Estado Triaxial de Tensões

Estado Triaxial de Tensões
Nota de aula 5 - Estado
Triaxial de Tensões Resistência dos Materiais
II
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2011
Flávia Bastos
RESMAT II
1/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Informações sobre este documento: Estes slides servem para
auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de
resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia
Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.
Flávia Bastos
RESMAT II
2/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
Tensão é uma medida de intensidade de força, tanto dentro
quanto no contorno de um corpo sujeito a forças.
• Forças de corpo: agem em elementos volumétricos
distribuídos ao longo de todo o corpo (ex: força peso);
• Forças de superfície: agem em elementos de área
localizados em determinadas porções da superfície ou
contorno do corpo (ex: força de contato);
Flávia Bastos
RESMAT II
3/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
Seja P um ponto no interior do corpo. Imagine um plano de
seção π passando pelo ponto P.
Flávia Bastos
RESMAT II
4/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
Seja P um ponto no interior do corpo. Imagine um plano de
seção π passando pelo ponto P.
O ponto P está no centro de um elemento de área ∆A, cuja normal é
n. Seja ∆FR a parcela de força sobre o elemento ∆A em torno de P.
Flávia Bastos
RESMAT II
4/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
Define-se o vetor de tensão total no ponto P segundo o plano π
como:
−−→
∆Fr
ρn = lim
f ∆A→0 ∆A
Flávia Bastos
RESMAT II
(1)
5/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
O vetor de tensão total pode ser decomposto segundo duas
direções:
ρn = σn n + τ t
(2)
e
e
f
onde n e t são vetores unitários, ou ainda, utilizando um par de
e
eixos eortogonais
t1 e t2 no plano π:
e e
ρn = σn n + τt1 t1 + τt2 t2
(3)
e
e
e
f
Flávia Bastos
RESMAT II
6/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
Podemos proceder de modo sistemático realizando cortes
segundo planos coordenados passando pelo ponto de
interesse.
ρx = σxx i + τxy j + τxz k
e
e
e
e
ρy = τyx i + σyy j + τyz k
e
e
e
e
ρz = τzx i + τzy j + σzz k
e
e
e
e
Flávia Bastos
RESMAT II
7/26
(4)
(5)
(6)
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
Convenção de sinais:
• Em faces cuja
normal é positiva,
tensões serão
positivas se
apontarem nas
direções positivas
dos eixos.
• Em faces cuja
normal é negativa,
tensões serão
positivas se
apontarem nas
direções negativas
dos eixos.
Flávia Bastos
RESMAT II
8/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Natureza da grandeza tensão
O primeiro índice indica o eixo da normal ao plano de seção e
o segundo índice indica o eixo na direção que a componente
atua. Os valores das componentes formam a matriz de
tensões dada por:


σxx τxy τxz
(7)
σ =  τyx σyy τyz 
e
e
τzx τzy σzz
Flávia Bastos
RESMAT II
9/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Simetria da matriz de tensões
X
MP = 0
(8)
∂τxy
∂τyx
dx = 0
dy dxdz
dy − τxy +
dx dydz |{z}
τyx +
| {z } |{z}
| {z }
∂y
∂x
|
{z
} Área braço |
{z
} Área braço
Tensão
τyx dxdydz +
Tensão
(9)
∂τyx 2
∂τxy 2
dy dxdz − τxy dxdydz −
dx dydz
∂y
∂x
Flávia Bastos
RESMAT II
10/26
(10)
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Simetria da matriz de tensões
τyx = τxy
(11)
e
(12)
Analogamente:
τzx = τxz
Flávia Bastos
τyz = τzy
RESMAT II
11/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Simetria da matriz de tensões
Flávia Bastos
RESMAT II
12/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Simetria da matriz de tensões
τyx = τxy
e
τzx = τxz
e
τyz = τzy
(13)
Logo:
σT = σ
e
e
e
e
Escrevemos que:
(14)

