
c) Aos números inteiros negativos é atribuído o significado de..........
d) Na divisão 16: 8, o número 16 é chamado de ................................
e) Ζ é o símbolo do conjunto dos números ........................................
f) A operação inversa da divisão é a ...................................................
g) O único número que não pode dividir nenhum outro é o ...............
a
b
c
d
e
f
g
D
I
V
I
S
Ã
O
Média Aritmética Simples
A média aritmética simples é muito utilizada
no nosso dia-a-dia. É obtida, dividindose a soma das observações pelo número
delas.
32
Exemplo: Tenho três primas e suas idades são 12, 15 e 18. Quantos anos elas têm em média?
Resposta: A média aritmética de suas idades é
= 15. Elas têm 15 anos em média.
62) Durante alguns anos, tive um cachorro de estimação chamado Fox. Brincalhão, companheiro e
particularmente lindo! Recentemente ele partiu. Fox tinha alguns cachorros amigos. Observe o
gráfico abaixo e responda: qual é a média de idade dos cachorros?
IDADE DOS CACHORROS
8
10
12
10
5
63) Observe a figura que mostra o clima na cidade de Gramado – RS e calcule:
a) A média aritmética simples das temperaturas máximas.
b) A média aritmética simples das temperaturas mínimas.
c) Que dia apresentou a temperatura mais baixa?
d) Que dia apresentou a temperatura mais alta?
(Disponível em: <http://www.climatempo.com.br/previsao-do-tempo/cidade/780/gramado-rs>. Acesso em: 22/07/2013)
64) Complete a tabela abaixo:
x
y
z
+6
–6
+6
–6
–3
+3
–3
+3
+2
+2
–2
–2
x.y x.z y.z x:y x:z
(x . y) : z
+ 12
+6
– 18
(x . z) : y
(y . z) : x
(+ 12): (–3) = – 4
(+6):(–6)= – 1
(–18):(–2)= + 9
33
Conjuntos dos Números Racionais – Conjunto Q
Número racional é
todo número que
pode ser escrito em
forma de fração.
Assim, todo número
natural, inteiro,
fracionário ou decimal
é um número racional.
Exemplos:
•
Os números naturais podem ser escritos em forma de fração: 7 = ;
•
Os números inteiros podem ser escritos em forma de fração: – 3 =
•
Os números decimais podem ser escritos em forma de fração: 0,6 =
;
= .
Representação Geométrica
Os números racionais positivos são representados à direita do zero e os números racionais
negativos, à esquerda, representados por pontos de uma reta, assim como os inteiros.
•
O oposto de – é + . – = – 2,5 e |– 2,5|= 2,5.
•
O oposto de + é – .
•
O módulo de – é representado por: –
•
– = – 2,5 e |– 2,5|= 2,5.
•
e –
= .
O módulo de
um número é a
distância dele
até o zero.
= 0,5 e |0,5| = 0,5.
Imagine que uma
barra de chocolate
será dividida entre
mim, Amanda e
Gabriel.
Ah! É só dividir a
barra em 3
partes iguais!
34
Cada um de nós receberá da barra de
chocolate.
Nós dividimos 1 por 3 e ficamos com .
Então, 1 : 3 = .
Comparação dos Números Racionais
•
– < – , porque – está à esquerda de – ;
•
> , porque, encontrando frações equivalentes às duas frações e que tenham o mesmo
denominador:
=
e
=
, temos que
>
, então concluímos que > .
Realização das quatro operações elementares
Adição de Números Racionais
Exemplo 1:
+
=
=
e
+
=
=
Só podemos somar as frações se
elas tiverem o mesmo denominador.
Vamos recordar o M.M.C.?
3,5 3
1,5 5
1,1 3x5= 15
15:3=5 e esse 5 multiplica o 2, 5x2=10
15:5=3 e esse 3 multiplica o 3, 3x3=9.
GLOSSÁRIO
M.M.C.: Mínimo Múltiplo Comum.
Exemplo 2:
+
–
=–
=
e
+
=
=
=
Quando somamos
frações, precisamos
reduzi-las ao mesmo
denominador,
usando o M.M.C. ou
encontrando as
frações equivalentes
às frações que
queremos somar.
Veja os exemplos!
Lembre-se de que:
Fração =
Só podemos somar as frações
se elas tiverem o mesmo
denominador.
Vamos recordar o M.M.C.?
4,5 2
2,5 2
1,5 5
1,1 2x2x5=20
20:4=5 e esse 5 multiplica o 1,
5x1=5.
20:5=4 e esse 4 multiplica o 2,
4x2=8.
35
Exemplo 3: Minha professora levou 2 bolos para a escola e dividiu a turma em 5 grupos. Os dois
bolos seriam divididos por 5.
Vamos dividir 2 por 5. Não
dá! Então, colocamos 0 no
quociente e 0 no dividendo.
Agora temos 20 para dividir
por 5, que dá 4. E o resto é 0.
O resultado de 2:5 = 0,4.
Resposta: Cada grupo recebe do bolo. Cada bolo é dividido em 5 partes iguais e cada grupo recebe
2 partes. Então, teremos 2:5 = = 0,4 para cada grupo.
EXERCÍCIOS
Não se esqueça de
encontrar as
frações
equivalentes com o
mesmo
denominador!
65) Faça as adições como no exemplo:
a)
+
=
b)
+
=
c)
+
=
Entendi. Cada bolo
será divido em 5
partes
iguais,
aí
teremos 10 pedaços
dos dois bolos juntos,
então cada grupo
ficará com 2 partes.
66) Represente cada fração em número decimal:
a)
=
b)
=
c) =
d) =
67) Represente o número decimal em forma de fração. Siga os exemplos.
a) 0,3 =
b) 0,4 =
c) 0,5 =
d) 0,42 =
:
:
=
Para colocar um número decimal na forma
de fração, fazemos assim:
Ex.: 0,2 = . Neste exemplo, depois da
vírgula só existe o 2, apenas um algarismo,
ou seja, uma casa decimal, aí escrevemos o 2
no numerador da fração e uma potência de
10 com um zero no denominador, teremos
então .
36
e) 0,53 =
f) 0,75 =
:
:
g) 6,25 =
=
h) 2,24 =
i) 0,625 =
68) Minha mãe pediu que eu fosse ao mercado comprar quilo de salsicha. Quando o funcionário
!
do mercado colocou a salsicha na balança, apareceu no visor 0,5 kg. Fiquei em dúvida. Ele atendeu
ou não ao meu pedido? Será que 0,5 é igual ou diferente de ! ?
69) Minha tia é manicure. Na terça-feira ela esqueceu, na casa de uma cliente, um frasco de
removedor de esmalte com " do produto. Na quarta-feira ela esqueceu, novamente, um frasco
!
com do produto, na casa de uma segunda cliente. E na sexta-feira ela ganhou de uma terceira
#
$
cliente, um frasco com " do produto. No sábado, as duas clientes levaram os frascos esquecidos
$
pela minha tia. Juntando tudo o que sobrou nos frascos, mais os " que ela ganhou, qual foi a
quantidade de removedor de esmaltes que ela ficou?
Números decimais são numerais que indicam um número que não é inteiro. Geralmente, após o
algarismo das unidades, usa-se uma vírgula, indicando que o algarismo a seguir pertence à ordem
das décimas, ou casas decimais.
(Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Casa_decimal >. Acesso em: 30/07/2013)
Subtração de Números Racionais
Lembre-se de que
só podemos somar
as frações, se elas
tiverem o mesmo
denominador.
Encontramos a
diferença entre dois
números racionais,
somando o primeiro
com o oposto do
segundo.
Exemplo 4:
–
=
=
e
–
=
+
=
–
=
=
=
37
EXERCÍCIOS
70) Faça as subtrações:
a)
–
=
b)
–
=
c)
–
=
71) Minha irmã fez um bolo, dividiu o bolo em 4 partes iguais e separou uma das partes para o
meu tio e sua família, que chegariam mais tarde. Qual a fração que representa a parte que ficaria
para a minha família comer? E qual a parte que ficaria para o meu tio e sua família?
Multiplicação de Números Racionais
Para multiplicarmos frações, fazemos assim:
Não se esqueça de
aplicar a regra de sinais
da multiplicação em Ζ.
Exemplo 5:
a)
=+
=
b)
=–
=
c)
=–
=–
:
:
=–
EXERCÍCIOS
72) Faça as seguintes multiplicações:
a)
=
b)
=
38
=
c)
d)
=
Exemplo 6:
a) 3,4
3,2 =
3,4
3,2
68
+ 102
10,88
Agora vamos multiplicar os números decimais. Vemos
que 3,4 e 3,2 só têm uma casa decimal. Então
multiplicamos os números sem as vírgulas. Para o
resultado, contamos as duas casas decimais dos
números 3,4 e 3,2 e colocamos a vírgula, de modo
que o resultado tenha também duas casas decimais.
Entendi.
Você conta o
número de casas decimais
dos números que estão
sendo multiplicados e o
resultado terá o mesmo
número de casas decimais.
Ex.: 5,7 3,46 = 19,722
(3 casas decimais)
73) Faça as multiplicações:
a) 4
Se
eu
quiser
comprar 4 pacotes
de um biscoito, que
custa R$ 2,30 cada,
quanto eu preciso
ter em dinheiro?
4 2,3 = ?
Faça as contas.
2,3 =
b) 2,7
1,5 =
c) 6,31
2,34 =
d) 5,32
3,214 =
74) Complete a tabela:
(.)
1,1
2,21
3,32
4,012
1 casa
decimal.
2,3
2 casas
decimais.
1,32
2,30 = 2,3
4 casas
decimais.
3,421
4,1231
16,5418772
39
Em cada multiplicação, conte o número de casas decimais
dos dois números e no resultado posicione a vírgula, de
modo que tenha o mesmo número da sua contagem!
