Lista 7 - Fatorial

Lista 7 - Fatorial
Prof. Ismael Rodrigues Silva
(1) Esse exercı́cio mostra como é rápido crescimento da função fatorial:
a) Determine o menor número natural n que faz n! ser maior que um bilhão.
b) Dê o valor de 20!.
(2) Calcule:
a)
7!
4!
b)
3!5!
4!6!
c)
12!
9!+10!
d)
12!−13!
12!
(3) Classifique cada propriedade como verdadeira ou falsa. Caso a propriedade seja verdadeira, demonstre. Do contrário,
dê um contra-exemplo.
a) m! + n! = (m + n)!,
m, n ∈ N.
b) m! − n! = (m − n)!,
m, n ∈ N, m ≥ n.
c) m! · n! = (m · n)!,
d)
m!
(m−2)!
m, n ∈ N.
= m2 − m,
m ∈ N.
(4) Simplifique:
a)
(n−2)!(n+2)!
(n+3)!(n−1)!
b)
5n!−2(n−1)!
n!
c)
(n!)2 −(n−1)!n!
(n−1)!n!
(5) Resolva:
a)
n!
(n−1)!
e)
(n+2)!+(n+1)!
(n+1)!
= n2 − 6n + 10
b)
(n+2)!
n!
= n2 − 2n − 1
i) (n!)2 − 100n! = 2400
j)
=0
c)
(n+1)!+n!
(n+2)!
f) (n + 2)! = 72n!
(n+1)!
(n−1)!
= 210
k)
=
n!
(n−2)!
g)
(n+1)!−n!
(n−1)!
1
3
d)
= 42
= 7n
(6) Prove que, ∀n ∈ N, n ≥ 2, temos n! − (n − 2) = (n2 − n − 1)(n − 2)!.
(7) Mostre que que
a)
1
n!
−
1
(n+1)!
=
n
(n+1)!
b)
1
n!
+
1
(n+1)!
=
n+2
(n+1)!
c) (n!)2 = [(n + 1)! − n!] · (n − 1)!
1
(n−1)!
(n+1)!−n!
h)
=
1
81
(n−1)!(n+1)!
(n!)2
=
5
4
(8) Prove que
Pn
i
i=1 (i+1)!
=1−
1
(n+1)!
(Dica: use o resultado do ı́tem (a) do exercı́cio anterior).
(9) Dado α ∈ R, escreva 1α · 2α · 3α · ... · nα em termos de fatorial.
(10) Mostre que
(n+2)!+(n+1)·(n−1)!
(n+1)·(n−1)!
é um quadrado perfeito.
(11) O duplo fatorial de um número n, representado por n!!, é definido como o produto de todos os números naturais de 1 até n que têm a mesma paridade de n. Por exemplo, 7!! = 7 · 5 · 3 · 1 = 105, pois 7 é ı́mpar, e 6!! = 6 · 4 · 2 = 48
pois 6 é par. Além disso, são definidos 0!! = 1 e (−1)!! = 1.
a) Calcule 12!! e 11!!.
b) Escreva (2n)!! em termos do fatorial simples. Utilize seu resultado para calcular novamente 12!!.
c) Escreva (2n − 1)!! em termos do fatorial simples. Utilize seu resultado para calcular novamente 11!!.
Respostas: (1a) 13 (2a) 210 (2b) 1/24 (2c) 120 (2d) -12 (3) todas falsas (4a) n-2/n+3 (4b) 5n-2/n (4c) n-1 (5a) 2 e
5 (5b) vazio (5c) 2 (5d) 9 (5e) -1 e 4 (5f) 7 (5g) 7 (5h) 4 (5i) 5 (5j) 14 (5k) 7 (9) (n!)α (11a) 46080 e 10395 (11b) 2n n!
(11c) (2n)!/2n n!
2