MÓDULO VIII NOTAÇÃO CIENTÍFICA 1. Potências de 10 Para as potências de 10, são válidas as mesmas propriedades da potenciação: 10m.10 n = 10m+n 10m ÷ 10n = 10m−n n 10 m = 10 m . n ( Uma potência cuja base é um número múltiplo de 10 é denominado de potência de 10. Veja alguns exemplos de potências de 10: ) n 10 10.000.000.000 = 10 9 1.000.000.000 = 10 8 100.000.000 = 10 7 10.000.000 = 10 6 1.000.000 = 10 5 100.000 = 10 4 10.000 = 10 3 1.000 = 10 2 100 = 10 1 10 = 10 0 1 = 10 –1 0,1 = 10 –2 0,01 = 10 –3 0,001 = 10 –4 0,0001 = 10 –5 0,00001 = 10 –6 0,000001 = 10 –7 0,0000001 = 10 –8 0,00000001 = 10 –9 0,000000001 = 10 –10 0,0000000001 = 10 * Pelos exemplos, para n ∈ Z + , podemos observar que: 10 −n = 0,00...0 10n = 1 000...0 e 1 n zeros n zeros Certos expoentes da potência de dez podem receber denominações especiais que servem para omitirmos a potência e que geralmente acompanham grandezas físicas. Na tabela a seguir você vai encontrar algumas potências e seus prefixos correspondentes. Prefixos Expoente de 10 Exa (E) +18 Peta (P) +15 Tera (T) +12 Giga (G) +9 Mega (M) +6 Kilo (k) +3 Hecta (h) +2 Deca (da) +1 Deci (d) -1 Centi ( c) -2 Mili ( m) -3 Micro (µ ) -6 Nano (n) -9 Pico (p) -12 Femto (f) -15 Atto (a) -18 m m 10 = 10 n Exercícios Propostos 5 7 EP.01) Simplifique 100 . 1000 ÷ (1002)– 4 . 10000– 3 EP.02) (Vunesp) Calcule o valor de m, sabendo que m= 0,00001.(0,01)2 .1000 0,001 3 EP.03) Encontrando o valor de 1 1 3 −2 2 , 10 .10 .10 obtemos: a) d) 7 10 2 b) 1 2 2 10 7 c) 1 7 10 2 e) 10 10 7 2. Notação Científica Os astrônomos medem as distâncias entre as estrelas em uma unidade chamada ano-luz, que é a distância percorrida pela luz durante um ano. Essa imensa distância vale, aproximadamente, 9.460.000.000.000km, ou seja, nove trilhões e quinhentos bilhões de quilômetros. Para facilitar, escrevemos esse número assim: 12 1 ano-luz = 9,46.10 km Quando representamos um número na forma de um produto de dois fatores, onde um deles é um número maior que 1 e menor que 10 e o outro número é uma potência de 10, estamos usando o que se chama de notação científica. Exemplos: 11 1) 150.000.000.000 = 1,5 . 10 –16 2) 0,000 000 000 000 000 458 = 4,58 . 10 –1 3) 0,2315 = 2,315 . 10 0 4) 7,29 = 7,29 . 10 Pelos exemplos, observe que: a) Quando o número a ser escrito na notação científica for menor que 1, a vírgula se desloca para a direita e o expoente da potência de 10 é negativo. b) Quando o número a ser escrito na notação científica for maior que 1, a vírgula se desloca para a esquerda e o expoente da potência de 10 é positivo. Matemática Básica VIII 1 Exercícios Propostos 3. Operações com números representados em notação científica EP.04) Represente os números a seguir em notação científica: a) 1.230 b) 93.000.000 Usando a notação científica e conhecendo as operações com potências de 10, fica relativamente simples realizar as operações matemáticas envolvendo números muito grandes ou muito pequenos: c) 384.000.000.000 3.1. Multiplicação: d) 0,00000000000234 800.000 . 0,0002 = 800.000 x 0,0002 = 5 –4 = 8.10 x 2.10 5 –4 = 8.2 x 10 .10 5–4 = 16 x 10 1 = 16 x 10 1 1 = 1,6.10 x 10 2 2 = 1,6 x 10 = 1,6.10 e) 0,0000000157 f) Um recipiente contém 10.000 balas de goma coloridas e 40% delas são vermelhas. Expresse o número de balas vermelhas. Exercícios Propostos EP.05) Reescreva cada número abaixo em sua forma “natural”: 7 a) 5,8.10 EP.08) Efetue os cálculos, apresentando o resultado em notação científica: a) 0,00025 . 