GA A Resumo 02 IntorducaoPlanoCartesianoPontosRetas

Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática
Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Resumo Teórico 02 - Introdução, Plano Cartesiano, Pontos e Retas no Plano
INTRODUÇÃO
Conjuntos:
A noção de Conjunto, fundamental na Matemática, não é suscetível de uma Definição precisa a partir de
noções mais simples, isto é, é uma noção de conceito primitivo e foi introduzida no século XIX (19)
pelo Matemático Georg Cantor.
Intuitivamente , sob a designação de Conjunto, entenderemos toda coleção, bem definida, de objetos
(elementos), não importando sua natureza e considerados globalmente.
Segundo G.Cantor: “Chama-se Conjunto o agrupamento, em um todo de objetos, discerníveis e bem
definidos, de nossa percepção ou de nosso entendimento, chamados de Elementos do Conjunto”.
Segundo o grupo N.Bourbaki: “Um conjunto é formado de elementos suscetíveis de possuírem certas
propriedades e de terem entre si, ou com elementos de outros conjuntos certas relações”.
Em matemática definimos e estudamos conjuntos de números, pontos, retas curvas, funções etc.
Notamos, usualmente os conjuntos por uma letra Maiúscula (A,B,C,…X,Y,Z) e os elementos por letras
minúsculas (a,b,c, … x,y,z), assim teremos em notação A={a,b,c,…}, o conjunto A dos elementos
a,b,c….
Para indicar se elementos pertencem a um conjunto definimos a relação de Pertinência (∈).
Um Conjunto cujos elementos são conjuntos é definido como uma Família de Conjuntos.
São particularmente importantes os Conjuntos Numéricos:
Iℕ
Conjunto dos Números Naturais { 0,1,2,3 …….}
ℤ
ℚ
Ι
Conjunto dos Números Inteiros { ….-3,-2,-1,0,1,2,3 …….}
Iℝ
Conjunto dos Números Reais (A reunião dos Racionais e Irracionais)
ℭ
Conjunto dos Números Complexos ( os números da forma (a+bi) com a e b Reais e
i=√-1 . ( todo o número real a é um Complexo visto que a=a+0i).
Conjunto dos Números Racionais (os que podem ser escritos na forma p/q, com q≠0)
Conjunto dos Números Irracionais (os que não podem ser escritos na forma p/q)
Obs.: Consideraremos como conhecidos e de domínio dos alunos os conceitos de:
• Conjunto Unitário;
• Conjunto Vazio;
• Conjunto Universo;
• Conjunto Finito e Infinito;
• Igualdade de Conjuntos;
• Relação de inclusão(⊂);
• Subconjunto;
• Conjuntos Comparáveis;
• Conjunto das Partes de um Conjunto;
• Complementar de um Conjunto;
• Operações elementares de conjuntos( União, Intersecção, Diferença, diferença Simétrica.
PRODUTO CARTESIANO:
Dados dois elementos x e y, definimos como par ordenado a um terceiro elemento que indicamos por
(x,y), podendo inclusive ser y igual a x. O elemento x chama-se primeiro elemento ou primeira
projeção ou primeira coordenada do par ordenado (x,y) e o elemento y chama-se segundo elemento ou
segunda projeção ou segunda coordenada do par ordenado (x,y).
Considerando A e B dois conjuntos não vazios, definimos como Produto Cartesiano de A por B
(notamos AxB), ao conjunto de todos os pares ordenados (x,y), tais que o primeiro elemento x
pertença ao Conjunto A e o segundo elemento y ao conjunto B.
Observamos que o Produto Cartesiano é uma operação entre conjuntos, e que AxB é, usualmente
diferente de BxA.
No caso particular em que A=B o produto AxA chama-se Quadrado Cartesiano ou apenas Quadrado
de A e pode ser indicado por A2 .
O Produto Cartesiano AxB de dois conjuntos pode ser representado por um Diagrama Cartesiano como
segue:
Considerando x os elementos de A e y os elementos de B.
AxB
B
y
• (x,y)
0
xA
GEOMETRIA ANALÍTICA
A Geometria Analítica constitui no estudo da Geometria e das figuras através da Álgebra, isto é, cada
uma das figuras da Geometria pode ser representada por uma Equação Algébrica, através da qual todos
os cálculos das figuras e de seus elementos, posições relativas, distâncias, áreas volumes etc, poder ser
realizados, Algebricamente de uma forma melhor e mais precisa do que
quando realizados
Geometricamente.
