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ARCOS E ÂNGULOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO

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2
CONTEÚDO
04
PROFº: GEORGE
ARCOS E ÂNGULOS
A Certeza de Vencer
Observe a circunferência λ de centro O e raio R a seguir:
R
B
λ
R
R
α
O
R
0,28.R
R
A
Os raios OA e OB determinam o ângulo central α e o
arco AB .
uuur
O ângulo central α é formado pelas semi-retas OA e
uuur
OB e possui vértice no centro O da circunferência λ .
O arco AB é a parte da circunferência λ limitada pelos
pontos A e B inclusive.
O ângulo central α e o arco AB possuem a mesma
( )
medida, isto é, med ( α ) = med AB .
2. UNIDADES DE MEDIDA DE ARCOS (E ÂNGULOS).
Uma circunferência possui 360º e dividindo-a em 4
(quatro) partes iguais como mostram as figuras a seguir,
temos:
B
B
.
A ≡E
C
R
Sentido Padrão
A ≡E
C
R
R
1 circunferência = 6,28 rad = 2.3,14rad = 2. π rad
1 circunferência = 360º , ou ainda,
360º = 2. π rad e dividindo ambos os membros por 2,
obtemos a RELAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO de graus
para radianos e vice-versa:
180º π rad
Exemplos:
01. Transforme os ângulos a seguir de graus para
radianos:
a) 30º
b) 90º
Resolução:
Resolução:
180º − π rad
180º − π rad
30º − α rad
180º.α = 30º. π
30º. π
α=
180º
π
α = rad
6
30º equivale a
90º − α rad
180º.α = 90º. π
90º. π
α=
180º
π
α = rad
2
π
rad .
6
90º equivale a
02. Um arco de circunferência mede
D
D
AB = 90º
B
A ≡E
C
A ≡E
C
5π
rad . Qual a sua
3
medida em graus?
Resolução:
AC = 180º
B
π
rad .
2
π. α = 180º.
180º − α rad
5π
α−
rad
3
α = 60º.5
α = 300º
⇒
5π
3
5π
rad é 300º.
3
DICA: Substitua π rad por 180º.
A medida do arco de
D
D
AD = 270º
AE = 360º
Outra unidade de medida de arcos e ângulos é o radiano
cujo comprimento é igual ao de um raio da circunferência.
B
λ
R
O
α
R
1 radiano = 1 raio
A
FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
π
180º
rad =
2
2
π
180º
rad =
3
3
π
180º
rad =
4
4
π
180º
rad =
6
6
= 90º
= 60º
= 45º
= 30º
VESTIBULAR – 2009
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1. ARCOS E ÂNGULOS.
KL 280208
Uma circunferência possui aproximadamente 6,28
radianos (rad), pois é a quantidade de raios que podemos
colocar na mesma, veja:
1º=60' (sessenta minutos)
1'=60'' (sessenta segundos)
3. ÂNGULOS NOTÁVEIS.
Eis alguns ângulos muito utilizados em trigonometria:
90º
120º
135º
150º
180º
60º
45º
30º
0º
0
360º
210º
225º
240º
330º
315º
300º
270º
EXERCÍCIOS.
01. Complete a tabela:
GRAUS
0º
30º
45º
60º
90º
120º
135º
150º
180º
210º
225º
240º
270º
RADIANOS
02. Determine em radianos a medida do ângulo formado
pelos ponteiros de um relógio às 4 horas.
03. (UFRGS) Se o ponteiro menor de um relógio percorre
π
um arco de
radianos, o ponteiro maior percorre um
12
arco de:
π
π
d) rad
a) rad
6
2
π
e) π rad
b) rad
4
π
c) rad
3
04. (UNICAMP) Um relógio foi acertado exatamente ao
meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará
marcando esse relógio após o ponteiro menor ter
percorrido um ângulo de 42º.
05. (CEFET–MG) A medida do menor ângulo central
formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando
9h 30min, em graus, é:
a) 90
d) 120
b) 105
e) 150
c) 110
06. (PUC) Um relógio foi acertado exatamente às 6 h. Que
horas o relógio estará marcando após o ponteiro menor
(das horas) ter percorrido um ângulo de 72º?
a) 8h 12 min
d) 8h 24 min
b) 7h 28 min
e) 8h 36 min
c) 6h 50 min
07. (CESGRANRIO) Um mecanismo liga o velocímetro
(marcador de velocidade) a uma das rodas dianteiras de
um automóvel, de tal maneira que, quando essa roda gira
72π rad, uma engrenagem que compõe o velocímetro gira
18π
rad, essa engrenagem
2π rad. Quando a roda gira
5
gira:
a) 15º
d) 18º
b) 12º
e) 9º
c) 34,4º
08. (PUC) Calcule o ângulo entre os ponteiros do relógio
às 4 horas e 20 minutos?
09. (UNOPAR–PR) Na circunferência de raio R e centro
O, a seguir, considera-se um arco AP , no sentido antihorário, que mede 2 radianos. A respeito do ponto P,
pode-se afirmar que:
a) coincide com o ponto A
b) depende do raio R
c) está no 1º quadrante
A
d) está no 2º quadrante
O
e) está no 3º quadrante
300º
315º
330º
GABARITO
02
03
04
360º
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OBSERVAÇÃO:
Os submúltiplos do grau são os minutos e os segundos.
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