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Edicoes ASA - Mat_A_10 Ano 2018-19 - 2 Teste

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Teste de Matemática A
2018 / 2019
Teste N.º 1
Matemática A
Duração do Teste: 90 minutos
NÃO É PERMITIDO O USO DE CALCULADORA
10.º Ano de Escolaridade
Nome do aluno: __________________________________________ N.º: ___
Turma: ___
Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha
de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.
Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas
as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação,
apresente sempre o valor exato.
Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano
Expoente
10
| Daniela Raposo e Luzia Gomes
1. Considere uma pirâmide quadrangular regular cujas arestas medem 𝑎𝑎.
A área total da pirâmide pode ser dada em função de 𝑎𝑎 por:
(A) �1 + √3�𝑎𝑎2
(B) �1 +
√3
� 𝑎𝑎2
4
(C) �1 + √2�𝑎𝑎2
1+√3
� 𝑎𝑎2
3
(D) �
2. Determine o valor exato da área de um quadrado inscrito numa circunferência de raio
Apresente o resultado sob a forma de fração com denominador racionalizado.
1
.
√7−1
3. No plano munido de um referencial o.n. 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂, considere o conjunto de pontos definido pela
condição ~( 𝑂𝑂 < 0 ∨ 𝑂𝑂 ≥ 𝑂𝑂 ).
Em qual das opções seguintes se encontra esse conjunto de pontos representado?
(A)
(B)
(C)
(D)
Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano
Expoente
10
| Daniela Raposo e Luzia Gomes
4. Considere, num plano munido de um referencial o.n. 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂, os pontos 𝑃𝑃(1, 2), 𝑄𝑄(−2, −2) e
𝑅𝑅(𝑘𝑘, 𝑘𝑘 − 1), com 𝑘𝑘 ∈ ℝ.
4.1. Escreva uma equação vetorial da reta paralela à bissetriz dos quadrantes pares e que
contém o ponto médio de [𝑃𝑃𝑄𝑄].
4.2. Determine o valor de 𝑘𝑘 de modo que 𝑅𝑅:
4.2.1. pertença à reta 𝑃𝑃𝑄𝑄;
4.2.2. pertença à mediatriz de [𝑃𝑃𝑄𝑄].
�����⃗ , de sentido contrário ao de �����⃗
4.3. Determine as coordenadas do vetor colinear com 𝑃𝑃𝑄𝑄
𝑃𝑃𝑄𝑄 e de
norma √15.
1
5. A expressão (2𝑎𝑎6 𝑏𝑏 8 )− 4 × √8𝑎𝑎−2 é igual, para quaisquer números reais positivos 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏, a:
4
(A) √2𝑎𝑎𝑏𝑏
(B) 2𝑎𝑎𝑏𝑏
(C) −
(D)
√2
𝑎𝑎2 𝑏𝑏2
√2
(𝑎𝑎𝑏𝑏)2
6. Na figura estão representadas, num referencial o.n. 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂, a circunferência definida pela condição
𝑂𝑂 2 + 𝑂𝑂 2 − 4𝑂𝑂 − 10𝑂𝑂 = 0, duas retas, 𝑟𝑟 e 𝑠𝑠, e um ponto 𝐴𝐴 no segundo quadrante.
Sabe-se ainda que:
 𝐴𝐴 é um ponto de ordenada 7 e pertence à circunferência;
 a reta 𝑟𝑟 passa no ponto 𝐴𝐴 e na origem do referencial;
 a reta 𝑠𝑠 contém o ponto 𝐴𝐴 e é paralela ao eixo das abcissas.
6.1. Indique o valor lógico de cada uma das seguintes
proposições:
6.1.1. “O centro da circunferência pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.”
𝑂𝑂 = 𝜋𝜋 + 6𝑘𝑘
, 𝑘𝑘 ∈ ℝ.”
6.1.2. “A reta 𝑟𝑟 é paralela à reta 𝑡𝑡 definida por �
𝑂𝑂 = √2 − 14𝑘𝑘
6.2. Defina por uma condição o conjunto de pontos a sombreado na figura, incluindo a fronteira.
Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano
Expoente
10
| Daniela Raposo e Luzia Gomes
7. Considere as proposições:
𝑝𝑝: �(−2019)2 = −2019
3
𝑞𝑞: �(−2018)3 = −2018
Qual das seguintes proposições é verdadeira?