Considerando que o conjunto dos números Reais pode ser representado através dos pontos de uma
reta, utilizando duas retas perpendiculares associadas aos números Reais, podemos estruturar um
plano que definiremos como Plano de Coordenadas Ortogonais ou Plano Cartesiano, assim:
•
•
y•
• P=(x, y)
•4
•3
•2
•1
• • • • • • • • • • • • • •
-3 –2 –1 0 1 2 3 4
x
•-1
•-2
•-3
•-4
Cada ponto P de um plano pode ser representado por um par ordenado de números reais que serão
suas coordenadas (Abscissa x e Ordenada y). Desta forma temos a primeira figura geométrica, que é o
Ponto, por uma representação algébrica que é o par ordenado de reais (x,y).
Observamos que cada uma das coordenadas representa numericamente o valor da distância do ponto
aos eixos do plano cartesiano, assim x é a distância do ponto ao eixo y e y é a distância do ponto ao
eixo x
PONTOS
Consideramos de domínio do aluno a capacidade de representar qualquer par ordenado de reais (x,y)
no plano cartesiano, para as coordenadas de valores positivos, negativos ou nulos.
Distância entre dois Pontos: Considerando dois pontos A=(xA,yA) e B=(xB,yB), representados no
plano Cartesiano como segue e tendo em vista que o triângulo ABC é retângulo em C, a Distância entre
os pontos é dada por:
DAB=
•
•
•
•
•
√ (xB - x
A
)2 + (yB - yA ) 2
• B=(xB, yB)
yB •
•
•
yA •
•
•C
•
A=(xA, yA)
• • • • • • • • • • •
0
xA
xB
•
•
•
•
Divisão de um segmento de reta numa razão “r” : Dado um segmento AB, dizemos que um ponto
P divide este segmento numa razão r, quando AP/PB =r. Considerando um segmento AB determinado
pelos pontos A=(xA,yA) e B=(xB,yB), se o Ponto P=(x,y), divide o segmento na razão r , as coordenadas
deste ponto P podem ser obtidas por:
P=(x,y)
(xA + r xB)
x= 
1+r
(yA + r yB)
y= 
1+r
Ponto Médio: Particularmente quando um ponto M=(x,y), é médio de um segmento AB, a razão de
divisão é r=1 e as coordenadas de M são as médias aritméticas das coordenadas dos pontos A e B,
assim teremos:
M=(x,y)
(xA + xB)
x= 
2
(yA + yB)
y= 
2
Condição de Alinhamento de três (3) Pontos: Considerando que dois pontos A=(xA,yA) e B=(xB,yB),
são sempre alinhados, um terceiro ponto P=(x,y), poderá ou não ser alinhado com A e B. A condição de
alinhamento destes pontos pode ser verificada pelo valor do determinante da matriz a seguir:
x y 1
xA yA 1
xB yB 1
Os pontos P,A e B serão alinhados, se o valor do determinante da matriz for igual a 0.
Os pontos não serão alinhados, se o valor do determinante for diferente de 0.
Geometricamente, o Valor, em módulo, do determinante desta matriz, representa a
metade da Área do Triângulo ABP.
RETAS
Equação Geral da reta:
Considerando dois pontos A=(xA,yA) e B=(xB,yB), o conjunto de todos os pontos P=(x,y), alinhados a A
e B, constituem uma reta. assim se calcularmos o valor do determinante abaixo e igualarmos a zero
teremos uma equação cuja solução nos permitirá obter todos os pontos alinhados com A e B, portanto
dados os pontos de uma reta.
x y 1
xA yA 1 = 0 . Este cálculo nos conduzira a uma equação de primeiro grau com duas variáveis tal
xB yB 1
como ax + by + c = 0 .
Esta Equação é definida como a Equação Geral da reta no plano.
Todos os pares de valores (x,y) que satisfazem esta equação (que são infinitos), representam todos os
infinitos pontos da reta.
