cap08

ELETROMAGNETISMO I
8
66
RESISTÊNCIA E CAPACITÂNCIA
8.1 - RESISTÊNCIA E LEI DE OHM
r
r
A expressão para a densidade de corrente de condução J = σE , vista no capítulo 6, descreve
também a lei de Ohm na sua forma pontual. Consideremos a condução de uma corrente I em um
meio de condutividade σ por uma seção transversal e regular S. Tomando então a equação pontual
da lei de Ohm e multiplicando ambos os lados pela área S, teremos:
r
r
J S= σS E (A)
(8.1)
Em termos de intensidade de corrente, podemos escrever que:
I = σSE ( A )
(8.2)
Vimos no capítulo 5 que o campo elétrico é o gradiente negativo da distribuição dos potenciais. Se
admitirmos o campo elétrico como uniforme, seu módulo será o quociente da diferença entre dois
potenciais V distantes de um comprimento L. Então:
I =
σSV
L
(A )
(8.3)
O termo σS / L é apenas dependente da geometria e do meio por onde a corrente passa.
Independente da tensão e da corrente, é ainda o inverso da resistência elétrica R deste meio com
condutividade σ. A corrente I e a resistência R são então:
I=
V
V
( A ) ; R = (Ω)
R
I
(8.4)
Mesmo que os campos elétricos não sejam uniformes, a resistência ainda é definida como a relação
entre V e I, em que V é a diferença de potencial entre duas superfícies equipotenciais no meio
condutivo e I a intensidade de corrente que atravessa estas superfícies: Podemos então, de modo
genérico, escrever que:
r
a r
Vab − ∫b E ⋅ dL
R=
=
r r (Ω)
I
σ
E
∫ ⋅ dS
(8.5)
S
A resistência elétrica assim definida implica em admitir a corrente percorrendo o meio no sentido
decrescente dos potenciais. Enquanto que o numerador exprime o trabalho realizado contra o
campo por unidade de carga, o denominador desta fração indica o fluxo das linhas de corrente que
cruzam uma determinada secção em um meio de condutividade σ.
É importante ressaltar que a resistência se opõe à passagem da corrente com uma conseqüente
transformação de energia elétrica em térmica, sem armazenamento de energia no campo elétrico que
distribui os potenciais. Repetindo, depende apenas da geometria e do meio ou do material em que
ela é constituída.
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ELETROMAGNETISMO I
Exemplo 8.1
Considere um cabo coaxial com dois cilindros condutores concêntricos de raios a m e b m, conforme
a figura 8.1. Uma diferença de potencial aplicada entre eles é responsável por uma corrente de fuga
entre os condutores interno e externo que constituem o cabo. Se a corrente de fuga por unidade de
comprimento for I A/m, e a condutividade do material entre os condutores for igual a σ S/m, calcule o
valor da resistência de fuga da isolação entre os condutores.
Solução
I
a
a
b
b
Figura 8.1 Cabo coaxial e corrente radial.
r
r
J
E =
σ
A tensão aplicada define superfícies
equipotenciais cilíndricas em que a corrente
de fuga entre os dois condutores se distribui
radialmente.
Vamos inicialmente calcular a densidade de
r
corrente J em um ponto genérico, distante r
m do eixo do cabo entre os dois condutores.
Para um metro de cabo, a corrente de fuga
total será então:
r r
I = ∫ J ⋅ dS ( A )
S( r )
Para uma determinada distância radial r,
observamos que a densidade de corrente tem
seu módulo constante e está alinhada a cada
elemento de área da secção S(r). Daí para um
comprimento unitário vem que:
I = J 2πr .1 (A )
Logo o vetor densidade de corrente é radial e
vale para cada r
r
J =
I
. a$ r
2 πr
(A / m 2 )
r
O campo elétrico E em um ponto r será,
portanto:
r
E =
( V / m)
I
. a$ r
2πrσ
( V / m)
Se a diferença de potencial aplicada entre os
dois cilindros condutores for Vab, teremos:
r
a r
Vab = Va − Vb = − ∫ E ⋅ d l (V)
b
Pelas condições do problema a diferença de
potencial e a corrente consideram apenas a
componente radial do deslocamento, onde
r
d l = drâ r . Então
Vab = −
∫
a
b
I
. dr
2πrσ
( V)
Ou seja:
Vab =
I
b
ln
2πσ a
( V)
Portanto, a resistência de fuga por metro será:
R =
Vab
1
b
=
ln
I
2πσ a
Na realidade a corrente é determinada em função de uma dada posição radial r por
1 2π
I = ∫ ∫ Jâ r ⋅ rdφdzâ r , onde r é admitida constante.