0,0005 5 b) 7,32.10 4 3 b) 2,8.10 . 5.10 –6 c) 6,2.10 d) 3.10 –8 EP.06) NÚMEROS QUE ASSUSTAM 5,68 bilhões de pessoas vivem hoje no planeta. 5,7 bilhões de pessoas eram estimadas para viver no planeta hoje 90 milhões nascem a cada ano 800 milhões passam fome 8,5 é a média de filhos por mulher na Ruanda 1,4% de renda mundial está nas mãos dos 20% mais pobres 35 milhões de pessoas migraram do hemisfério Sul para o Norte nas últimas décadas De acordo com o texto, os números que representam a quantidade de pessoas que vivem no planeta, que nascem a cada ano e que passam fome são, respectivamente: 9 6 6 a) 568.10 , 9.10 , 8.10 6 6 6 b) 5,68.10 , 9.10 , 8.10 7 7 7 c) 568.10 , 9.10 , 80.10 9 9 9 d) 56,8.10 , 90.10 , 8.10 8 6 6 e) 568.10 , 90.10 , 80.10 2 – 5 EP.07) Dadas as potências: 8.10 , 6.10 –2 2.10 , é correto afirmar que: 4 2 –5 –2 2 a) 5.10 > 8.10 > 6.10 > 2.10 > 10 4 2 2 –2 –5 b) 5 .10 > 8.10 > 10 > 2.10 > 6.10 2 4 2 –5 –2 c) 8.10 > 5.10 > 10 > 6.10 > 2.10 2 –5 4 –2 2 d) 8.10 > 6.10 > 5.10 > 2.10 > 10 –5 4 2 –2 2 e) 6.10 > 5.10 > 8.10 > 2.10 > 10 2 EP.09) Para medir a distância entre as estrelas, os astrônomos criaram uma unidade de medida chamada de ano-luz, que corresponde a distância percorrida pela luz em um ano. a) a cada segundo, a luz percorre 300.000km. Multiplique isso pelo número de segundos de um ano e determine quantos quilômetros há em um ano-luz, escrevendo a resposta em notação científica. b) Com exceção do Sol, a estrela mais próxima de nós está a 4 anos-luz de distância. Determine essa distância em quilômetros. 3.2. Divisão: 800.000 ) 0,0002 = = 800.000 = 0,0002 8.10 5 2.10 − 4 8 10 5 = . 2 10 − 4 5 – (– 4) = 4.10 5+4 9 = 4.10 = 4.10 Exercício Proposto 4 , 10 , 5.10 e EP.10) Efetue os cálculos, apresentando o resultado em notação científica: a) 280.000.000 : 1.400.000.000.000 –3 b) 3,4.10 : 1,7.10 –6 Matemática Básica VIII 2 Exercícios Propostos 3.3. Potenciação: 2 5 2 EP.12) Expresse em notação científica o resultado de cada uma das operações abaixo nas unidades indicadas: (800.000) = (8.10 ) 2 5.2 = 8 .10 10 = 64.10 1 10 = 6,4.10 .10 11 = 6,4.10 a) 2m + 400cm = ..........................................................cm b) 7kg – 300g = ..............................………………….....g Exercício Proposto 3 5 c) 2.10 cm + 4,7.10 mm = ..………………..…………...mm 1,5 5 −2 EP.11) Seja M = . (0,6 )−2 . Indique a alternativa 3 que contenha o intervalo onde M está compreendido: 5 b) – 1 < M < 0 a) M < − 3 1 1 4 c) 0 < M < d) < M < 3 2 5 e) M > 2 3.4. Adição ou subtração: CASO 1: os expoentes da potência são iguais Basta pôr em evidência a potência de 10 que é comum e realizar a operação (soma ou subtração) entre os outros termos, sempre com cuidado de verificar se o resultado não precisa ser também transformado. Exemplos: 3 3 3 2 2 2 3 1) (4,3.10 ) + (8,1.10 ) = (4,3 + 8,1).10 = 12,4.10 = 1 3 4 = 1,24.10 .10 = 1,24.10 2 2) (7,5.10 ) – (5,3.10 ) = (7,5 – 5,3).10 = 2,2.10 CASO 2: os expoentes da potência são diferentes É necessário inicialmente transformar um dos números para que fiquem com expoentes iguais. Exemplos: –2 d) 2h – 45min = ............................................................s EP.13) (ENEM) Se compararmos a idade do planeta 9 Terra, avaliada em quatro e meio bilhões de anos (4,5.10 anos), com a de uma pessoa de 45 anos, então, quando começaram a florescer