Divisão de Números Racionais
Para dividir duas frações,
multiplica-se a 1ª fração pelo
inverso da 2ª.
Na divisão de frações,
não podemos ter o
zero no denominador.
Exemplo 7:
a)
:
b)
:
=
=
=
=
EXERCÍCIOS
75) Faça as seguintes divisões:
a)
:
=
b)
:
=
c)
%
&
'
(
=
d)
)
*
+
,
=
:
1
8
:
=
3
2
=
=
Observe que nos exercícios (c) e (d),
temos duas frações sendo divididas
como nos exemplos anteriores,
somente a apresentação está
diferente, em vez de dois pontos,
usamos o traço da divisão, mas o
cálculo se faz do mesmo jeito.
=
=
40
Revendo o Exemplo 3: Minha professora levou 2 bolos para a escola e dividiu a turma em 5 grupos.
Os dois bolos seriam divididos por 5.
Sabemos que para dividir 2
por 5, não dá. Então,
colocamos 0 no quociente
e 0 no dividendo. Assim,
temos 20 para dividir por
5, que dá 4. E o resto é 0.
O resultado de 2:5 = 0,4.
76) Complete a tabela, fazendo as seguintes divisões:
( : )
+2
–2
–3
–2
–1
0
+1
+2
+3
+4
Não
pode!
+5
= 0,4
= – 0,5
41
Caro(a) aluno(a), nesta Unidade vamos estudar as equações do 1º grau, veremos como
identificar esta equação e os seus termos: primeiro e segundo membros.
Também vamos
representar simbolicamente sentenças matemáticas e resolver problemas cotidianos, utilizando os
conceitos das equações do 1º grau, além de identificar as inequações do 1º grau.
Ao término deste estudo, esperamos que você seja capaz de identificar uma equação ou
inequação do 1º grau.
42
Unidade 2 – EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Resolução de equações do 1º grau
Quero ver se você acerta essa:
O triplo de um número é 18.
Que número é esse?
O número é 6,
pois 3 6 = 18.
Essa foi fácil!
Quem responde essa?
O dobro de um número somado com 9
é igual a 37. Qual é esse número?
Agora você me pegou.
Não sei resolver!
Fique tranquilo! Agora
nós vamos aprender tudo
sobre problemas que
envolvem equações do 1º
grau.
Preste atenção
às explicações
abaixo!
Vamos escolher x para representar o número desconhecido.
Número desconhecido: x
O dobro do número desconhecido: 2x
O dobro do número desconhecido somado com 9: 2x + 9
O dobro de um número desconhecido somado com 9 é igual a 37: 2x + 9 = 37
Para encontrar o valor de x, vamos desfazer a adição pela operação inversa, que é a subtração:
2x = 37 – 9
2x = 28
Agora, sabemos que o dobro do número é 28. Para encontrar x vamos desfazer a multiplicação pela
operação inversa, que é a divisão:
!1
x = ! = 14
Assim, descobrimos que o número desconhecido é 14.
Verificando, temos:
2 14 = 28 e 28 + 9 = 37.
43
2x + 9 = 37 é uma equação, porque
apresenta uma letra, que é chamada
de incógnita, e representa um valor
desconhecido.
E tem um sinal de (=), para
mostrar a igualdade entre os
dois membros da equação.
Esta é uma equação do 1º grau, pois não aparece expoente na letra, neste caso o expoente é 1.
Agora é a minha vez! Veja se
consegue resolver. O triplo de um
número, menos 7 é igual a 44. Que
número é esse?
Vou resolver usando uma
equação. Vou fazer um
esquema abaixo.
Exemplo 1:
Número desconhecido: x
Triplo deste número: 3x
Triplo do número menos 7: 3x – 7
Equação: 3x – 7 = 44
Resolvendo a equação: 3x – 7 = 44
3x = 44 + 7
A operação inversa à subtração é a adição.
3x = 51
x=
A operação inversa à multiplicação é a divisão.
x = 17
Resposta: O número procurado é 17.
EXERCÍCIO
44
1) Complete a tabela abaixo:
Linguagem Comum
O dobro de um número é igual a oito.
Linguagem Matemática
O triplo de um número é igual a vinte e quatro.
O triplo de um número mais três unidades é igual a dezoito.
3x + 3 = 18
O triplo de um número é igual a 48.
#2
x
22
Cinquenta por cento de um número.
ou
de x
Podemos comparar as equações com balanças
de dois pratos, onde só há equilíbrio se os dois
pratos estiverem com a mesma massa.
É isso aí! Imagine que alguém
colocou três objetos iguais em um
dos pratos da balança e dois pesos,
que você sabe quanto pesam, no
outro prato. Se os pratos ficarem
equilibrados, quer dizer que os
pesos de um lado têm a mesma
massa que os três objetos do outro.
Como você não sabe quanto pesam os
três bloquinhos, você vai dizer que
cada um deles pesa "x".
Veja como vai ficar a
resolução da equação:
3x = 30
x=
$2
$
x = 10
Veja que tem três bloquinhos,
de 10 kg cada, em um prato e
dois blocos, de 15 kg cada, no
outro prato. Então, cada prato
tem 30 kg, por isso a balança
está equilibrada.
45
Vocês sabem qual é a minha idade?
Vamos ver
mais alguns
exemplos!
Amanda falou que daqui a 29
anos, você terá 44 anos. É
isso mesmo?
Vamos usar uma
equação,
para
descobrir a idade
da Thaís.
Já sei Thaís,
para descobrir
a sua idade é
só subtrair 29
de 44.
Exemplo 2:
Idade atual: x
Daqui a 29 anos: x + 29
Daqui a 29 anos ela terá 44 anos: x + 29 = 44
Para encontrar o valor de x vamos desfazer a adição pela operação inversa, que é a subtração:
x = 44 – 29
x = 15
Resposta: Thais tem 15 anos.
x + 29 = 44 é uma equação, porque apresenta uma letra e tem a igualdade.
Identificação da raiz de uma equação do 1º grau
Você sabia que o valor encontrado para a letra, em
cada equação, é chamado de raiz da equação?
Quando resolvemos uma equação, o número
encontrado é a raiz da equação.
A equação tem dois membros:
O 1º membro, à esquerda da
igualdade e o 2º membro, à
direita da igualdade.
46
Vamos resolver
alguns exercícios?
Apresentamos a
resposta de uma
equação no conjunto
solução. Para o
exemplo 2 temos
S = {15}.
O número que resolve a equação é
chamado de raiz da equação.
Resolver uma equação é encontrar o
conjunto solução.
EXERCÍCIOS
2) Um número menos 9 é igual a 25. Que número é esse?
3) O dobro de um número, somado com 8 é igual a 40. Que número é esse?
4) O dobro de um número, somado com 6 é igual a 42. Que número é esse?
5) Calcule a idade da Gabriela, sabendo que daqui a 24 anos ela terá 42 anos.
6) Calcule a idade do Higor, sabendo que daqui a 43 anos ele terá 65 anos.
7) Qual é a idade do meu pai hoje, se daqui a 35 anos ele terá 63 anos?
8) Qual é o número, cujo quádruplo mais 5 é igual a 53?
47
Vou tentar
descobrir
este número.
Vamos continuar. Pensei em um
número, somei 7 a sua metade e
obtive 12. Em que número eu
pensei?
Exemplo 3:
Número que você pensou: x
3
Metade deste número:
3
7 somado a esta metade: + 7
3
Equação: + 7 = 12
3
Resolvendo a equação: + 7 = 12
3
3
= 12 – 7
A operação inversa à adição é a subtração.
=5
(Dividindo em um membro, passa a multiplicar no outro)
x=5.2
A operação inversa à divisão é a multiplicação.
x = 10
Raiz da equação.
Resposta: Você pensou no número 10 .
EXERCÍCIOS
S = {10}
10 é a raiz
da
equação!
9) Coloque em prática o que você aprendeu nos exemplos 1 e 2, resolvendo as equações.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
x + 5 = 13
x – 11 = 25
2x + 4 = 24
2x – 8 = 22
3x + 2 = 62
3x + 2 = 62
12 + x = 42
10) Coloque em prática o que você aprendeu no exemplo 3, resolvendo as equações.
4
a) ! = 9
b)
5
(Dividindo em um membro, passa a multiplicar no outro)
=7
48
c)
5
d)
e)
=5
5
5
Vamos ver
mais alguns
exemplos!
=6
=–9
Observe as resoluções das equações:
Exemplo 4:
12x – 5 = 10x + 4
12x – 10x = 4 + 5
(12 – 10)x = 9
2x = 9
(O termo com x deve passar para o 1º membro)
(10x mudou e virou – 10x) e (– 5 mudou de membro e virou + 5).
(Reduz os termos semelhantes: 12x – 10x = 2x).
x=
(2 mudou de membro. Multiplicando em um membro, passa a dividir no outro membro).
x = 4,5 S = {4,5}
(Conjunto Solução).
Exemplo 5:
3x + x – 4 = x – 2x + 16
3x + x – x + 2x = 16 + 4
(3 + 1 – 1 + 2)x = 20
5x = 20
x=
(Os termos com x devem passar para o 1º membro)
(x virou – x) e (– 2x virou + 2x)
(Reduz os termos semelhantes: 3x + x – x + 2x = 5x)
(5 mudou de membro. Multiplicando em um membro, passa a dividir no outro)
x = 4 S = {4}
Exemplo 6:
30 = 2x + 2
2x + 2 = 30
2x = 30 – 2
2x = 28
x=
x = 14 S = {14}
(Conjunto Solução).