σxx τxy τxz
σ =  τxy σyy τyz 
e
e
τxz τyz σzz

Flávia Bastos
RESMAT II
13/26
(15)
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Cálculo do Vetor tensão total num
plano qualquer
Plano qualquer de normal N (l, m, n) (cossenos
diretores).
Área ∆AOC = ∆ABC ·m;
Área ∆BOC = ∆ABC · l;
Área ∆BOA = ∆ABC · n;
ΣFx = 0
ρx (∆ABC) = σxx (∆ABC) · l + τyx (∆ABC) · m + τzx (∆ABC) · n
(16)
Flávia Bastos
RESMAT II
14/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Cálculo do Vetor tensão total num
plano qualquer
X
Fx = 0 ⇒ ρx = σx l + τyx m + τzx n
(17)
X
Fy = 0 ⇒ ρy = τxy l + σy m + τzy n
(18)
X
Fz = 0 ⇒ ρz = τxz l + τzy m + σz n
(19)
ou:

 


σxx τyx τzx  l 
 ρx 
ρy
m
=  τxy σyy τzy 




ρz
τxz τyz σzz
n
Flávia Bastos
RESMAT II
15/26
(20)
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Podemos então reescrever:
ρn = σ T N
f e
e e
σT = σ
e
e
e
e


 l 
m
N=


e
n
ou como
com
ρn = σ N
f e
ee
(21)
(22)
A tensão normal em um plano qualquer é obtida pela projeção
do vetor total sobre a normal ao plano (produto escalar):
Tensão tangencial:
σn = ρn · N
f e
τn =
(23)
q
|ρn |2 − σn2
f
Flávia Bastos
RESMAT II
(24)
16/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Exemplo 1
Dado o tensor de tensão abaixo que define o estado de tensão
num ponto de uma estrutura, pede-se determinar o vetor
tensão total, a tensão normal e a tensão tangencial total
atuando num plano paralelo ao plano x + 2y + 2z = 6 passando
por este ponto. Determine também as forças totais, tangencial
e normal neste plano considerando uma área de 10mm2 .


2 4 3
σ = 100  4 0 0  N/mm2
e
e
3 0 1
Flávia Bastos
RESMAT II
17/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Problema da solicitação axial:
 F
A
σ= 0
e
e
0

0 0
0 0 
0 0
Para um plano de seção cuja normal é N = cosϕi + senϕj
e
e
e
passando por um ponto P qualquer da peça,
determinar
as
orientações que resultam nas máximas tensões normal e
tangencial.
Flávia Bastos
RESMAT II
18/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Tensão total no plano.
com
ρn = σ N
f e
ee

F
A
ρn =  0
f
0


 l 
m
N=


e
n
 

0 0  cosϕ  
senϕ
=
0 0 

 
0
0 0
F
A cosϕ
0
0
|ρn | = σx cosϕ
f
Flávia Bastos
RESMAT II
19/26




 ρnx 
ρny
=
 

ρnz
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Tensão normal no plano.
σn = ρn · N
f e