0 0
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( Ω)
68
ELETROMAGNETISMO I
Exemplo 8.2
Considere agora que o dielétrico entre os dois condutores seja formado por dois meios distintos,
conforme mostra a figura 8.2. Calcule a resistência de fuga por metro deste cabo coaxial.
Solução
R=
a
σ1
σ2
R=
b
R1 =
A diferença de potencial entre os dois
condutores é constante. Portanto:
;
R2 =
V
I2
1
b
ln
πσ 1 a
(Ω)
R2
R 1.R 2
( Ω)
R1 + R 2
( Ω)
;
R2 =
1
b
ln
πσ 2 a
( Ω)
A resistência (equivalente) será então dada
por:
( Ω)
Observe que agora para r constante temos I1 =
R1
+V
Por analogia com o exemplo anterior podemos
escrever as expressões para R1 e R2:
I = I1 + I 2 (A )
( Ω)
V
R=
Como no exemplo anterior, a corrente se
distribui radialmente e há dois meios
diferentes sob a mesma tensão elétrica.
Podemos então considerar que a corrente
total é a soma de duas correntes I1 e I2.
V
I1
V
Como poderíamos esperar a resistência total
é:
Figura 8.2 Cabo co-axial com 2 dielétricos em
paralelo.
R1 =
V
V
=
(Ω)
I I1 + I 2
R=
1
b
ln (Ω)
π(σ1 + σ 2 ) a
1 π
1 π
0 0
0 0
∫ ∫ J1â r ⋅ rdφdzâ r e I 2 = ∫ ∫ J 2 â r ⋅ rdφdzâ r .
Exemplo 8.3
Considere agora a configuração mostrada na figura 8.3. Calcular a resistência de fuga.
Solução
σ2
b
Todas as linhas de corrente são radiais e
passam tanto pelo condutor 1 como pelo
condutor 2. Podemos então assumir que as
correntes nos meios 1 e 2 são iguais e:
c
I = I1 = I 2 (A )
a
σ1
Porém a diferença de potencial aplicada entre
os condutores é:
V = V1 + V2
Figura 8.3 Cabo co-axial com 2 dielétricos em
série.
V1 = R 1 . I
( V)
;
( V)
V2 = R 2 . I
R 1.I + R 2 .I = R.I (V)
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( V)
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ELETROMAGNETISMO I
V2 =
R = R 1 + R 2 (Ω)
r r
a
V1 = − ∫c E1 .d r (V)
V1 =
R1 =
I
c
ln (V )
2πσ1 a
1
c
ln
2 πσ 1 a
R=
r r
c
V2 = −∫b E 2 .d r (V )
I
b
ln
2 πσ 2 c
( Ω)
;
( V)
R2 =
1
b
ln
2 πσ 2
c
1 ⎛ 1 c 1 b⎞
⎜ ln + ln ⎟ (Ω)
2 π ⎜⎝ σ1 a σ 2 c ⎟⎠
8.2 - CAPACITÂNCIA
Sejam dois condutores imersos em um meio dielétrico homogêneo, conforme ilustra a figura 8.4. O
condutor M1 possui uma carga positiva de Q coulombs e o condutor M2 uma carga de mesma
magnitude, porém de sinal contrário. Podemos dizer então que existe, pois, uma diferença de
potencial V (V1 em M1 maior do que V2 em M2) entre esses dois condutores, exprimindo a idéia de
capacitância.
A capacitância C deste sistema é definida como:
C=
Q
(F)
V
(8.6)
Considerando uma carga elétrica livre Q em valor absoluto presente em cada condutor, podemos,
∫S
r
r
empregando Q = D ⋅ dS , escrever que:
r r
∫ εE.dS
C = SM r r (F)
− ∫ E.dL
M
(8.7)
1
2
E
M1
M2
Figura 8.4 Dois condutores carregados, imersos em um meio dielétrico.
Podemos notar que tanto a carga Q com a diferença de potencial V entre os condutores, são obtidas
em função do campo que se estabelece no dielétrico. Lembre que cargas positivas determinam
potenciais positivos e cargas negativas determinam potenciais negativos ao estabelecer os extremos
de integração na equação (8.7).
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( Ω)
70
ELETROMAGNETISMO I
Exemplo 8.4
Considere o capacitor da figura 8.5 com duas placas paralelas iguais de área S, separadas por uma
distância d. O dielétrico entre elas tem permissividade ε. Calcular a capacitância C deste arranjo.