os primeiros vegetais, a Terra já teria 42 anos. Ela só conviveu com o homem moderno nas últimas quatro horas e, há cerca de uma hora, viu-o começar a plantar e a colher. Há menos de um minuto percebeu o ruído das máquinas e de indústrias e, como denuncia uma ONG de defesa do meio ambiente, foi nesses últimos sessenta segundos que se produziu todo o lixo do planeta! I. O texto anterior, ao estabelecer um paralelo entre a idade da Terra e a de uma pessoa pretende mostrar que: a) a agricultura surgiu logo em seguida aos vegetais, perturbando desde então seu desenvolvimento. b) O ser humano só se tornou moderno ao dominar a agricultura e a indústria, em suma, ao poluir. c) Desde o surgimento da Terra, são devidas ao ser humano todas as transformações e perturbações. d) O surgimento do ser humano e da poluição é cerca de dez vezes mais recente que o do nosso planeta. e) A industrialização tem sido um processo vertiginoso, sem precedentes em termos de dano ambiental. –3 1) (2,3.10 ) + (3,1.10 ) II. O texto permite concluir que a começou a ser praticada há cerca de: a) 365 anos. b) 460 anos. c) 900 anos. d) 10.000 anos. e) 460.000 anos. III. Na teoria do Big Bang, o Universo surgiu há cerca de 15 bilhões de anos, a partir da explosão e expansão de uma densíssima gota. De acordo com a escala proposta no texto, essa teoria situaria o início do Universo há cerca de: a) 100 anos. b) 150 anos. c) 1.000 anos. d) 1.500 anos. e) 2.000 anos. Vamos transformar o primeiro número: –2 –1 –2 –3 2,3.10 = 23.10 .10 = 23.10 Agora a operação é a mesma usada no caso 1: –3 –3 –3 23.10 + 3,1.10 = 26, 1.10 Atenção: 26,1 é um número maior que 10, portanto precisa ser transformado: –3 1 –3 1–3 –2 26,1.10 = 2,61.10 .10 = 2,61.10 = 2,61.10 4 2 2) (4,2.10 ) – (2,7.10 ) Agora, ao invés do primeiro, vamos ajustar o segundo número: 2 2 2 4 2,7.10 = 0,027.10 .10 = 0,027.10 A operação seguinte é a mesma do caso 1: 4 4 4 4 (4,2.10 ) – (0,027.10 ) = (4,2 – 0,027).10 = 4,173.10 Matemática Básica VIII 3 agricultura Exercícios Complementares EC.01) Escreva 10 3.(0,01)−2 em uma potência de 10. 0,001 EC.07) Efetue as operações abaixo: 2 2 a) 1,5.10 + 4,3.10 –5 b) 3,5.10 –4 + 1,2.10 –20 EC.02) Escrever os produtos abaixo em notação científica: 12 8 a) 2 . 5 6 9 b) 4 . 5 c) 3,1.10 3 32 8 5 n EC.04) Escreva os dados numéricos das informações seguintes usando a notação científica: a) A bacia Amazônica é formada pelo rio Amazonas e 2 seus afluentes e ocupa uma área de 7.045.000km , dos 2 quais 4.750.000km estão em território brasileiro. b) A espessura de uma folha de papel para impressora é de cerca de 0,000074m. c) A velocidade da luz é aproximadamente igual a 300.000km/s. d) A carga elétrica de um elétron é de 0,00000000000000000016C (C = Coulomb, unidade de carga elétrica). e) Em astronomia, a distância média da Terra ao sol, que é de 149.600.000km, chama-se unidade astronômica. f) Existe vida na Terra há 4,56 bilhões de anos aproximadamente. EC.05) No corpo humano encontramos medidas extremamente pequenas e extremamente grandes. O artigo abaixo é um exemplo disso: “Um adulto possui 5 a 6 litros de sangue, ou seja, de 5 a 6 milhões de milímetros cúbicos, que vão dar 25 trilhões de glóbulos vermelhos. Colocados lado a lado, em seus infinitesimais 0,007mm de diâmetro, esses glóbulos vermelhos de uma pessoa formariam uma linha de mais de 160.000km, capaz de dar quatro vezes a volta