2x + 2 = 30
(Pela Propriedade Simétrica)
(Conjunto Solução)
Exemplo 7:
– 8x = – 32
[Multiplicamos ambos os membros por (– 1)]
(– 8x) . (– 1) = (– 32) . (– 1)
[Usamos a regra de sinais da multiplicação: (–).(–) =(+)]
8x = 32
x=
x = 4 S = {4}
(Conjunto Solução)
49
Exemplo 8:
4(3x – 1) = 7 + 6x
12x – 4 = 7 + 6x
(Precisamos eliminar os parênteses, então multiplicamos o 4 pelo 3 e o 4 pelo – 1)
(O termo com x deve passar para o 1º membro)
12x – 6x = 7 + 4
(12 – 6)x = 11
6x = 11
x=
S=6 7
Exemplo 9:
4x + 2(5x – 4) = – 3(x – 2)
4x + 10x – 8 = – 3x + 6
(Precisamos eliminar os parênteses, então multiplicamos o 2 pelo 5 e o 2 pelo – 4)
(Também multiplicamos o – 3 pelo 1 e o – 3 pelo – 2)
4x + 10x + 3x = + 8 + 6
(4 + 10 + 3)x = 14
(Reduz os termos semelhantes: 4x + 10x + 3x = 17x)
17x = 14
x=
S= 6 7
EXERCÍCIOS
11) Resolva as equações:
a) 14x – 6 = 8x + 4
b) 4x + x – 5 = 2x – 3x + 18
c) 40 = 3x + 4
d) – 7x = – 63
e) 5(2x – 1) = 8 + 4x
f) 7x + 2(6x – 3) = – 2(x – 1)
Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados
Exemplo 1: Um número somado com o seu triplo é igual a 72. Qual é esse número?
Número: x
Triplo: 3x
50
Equação: x + 3x = 72
Resolvendo a equação:
x + 3x = 72
4x = 72
O número que
você está
procurando é
18!
x = 18 S = {18}
x=
Exemplo 2: Luísa é 5 anos mais velha que
Diana. A soma de suas idades é igual a 23
anos. Qual é a idade de Diana?
Idade de Diana: x
Idade de Luísa: x + 5
Equação: x + (x + 5) = 23
Resolvendo a equação:
x + (x + 5) = 23
x + x + 5 = 23
2x + 5 = 23
2x = 23 – 5
2x = 18
Resposta: Diana tem 9 anos.
x=
x=9 S={9}
Exemplo 3: Ana Luíza e Ariela são primas, juntas elas têm 25 anos. A idade da Ana Luíza é da idade
da Ariela. Qual é a idade de cada uma delas?
Ariela: x
Ana Luíza: x
Equação: x + x = 25
Resolvendo a equação: x + x = 25
5
+
5
=
4x + x = 100
5x = 100
x=
x = 20
S = {20} Ariela tem 20 anos.
Ana Luíza tem
20 =
= 5 anos.
Resposta: Ariela tem 20 anos e Ana Luíza, 5 anos.
Exemplo 4: Um tênis custa três vezes o preço de uma calça. Os dois itens juntos, custam R$ 220,00.
Qual é o preço de cada item?
Preço da calça: x
Preço do tênis: 3x
Equação: x + 3x = 220
Resolvendo a equação:
x + 3x = 220
4x = 220
x = 55 S = {55}
A calça custa R$ 55,00 e o tênis custa R$ 165,00.
51
Agora é a
sua vez!
EXERCÍCIOS
12) Um número somado com o seu dobro é 210. Qual é esse número?
13) Beatriz é 7 anos mais velha que sua irmã. A soma de suas idades é igual a 22 anos. Qual é a
idade da irmã da Beatriz?
14) Uma balança está em equilíbrio. Em um prato estão duas jacas mais 8 kg, no outro prato estão
14 kg mais uma jaca. Qual é o peso de cada jaca?
15) A soma de um número com o seu sucessor é 121. Quais são esses números?
16) A soma de três números consecutivos é 57. Quais são esses números?
Se os 3 números são
consecutivos, eles
são: x, x + 1 e x + 2.
17) No estacionamento onde meu pai trabalha, há vagas para carros e motos, totalizando 114. O
número de vagas para carros é 5 vezes o número de vagas para motos. Quantas vagas para carros
há no estacionamento?
Inequação do 1º grau
Os símbolos usados em desigualdades são: 8, :, ;, <, =.
Inequação é toda desigualdade que contém pelo menos uma incógnita.
Exemplos: a) 6x + 2 > 3
b) 4x – 1 < 5
c) x + 8 ; 10
d) + 3x = 11
52
18) Identifique as sentenças com (E) para equação e (I) para inequação:
a) 2x + 9 = 4 (......)
e) 5x – x = 6 (......)
i) 7x – 1 ; 17 (......)
b) – 4x + 10 = 5 (......)
f) 3x – 1 ; 7 (......)
j) x + 27 = 43 (......)
c) 6x > 3 + x (......)
g) 4x + x < – 2x + 1 (......)
k) 3x + 18 ; 100 (......)
d) x + 3 = 1(......)
h) x – 1 = 5 (......)
l) + 5x = 15 (......)
53
Caro(a) aluno(a), nesta Unidade vamos aprender a ler uma razão, a identificar seus termos e
determinar a razão entre grandezas, além de estudar a noção de escala. Vamos estudar, também, as
proporções: identificar uma proporção, os seus meios e extremos; verificar como se calcula o termo
desconhecido de uma proporção, utilizando a propriedade fundamental; resolver problemas do
cotidiano com o auxílio de uma proporção; resolver problemas que envolvem variações diretamente
proporcionais ou inversamente proporcionais entre grandezas.
Esperamos que, ao final deste estudo, você possa resolver problemas que envolvam razão,
noção de escala e proporção.
54
Unidade 3 – RAZÕES E PROPORÇÕES
Razão
Na nossa turma
têm 30 alunos,
sendo 18 meninas
e 12 meninos.
Então, a razão entre o
número de meninos e o
de meninas é . E a
razão entre o número
de meninas e o número
de meninos é .
Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo, sendo o segundo número
diferente de zero.
Exemplo:
•
A razão entre o número de meninos e o número de meninas é determinada assim:
ú
ú
•
>
>
=
:
:
= (2 está para 3)
A razão entre o número de meninas e o número de meninos é determinada assim:
ú
ú
>
>
=
:
:
= (3 está para 2)
EXERCÍCIOS
1) Escreva simbolicamente as razões:
Exemplo: Três para sete:
$
?
a) Seis para onze:
d) Quatro para cinco:
b) Um para cinco:
e) Dezenove para seis:
c) Cinco para nove:
f) Três para sete:
2) A prova de Matemática tinha 12 questões, Mariana acertou 9. A partir das informações dadas,
complete:
a) A razão do número de questões que acertou para o número total de questões: ...................
b) A razão do número de questões que errou para o número total de questões: ......................
3) A altura de Aninha é 1,10 m e a de seu pai é 1,70 m. Qual é a razão entre a altura do pai de
Aninha e a altura de Aninha?
55
Escala
Escala é a razão entre a medida utilizada e a medida real, ambas na mesma unidade.
Escala =
@
A
@
A
B
B
>
D
C
Exemplo: Um salão de festas tem 20 m de comprimento. Esse comprimento é representado em um
desenho por 40 cm. Qual é a escala do desenho?
Resposta:
Medida do comprimento do desenho = 40 cm
Medida do comprimento real = 20 m (Vamos passar de metro para centímetro - 1 m = 100 cm, então 20 m = 2 000 cm)
Escala =
=
:
:
=
A escala é de 1 : 50 (Um para cinquenta - cada 1 cm do desenho corresponde a 50 cm reais)
EXERCÍCIOS
4) Escreva na forma de razão:
a) 1 mês para 1 ano.
A letra (a) já
está feita!
!
b) 1 dia para 1 semana.
c) 6 dias para 1 mês.
d) 5 meses para 1 ano.
e) 50 segundos para 7 minutos.
5) Um terreno tem 200 m2 de área e 150 m2 de área construída. Responda:
a) Qual é a razão da medida da área construída para a área do terreno?
b) Qual é a razão da medida da área do terreno para a área construída?
c) Qual é a razão da medida da área construída para a área livre?
d) Qual é a razão da medida da área livre para a área construída?
6) A planta da casa de Thaís foi feita na escala 1 : 40. Responda:
a) Quais são as dimensões reais do quarto?........................
b) Quais são as dimensões reais da sala?............................
c) Quais são as dimensões reais da cozinha?......................
d) Quais são as dimensões reais do banheiro?....................
56
Proporção
Proporção é uma igualdade entre duas razões.
Exemplo: = . As razões são iguais, então temos uma proporção.
Observe as figuras abaixo:
5 cm
8 cm
10 cm
16 cm
•
A razão entre a largura e a altura da primeira foto é .
•
A razão entre a largura e a altura da segunda foto é
•
•
=
E
@
.
. As razões são iguais, logo temos uma proporção entre as figuras.
= . Lemos: a está para b assim como c está para d.
•
Os termos b e c são chamados meios da proporção.
•
Os termos a e d são chamados extremos da proporção.
Propriedade Fundamental: Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos
meios.
É possível descobrir o valor desconhecido de um dos termos em uma proporção, aplicando a
propriedade fundamental.
3
Exemplo: Calcule o valor desconhecido na proporção =
48.x = 42.8
48x = 336
x=
x=7
EXERCÍCIOS
7) Calcule o valor desconhecido nas proporções:
3
a) =
3
b) =
3
c) =
d)
3
=
57
8) Uma foto tem 3 cm de largura e 4 cm de comprimento. Se eu quiser fazer uma ampliação dela,
de forma que a largura tenha 48 cm, para que se tenha uma proporção, quanto terá de
comprimento?
Grandezas diretamente proporcionais
Exemplo: Um ônibus percorre...
•
•
•
50 km, em 1 hora.
100 km, em 2 horas.
150 km, em 3 horas.
Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando ao aumentar uma delas, a outra aumenta na
mesma razão da primeira.