Solução
+ σs
σs
d
z
E
Figura 8.5 Capacitor de placas paralelas.
Pela definição de capacitância:
Q
C =
V
Os
extremos
de
integração
foram
determinados segundo a orientação do eixo z.
No caso, foi desprezado o efeito das bordas
para o campo elétrico. Assim:
( F)
Como a carga se distribui na superfície plana
e condutora de cada placa
Q = ρs .S
ρsd
ε
V =
(C)
( V)
Daí:
Vemos que esta distribuição de cargas
superficiais gera um campo no dielétrico e
conseqüentemente uma tensão elétrica dada
por:
V = −
∫
sup
inf
r r
E. dL = −
∫
0
d
ρs
. dz
ε
C =
ρ sS
εS
=
( ρ s ε)d d
( F)
Independente de Q e V.
( V)
Conhecendo a configuração do campo no dielétrico, podemos determinar tanto a carga como a
diferença de potencial, exigidas para o cálculo da capacitância.
Exemplo 8.5
Suponha agora que o dielétrico tenha a configuração mostrada na figura 8.6. Calcular a capacitância
C.
Solução
d
E
V
Figura 8.6 Capacitor com 2 dielétricos em paralelo.
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71
O campo elétrico neste caso possui somente
a componente tangencial na interface entre
os dielétricos. Pelas condições de fronteira
entre os dielétricos:
∫
s2
r
r
D 2 . dS = Q 2
( C)
Q = Q1 + Q 2
E t1 = E t 2
∫
r
r
r
E1 = E 2 = E
s1
r
r
D 1 . dS +
∫
s2
( C)
r
r
D 2 . dS = Q
r
r
r
D1 = ε1E1 = ε1E
( C / m2 )
D 1S 1 + D 2 S 2 = Q
r
r
r
D2 = ε 2 E 2 = ε 2 E
( C / m2 )
ε 1 E.S 1 + ε 2 E.S 2 = Q
∫
s
∫
s1
( C)
r
r
D 1 . dS = Q 1
( C)
( C)
V
= Q ( C)
d
ε 1S 1
ε S
Q
+ 2 2 =
( F)
d
d
V
( ε 1S 1
Pela lei de Gauss:
r r
D. dS = Q
( C)
+ ε 2S2 )
C1 + C 2 = C
( C)
( F)
Exemplo 8.6
Tendo o dielétrico entre as placas a configuração da figura 8.7, calcular a capacitância C.
Solução
V2
D
d
V
V1
Fig. 8.7 - Capacitor com 2 dielétricos em série
O campo elétrico neste caso possui somente
a componente normal na interface entre os
dielétricos. Pelas condições de fronteira entre
os dielétricos:
D. S = Q
D n1 = D n 2 = D
ε1E1 = ε 2 E 2
V1 = E1d1
( V)
( C / m2 )
;
V2 = E 2d 2
V = V1 + V2
V =
D
D
d1 +
d2
ε1
ε2
Pela lei de Gauss:
r
( V)
( V)
r
∫ D. dS = Q
( C) ⇒ D =
V=Q
( C)
Q
S
d
d1
+Q 2
Sε 2
Sε 1
(C / m 2 )
( V)
( V)
d
d
V
= 1 + 2
ε 1S
ε 2S
Q
1
1
1
=
+
C
C1
C2
(1 / F)
ELETROMAGNETISMO I
72
EXERCÍCIOS
1) Mostre que a resistência elétrica de qualquer material com condutividade σ vale R = L / (σA),
admitindo-se que uma distribuição uniforme de corrente atravessa uma secção reta de área
constante A ao longo do seu comprimento L.
2) Determine a resistência que existe entre as superfícies curvas, interna e externa de um bloco
de prata, definido por raios de curvatura com 0,2 m e 3,0 m respectivamente, uma abertura
angular de 5º e espessura de 0,05 m. Dado: condutividade da prata σ = 6,17 x 107 S/m.
3) Uma dada chapa de alumínio possui 1,0 mil de espessura, 5,0 cm de lado e condutividade
38,2 MS/m. Calcule a resistência elétrica desta chapa (a) entre os lados que se opõem às
faces quadradas e (b) entre as duas faces quadradas.
4) Calcule a resistência de isolação de um cabo coaxial de comprimento l e raios interno e
externo ra e rb respectivamente.
5) Determine a resistência oferecida por um condutor de cobre ao longo de 2 m de comprimento
por uma secção reta circular de raio de 1 mm em uma extremidade e que vai aumentando
linearmente até um raio de 5 mm na outra. A condutividade do cobre é 58 MS/m.
6) Mostre que a energia armazenada entre as armaduras de um capacitor é maior quando
existe um dielétrico, comparativamente ao espaço-livre. Demonstre também que a energia
armazenada por um capacitor quando este se encontra carregado com uma carga Q e
submetido a uma tensão V é dada por CV2/2.
7) Calcule a capacitância que existe entre duas placas paralelas, uma superior com carga + Q e
uma inferior com carga – Q, existindo entre elas um dielétrico de permissividade ε. Despreze
o espraiamento do campo elétrico nas bordas das placas condutoras.
8) Determine a capacitância de um cabo coaxial de comprimento finito L, onde o condutor
interno tem raio a e o externo raio b, tendo entre eles um dielétrico de permissividade ε.
9) Calcule a capacitância que existe entre duas placas planas que formam um ângulo de 5º
definidas por raios de curvatura com 1 mm e 30 mm respectivamente e uma altura de 5 mm,
cuja região entre elas encontra-se preenchida por um dielétrico de permissividade relativa
4,5.
10) Retomando o problema anterior, qual a separação d que leva à mesma capacitância quando
as placas encontram-se paralelas?
11) Calcule a resistência por unidade de comprimento entre duas superfícies curvas
concêntricas, uma de raio r = 0.2 m, outra de raio 0.4 m, limitadas por um ângulo de 30º. O
material entre elas possui uma condutividade σ = 6,17×107 S/m.
12) Calcule a resistência de um condutor de alumínio com condutividade 35 MS/m, de 2 m de
comprimento, seção reta quadrada de 1 mm2 em uma extremidade, aumentando linearmente
para 4 mm2 na outra extremidade.
13) Por um defeito de fabricação, um cabo coaxial possui um deslocamento entre os centros dos
condutores interno e externo conforme mostrado na figura a seguir. Tendo o dielétrico uma
condutividade de 20 µS/m, determine a resistência de isolação por metro desse cabo.
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73
ELETROMAGNETISMO I
0.8 cm
2 cm
4 cm
Figura para o problema 13
14) Resolver o problema anterior, considerando agora os cabos concêntricos. Compare os
resultados.
15) Encontre a capacitância entre as superfícies condutoras do capacitor mostrado na figura
abaixo, preenchido por um dielétrico de permissividade relativa 5,5.
εr = 5,5
30º
60 mm
5 mm
4 mm
Figura para o problema15
16) Calcule a capacitância por unidade de comprimento entre um condutor cilíndrico de 6 cm de
diâmetro e um plano condutor, paralelo ao eixo desse cilindro, distante 10 m do mesmo.
17) Um capacitor de placas paralelas com área de 0,30 m2 e separação 6 mm contém três
dielétricos assim distribuídos : εr1 = 3.0, com espessura de 1 mm. εr2 = 4.5 com espessura de
2 mm e εr3 = 6,0 com espessura de 3 mm. Aplicando-se uma ddp de 1200 V sobre o
capacitor, encontre a diferença de potencial e o gradiente do potencial (intensidade do campo
elétrico) em cada dielétrico.
18) A figura a seguir mostra um cabo coaxial cujo condutor interno possui raio de 0,6 mm e o
condutor externo raio de 6 mm. Calcule a capacitância por unidade de comprimento incluindo
os espaçadores como indicado com constante dielétrica 6,0.
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ELETROMAGNETISMO I
74
12.5mm
50 mm
Figura para o problema 18
19) Um cabo de potência blindado opera com uma tensão de 12,5 kV no condutor interno em
relação à capa cilíndrica. Existem duas isolações: a primeira tem permissividade relativa igual
a 6,0, e é do condutor interno em r = 0,8 cm a r = 1,0 cm, enquanto que a segunda tem
permissividade relativa igual a 3,0 e vai de r = 1,0 cm a r = 3,0 cm, que corresponde à
superfície interna da capa externa. Encontre o máximo gradiente de tensão em cada isolação
empregada.
20) Um certo cabo de potência blindado tem isolação de polietileno para o qual εr = 3,26 e rigidez
dielétrica 18,1 MV/m. Qual é o limite superior de tensão sobre o condutor interno em relação
à blindagem quando o condutor interno possui raio de 1 cm e o lado interno da blindagem
concêntrica apresenta raio de 8,0 cm ?
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