na Terra. Através de sua superfície, esses glóbulos absorvem e espalham oxigênio. Por serem tão pequenos, vão a toda parte do corpo humano; e por serem tão numerosos, cobrem uma área muito maior do que esse corpo.” (Extraído de: BARCO, Luiz, A magia dos grandes números, Superinteressante, ano 2) Expresse em notação científica todas as medidas citadas no artigo apresentado. EC.06) Represente as curiosidades numéricas a seguir usando notação científica: a) o volume da Terra é de 3 1.070.000.000.000.000.000.000m . b) o volume do Sol é de 3 1.400.000.000.000.000.000.000.000.000m . 3 c) o volume da Lua é 22.000.000.000.000.000.000m . d) a idade do universo, 15 bilhões de anos, corresponde a 473.040.000.000.000.000 segundos. e) a massa do elefante é 5.000kg. f) a massa de uma partícula de poeira é 0,0000000007kg. g) os dinossauros desapareceram há 65.000.000 anos. h) o tamanho de do vírus da gripe é 0,0000000022m. –5 d) 3,2.10 . 4,5.10 e) 5,1.10 EC.03) Se 2 . 5 = 0,8 . 10 , então n é igual a: a) 6 b) 5 c) – 1 d) 2 e) – 3 –23 – 2,6.10 f) . 3,2.10 –23 : 2,0.10 –22 9,9.10 3 3,3.10 −2 14 g) 4,1.10 3 h) (0,2) + (0,04) 2 EC.08) O diagrama a seguir representa a energia solar que atinge a Terra e sua utilização na geração de eletricidade. Provenientes do Sol 200 bilhões de MW Aquecimento do solo Evaporação da água Ener gia p otên cial (chuvas) Usinas hidroelétricas 100.000 MW Aque cimen to do ar Absorção Pela s plantas Petóleo, gás e carvão Usinas termoelétricas 400.000 MW Eletricidade 500.000 MW A energia solar é responsável pela manutenção do ciclo da água, pela movimentação do ar, e pelo ciclo do carbono que ocorre através da fotossíntese dos vegetais, da decomposição e da respiração dos seres vivos, além da formação de combustíveis fósseis. De acordo com o diagrama, a humanidade aproveita, na forma de energia elétrica, uma fração da energia recebida como radiação solar, correspondente a: –9 a) 4.10 –6 b) 2,5.10 –4 c) 4.10 –3 d) 2,5.10 –2 e) 4.10 –4 EC.09) As bactérias têm comprimento médio de 2.10 mm. Imagine 1.000 bactérias formando uma fila. Esta fila tem mais ou menos de 1 milímetro? Matemática Básica VIII 4 EC.10) Existem seres vivos ainda menores do que as bactérias. Por exemplo, os vírus. Um vírus mede, aproximadamente, 0,000015mm. Quantos vírus equivalem a uma bactéria do exercício anterior? –2 EC.11) Uma gota d’água pesa 5.10 g. a) Qual o peso de mil gotas d’água? – 5 b) Se o volume de cada gota é 5.10 ℓ, quantas gotas existem em 1ℓ de água? EC.12) Supondo que uma única molécula de açúcar –22 comum tenha massa igual a 5,7.10 g, quantas moléculas há em 28,5g de açúcar? EC.13) Considere que 20 gotas de água possuem um volume total de 1,0 mililitro. Nessas condições, o volume de cada gota será igual a: –4 –3 a) 5.10 mℓ b) 5.10 mℓ –2 c) 5.10 mℓ d) 0,02mℓ e) 0,2mℓ EC.14) Ao nível do mar, sob a temperatura de 25ºC, 1ℓ de ar tem massa igual a 1,2g. Nas mesmas condições, qual a 3 massa de ar em uma bolha de sabão com 5cm de 3 volume? ( lembre-se: 1ℓ = 1.000cm ) 4 a) 600mg b) 3.10 g –7 –3 c) 6.10 g d) 6.10 g e) 300mg 23 EC.15) Em 18g de água estão contidas 6,02.10 moléculas. Quantas estão contidas em 540g? EC.16) Se a massa de um átomo de oxigênio é igual a –23 2,7.10 g, qual é a massa, expressa em notação 17 científica, de 20.10 átomos desse elemento? 