Pelo exemplo, tempo e distância são
grandezas diretamente proporcionais.
Grandezas inversamente proporcionais
Exemplo: Um ônibus faz um percurso com velocidade de...
•
•
•
60 km, em 1 hora.
30 km, em 2 horas.
15 km, em 3 horas.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao aumentar uma delas, a outra diminui na
mesma razão da primeira.
Pelo exemplo, tempo e velocidade são
grandezas inversamente proporcionais.
EXERCÍCIOS
9) Uma torneira despeja 40 litros de água a cada 20 minutos. Quanto tempo levará para encher
um reservatório de 1m3?
10) Um carro percorreu uma distância em 3 horas, à velocidade média de 80 km/h. Se a velocidade
média fosse de 60 km/h, em quanto tempo o carro percorreria a mesma distância?
58
11) Com 1 lata de leite condensado, podemos fabricar 30 docinhos para festa. Quantas latas de
leite condensado são necessárias, para fabricar 240 docinhos?
12) Com 2 latas de tinta, meu pai pintou 140m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam
ser pintados com 3 latas dessa mesma tinta?
59
Caro(a) aluno(a), nesta Unidade vamos compreender o significado de uma porcentagem,
bem como aprender a reconhecer a porcentagem enquanto representação de uma fração decimal.
Além disso, vamos estudar sua representação geométrica, inclusive com representações gráficas.
Ao final deste estudo, esperamos que você possa resolver problemas do cotidiano, utilizando
as noções de porcentagem.
60
Unidade 4 – PORCENTAGEM
Reconhecimento de porcentagem como representação de uma fração
decimal
As porcentagens correspondem a frações de denominador 100 ou frações equivalentes a elas. As
porcentagens são representadas pelo símbolo %.
Exemplos:
•
Desconto de 40% – um produto que custa R$ 100,00 está sendo vendido com desconto de R$
40,00, isto é, está sendo vendido por R$ 60,00 (100 – 40 = 60), 40 em 100 ou .
•
60% dos alunos do 7º ano têm 12 anos de idade – a cada 100 alunos do 7º ano, 60 têm 12
anos de idade, 60 em 100 ou .
•
A porcentagem de água do sangue humano é de aproximadamente 83% – se tivéssemos 100
litros de sangue, 83 litros seriam de água, 83 em 100 ou .
CURIOSIDADE: Você sabia que a água é a molécula mais importante do corpo
humano, presente em maior abundância no nosso organismo? De 55 a 75% do peso
corporal de um adulto é composto de água: sangue 83%, músculos 73%, gordura
25%, ossos 22%.
(Disponível em: <http://www.cluberegatas.com.br/v2/publication.asp?publicationID=1567>. Acesso em: 23/07/2013)
EXERCÍCIOS
1) Complete a tabela:
EXPRESSÃO
COMO SE LÊ
40% são crianças.
40 por cento são crianças.
23% não votaram.
72% tiveram desconto.
55% são estudantes.
18% são professores.
27% são médicos.
44% cursam o 7º ano.
61% receberam o
pagamento.
36% pagam aluguel.
SIGNIFICADO
Em cada 100 eleitores, 23 não votaram.
Em cada 100 pessoas, 36 pagam aluguel.
GLOSSÁRIO
Molécula: é uma entidade eletricamente neutra, que possui pelo menos dois átomos, todos ligados
entre si mediante ligação covalente.
61
2) Represente as frações em forma de porcentagem e escreva como se leem essas porcentagens.
= 20% (Vinte por cento)
Exemplo:
d)
= ..........................................................
a)
= ..........................................................
e)
= ..........................................................
b)
= ..........................................................
f)
= ...........................................................
c)
= ..........................................................
g)
= ..........................................................
3) Escreva a fração correspondente, com denominador 100.
Exemplo: 8% =
a) 5% =
b) 15% =
c) 25% =
d) 95% =
e) 60% =
SE LIGA NESSA!
A porcentagem ou percentagem (do latim per centum, significando
"por cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100. É um
modo de expressar uma proporção ou a relação entre dois valores (um é a
parte e o outro é o inteiro), a partir de uma fração, cujo denominador é 100,
ou seja, é dividir um número por 100.
Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Porcentagem>. Acesso em: 23/07/2013)
Exemplos: Uma porcentagem pode ser representada por uma fração decimal, então também pode
ser representada em figuras. Observe:
a)
b)
c)
30% ou
do quadrado
grande está pintado.
25% ou
do quadrado
grande está pintado.
85% ou
do quadrado
grande está pintado.
62
Os numerais 30%, 25% e 85% são taxas de porcentagens, pois expressam a razão entre uma grandeza
e 100 elementos de seu universo.
4) Escreva a fração e a porcentagem referente à parte escura de cada figura:
a)
b)
c)
...................................
...................................
...................................
Simplificação de frações
Vamos deixar as frações na forma
irredutível, ou seja, transformar
uma fração em outra equivalente,
mas com termos menores.
Como eu faço
para simplificar
uma fração?
É fácil, Amanda! Escolhemos um
número que divida os termos da
fração ao mesmo tempo.
Exemplos:
a)
b)
!
"!
=
!"
22
#
c) ?# =
!:!
"! : !
=
F :$
:$
=!
!" : !
22 : !
#: #
?# : #
=
=
!
=?
!:!
#2 : !
=
F
!#
No exemplo (a), 12 e 42 são divisíveis
por 2, então simplificamos. Depois
temos 6 e 21, que são divisíveis por 3,
novamente simplificamos e, por fim,
!
encontramos ?, a fração irredutível!
No exemplo (b), dividimos a fração
por 2, duas vezes, até não podermos
mais simplificar. Por fim, encontramos
F
, a fração irredutível!
!#
#
No exemplo (c), dividimos ambos os termos da
fração pelo maior número que divide 15 e 75.
Isso mesmo! 15 é o M.D.C. entre 15 e 75. Por fim,
encontramos a fração irredutível!
63
GLOSSÁRIO
M.D.C.: Máximo Divisor Comum.
Falamos que a fração está na forma
irredutível, quando não dá mais para
simplificar. Agora é a sua vez! Vamos
praticar.
EXERCÍCIOS
5) Escreva as seguintes porcentagens na forma de fração irredutível:
Exemplo: 25% =
:
:
=
=
:
:
=
ou diretamente
:
:
=
a) 10%
b) 20%
c) 30%
d) 40%
e) 50%
f)
75%
g) 83%
h) 95%
6) Escreva as seguintes frações na forma de
porcentagem:
Exemplo 1:
Exemplo 2:
a)
=
b)
=
c)
=
d)
=
e)
=
=
=
=
:
:
= 75%
=
=
Atenção: observe
o exemplo, para
depois resolver o
exercício.
= 24%
Vamos multiplicar ou dividir
ambos os termos da fração,
pelo número que tornar o
denominador da fração igual a
cem.
64
f)
=
Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados
Observe os
exemplos!
Como calcular a porcentagem
de um número?
Exemplo 1: dos 550 alunos da escola onde estudo, 60% são meninas. Quantas meninas estudam na
minha escola?
F2
F2 : 2
F :!
$
Resposta: Vimos que 60% = 22 = 22 : 2 = 2 : ! = #.
Então, temos que calcular 60% de 550, que é o mesmo que calcular
$
#
$
#
.F#2
#
$
#
de 550.
de 550 = x 550 =
= 330.
60% de 550 = 330, isto é, dos 550 alunos da escola, 330 são meninas.
Note que chamamos x de
☺. Só para descontrair!
Exemplo 2: Na gincana da escola, Larissa fez 36 pontos, que
correspondem a 30% dos pontos do seu grupo. Quantos pontos
fez o grupo de Larissa?
Resposta: 30% de ☺ = 36.
$2
$2 : 2
$
$
$
30% = 22 = 22 : 2 = 2, então 2 de ☺ = 36, daí fazemos 2 ☺ = 36
3 ☺ = 36 10
3 ☺ = 360
O grupo da Larissa fez 120 pontos.
☺=
$F2
$
☺ = 120.
Exemplo 3: Franklin gastou 80% do dinheiro que tinha em uma viagem e ainda ficou com R$ 6,40.
Qual a quantia que Franklin levou na viagem?
Franklin gastou 80% do que tinha e sobrou R$ 6,40, que é 20% do total, sendo assim:
!2
20% =
= , do total é igual a 6,40
x = 6,40
x = 6,40 5
x = 32.
22 # #
#
Franklin levou R$ 32,00 para a viagem.
EXERCÍCIOS
7) Usando o que você aprendeu sobre porcentagem, calcule:
a) 17% de R$ 540,00.
b) b) 30% de R$ 1.200,00.
c) 15% de R$ 450,00.
d) 72% de R$ 1.800,00.
65
8) 40% dos 450 alunos da escola onde estudo, moram no mesmo bairro que eu. Quantos alunos
que estudam na minha escola, moram no meu bairro?
9) Em uma classe com 32 alunos, apenas 25% compareceu à prova de Matemática. Quantos alunos
compareceram à prova de Matemática?
10) A loja em que mais gosto de comprar roupas está dando 60% de desconto nas compras. Se eu
comprar um tênis no valor de R$ 120,00, de quanto será o desconto? Quanto vou pagar pelo tênis?
11) Os alunos da minha turma fizeram uma pesquisa com 100 pessoas, que mandaram instalar em
suas casas, os canais de televisão mais assistidos por elas. Observe o gráfico e responda:
a) Qual é o percentual dos telespectadores do canal A?
b) Qual é o percentual dos telespectadores do canal B?
c) Qual é o percentual dos telespectadores do canal C?
d) Qual é o percentual dos telespectadores do canal D?
e) Qual é o percentual dos telespectadores do canal E?
f) Qual é o percentual dos telespectadores do canal F?