 cosϕ  F
F
senϕ
σn = A cosϕ 0 0
= cos2 ϕ

 A
0
σn = σx cos2 ϕ
Flávia Bastos
RESMAT II
20/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Tensão tangencial no plano.
q
|ρn |2 − σn2
f
p
p
τn = σx cos2 ϕ − cos4 ϕ = σx cos2 ϕ(1 − cos2 ϕ) = σx cosϕsenϕ =
τn =
τn = σx
Flávia Bastos
sen2ϕ
2
RESMAT II
21/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Tensão normal máxima.
σn = σx cos2 ϕ
sen2ϕ
dσn
= −2σx cosϕsenϕ = −2σx
= −σx sen2ϕ
dϕ
2
dσn
= −σx sen2ϕ = 0
dϕ
2ϕ = 0 ∴ ϕ = 0
sen2ϕ = 0 ⇒
2ϕ = π ∴ ϕ = π2
Flávia Bastos
RESMAT II
22/26
ou
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Tensão normal máxima.
d2 σn
= −2σx cos2ϕ < 0 em ϕ = 0 ⇒ σn = σx
dϕ2
d2 σn
π
= −2σx cos2ϕ > 0 em ϕ = ⇒ σn = 0
2
dϕ
2
Flávia Bastos
RESMAT II
23/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Tensão tangencial máxima.
τn = σx
sen2ϕ
2
dτn
= σx cos2ϕ = 0
dϕ
cos2ϕ = 0 ⇒
2ϕ = ± π2 ∴ ϕ = ± pi
4
Flávia Bastos
RESMAT II
24/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Tensão tangencial máxima.
d2 τn
pi
σx
= −2σx sen2ϕ < 0 em ϕ =
⇒ τn =
2
dϕ
4
2
d2 τn
π
σx
= −2σx cos2ϕ > 0 em ϕ = − ⇒ τn = −
2
dϕ
4
2
Flávia Bastos
RESMAT II
25/26
Estado Triaxial de Tensões
Natureza da grandeza tensão
Exemplo 2
Solução.
• Em ϕ = 0 ⇒ σn = σx e τn = 0;
• Em ϕ = π2 ⇒ σn = 0 e τn = 0;
• Em ϕ = ± π4 ⇒ σn = σ2x e τn = ± σ2x ;
Flávia Bastos
RESMAT II
26/26
Estado Triaxial de Tensões
Nota de aula 6 - Estado
Triaxial de Tensões Resistência dos Materiais
II
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2011
Flávia Bastos
RESMAT II
1/5
Estado Triaxial de Tensões
Rotação do tensor de tensões
Informações sobre este documento: Estes slides servem para
auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de
resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia
Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.
Flávia Bastos
RESMAT II
2/5
Estado Triaxial de Tensões
Rotação do tensor de tensões
Rotação do tensor de tensões
Os cossenos diretores das direções unitárias x0 , y 0 , z 0 em relação a
∧
x, y, z são dados por li0 j = cos(i0 , j) para i = x0 y 0 z 0 e j = xyz.
i0
e
j0
e
k0
e
Matricialmente:
= l11 i + l12 j + l13 k
e
e
e
= l21 i + l22 j + l23 k
e
e
e
= l31 i + l32 j + l33 k
e
e
e
 0  
l11
 i 
je0
=  l21
 e0 
l31
k
e
|
l12
l22
l32
{z
R