(A) 𝑝𝑝 ∧ 𝑞𝑞
(B) 𝑝𝑝 ∨ 𝑞𝑞
(C) 𝑞𝑞 ⟹ 𝑝𝑝
(D) 𝑝𝑝 ⟺ 𝑞𝑞
8. Fixado um referencial o.n. 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂, considere uma reta 𝑟𝑟 paralela ao eixo das ordenadas.
Qual das seguintes equações pode definir essa reta?
(A) (𝑂𝑂, 𝑂𝑂) = (1,1) + 𝑘𝑘(2018, 2018), 𝑘𝑘 ∈ ℝ
(B) (𝑂𝑂, 𝑂𝑂) = (2,2) + 𝑘𝑘(2018, 0), 𝑘𝑘 ∈ ℝ
(C) (𝑂𝑂, 𝑂𝑂) = (3, 3) + 𝑘𝑘(0, 2018), 𝑘𝑘 ∈ ℝ
(D) (𝑂𝑂, 𝑂𝑂) = (4,4) + 𝑘𝑘(−2018, 2018), 𝑘𝑘 ∈ ℝ
FIM
COTAÇÕES
Item
Cotação (em pontos)
1.
2.
3.
4.1.
4.2.1.
4.2.2.
4.3.
5.
6.1.1.
6.1.2.
6.2.
7.
8.
8
20
8
20
20
20
20
8
20
20
20
8
8
Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano
Expoente
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| Daniela Raposo e Luzia Gomes
TESTE N.º 1 – Proposta de resolução
1. Opção (A)
Seja A a área total da pirâmide quadrangular regular de aresta 𝑎𝑎.
A = 𝑎𝑎2 + 4 ×
Assim:
A = 𝑎𝑎2 + 4 ×
= 𝑎𝑎2 + 4
2
𝑎𝑎×ℎ
,
2
onde ℎ é a altura de cada uma das faces.
√3
𝑎𝑎× 𝑎𝑎
2
2
√3𝑎𝑎2
Cálculo auxiliar
𝑎𝑎 2
𝑎𝑎2
ℎ2 + � � = 𝑎𝑎2 ⇔ ℎ2 = 𝑎𝑎2 −
4
2
3𝑎𝑎2
⇔ ℎ2 =
=
=
4
3𝑎𝑎2
Logo, ℎ = �
= 𝑎𝑎 + √3𝑎𝑎2 =
= 𝑎𝑎2 (1 + �3)
4
=
√3
𝑎𝑎.
2
4
2. Seja 𝑙𝑙 o lado do quadrado inscrito na circunferência de raio 𝑟𝑟 e A a área do quadrado.
A = 𝑙𝑙 2 =
=
=
=
=
=
2
=
2
�√7−1�
2
2
�√7� −2√7+1
2
=
8−2√7
1
4−√7
=
4+√7
4+√7
2
4 2 −�√7�
4+√7
𝑙𝑙 2 + 𝑙𝑙 2 = (2𝑟𝑟)2
⇔ 2𝑙𝑙 2 = 4 × �
=
�4−√7)�4+√7��
Cálculo auxiliar
1
𝑟𝑟 =
√7 − 1
=
⇔ 𝑙𝑙 2 =
2
�√7−1�
1
√7−1
2
�
2
=
= 16−7 =
=
4+√7
9
3. Opção (B)
~(𝑦𝑦 < 0 ∨ 𝑦𝑦 ≥ 𝑥𝑥) ⇔ 𝑦𝑦 ≥ 0 ∧ 𝑦𝑦 < 𝑥𝑥
Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano
Expoente
10
|
Daniela Raposo e Luzia Gomes
4.
1+(−2) 2+(−2)
,
�
2
2
4.1. Coordenadas do ponto médio de [𝑃𝑃𝑃𝑃]: �
1
2
= �− , 0�
Coordenadas de um vetor diretor da bissetriz dos quadrantes pares: (−1,1)
1
2
Equação vetorial da reta pretendida: (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �− , 0� + 𝑘𝑘(−1,1), 𝑘𝑘 ∈ ℝ
4.2.
4.2.1. �����⃗
𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑃𝑃 − 𝑃𝑃 = (−2, −2) − (1, 2) = (−3, −4)
𝑚𝑚 =
−4
−3
=
4
3
4
3
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏
4
3
Como 𝑃𝑃 pertence à reta 𝑃𝑃𝑃𝑃, vem 2 = × 1 + 𝑏𝑏.
4
3
2
3
Logo, 𝑏𝑏 = 2 − = .
4
3
Equação reduzida da reta 𝑃𝑃𝑃𝑃: 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 +
2
3
Para que 𝑅𝑅(𝑘𝑘, 𝑘𝑘 − 1) pertença à reta 𝑃𝑃𝑃𝑃, tem que se verificar:
4
3
2
3
4
3
2
3
1
3
𝑘𝑘 − 1 = × 𝑘𝑘 + ⇔ 𝑘𝑘 − 𝑘𝑘 = + 1 ⇔ − 𝑘𝑘 =
5
3
⇔ 𝑘𝑘 = −5
4.2.2. Para que 𝑅𝑅(𝑘𝑘, 𝑘𝑘 − 1) pertença à mediatriz de [𝑃𝑃𝑃𝑃], tem que se verificar 𝑑𝑑(𝑅𝑅, 𝑃𝑃) = 𝑑𝑑(𝑅𝑅, 𝑃𝑃).
Temos que:
𝑑𝑑(𝑅𝑅, 𝑃𝑃) = 𝑑𝑑(𝑅𝑅, 𝑃𝑃)
⇔ �(𝑘𝑘 − 1)2 + (𝑘𝑘 − 1 − 2)2 = �(𝑘𝑘 + 2)2 + (𝑘𝑘 − 1 + 2)2
⇔ 𝑘𝑘 2 − 2𝑘𝑘 + 1 + 𝑘𝑘 2 − 6𝑘𝑘 + 9 = 𝑘𝑘 2 + 4𝑘𝑘 + 4 + 𝑘𝑘 2 + 2𝑘𝑘 + 1
⇔ −8𝑘𝑘 + 10 = 6𝑘𝑘 + 5
⇔ −14𝑘𝑘 = −5
⇔ 𝑘𝑘 =
5
14
Logo, o valor de 𝑘𝑘 para o qual 𝑅𝑅 pertence à mediatriz de [𝑃𝑃𝑃𝑃] é
5
.
14
�����⃗ = (−3, −4)
4.3. 𝑃𝑃𝑃𝑃
�����⃗ , tem de ser da forma 𝜆𝜆𝑃𝑃𝑃𝑃
�����⃗ , isto é,(−3𝜆𝜆, −4𝜆𝜆), 𝜆𝜆 ∈ ℝ.
Para o vetor ser colinear com 𝑃𝑃𝑃𝑃
Para que tenha norma √15, tem que acontecer:
�(−3𝜆𝜆)2 + (−4𝜆𝜆)2 = √15 ⇔ 9𝜆𝜆2 + 16𝜆𝜆2 = 15 ⇔ 25𝜆𝜆2 = 15
⇔ 𝜆𝜆2 =
Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano
15
25
Expoente
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Daniela Raposo e Luzia Gomes
15
25
⇔ 𝜆𝜆 = ±�
⇔ 𝜆𝜆 =
√15
∨ 𝜆𝜆
5
=−
√15
5
�����⃗ , tem-se que 𝜆𝜆 = − √15.
Para que o vetor tenha sentido contrário ao de 𝑃𝑃𝑃𝑃
5
3√15 4√15
, 5 �.
5
Assim, o vetor nas condições pretendidas tem coordenadas �
5. Opção (D)
1
(2𝑎𝑎6 𝑏𝑏 8 )−4 × √8𝑎𝑎−2 =
4
4
1
√2𝑎𝑎 6 𝑏𝑏8
4
4
× √8𝑎𝑎−2 = �
4
8𝑎𝑎−2
2𝑎𝑎6 𝑏𝑏8
=
4
= �𝑎𝑎8 𝑏𝑏8 =
=
1
44
1
(𝑎𝑎8 𝑏𝑏8 )4
1
=
(22 )4
= 𝑎𝑎2 ×𝑏𝑏2 =
=
1
22
(𝑎𝑎𝑏𝑏)2
=
√2
= (𝑎𝑎𝑏𝑏)2
6.