12) O ingresso do cinema custa R$ 18,00. Como estudante, tenho 50% de desconto. Quanto vou
pagar pelo ingresso?
13) A bicicleta que quero comprar custa R$ 200,00. Se eu pagar à vista, tenho 20% de desconto.
Quanto vai custar a bicicleta, se eu obtiver o desconto?
14) No último sábado, houve uma campanha de vacinação de cães e gatos. Na rua onde moro, 32
animais foram vacinados. Observe o gráfico e responda:
66
VACINAÇÃO DE CÃES E GATOS
20
15
10
5
0
Raça não
definida
Pequinês
Rottweiler
Gatos
a) Qual é a porcentagem de cães vacinados?
b) Qual é a porcentagem de gatos vacinados?
15) Mateus tinha R$ 40,00 e gastou 20% na padaria. Quanto lhe restou?
16) Lívia gastou 70% do que tinha em um passeio e ainda ficou com R$ 6,00. Qual era a quantia
que Lívia tinha, antes de ir ao passeio?
17) Letícia comprou um vestido que custou R$ 52,00 e ainda ficou com R$ 28,00. Quantos por
cento corresponde à quantia que sobrou?
18) Nas férias, minha família fez uma viagem de 480 km. Minha irmã caçula dormiu durante 20%
do percurso. Quantos quilômetros do percurso foram percorridos, enquanto ela dormia?
19) Meu pai é pedreiro e ganhou R$ 60,00 por um serviço. Ele deu 30% do que ganhou para minha
avó. Com quanto meu pai ficou?
20) Durante uma pesquisa, 100 moradores de um bairro foram entrevistados. As músicas mais
ouvidas por eles estão representadas no gráfico abaixo. Observe o percentual no gráfico e
responda:
a) Quantas pessoas ouvem Música Sertaneja?
b) Quantas pessoas ouvem Samba?
c) Quantas pessoas ouvem Rock?
67
d) Quantas pessoas ouvem Pagode?
e) Quantas pessoas ouvem Música Evangélica?
f)
Lembre-se de que
100% são todos os
elementos
considerados no
problema!
Quantas pessoas ouvem Funk?
21) Minha mãe quer comprar um fogão e um sofá. Uma loja está oferecendo os seguintes
descontos:
Por quanto estão sendo vendidas essas mercadorias?
68
Caro(a) aluno(a), nesta Unidade vamos aprender a calcular o perímetro de algumas figuras
planas, tais como: triângulo, quadrado, retângulo e losango. Vamos aprender, também, a calcular a
área dessas figuras.
Esperamos que, ao final deste estudo, você seja capaz de resolver problemas da vida prática,
que envolvam o cálculo do perímetro e o cálculo ou estimativa de área de figuras planas.
69
Unidade 5 – ÁREA E PERÍMETRO
Perímetro
Para medir um comprimento,
o comparamos com outro
comprimento.
Para isso,
podemos usar a régua, a fita
métrica, o metro articulado
(aquele
usado
pelos
pedreiros) ou a trena.
No passeio que minha turma fez, os alunos queriam jogar futebol na areia,
mas não tinham uma fita métrica para medir onde a baliza ficaria. Além
disso, a distância do centro do campo até a baliza deveria ter o mesmo
comprimento para os dois times, então mediram com passos. Foi a solução!
A unidade de medida de comprimento padrão é o metro (m), mas utilizamos bastante o centímetro
(cm), o milímetro (mm) e o quilômetro (km). O quilômetro é usado para medir grandes distâncias,
como estradas, por exemplo.
Agora nós vamos resolver
alguns problemas que
envolvem perímetro. Você
sabe o que é perímetro e
como ele é calculado?
CURIOSIDADE: A elevação mínima do nível do mar prevista para este século é de 0,9 m, ou
seja, 90 cm. Motivada pelo derretimento da calota do Ártico, ela pode chegar a 1,6 m (160
cm).
(Fonte: Veja. Editora Abril, 11/5/2011, p. 59)
GLOSSÁRIO
Grandeza: é tudo o que pode ser medido ou contado, como comprimento, área, tempo, quantias em
dinheiro, velocidade etc.
(Fonte: ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando Matemática. 7º ano. 3. ed. São Paulo: Editora do Brasil, 2012)
O perímetro é a medida do contorno de uma figura. Para calcular o perímetro de um polígono, basta
somar as medidas de seus lados.
4 cm
Perímetro deste retângulo = 6 cm + 6 cm + 4 cm + 4 cm = 20 cm
6 cm
70
EXERCÍCIOS
1) Na cidade onde Thaís nasceu há praças com formatos diferentes (um losango, um retângulo, um
quadrado e triângulos), duas com o mesmo perímetro. Observe as figuras abaixo e descubra quais
são as praças que têm perímetros iguais:
4m
52,3 m
a)
b)
c)
31,4 m
d)
5m
5m
e)
8m
6m
8m
9m
2) Calcule o perímetro dos quadrados, cujos lados medem:
a) 6 m: ..................................................................................
b) 2,3 cm: .............................................................................
c) 4,5 cm:..............................................................................
d) 7,1 km:..............................................................................
e) 15 m:.................................................................................
Não se esqueça
de que o
quadrado tem
os 4 lados com
medidas iguais.
3) Calcule o perímetro dos retângulos, com as seguintes dimensões:
O retângulo tem 4
lados, com 2
medidas
diferentes: cada
dois lados têm
medidas iguais
entre si.
a) 3 cm de largura e 5,7 cm de comprimento:
........................................................................................
b) 12 m de largura e 28 m de comprimento:
........................................................................................
c) 11 cm de largura e 23 cm de comprimento:
........................................................................................
4) Calcule o perímetro dos losangos, com as seguintes dimensões:
a) 4 cm de lado: ........................................................................................................................................
b) 7 cm de lado: ........................................................................................................................................
71
c) 2 m de lado: ..........................................................................................................................................
d) 10 cm de lado: ......................................................................................................................................
e) 12 cm de lado: ......................................................................................................................................
5) Calcule o perímetro dos triângulos, com as seguintes dimensões:
a) 4 m, 4 m, 4 m: .......................................................................................................................................
b) 2 m, 3 m, 3 m: .......................................................................................................................................
c) 3 cm, 4 cm , 5 cm: .................................................................................................................................
d) 7 m, 8 m, 9 m: .......................................................................................................................................
e) 15 cm, 12 cm, 12 cm: ............................................................................................................................
Exemplo: O perímetro de um retângulo mede 82 cm. Quais são suas medidas, sabendo-se que seu
comprimento tem 6 cm a mais que sua largura?
Largura: x
Comprimento: x + 6
Equação: x + x + (x + 6) + (x + 6) = 82
Resolvendo a equação:
x + x + (x + 6) + (x + 6) = 82
x + x + x + 6 + x + 6 = 82
4x + 12 = 82
4x = 82 – 12
4x = 70
x=
x = 17,5
S = { 17,5 }
Resposta: largura = 17,5 cm e comprimento= 23,5 cm.
6) O perímetro de um retângulo mede 116 cm. Quais são suas medidas, sabendo-se que seu
comprimento tem 8 cm a mais que sua largura?
7) O perímetro de um quadrado mede 132 cm. Quanto mede o lado desse quadrado?
Área do quadrado, retângulo e losango
A área de uma figura plana é a medida da região delimitada por ela. Quando medimos superfícies,
como um terreno, uma parede, o piso de uma sala de aula ou uma folha de papel, obtemos um
número, que é a sua área.
72
Área é um número, maior ou igual à zero, que representa a medida de uma superfície.
Para medir uma
superfície, escolhemos
uma unidade de
medida, cuja área é 1 e
a comparamos com a
superfície a ser medida.
Exemplos:
Unidade de área.
No retângulo ao lado cabem 18 unidades de área, ou melhor, a área da região
retangular é igual a 18 unidades de área.
A figura é medida pelo
número de quadrados de
lado 1, unidade quadrada,
que
podem
cobrir
completamente a figura.
Usando o quadrado u como unidade de
medida de área, para medir a figura A,
vemos que 14 quadrados cobrem
perfeitamente a figura A. O restante da
figura pode ser coberta cortando mais
2 quadrados, assim, a área da figura A é
igual a 16 unidades de área.
Para medidas de comprimento,
utilizamos o metro (m) e para
medidas de área, utilizamos o metro
quadrado (m2), que é a área de um
quadrado que possui 1 m de lado.
EXERCÍCIOS
8) Sabendo que
representa a unidade de área, calcule a área das seguintes figuras abaixo:
73
a)
b)
...... unidades de área.
c)
...... unidades de área.
d)
...... unidades de área. ..................................
A unidade padrão das medidas de superfície é o metro quadrado (m2), mas para medirmos áreas
muito extensas, utilizamos bastante o quilômetro quadrado (km²).
Utilizamos as medidas de área quando precisamos saber qual é o tamanho de um terreno, para
calcularmos a quantidade de piso ou revestimento de parede em um cômodo ou até para sabermos
qual é a superfície de uma cidade.
Área do Retângulo
SE LIGA NESSA!
Um retângulo é um paralelogramo, cujos lados formam ângulos retos
entre si e que, por isso, possui dois lados paralelos verticalmente e os outros dois, paralelos horizontalmente. Pode-se considerar o quadrado como
um caso particular de um retângulo, em que todos os lados têm o mesmo
comprimento.
(Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013)
A área do retângulo ou de uma região retangular de comprimento b e largura h é dada por:
h
Em cada retângulo abaixo,
calcule a quantidade de
quadradinhos e expresse
essa quantidade por meio
de uma multiplicação.
Área retângulo = b x h
b
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
74
a) Área = 5 x 6
= 30 unidades
de área.
b) Área = 3 x 5
= 15 unidades
de área.
c) Área = 6 x 3
= 18 unidades
de área.
d) Área = 9 x 4
= 36 unidades
de área.