l13  i 
e
j
l23 
 e 
l33
k
e
}
e
e
onde R é a matriz de rotação formada pelos cossenos diretores.
e
e
Flávia Bastos
RESMAT II
3/5
(1)
(2)
(3)
(4)
Estado Triaxial de Tensões
Rotação do tensor de tensões
Rotação do tensor de tensões
• R é ortogonal, isto é, RT = R−1 ou RT R−1 = I
e
e
e
e
e
e
• Sendo I o tensor identidade.
e
e e
e
e
e
Flávia Bastos
RESMAT II
4/5
e
e
Estado Triaxial de Tensões
Rotação do tensor de tensões
Rotação do tensor de tensões
• Cálculo do tensor de tensão em x0 , y 0 , z 0 a partir de suas
componentes em x, y, z
ρ0 = R ρ; N 0 = R N ∴ N = R T N 0
e
e
e
e
e
ee e
ee
e e
ρ0 = Rσ N = Rσ RT N 0
e
e
e
ee
ee
ee
ee
e e
ρ0 = σ 0 N 0
e
e
e e
σ 0 N 0 = Rσ RT N 0
e
e
e e
ee
ee
e e
σ 0 = Rσ RT
e
e
e
ee
ee
e
Flávia Bastos
RESMAT II
(5)
5/5
Nota de aula 7 - Estado
Triaxial de Tensões Resistência dos Materiais
II
Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo)
MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF
2o. semestre de 2011
Flávia Bastos
RESMAT II
1/1
Informações sobre este documento: Estes slides servem para
auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de
resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia
Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo.
Flávia Bastos
RESMAT II
2/1
Tensões Principais
• Tensões Principais são valores das tensões normais em
torno de um ponto segundo planos onde não existem
tensões tangenciais.
• Os planos nos quais estas tensões atuam são
denominados de planos principais e as normais que
definem estes planos são denominadas de direções
principais.
Flávia Bastos
RESMAT II
3/1
Determinação das Tensões Principais
Suponha que e seja uma direção principal. Então a tensão total
neste plano é eigual à tensão nornal neste plano, isto é:
(1)
ρn = σ N
f e
ee
ρe = σ e = σe e
(2)
e
e
e
ee
onde designamos por σe a tensão principal atuante neste plano
principal. Logo:
(3)
σ e = σe Ie
e
e
ee
ee
e, com o tensor identidade I:
e
e
σ − σe I e = 0
e
e
e
e e e
Flávia Bastos
RESMAT II
(4)
4/1
Determinação das Tensões Principais
σ − σe I e = 0
(5)
e
e
e
e e e
Esta equação descreve um sistema de equações algébrico
lineares homogêneo que, para ter solução diferente da trivial
e = 0, requer que:
e e
det σ − σe I = 0
(6)
e
e
e
e
ou:
σxx − σe
τxy
τxz
τyx
σyy − σe
τyz
τzx
τzy
σzz − σe
=0
que resulta numa equação do 3o grau na incógnita σe .
Flávia Bastos
RESMAT II
5/1
(7)
Determinação das Tensões Principais
σe3 − I1 σe2 + I2 σe − I3 = 0
(8)
onde I1 , I2 e I3 são os invariantes do tensor de tensões.
I1 = σxx + σyy + σzz = trσ
e
e
I2 =
σxx σxy
σxy σyy
I3 =
+
σxx σxz
σxz σzz
σxx σxy σxz
σxy σyy σyz
σxz σyz σzz
Flávia Bastos
RESMAT II
+
σyy σyz
σyz σzz
= det σ
e
e
6/1
Determinação das Tensões Principais
Esta equação possui três raízes reais que são as tensões
principais:
σe = σe1 σe = σe2 σe = σe3
Para cada uma destas soluções podemos calcular a direção do
plano associada a cada tensão principal. Assim:
σ − σe1 I e1 = 0 ⇒ e1 → determinado
e
e
e
e
e e e
σ − σe2 I e2 = 0 ⇒ e2 → determinado
e
e
e
e
e e e
σ − σe3 I e3 = 0 ⇒ e3 → determinado
e
e
e
e
e e e
Flávia Bastos
RESMAT II
7/1
Ortogonalidade das Direções
Principais
σe1 , e1
duas tensões principais e suas respectivas
σe2 , ee2
e
direções. Podemos
afirmar que:
(a)
σ e1 = σe1 e1
ee
e
σ e2 = σe2 e2
(b)
ee
e
Pré-multiplicando (a) por e2 T obtém-se:
e
Sejam
e2 T σ e1 = σe1 e2 T e1
e e
e e
ee
Transpondo ambos os termos:
e1 T σ T e2 = σe1 e1 T e2
e e
e e
e e
Flávia Bastos
RESMAT II
8/1
Ortogonalidade das Direções
Principais
e1 T σ T e2 = σe1 e1 T e2
e e
e e
e e
T
Como σ = σ , utilizando (b):
e
e e
e
e1 T σe2 e2 = σe1 e1 T e2
e
e
e e
o que resulta em:
Como em geral σe2
e1 T e2 (σe2 − σe1 ) = 0
e e
6= σe1 , devemos ter que:
e1 T e2 = 0 ⇒ e1 · e2 = 0
e e
e e
Flávia Bastos
logo
RESMAT II
9/1
e1 ⊥e2
e e
Ortogonalidade das Direções
Principais
Analogamente podemos ver que e1 ⊥e3 e e2 ⊥e3 , de onde se
e dee um ponto são
conclui que as direções principaiseemetorno
ortogonais.
Flávia Bastos
RESMAT II
10/1
Estacionaridade das Tensões
Principais
Apresentamos agora o caráter de valor extremo (máximo ou
mínimo) das tensões principais em torno de um ponto. O
tensor de tensões num ponto descrito segundo suas direções
principais é dado por:


σ1 0 0
σ 123 =  0 σ2 0 
(9)
e
e
0 0 σ3
Flávia Bastos
RESMAT II
11/1
Estacionaridade das Tensões
Principais
O vetor tensão total num plano que tem sua normal com
relação a estas direções principais indicado por N vale:
e