30 EC.17) A massa do sol é cerca de 1,99.10 kg. A massa do hidrogênio (átomo), constituinte principal do sol, é igual –27 a 1,67.10 kg. Quantos átomos de hidrogênio há aproximadamente no sol? –57 a) 1,5.10 átomos. 57 b) 1,2.10 átomos. 57 c) 1,5.10 átomos. –57 d) 1,2.10 átomos. 3 e) 1,2.10 átomos. EC.18) Duas cargas elétricas puntiformes de valores –6 –6 iguais a Q1 = 2.10 C e Q2 = 5.10 C estão distantes 0,3m no vácuo. Considerando a constante eletrostática como 9 2 2 sendo k = 9.10 N.m /C , a força elétrica entre as cargas é de: k.Q1.Q 2 (Força elétrica: F = ) d2 a) 1N b) 2N c) 3N d) 4N e) 5N EC.19) Uma régua de alumínio, com coeficientes de dilatação linear α = 25.10 − 6 °C − 1 , tem o comprimento de 200cm, a 20ºC. Qual o valor, em cm, do seu comprimento a 60ºC? ( L − L 0 = L 0 . α . ∆T , onde L = comprimento final; Lo = comprimento inicial, ∆T = variação da temperatura) a) 200,1 b) 200,2 c) 200,3 d) 200,4 e) 200,5 EC.20) O volume de um bloco metálico sofre um aumento de 0,6% quando sua temperatura varia de 200ºC. O –1 coeficiente de dilatação linear médio desse metal, em ºC vale: ( V = V0 .(1 + γ .∆t ) , sendo γ = coeficiente de dilatação volumétrico e, portanto, γ 3 o coeficiente de dilatação linear) –5 a) 1,0.10 –5 b) 3,0.10 –4 c) 1,0.10 –4 d) 3,0.10 –3 e) 3,0.10 EC.21) Há 500 anos, Cristóvão Colombo partiu de Gomera (Ilhas Canárias) e chegou a Guanahani (Ilhas Bahamas), após navegar cerca de 3000 milhas marítimas (5.559km) durante 33 dias. Considerando que um dia tem 86.400 segundos, a velocidade média da travessia oceânica, no sistema internacional (SI) de Unidades, foi aproximadamente: –2 a) 2.10 m/s. –1 b) 2.10 m/s 0 c) 2.10 m/s 1 d) 2.10 m/s 2 e) 2.10 m/s EC.22) A luz que vem do Sol demora cerca de 8,3min para alcançar a superfície da Terra, e viaja a uma velocidade de 300.000km/s. A distância (em km) entre o Sol e a Terra é da ordem de: 5 a) 10 6 b) 10 7 c) 10 8 d) 10 9 e) 10 Para encontramos a ordem de grandeza de um número, procedemos da seguinte forma: L 1 - Escreva-o em notação científica (A × 10 ) 2 - Se A ≥ 3,16, então a ordem de grandeza será 10 L+1 L 3 - Se A < 3,16, então a ordem de grandeza será 10 Matemática Básica VIII 5 35 GABARITO GABARITO Exercícios Propostos Exercícios Complementares EP.01) 10 –3 EP.02) 10 EP.03) D 3 7 11 EP.04) a) 1,23.10 b) 9,3.10 c) 3,84.10 –12 –8 3 d) 2,34.10 e) 1,57.10 f) 4.10 EP.05) a) 58.000.000 b) 732.000 c) 0,0000062 d) 0,00000003 EP.06) C EP.07) B –7 8 EP.08) a) 1,25.10 b) 1,4.10 12 13 EP.09) a) 9,46.10 km b) 3,78.10 km –4 3 EP.10) a) 2.10 b) 2.10 EP.11) D 2 3 EP.12) a) 6.10 b) 6,7.10 5 3 c) 4,9.10 d) 4,5.10 EP.13) I. E II. D III. B 10 EC.01) 10 9 9 EC.02) a) 1,6.10 b) 8.10 EC.03) A 6 6 –5 EC.04) a) 7,045.10 e 4,75.10 b) 7,4.10 5 – 19 c) 3.10 d) 1,6.10 8 9 e) 1,496.10 f) 4,56.10 0 EC.05) 5ℓ = 5.10 ℓ 0 6ℓ = 6.10 ℓ 3 6 3 5 milhões = 5.000.000mm = 5.10 mm 3 6 3 6 milhões = 6.000.000mm = 6.10 mm –3 0,007mm = 7.10 mm 5 160.000km = 1,6.10 km 21 3 27 3 EC.06) a) 1,07.10 m b) 1,4.10 m 19 3 17 c) 2,2.10 m d) 4,73.10 s 3 – 10 e) 5.10 kg f) 7.10 kg 7 –9 g) 6,5.10 anos h) 2,2.10 m 2 –4 EC.07) a) 5,8.10 b) 1,55.10 – 20 –1 c) 3,1.10 d) 1,44.10 10 5 e) 1,632.10 f) 3.10 36 –3 g) 2,05.10 h) 9,6.10 EC.08) B EC.09) fila = 0,2 mm, portanto menor que 1 milímetro EC.10) aproximadamente 13 vírus EC.11) a) 50g b) 20.000 gotas 22 EC.12) 5,0.10 moléculas EC.13) C EC.14) D 25 EC.15) 1,806.10 moléculas –5 EC.16) 5,4.10 g EC.17) B EC.18) A EC.19) B EC.20) A EC.21) C EC.22) D Matemática Básica VIII 6