6.1.
6.1.1. 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 4𝑥𝑥 − 10𝑦𝑦 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 22 + 𝑦𝑦 2 − 10𝑦𝑦 + 52 = 22 + 55
⇔ (𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 − 5)2 = 29
O centro da circunferência é o ponto de coordenadas (2, 5). Como este ponto não pertence
à bissetriz dos quadrantes ímpares, pois não verifica a condição 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥, a proposição
apresentada é falsa.
6.1.2. Determinação das coordenadas do ponto 𝐴𝐴: 𝐴𝐴(𝑥𝑥, 7)
Como 𝐴𝐴 pertence à circunferência, vem que:
(𝑥𝑥 − 2)2 + (7 − 5)2 = 29 ⇔ (𝑥𝑥 − 2)2 + 4 = 29
⇔ (𝑥𝑥 − 2)2 = 25
⇔ 𝑥𝑥 − 2 = 5 ∨ 𝑥𝑥 − 2 = −5
⇔ 𝑥𝑥 = 7 ∨ 𝑥𝑥 = −3
Teste N.º 1 de Matemática A_10.º Ano
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|
Daniela Raposo e Luzia Gomes
Como 𝐴𝐴 pertence ao 2.º quadrante, tem--se que 𝑥𝑥 < 0. Logo, 𝑥𝑥 = −3.
Assim, 𝐴𝐴(−3, 7).
�����⃗ é um vetor diretor da reta 𝑟𝑟 e �����⃗
𝑂𝑂𝐴𝐴
𝑂𝑂𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 − 𝑂𝑂 = (−3, 7). Logo, a equação reduzida é do
7
3
7
3
tipo𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏. Como a reta passa na origem, vem que 𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥.
𝑥𝑥 = 𝜋𝜋 + 6𝑘𝑘
, 𝑘𝑘 ∈ ℝ tem como vetor diretor 𝑢𝑢
A reta 𝑡𝑡 definida por �
�⃗(6, −14) (por exemplo)
𝑦𝑦 = √2 − 14𝑘𝑘
e o seu declive é, então, −
14
6
7
3
=− .
Como os declives das retas 𝑟𝑟 e 𝑡𝑡 são iguais, as retas são paralelas (não são retas
coincidentes pois, por exemplo, o ponto da reta 𝑡𝑡 de coordenadas (𝜋𝜋, √2) não pertence à
7
3
reta 𝑟𝑟, já que √2 ≠ − 𝜋𝜋 ).
Assim, a proposição apresentada é verdadeira.
7
3
((𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 − 5)2 ≤ 29 ∧ 𝑦𝑦 ≥ 7) ∨ �(𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 − 5)2 ≤ 29 ∧ 𝑦𝑦 ≤ − 𝑥𝑥�
6.2.
7
3
⇔ (𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 − 5)2 ≤ 29 ∧ �𝑦𝑦 ≥ 7 ∨ 𝑦𝑦 ≤ − 𝑥𝑥�
7. Opção (B)
𝑝𝑝: �(−2019)2 = −2019 é uma proposição falsa.
3
𝑞𝑞: �(−2018)3 = −2018 é uma proposição verdadeira.
Assim:
(𝑝𝑝 ∧ 𝑞𝑞) ⇔ (F ∧ V) ⇔ F
(𝑝𝑝 ∨ 𝑞𝑞) ⇔ (F ∨ V) ⇔ V
(𝑞𝑞 ⇒ 𝑝𝑝) ⇔ (V ⇒ F) ⇔ F
(𝑝𝑝 ⇔ 𝑞𝑞) ⇔ (F ⇔ V) ⇔ F
8. Opção (C)
Das opções apresentadas, apenas o vetor de coordenadas (0, 2018) tem a direção do eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦.
Assim, a única equação que pode definir a reta 𝑟𝑟 é (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (3, 3) + 𝑘𝑘(0, 2018), 𝑘𝑘 ∈ ℝ.
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