Particularmente as retas especiais que representam os eixos coordenados e as retas paralelas a estes
tem suas equações representadas como segue:
•
•
•
•
Equação
Equação
Equação
Equação
do eixo das Abscissas(x): y=0;
do eixo das Ordenadas(y): x=0;
paralela ao eixo das Abscissas(x): y=k (onde k é o ponto que a reta intercepta o eixo y);
paralela ao eixo das Ordenadas(y): x=k (onde k é o ponto que a reta intercepta o eixo x);
Equação Reduzida da reta:
Se escrevermos a equação geral da reta ax +by + c =0 em função de y teremos uma equação do tipo
Y = mx + n , (onde = -a/b e = -c/b).
Esta equação é definida como a Equação Reduzida da reta no plano.
Os coeficientes m e n desta equação tem um significado importante para a definição da reta e recebem
por isso denominações diferenciadas de acordo com seu significado como segue:
O coeficiente m é chamado de Coeficiente Angular e seu valor numérico é m=tg ϕ, sendo ϕ o ângulo
que a reta forma com o semi eixo positivo das abscissas (x).
O coeficiente n é chamado de Coeficiente Linear e seu valor numérico é o valor da ordenada do
ponto em que a reta intercepta o eixo das Ordenadas (y).
Considerando o significado dos coeficientes Angular(m) e Linear(n), podemos assegurar que estes
coeficientes determinam perfeitamente a posição de uma reta no plano cartesiano:
B
yB
A
yA
ϕ
xA
m=tg ϕ
ou
n
ϕ
r1: y=mx +n
(yB − yA)
m= 
(xB − xA)
xB
r2: y=mx +n
Observamos que:
• O coeficiente Angular pode ser também obtido através de dois pontos quaisquer da reta A=(xA,yA) e
B=(xB,yB).
• Quando m>0, o ângulo ϕ <90° (reta r1);
• Quando m<0, o ângulo ϕ >90° (reta r2);
Particularmente teremos:
• y=n: A equação de uma reta paralela ao eixo x, pois neste caso ϕ =0° e m=tg 0°=0;
• x=k: A equação de uma reta perpendicular ao eixo x (k constante ∈ IR), pois neste caso ϕ
=90° e m=tg 90°, não é definido;
Equação Segmentária da reta:
A equação de uma reta pode ser particularmente obtida através dos pontos em que a mesma intercepta
os eixos cartesianos P=(p,0) para o eixo x e Q=(0,q) para o eixo y.
Neste caso a equação que representa a reta pode ser escrita na forma:
q
x
y
 +  = 1
p
q
p
que é conhecida como Equação Segmentária da reta.
Posições relativas entre ponto e reta:
Considerando um ponto P=(x0,y0) e uma reta r: ax + by + c =0, poderemos ter:
i. P ∈ r , isto é, o ponto está na reta;
ii. P ∉ r , isto é o ponto não está na reta e existe uma distância entre o ponto e a reta que pode ser
calculada pela fórmula:
Particularmente a distância de uma
reta à origem do sistema cartesiano
|c|
|ax0 + by0 + c |
DPr =  que é o ponto O=(0,0) é calculado
DOr = 
√ a2 + b2
√ a2 + b2
pela fórmula:
Posições relativas entre retas:
Considerando as retas r1: y = m1x + n1 e r2: y = m2x + n2, poderemos ter:
i. r1≡ r2 , as retas são Coincidentes e neste caso m1=m2 e n1=n2 ;
ii.
r1// r2 , as retas são Paralelas e neste caso m1=m2 e n1≠n2 ;
iii.
r1X r2 , as retas são Concorrentes e neste caso m1≠m2 (independentemente de n1 e n2) e as retas
formam um ângulo diferente de 0° entre si;
Particularmente neste caso as retas serão Perpendiculares (formando um ângulo de 90°),
quando m1•m2= −1.
O ângulo θ, formado pelas retas r1 e r2 , pode ser determinado através da fórmula:
m1 − m2
tg θ = 
1+m1•m2
ou
m1 − m2
θ = arc tg 
1+m1•m2
Área de um Triângulo ABC:
Considerando os pontos A=(x1,y1) , B=(x2,y2) e C=(x3,y3), a área do Triângulo que tem A,B e C como
vértices, tem sua área calculada pelo determinante da matriz conforme a fórmula:
x1
y1
1
AABC = ½ x2
y2
y3
1
1
x3
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.