Ao contar os quadradinhos, estamos calculando a área do retângulo. Se cada quadradinho tiver área
de 1 m2, a área encontrada estará em metro quadrado (m2). Outra maneira de calcular essa área é
realizando uma multiplicação. Se um retângulo possui dimensões não conhecidas: b (base ou
comprimento) e h (altura ou largura), então podemos representar essa área (A) por b x h.
h
Área retângulo = b x h
b
h
b
Exemplo: Qual é a área de um terreno retangular, cujas medidas são 15 m x 20 m?
Resposta: A = b x h = 15 m x 20 m = 300 m2.
CURIOSIDADE: A representação h para altura vem da palavra height,
que significa altura em inglês.
(Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 23/07/2013)
EXERCÍCIOS
9) Um terreno tem forma retangular, cujas medidas são 20 m x 30 m. Qual é a área do terreno?
10) Uma folha de papel A4 mede 21 cm por 29,7 cm. O texto está sendo escrito em uma área de 16
cm por 24,7. Qual é a área ocupada pelo texto?
11) Calcule a área de cada praça:
52,3 m
61 m
a)
b)
31,4 m
40 m
75
Área do Quadrado
SE LIGA NESSA!
O quadrado é um quadrilátero regular, ou seja, uma figura
geométrica com quatro lados de mesmo comprimento e quatro
ângulos retos (900). Todo quadrado é também um retângulo e um
losango.
(Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013)
A área do quadrado ou de uma região quadrada de lado l é dada por:
Área quadrado = l x l = l 2
l
l é a medida
do lado de um
quadrado.
l
Exemplos:
a)
b)
c)
Área = 6 x 6
= 36 unidades
de área.
Área = 5 x 5
= 25 unidades
de área.
Área = 3 x 3
= 9 unidades
de área.
d)
Área = 4 x 4
= 16 unidades
de área.
Quando contamos os quadradinhos, estamos calculando a área do quadrado, se cada quadradinho
tiver área de 1 m2 a área encontrada estará também em metro quadrado (m2). Outra maneira de
calcular essa área é realizando uma multiplicação. Se um quadrado possui dimensões não conhecidas
l (lado), então podemos representar essa área (A) por l x l = l 2.
Exemplo 1: Qual é a área de um terreno quadrado, cujo lado mede 30 m?
Resposta: A = l x l = 30 m x 30 m = 900 m2.
Exemplo 2: Sabendo que o quadrado pequeno tem 20 m de lado, qual é a área da parte escura da
figura?
Resposta:
30 m
Área do quadrado grande – área do quadrado pequeno.
Área do quadrado grande = 30 m x 30 m = 900 m2.
Área do quadrado pequeno = 20 m x 20 m = 400 m2.
900 m2 – 400 m2 = 500 m2
76
GLOSSÁRIO
Polígono: figura geométrica fechada, formada por segmentos de retas.
Quadrilátero regular: é um polígono de quatro lados e ângulos com a mesma medida.
(Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013)
EXERCÍCIOS
12) Um terreno tem forma quadrada, de lado 20 m. Qual é a área do terreno?
13) Um terreno tem forma quadrada, de lado 21,7 m. Qual é a área do terreno?
14) Calcule a área de cada praça:
35 m
42,5 m
a)
b)
Área do Losango
SE LIGA NESSA!
O losango é um quadrilátero, é um polígono formado por quatro
lados de igual comprimento. Um losango é também um paralelogramo.
Todo quadrado é também um losango.
(Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013)
Estamos chamando as
diagonais do losango
de d1 e d2.
A área do losango é dada por:
Área losango =
3
Observe pela figura, que a
área desse losango é igual à
metade da área do retângulo
de lados d1 e d2.
77
Exemplo: Na rua onde moro existe um canteiro, em forma de losango, cujas diagonais medem 4,20m
e 2,30 m. Qual é a área, em m2, ocupada por esse canteiro?
Resposta: A =
3
=
,
3 ,
=
,
m2 = 4,83 m2.
GLOSSÁRIO
Paralelogramo: é um polígono de quatro lados (quadrilátero), cujos lados opostos são iguais
e paralelos. Por consequência, tem ângulos opostos iguais. O quadrado, o retângulo e o losango são
paralelogramos.
(Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013)
EXERCÍCIOS
15) No bairro onde moro existe um canteiro, em forma de losango, cujas diagonais medem 5,30 m
e 2,40 m. Qual é a área, em m2, ocupada por esse canteiro?
16) Calcule a área referente à parte escura da figura abaixo, sabendo que o retângulo tem 4 m de
largura e 8 m de comprimento.
17) Calcule a área de cada praça, sabendo que na letra (a) o lado mede 15 m e na letra (b), a
diagonal menor mede 10 m e a maior mede o dobro da medida da menor.
a)
b)
18) (→
→) Sabendo que 1 cm2 é a área equivalente à uma região quadrada de lado 1 cm, calcule a área
ocupada pelo nome abaixo, tendo como unidade o centímetro quadrado (cm2). Cada
representa 1
2
cm .
78
Agora é a sua vez! Escreva o seu nome ou apelido e calcule a área ocupada por ele.
79
80
AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA - 7º ANO.
ALUNO(A): _________________________________________________ DATA: __________________
1) Complete a reta numerada, com os números que estão faltando:
2) Faça as operações bancárias e dê os resultados:
Crédito de R$ 15,00 mais débito de R$ 30,00 –> Resultado: .........................................
3) Observe no gráfico a quantidade de pontos obtidos por cada jogador. Em seguida, calcule a média
aritmética do total de pontos de todos os jogadores.
Resultado do Jogo
35
30
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
Amanda
Lucas
Gabriel
Thaís
4) Um vendedor ganhou R$ 50,00 e teve uma dívida de R$ 15,00 perdoada. Quantos reais ele
ganhou?
5) Valéria tinha um saldo bancário de R$ 450,00. Ela emitiu três cheques, cada um no valor de R$
155,00. Qual é o novo saldo bancário de Valéria? Este saldo é positivo ou negativo?
6) Meu pai separou R$ 72,00 do seu pagamento, para dividir igualmente entre os seis filhos.
Quantos reais eu recebi?
7) Minha tia fez um bolo e o dividiu em 5 partes iguais. Separou 2 partes para sua família e deixou o
restante para a minha família. Qual é a fração que representa a parte que ficou para a minha família
comer? E qual foi a parte que ficou para a família da minha tia?
81
8) O dobro de um número, somado com 9 é igual a 45. Que número é esse?
9) Uma balança está em equilíbrio. Em um prato estão dois melões mais 4 kg, no outro, um melão
mais 12 kg. Qual é o peso de cada melão?
10) A prova de Matemática tinha 12 questões e eu acertei 8. Qual é a razão do número de questões
que eu acertei, para o número total de questões?
11) Uma foto tem 3 cm de largura e 4 cm de comprimento. Se eu quiser fazer uma ampliação dela,
de forma que a largura tenha 36 cm, para que se tenha uma proporção, quanto ela terá de
comprimento?
12) Com 1 lata de leite condensado, podemos fabricar 30 docinhos para festa. Quantas latas de leite
condensado são necessárias, para fabricar 480 docinhos?
13) Usando o que você aprendeu sobre porcentagem, calcule quanto é 30% de R$ 1.500,00.
14) A loja em que mais gosto de comprar roupas está dando 70% de desconto nas compras. Se eu
comprar uma calça no valor de R$ 90,00, de quanto será o desconto? Quanto vou pagar pela calça?
15) O perímetro de um retângulo mede 132 cm. Quais são as suas medidas, sabendo-se que seu
comprimento tem 8 cm a mais que sua largura?
16) Um terreno tem forma retangular, cujas medidas são 12 m x 20 m. Qual é a área desse terreno?
17) Uma praça tem forma quadrada, com lado de 22 m. Qual é a área da praça?
22 m
18) Calcule a área da parte escura da figura, sabendo que o retângulo tem 5 m de largura e 12 m de
comprimento.
82
19) Represente a fração
em número decimal.
20) Represente o número decimal 0,35 em forma de fração.
83
84
GABARITO DAS ATIVIDADES
Unidade 1
Exercício 1
a) – 90 C b) + 30 C c) + 150 C
d) – 100 C
Exercício 2
a) + R$ 300,00
b) – R$ 45,00
c) – R$ 90,00
d) + R$ 70,00
e) – R$ 150,00
f) 0
g) + R$ 120,00
h) – R$ 55,00
i) + R$ 48,00
Exercício 3
a) Nova York e Paris b)Rio de Janeiro
c) Nova York
Exercício 4
a) – 5, – 2 e 3
b) – 4, – 1, 2 e 5
c) – 5, – 3, 1 e 4
Exercício 5
A= – 1, B= 2, C= – 4, D= 4.
Exercício 6
a) + 6 b) – 6 c) 1
d) + 4 e) – 8 f) – 1
Exercício 7
a) + 15
b) + 50
c) + 14
85
d) 0
e) – 6
Exercício 8
a) Ter 10 (+ 10)
b) Dever 6 (– 6)
c) Ter 8 (+ 8)
d) Não ter nada (0)
Exercício 9
a) – 10
b) + 25
c) – 150
d) + 1.300
Exercício 10
a) simétrico
b) oposto, – 15
c) oposto
d) o próprio zero
Exercício 11
a) Prejuízo de R$ 35,00.
b) Crédito de R$ 50,00.
c) 50 C acima de zero.
d) 30 metros abaixo do nível do mar.
e) Prejuízo de R$ 20,00.
f) Depósito de R$ 45,00.
