RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 2 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO PROF: EQUIPE 01 KL 090310 PROT: 3068 IMPACTO: A Certeza de Vencer!!! 1. TRIÂNGULO RETÂNGULO a2 = b2 + c 2 a2 = 32 + 42 a2 = 9 + 16 a2 = 25 a = 25 a=5 ONDE: a é a hipotenusa (maior lado); b e c são os catetos (formam o ângulo reto); h é a altura relativa à hipotenusa; m é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa; n é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa. 2. RELAÇÕES RETÂNGULO MÉTRICAS NO Aplicando a RELAÇÃO 03, calculamos as projeções ortogonais m e n. b2 = a.m 3 = 5.m 5.m = 9 9 m= 5 m = 1,8 TRIÂNGULO No Triângulo Retângulo ABC são válidas as seguintes Relações Métricas (entre as medidas mencionadas acima): a =m+n a = m+n 5 = m + 3,2 5 = 1,8 + n m = 5 − 3,2 ou n = 5 − 1,8 m = 1,8 n = 3,2 Para calcular a altura h, aplicamos a RELAÇÃO 02. RELAÇÃO 02: O produto entre a hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre os catetos. a.h = b.c RELAÇÃO 03: O quadrado de um cateto é igual ao produto entre a hipotenusa e a projeção ortogonal do cateto sobre a hipotenusa. b2 = a.m e 42 = 5.n 5.n = 16 16 n= 5 n = 3,2 Outra maneira de calcular as projeções m e n é utilizando a RELAÇÃO 05, veja: RELAÇÃO 01: TEOREMA DE PITÁGORAS – O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. a2 = b2 + c 2 c 2 = a.n 2 c 2 = a.n RELAÇÃO 04: O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre as projeções ortogonais dos catetos. 2 h = m.n RELAÇÃO 05: A hipotenusa é igual à soma das projeções ortogonais dos catetos. a = m+n a.h = b.c 5.h = 3.4 5.h = 12 12 h= 5 h = 2,4 Outra maneira de calcular a altura h é utilizando a RELAÇÃO 04. h2 = m.n h2 = 1,8.3,2 h2 = 5,76 h = 5,76 h = 2,4 Portanto a = 5 ; m = 1,8 ; n = 3,2 e h = 2, 4 . 02. No triângulo retângulo ABC a seguir, calcule a 3. EXEMPLOS RESOLVIDOS 01. Determine as medidas a, h, m e n no triângulo retângulo ABC a seguir: mediada da projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipotenusa. A A 4 3 C 12 h B n m a B 5 H C CONTEÚDO - 2011 NOSSO SITE: www.portalimpacto.com.br Triângulo Retângulo é aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A, veja: RESOLUÇÃO: Aplicamos o TEOREMA DE PITÁGORAS (RELAÇÃO 01) para calcular a hipotenusa a. Para calcular a medida da projeção ortogonal HC do cateto AC sobre a hipotenusa, aplicamos a RELAÇÃO 04. h2 = m.n 122 = 5.HC 5.HC = 144 ⇒ HC = 144 ⇒ HC = 28,8 5 A projeção ortogonal do cateto AC mede 28,8. 03. No triângulo retângulo ABC a seguir, AM é a mediana relativa à hipotenusa, e AH é a altura. Calcule a medida do segmento HM . A 03. (PUC) Uma estação de tratamento de água (ETA) localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Uma estação de rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000 m da ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada, que fique à mesma distância das duas estações. A distância do restaurante a cada uma das estações deverá ser de: a) 575 m c) 625 m b) 600 m d) 700 m e) 750 m 8 6 B 02. (UFRN) Uma escada de 13,0 m de comprimento encontra-se com a extremidade superior apoiada na parede vertical de um edifício e a parte inferior apoiada no piso horizontal desse mesmo edifício, a uma distância de 5,0 m da parede. Se o topo da escada deslizar 1,0 m para baixo, o valor que mais se aproxima de quanto a parte inferior escorregará é: a) 1,0 m b) 1,5 m c) 2,0 m d) 2,6 m H C M 04. (FATEC) Se os catetos de um triângulo retângulo T medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura de T relativa à hipotenusa é: a) 12 m 5 c) 12 m 13 b) 5 m 13 d) 25 m 13 RESOLUÇÃO: Aplicando o TEOREMA DE PITÁGORAS (RELAÇÃO 01), obtemos a medida da hipotenusa BC . a2 = b2 + c 2 2 BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC = 36 + 64 ⇒ BC2 = 100 BC2 = 62 + 82 BC = 100 BC = 10 Aplicando a RELAÇÃO 03, calculamos a projeção 36 2 2 BH = BH . b = a .m ⇒ 6 = 10.BH ⇒ 10 10.BH = 36 AB 2 = BC.BH BH = 3,6 Como AM é mediana, BM é metade da hipotenusa BC , isto é, BM = 5 . Da figura temos: BM = BH + HM HM = 5 − 3,6 ⇒ 5 = 3,6 + HM HM = 1, 4 01. (FUVEST) No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de outra menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura a seguir. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é: a) 8 b) 6 2 c) 8 2 d) 4 3 05. (UFRS) O lampião, representado na figura, está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao 1 6 e metros, teto. Sabendo que essas cordas medem 5 2 a distância do lampião ao teto é: a) 1,69 m b) 1,3 m c) 0,6 m 1 d) m 2 6 e) m 13 medidas das projeções dos catetos AB e BC sobre a hipotenusa são, respectivamente, m e n. Se a razão entre 1 AB e BC, nessa ordem, é , então m:n é igual a: 2 a) B 5 2 b) 2 2 c) 1 2 5 4 d) e) 1 4 07. (U.F. UBERLÂNDIA) Num triângulo ABC, o ângulo A é reto. A altura hA divide a hipotenusa a em dois segmentos m e n (m>n). Sabendo que o cateto b é o m dobro do cateto c, podemos afirmar que : n a) 4 A 60 m 13 06. (U.E. LONDRINA) Em um triângulo retângulo ABC, as EXERCÍCIOS e) 6 3 e) b) 3 c) 2 d) 7 2 e) 5 REVISÃO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!! CONTEÚDO - 2010 NOSSO SITE: www.portalimpacto.com.br RESOLUÇÃO:
