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52974055-Relacoes-Metricas-No-Triangulo-Retangulo

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RELAÇÕES MÉTRICAS
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
2
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
PROF: EQUIPE
01
KL 090310
PROT:
3068
IMPACTO: A Certeza de Vencer!!!
1. TRIÂNGULO RETÂNGULO
a2 = b2 + c 2
a2 = 32 + 42
a2 = 9 + 16
a2 = 25
a = 25
a=5
ONDE:
a é a hipotenusa (maior lado);
b e c são os catetos (formam o ângulo reto);
h é a altura relativa à hipotenusa;
m é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa;
n é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa.
2. RELAÇÕES
RETÂNGULO
MÉTRICAS
NO
Aplicando a RELAÇÃO 03, calculamos as projeções
ortogonais m e n.
b2 = a.m
3 = 5.m
5.m = 9
9
m=
5
m = 1,8
TRIÂNGULO
No Triângulo Retângulo ABC são válidas as seguintes
Relações Métricas (entre as medidas mencionadas
acima):
a =m+n
a = m+n
5 = m + 3,2
5 = 1,8 + n
m = 5 − 3,2 ou n = 5 − 1,8
m = 1,8
n = 3,2
Para calcular a altura h, aplicamos a RELAÇÃO 02.
RELAÇÃO 02: O produto entre a hipotenusa e a altura
relativa à hipotenusa é igual ao produto entre os catetos.
a.h = b.c
RELAÇÃO 03: O quadrado de um cateto é igual ao produto
entre a hipotenusa e a projeção ortogonal do cateto sobre
a hipotenusa.
b2 = a.m
e
42 = 5.n
5.n = 16
16
n=
5
n = 3,2
Outra maneira de calcular as projeções m e n é utilizando
a RELAÇÃO 05, veja:
RELAÇÃO 01: TEOREMA DE PITÁGORAS – O quadrado da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a2 = b2 + c 2
c 2 = a.n
2
c 2 = a.n
RELAÇÃO 04: O quadrado da altura relativa à hipotenusa é
igual ao produto entre as projeções ortogonais dos
catetos.
2
h = m.n
RELAÇÃO 05: A hipotenusa é igual à soma das projeções
ortogonais dos catetos.
a = m+n
a.h = b.c
5.h = 3.4
5.h = 12
12
h=
5
h = 2,4
Outra maneira de calcular a altura h é utilizando a
RELAÇÃO 04.
h2 = m.n
h2 = 1,8.3,2
h2 = 5,76
h = 5,76
h = 2,4
Portanto a = 5 ; m = 1,8 ; n = 3,2 e h = 2, 4 .
02. No triângulo retângulo ABC a seguir, calcule a
3. EXEMPLOS RESOLVIDOS
01. Determine as medidas a, h, m e n no triângulo
retângulo ABC a seguir:
mediada da projeção ortogonal do cateto AC sobre a
hipotenusa.
A
A
4
3
C
12
h
B
n
m
a
B
5
H
C
CONTEÚDO - 2011
NOSSO SITE: www.portalimpacto.com.br
Triângulo Retângulo é aquele que possui um ângulo reto
(90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A,
veja:
RESOLUÇÃO:
Aplicamos o TEOREMA DE PITÁGORAS (RELAÇÃO 01)
para calcular a hipotenusa a.
Para calcular a medida da projeção ortogonal HC do
cateto AC sobre a hipotenusa, aplicamos a RELAÇÃO
04.
h2 = m.n
122 = 5.HC
5.HC = 144 ⇒ HC =
144
⇒ HC = 28,8
5
A projeção ortogonal do cateto AC mede 28,8.
03. No triângulo retângulo ABC a seguir, AM é a
mediana relativa à hipotenusa, e AH é a altura. Calcule a
medida do segmento HM .
A
03. (PUC) Uma estação de tratamento de água (ETA)
localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Uma estação de
rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000 m da
ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada,
que fique à mesma distância das duas estações. A
distância do restaurante a cada uma das estações deverá
ser de:
a) 575 m
c) 625 m
b) 600 m
d) 700 m
e) 750 m
8
6
B
02. (UFRN) Uma escada de 13,0 m de comprimento
encontra-se com a extremidade superior apoiada na
parede vertical de um edifício e a parte inferior apoiada no
piso horizontal desse mesmo edifício, a uma distância de
5,0 m da parede. Se o topo da escada deslizar 1,0 m para
baixo, o valor que mais se aproxima de quanto a parte
inferior escorregará é:
a) 1,0 m
b) 1,5 m
c) 2,0 m
d) 2,6 m
H
C
M
04. (FATEC) Se os catetos de um triângulo retângulo T
medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm, então a altura de
T relativa à hipotenusa é:
a)
12
m
5
c)
12
m
13
b)
5
m
13
d)
25
m
13
RESOLUÇÃO:
Aplicando o TEOREMA DE PITÁGORAS (RELAÇÃO 01),
obtemos a medida da hipotenusa BC .
a2 = b2 + c 2
2
BC2 = AB2 + AC2 ⇒ BC = 36 + 64 ⇒
BC2 = 100
BC2 = 62 + 82
BC = 100
BC = 10
Aplicando a RELAÇÃO 03, calculamos a projeção
36
2
2
BH =
BH . b = a .m
⇒ 6 = 10.BH ⇒
10
10.BH = 36
AB 2 = BC.BH
BH = 3,6
Como AM é mediana, BM é metade da hipotenusa BC ,
isto é, BM = 5 . Da figura temos:
BM = BH + HM
HM = 5 − 3,6
⇒
5 = 3,6 + HM
HM = 1, 4
01. (FUVEST) No jogo de bocha, disputado num terreno
plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o
mais próximo possível de outra menor, de raio 4. Num
lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as
duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura
a seguir. A distância entre os pontos A e B, em que as
bolas tocam o chão, é:
a) 8
b) 6 2
c) 8 2
d) 4 3
05. (UFRS) O lampião, representado na figura, está
suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao
1
6
e
metros,
teto. Sabendo que essas cordas medem
5
2
a distância do lampião ao teto é:
a) 1,69 m
b) 1,3 m
c) 0,6 m
1
d)
m
2
6
e)
m
13
medidas das projeções dos catetos AB e BC sobre a
hipotenusa são, respectivamente, m e n. Se a razão entre
1
AB e BC, nessa ordem, é , então m:n é igual a:
2
a)
B
5
2
b)
2
2
c)
1
2
5
4
d)
e)
1
4
07. (U.F. UBERLÂNDIA) Num triângulo ABC, o ângulo
A é reto. A altura hA divide a hipotenusa a em dois
segmentos m e n (m>n). Sabendo que o cateto b é o
m
dobro do cateto c, podemos afirmar que
:
n
a) 4
A
60
m
13
06. (U.E. LONDRINA) Em um triângulo retângulo ABC, as
EXERCÍCIOS
e) 6 3
e)
b) 3
c) 2
d) 7
2
e) 5
REVISÃO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
CONTEÚDO - 2010
NOSSO SITE: www.portalimpacto.com.br
RESOLUÇÃO:
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