Exercício 12
a) + 10
b) + 13
c) + 20
d) + 11
Exercício 13
a) Crédito de R$ 35,00
b) Débito de R$ 70,00
c) Crédito de R$ 85,00
d) Débito de R$ 41,00
86
e) Crédito de R$ 27,00
f) Débito de R$ 72,00
Exercício 14
a) + 1
b) + 6
c) + 2
d) 0
Exercício 15
12,12
Exercício 16
a) Crédito de R$ 10,00
b) Débito de R$ 18,00
c) Débito de R$ 18,00
d) Crédito de R$ 3,00
e) Crédito de R$ 5,00
f) Crédito de R$ 25,00
Exercício 17
R$ 850,00. Positivo.
Exercício 18
240C. Fará mais frio ou menos calor.
Exercício 19
EQUIPES
GOLS MARCADOS GOLS SOFRIDOS SALDO DE GOLS
BOTAFOGO
+ 20
– 15
–5
FLAMENGO
+ 25
– 18
+7
FLUMINENSE
+ 19
– 19
0
VASCO
+ 15
– 18
–3
TOTAL
+ 79
– 70
Exercício 20
+ R$ 205,00. Positivo.
87
Exercício 21
a) 19/07/2013
b) 23/07/2013
d) 23/07/2013
e) 19/07/2013
c) 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 29
Exercício 22
a) – 70
b) + 185
Exercício 23
Amanda – 10, Thaís 15, Lucas 25, Gabriel 30.
Exercício 24
a) 40 e – 33
b) 42 e – 75
c) 10 e – 10
d) 201 e – 54
e) – 75 e 17
Exercício 25
a) – 7, – 7
b) – 15, – 15
c) + 6, + 6
d) + 3, + 3
e) oposto
Exercício 26
a) – 2
b) – 24
c) + 16
d) – 23
e) + 37
f) + 45
Exercício 27
a) 4, 1
88
b) 13, 13, tenho, não tenho nada
c) 7, 3, 10
d) 14, 18, 4
e) 30, 10, 20
f) 2, devo, 5
Exercício 28
a) 8
b) 4
c) 0
d) 3
e) – 4
f) 50
g) – 23
h) 30
i) 30
j) 40
k) – 12
Exercício 29
a) – 3
b) – 11
c) – 10
d) – 9
e) – 11
f) 7
g) 18
h) 95
Exercício 30
R$ 44,00
Exercício 31
70 C
89
Exercício 32
– 20 C
Exercício 33
@=0
– 3, 3
– 2, – 1, 4
Exercício 34
TIME
Flamengo
Vasco
Fluminense
Botafogo
GOLS
MARCADOS
25
12
6
11
GOLS
SOFRIDOS
15
17
7
11
SALDO DE
GOLS
10
–5
–1
0
a) saldo de gols
b) 25 – 15 = 10
c) 15
d) – 5
e) 6
f) 11
Exercício 35
c
Exercício 36
39 graus
Exercício 37
47 – (– 35) = 47 + 35 = 82 Resposta: 82 anos.
Exercício 38
c
90
Exercício 39
a) 1
b) 3
c) – 5
d) 5
e) 2
f) 34
g) – 21
h) 80
i) 260
j) 40
k) – 40
Exercício 40
a) Quarta-feira = 12 graus / Quinta-feira = 15 graus / Sexta-feira = 15 graus / Sábado = 13 graus /
Domingo = 8 graus.
b) Quarta-feira.
c) Quinta-feira e sexta-feira.
d) Domingo.
Exercício 41
a) 15 – (8 – 7) + (9 – 4) =
15 – 1 + 5 = 19
b) 12 – {– 3 + [1 + (+ 2 – 9) – 8] + 5} =
12 – {– 3 + [1 – 7 – 8] + 5} =
12 – {– 3 + [– 14] + 5} =
12 – {– 3 –14 + 5} =
12 – {– 12} =
12 + 12 = 24
Exercício 42
(12 – 8) + (16 – 10) + (16 – 12) + (17 – 11) + (18 – 9) = 4 + 6 + 4 + 6 + 9 = 29
Exercício 43
a) +
b) –
91
c) +
d) –
e) +
f) +
g) –
h) –
i) +
j) +
k) –
l) +
m) +
n) –
Exercício 44
a) 56
b) 56
c) – 56
d) – 56
e) – 5
f) 16
g) 24
h) – 45
i) – 32
j) – 81
k) – 42
l) 0
Exercício 45
( . ) – 10
0
0
+ 4 – 40
+ 5 – 50
+ 6 – 60
+7
– 70
+ 8 – 80
+ 9 – 90
+ 10 – 100
–8
0
– 32
– 40
– 48
– 56
– 64
– 72
– 80
–6
0
– 24
– 30
– 36
– 42
– 48
– 54
– 60
–4
0
– 16
– 20
– 24
– 28
– 32
– 36
– 40
–2
0
–8
– 10
– 12
– 14
– 16
– 18
– 20
0 +1 +3 +5 +7 +9
0
0
0
0
0
0
0
4
+ 12 20
28 + 36
0
5
15
25 + 35 45
0
6
18
30
42
54
0
7
21
35
49
63
0
8
24 + 40 56
72
0
9
27
45
63
81
0 + 10 30
50
70
90
92
Exercício 46
a) – 15
d) 5
g) 6
b) – 4
e) 90
h) 0
c) – 20
f) 71
i) 0
Exercício 47
a) – 1
d) – 12
g) 60
b) 8
e) 11
h) – 27
c) 20
f) – 37
i) 37
Exercício 48
a) ( 6 ) . ( 6 ) = 36
d) ( – 6 ) . ( – 6 ) = 36
b) ( 6 ) . ( – 6 ) = – 36
e) ( – 12 ) . ( – 6 ) = 72
c) ( – 6) . ( 6) = – 36
f) ( – 12 ) . ( 6 ) = – 72
Exercício 49
a) – 20
b) – 54
c) – 40 – 126 = – 166
d) – 48
e) – 128
f) 7
Exercício 50
– 5, – 15, – 45, – 135, – 405.
Exercício 51
– R$ 100,00
Exercício 52
(– 10 e 5)
Exercício 53
a) 3
b) 8
93
c) 3
d) 6
e) 9
f)
– 54
g) 2
h) 4
i)
–5
j)
–1
k) – 9
l)
–2
Exercício 54
1º número
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+6
+7
2º número
–3
–2
+3
–5
+4
–1
–2
–1
+5
+3
+4
+3
–1
+2
–5
3º número
–5
–4
+2
–3
–5
+5
+5
–2
+4
+5
–4
–4
+3
–2
+2
Soma
– 15
– 12
0
– 12
–4
2
2
–3
10
+ 10
3
3
7
6
4
Produto
– 105
– 48
– 30
– 60
60
10
10
2
20
+ 30
– 48
– 16
– 15
– 24
– 70
Exercício 55
a) ( – 16 ) : ( – 2 ) =
( g )–6
b) ( + 28 ) : ( – 4 ) =
( c ) – 20
c) ( – 40 ) : ( + 2 ) =
( b )–7
d) ( + 24 ) : ( + 4 ) =
( h ) + 18
e) ( + 45 ) : ( – 5 ) =
( d )+6
f) ( – 27 ) : ( – 3 ) =
( e )–9
g) ( – 42 ) : ( + 7 ) =
( f )+9
h) ( – 36 ) : ( – 2 ) =
( a )+8
94
Exercício 56
a) 15
b) – 25
c) 20
d) – 20
e) 20
f)
– 20
g) – 9
h) 9
i)
9
j)
– 20
Exercício 57
(8)
Exercício 58
(6)
Exercício 59
Não. São frações.
– 100 + 80 – 60
50
– 40 30
25
– 20 15
– 10
– 10
– 50
40 – 30
– 25
20 – 15
+ 10
10
+ 48
– 24
– 12
8
–6
24
12
–8
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(:)
–2
–4
+6
–8
+2
+4
–6
+8
+ 24
– 12
–6
4
–3
12
6
–4
3
– 36 + 42 + 64
18 – 21 – 32
9
– 16
–6
7
Erro – 8
– 18 21 + 42
–9
16
9
–7
Erro 8
– 72
36
– 12
9
– 36
12
–9
Exercício 60
a) R$ 25,00
b) R$ 6,00
c) R$ 50,00
d) R$ 2,00
95
e) R$ 4,00
f) R$ 6,00
g) R$ 25,00
Exercício 61
a
b Q U O C
e I N T
f
M U L T
I P
L
c
D
Í
d
D
I
V
E
I
R
O
I
C
A
Ç
g
Z
E
R
D
I
V
I
S
Ã
O
I
V
I
S
O R
E
N T
E
I
D
A
D
E
N D O
O
Exercício 62
9
Exercício 63
a) 9,3
b) – 2,6
c) Terça e quinta (–3)
d) Quinta 11 graus
Exercício 64
x
y
z
x.y x.z
+6
–6
+6
–6
–3
+3
–3
+3
+2
+2
–2
–2
– 18
– 18
– 18
– 18
+ 12
– 12
– 12
+ 12
y.z
–6
+6
+6
–6
x:y x:z
+2
–2
–2
+2
+3
–3
–3
+3
(x . y) : z
(x . z) : y
(y . z) : x
–9
–9
(– 18) : (– 2) = + 9
+9
(+ 12) : (– 3) = – 4
–4
+4
+4
–1
(+6) : (– 6) = – 1
+1
+1
Exercício 65
a)
b)
c)
Exercício 66
a) 0,4
b) 0,5
c) 0,5
d) 0,75
96
Exercício 67
a) 3/10
b) 2/5
c) 1/2
d) 21/50
e) 53/100
f) 3/4
g) 25/4
h) 224/100 = 112/50 = 56/25
i) 0,625 = 625/1.000 = 5/8
Exercício 68
1/2 = 0,5
Exercício 69
1/4 + 2/5 + 3/4 = 28/20 = 14/10
Exercício 70
a)
b)
c)
Exercício 71
3/4 e 3/4
Exercício 72
a) 6/35
b) 12/45
c) – 11/24
d) 1/7
Exercício 73
a) 9,2
b) 4,05
c) 14,7654
d) 17,09848
Exercício 74
(.)
