2 CONTEÚDO 04 PROFº: GEORGE ARCOS E ÂNGULOS A Certeza de Vencer Observe a circunferência λ de centro O e raio R a seguir: R B λ R R α O R 0,28.R R A Os raios OA e OB determinam o ângulo central α e o arco AB . uuur O ângulo central α é formado pelas semi-retas OA e uuur OB e possui vértice no centro O da circunferência λ . O arco AB é a parte da circunferência λ limitada pelos pontos A e B inclusive. O ângulo central α e o arco AB possuem a mesma ( ) medida, isto é, med ( α ) = med AB . 2. UNIDADES DE MEDIDA DE ARCOS (E ÂNGULOS). Uma circunferência possui 360º e dividindo-a em 4 (quatro) partes iguais como mostram as figuras a seguir, temos: B B . A ≡E C R Sentido Padrão A ≡E C R R 1 circunferência = 6,28 rad = 2.3,14rad = 2. π rad 1 circunferência = 360º , ou ainda, 360º = 2. π rad e dividindo ambos os membros por 2, obtemos a RELAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO de graus para radianos e vice-versa: 180º π rad Exemplos: 01. Transforme os ângulos a seguir de graus para radianos: a) 30º b) 90º Resolução: Resolução: 180º − π rad 180º − π rad 30º − α rad 180º.α = 30º. π 30º. π α= 180º π α = rad 6 30º equivale a 90º − α rad 180º.α = 90º. π 90º. π α= 180º π α = rad 2 π rad . 6 90º equivale a 02. Um arco de circunferência mede D D AB = 90º B A ≡E C A ≡E C 5π rad . Qual a sua 3 medida em graus? Resolução: AC = 180º B π rad . 2 π. α = 180º. 180º − α rad 5π α− rad 3 α = 60º.5 α = 300º ⇒ 5π 3 5π rad é 300º. 3 DICA: Substitua π rad por 180º. A medida do arco de D D AD = 270º AE = 360º Outra unidade de medida de arcos e ângulos é o radiano cujo comprimento é igual ao de um raio da circunferência. B λ R O α R 1 radiano = 1 raio A FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!! π 180º rad = 2 2 π 180º rad = 3 3 π 180º rad = 4 4 π 180º rad = 6 6 = 90º = 60º = 45º = 30º VESTIBULAR – 2009 Fale conosco www.portalimpacto.com.br 1. ARCOS E ÂNGULOS. KL 280208 Uma circunferência possui aproximadamente 6,28 radianos (rad), pois é a quantidade de raios que podemos colocar na mesma, veja: 1º=60' (sessenta minutos) 1'=60'' (sessenta segundos) 3. ÂNGULOS NOTÁVEIS. Eis alguns ângulos muito utilizados em trigonometria: 90º 120º 135º 150º 180º 60º 45º 30º 0º 0 360º 210º 225º 240º 330º 315º 300º 270º EXERCÍCIOS. 01. Complete a tabela: GRAUS 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 210º 225º 240º 270º RADIANOS 02. Determine em radianos a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas. 03. (UFRGS) Se o ponteiro menor de um relógio percorre π um arco de radianos, o ponteiro maior percorre um 12 arco de: π π d) rad a) rad 6 2 π e) π rad b) rad 4 π c) rad 3 04. (UNICAMP) Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42º. 05. (CEFET–MG) A medida do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 30min, em graus, é: a) 90 d) 120 b) 105 e) 150 c) 110 06. (PUC) Um relógio foi acertado exatamente às 6 h. Que horas o relógio estará marcando após o ponteiro menor (das horas) ter percorrido um ângulo de 72º? a) 8h 12 min d) 8h 24 min b) 7h 28 min e) 8h 36 min c) 6h 50 min 07. (CESGRANRIO) Um mecanismo liga o velocímetro (marcador de velocidade) a uma das rodas dianteiras de um automóvel, de tal maneira que, quando essa roda gira 72π rad, uma engrenagem que compõe o velocímetro gira 18π rad, essa engrenagem 2π rad. Quando a roda gira 5 gira: a) 15º d) 18º b) 12º e) 9º c) 34,4º 08. (PUC) Calcule o ângulo entre os ponteiros do relógio às 4 horas e 20 minutos? 09. (UNOPAR–PR) Na circunferência de raio R e centro O, a seguir, considera-se um arco AP , no sentido antihorário, que mede 2 radianos. A respeito do ponto P, pode-se afirmar que: a) coincide com o ponto A b) depende do raio R c) está no 1º quadrante A d) está no 2º quadrante O e) está no 3º quadrante 300º 315º 330º GABARITO 02 03 04 360º FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!! 05 06 07 08 09 VESTIBULAR – 2009 Fale conosco www.portalimpacto.com.br OBSERVAÇÃO: Os submúltiplos do grau são os minutos e os segundos.