1,1
2,21
2,3
2,53
5,083
1,32
1,452
2,9172
3,421
3,7631
7,56041
4,1231
4,53541
9,112051
97
3,32
4,012
7,636
9,2276
4,3824
5,29584
11,35772
13,725052
13,688692
16,5418772
Exercício 75
a) – 32/21
b) 63/10
c) 45/28
d) 1/12
Exercício 76
( : )
–3
–2
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
+2
– 0,6
–1
–2
Não
pode!
+2
+1
0,6
0,5
= 0,4
–2
+ 0,6
+1
+2
Não
pode!
–2
–1
– 0,6
= – 0,5
– 0,4
Unidade 2
Exercício 1
Linguagem Comum
O dobro de um número é igual a oito.
Linguagem Matemática
2x = 8
O triplo de um número é igual a vinte e quatro.
3x = 24
O triplo de um número mais três unidades é igual a dezoito.
3x + 3 = 18
O triplo de um número é igual a 48.
3x = 48
Cinquenta por cento de um número.
#2
x
22
ou
de x
Exercício 2
x = 34
Exercício 3
x = 16
Exercício 4
x = 18
Exercício 5
x = 18
98
Exercício 6
x = 22
Exercício 7
x = 28
Exercício 8
x = 12
Exercício 9
a) x = 8
b) x = 36
c) x = 10
d) x = 14
e) x = 20
f) x = 30
b) x = 21
c) x = 20
d) x = 15
e) x = – 12
b) x = 23/6
c) x = 9
Exercício 10
a) x = 18
Exercício 11
a) x = 5/3
d) x = 9
e) x = 13/6
f) x = 8/21
Exercício 12
x = 70
Exercício 13
x = 7,5
Resposta: 7 anos e meio ou 7 anos e seis meses.
Exercício 14
x=6
Resposta: Cada jaca pesa 6kg.
Exercício 15
x = 60
Resposta: O número é 60 e seu sucessor 61.
Exercício 16
x = 18
Resposta: Os números são 18, 19 e 20.
99
Exercício 17
x = 19
Resposta: 19 vagas para motos e 95 vagas para carros.
5 x 19 = 95
Exercício 18
a), b), d), e), j) -> (E)
c), f), g), h), i), k), l) -> (I)
Unidade 3
Exercício 1
a) 6/11
b) 1/5
c) 5/9
d) 4/5
e) 19/6
f) 3/7
Exercício 2
a) 9/12 = 3/4
b) 3/12 = 1/4
Exercício 3
1, 70/1, 10 = 1, 7/1, 1= 17/11.
Exercício 4
a) 1/12
b) 1/7
c) 6/30 = 1/5
d) 5/12
e) 50/420 = 5/42
c) 150/50 = 3
d) 50/150 = 1/3
Exercício 5
a) 150/200 = 15/20 = 3/4
b) 200/150 = 4/3
Exercício 6
a) 4 m x 3,6 m
b) 4 m x 4,8 m
c) 2,8 m x 2,8 m
d) 2 m x 1,2 m
Exercício 7
a) x = 7
b) x = 1
c) x = 3
d) x = 8
Exercício 8
x = 64
100
Exercício 9
x = 500 min
Resposta: 8h e 20 min.
Exercício 10
x=4
Resposta: 4h.
Exercício 11
x=8
Resposta: 8 latas.
Exercício 12
Resposta: 210 m2
x = 210
Unidade 4
Exercício 1
EXPRESSÃO
40% são crianças.
23% não votaram.
72% tiveram desconto.
COMO SE LÊ
40 por cento são crianças.
23 por cento não votaram.
72 por cento tiveram desconto.
55% são estudantes.
18% são professores.
55 por cento são estudantes.
18 por cento são professores.
27% são médicos.
44% cursam o 7º ano.
61% receberam o
pagamento.
36% pagam aluguel.
27 por cento são médicos.
44 por cento cursam o 7º ano.
61 por cento receberam o
pagamento.
36 por cento pagam aluguel.
SIGNIFICADO
Em cada 100 pessoas, 40 são crianças.
Em cada 100 eleitores, 23 não votaram.
Em cada 100 consumidores, 72 tiveram
desconto.
Em cada 100 pessoas, 55 são estudantes.
Em cada 100 profissionais, 18 são
professores.
Em cada 100 profissionais, 27 são médicos.
Em cada 100 alunos, 44 cursam o 7º ano.
Em cada 100 funcionários, 61 receberam o
pagamento.
Em cada 100 pessoas, 36 pagam aluguel.
Exercício 2
a) 2%
b) 5%
c) 10%
d) 30%
e) 50%
f) 70%
g) 100%
Exercício 3
a) 5/100
b) 15/100
c) 25/100
d) 95/100
e) 60/100
Exercício 4
a) 36/100 = 36%
b) 60/100 = 60%
c) 36/100 = 36%
101
Exercício 5
a) 1/10
b) 1/5
c) 3/10
d) 2/5
e) 1/2
f) 3/4
g) 83/100
h) 19/20
Exercício 6
a) 50%
b) 25%
c) 80%
d) 8%
b) 360
c) 67,5
d) 1.296
e) 18%
f) 18%
Exercício 7
a) 91,8
Exercício 8
180 alunos.
Exercício 9
8 alunos.
Exercício 10
72 reais. / 48 reais.
Exercício 11
a) 25%
b) 50%
c) 5%
d) 3%
e) 2%
f) 15%
Exercício 12
R$ 9,00.
Exercício 13
R$ 160,00.
Exercício 14
a) 24/32 = 75%
b) 8/32 = 25%
Exercício 15
R$ 32,00.
102
Exercício 16
R$ 20,00.
Exercício 17
35%
Exercício 18
96 km
Exercício 19
R$ 42,00.
Exercício 20
a) 6
b) 12
c) 14
d) 18
e) 23
f) 27
Exercício 21
Sofá por R$ 630,00 e fogão por R$ 210,00.
Unidade 5
Exercício 1
a) 4 m
b) 167,4 m
c) 16 m
d) 16 m
e) 25 m
Resposta: As figuras (c) e (d) possuem perímetros iguais.
Exercício 2
a) 24 m
b) 9,2 m
c) 18 m
d) 28,4 m
e) 60 m
Exercício 3
a) 17,4 cm
b) 80 m
c) 68 cm
Exercício 4
a) 16 cm
b) 28 cm
c) 8 m
b) 8 m
c) 12 cm
d) 40 cm
e) 48 cm
Exercício 5
a) 12 m
d) 24 m
e) 39 cm
103
Exercício 6
x = 25
Resposta: 25 e 33.
Exercício 7
x = 33 cm
Exercício 8
a) 28
b) 42
c) 38
d) 36 unidades de área.
Exercício 9
600 m2
Exercício 10
395,2 cm2
Exercício 11
a) 1.642,22 m2
b) 2.440 m2
Exercício 12
400 m2
Exercício 13
470,89 m2
Exercício 14
a) 1.225 m2
b) 1.806,25 m2
Exercício 15
6,36 m2
Exercício 16
16 m2
104
Exercício 17
a) 225 m2
b) 100 m2
Exercício 18
(→) Área = 99 cm2.
GABARITO DA AVALIAÇÃO
1) – 4, – 1, 2 e 5.
2) Débito de R$ 15,00.
3) Média = 15.
4) R$ 65,00.
5) – R$ 15,00.
6) R$ 12,00.
7) 3/5 para a minha família e 2/5 para a família da minha tia.
8) x = 18.
9) 8 kg.
10) 8/12 = 2/3.
11) 48 cm de comprimento.
12) 16 latas.
13) R$ 450,00.
14) O desconto será de R$ 63,00. A calça com desconto vai custar R$ 27,00.
15) Largura de 29 cm e comprimento de 37 cm.
16) 240 m2.
17) 484 m2.
18) 30 m2.
19) 2,7.
20) 35/100 = 7/20.
105
BIBLIOGRAFIA
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELOS, Maria José. Praticando matemática. 7º ano. 3. ed. São Paulo:
Editora do Brasil, 2012.
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. 7º ano. 7. ed. São Paulo: Moderna, 2011.
CARVALHO, Alexandre Luís Trovon de; REIS, Lourisnei Fortes. Matemática inter@tiva. 6ª série. Tatuí,
SP: Casa Publicadora Brasileira, 2001.
CENTURIÓN, Marília. JAKUBOVIC, José. Matemática: teoria e contexto. 7º ano. 1. ed. São Paulo:
Saraiva, 2012.
DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática. 7º ano. 1. ed. São Paulo: Ática, 2012.
FUNDAÇÃO. CECIERJ. Nova Eja – Educação de Jovens e Adultos: Matemática. módulo 1 – unidade 7.
Governo do Estado do Rio de Janeiro, 2011.
GOVERNO. do Estado de São Paulo. Coleção Tempo de Aprender. EJA, 7º ano. vol. 2. 2. ed. – São
Paulo: IBEP, 2009.
GOVERNO. do Estado de São Paulo. Mundo em construção: Educação de Jovens e Adultos – 2º
segmento do Ensino Fundamental, vol. 3. 1. ed. São Paulo: Global - Ação Educativa, 2009.
NAME, Miguel Asis. Tempo de matemática. 6ª série. São Paulo: Editora do Brasil, 1996.
NETTO, Scipione Di Pierro. Matemática: conceitos e histórias. 6ª série. 1. ed. São Paulo: Scipione,
1998.
PREFEITURA. da Cidade do Rio de Janeiro. Caderno de Revisão do Aluno – Matemática. 8º ano.
Coordenadoria de Educação – Rio de Janeiro, 2011.
Consulta virtual
Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013.
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