 l 
m
com
N=
ρn = σ 123 N


e
f e
e e
n
(10)
Logo:
ρn = σ1 l σ2 m σ3 n
f
A tensão normal neste plano vale:
(11)
σn = ρn · N = σ1 l2 + σ2 m2 + σ3 n2
f e
Flávia Bastos
RESMAT II
12/1
(12)
Estacionaridade das Tensões
Principais
Como l2 = 1 − m2 − n2 , podemos escrever:
σn = (1 − m2 − n2 )σ1 + m2 σ2 + n2 σ3
Para obter os valores máximos (extremos) de σn
∂σn
∂m = 0 ⇒ 2m(σ2 − σ1 ) = 0
∂σn
∂n = 0 ⇒ 2n(σ3 − σ1 ) = 0
(13)
(14)
Obtemos como solução: m = 0; n = 0 e l2 = 1 ⇒ l = ±1. Logo
a direção l = ±1 é uma direção na qual o valor de σn é um
extremo mostrando com isto que σ1 é um destes valores.
Flávia Bastos
RESMAT II
13/1
Estacionaridade das Tensões
Principais
Podemos eliminar m e n e obter resultados similares o que
mostra que σ1 , σ2 e σ3 são os valores extremos das tensões
normais em torno de um ponto.
Flávia Bastos
RESMAT II
14/1
Estacionaridade das Tensões
Principais
Tensão tangencial:
τn2 = |ρn |2 − σn2
f
(15)
τn2 = (σ12 l2 + σ22 m2 + σ32 n2 ) − (σ1 l2 + σ2 m2 + σ3 n2 )2
(16)
Como l2 = 1 − m2 − n2 :
τn2 = (1−m2 −n2 )σ12 +σ22 m2 +σ32 n2 −[(1−m2 −n2 )σ1 +σ2 m2 +σ3 n2 ]2
(17)
Flávia Bastos
RESMAT II
15/1
Estacionaridade das Tensões
Principais
τn2 = (1−m2 −n2 )σ12 +σ22 m2 +σ32 n2 −[(1−m2 −n2 )σ1 +σ2 m2 +σ3 n2 ]2
(18)
Valores extremos :
∂τ
=0
∂m
2τ
∂τ
∂m
∂τ
=0
∂n
= −2[(1 − m2 − n2 )σ1 + σ2 m2 + σ3 n2 ](−2mσ1 + 2mσ2 )
−2mσ12 + 2mσ22
τ
∂τ
∂m
= m(σ22 − σ12 ) + −[m2 (σ2 − σ1 ) + n2 (σ3 − σ1 ) + σ1 ]
Flávia Bastos
RESMAT II
16/1
Estacionaridade das Tensões
Principais
Igualada a zero:
m(σ22 − σ12 ) − 2m3 (σ2 − σ1 )2 − 2mn2 (σ2 − σ1 )(σ3 − σ1 )
−2mσ1 (σ2 − σ1 ) = 0
m(σ2 + σ1 )(σ2 − σ1 ) − 2m3 (σ2 − σ1 )2 − 2mn2 (σ2 − σ1 )(σ3
−σ1 ) − 2mσ1 (σ2 − σ1 ) = 0
Flávia Bastos
RESMAT II
17/1
Estacionaridade das Tensões
Principais
m(σ2 + σ1 )(σ2 − σ1 ) − 2m3 (σ2 − σ1 )2
−2mn2 (σ2 − σ1 )(σ3 − σ1 ) − 2mσ1 (σ2 − σ1 ) = 0
Dividindo todos os termos por (σ2 − σ1 ) e colocando 2m em
evidência:
(σ2 − σ1 )
2
2
− m (σ2 − σ1 ) − n (σ3 − σ1 ) = 0
(19)
2m
2
Flávia Bastos
RESMAT II
18/1
Estacionaridade das Tensões
Principais
Derivando com relação a n
2τ
∂τ
∂n
= −2nσ12 + 2nσ32 − 2 [ −2nσ1 + 2nσ3 ] 1 − m2 − n2 σ1
+m2 σ2 + n2 σ3
= n σ32 − σ12 − 2nm2 (σ3 − σ1 ) (σ2 − σ1 ) − 2n3 (σ3 − σ1 )2
−2nσ1 (σ3 − σ1 )
Que dividida por (σ3 − σ1 ) e igualada a zero nos fornece:
n(σ3 + σ1 ) − 2nm2 (σ2 − σ1 ) − 2n3 (σ3 − σ1 ) − 2nσ1 = 0
Ou:
2n
(σ3 − σ1 )
− m2 (σ2 − σ1 ) − n2 (σ3 − σ1 ) = 0
2
Flávia Bastos
RESMAT II
19/1
(20)
Estacionaridade das Tensões
Principais
Temos então o seguinte sistema de equações não lineares:

h
i
(σ2 −σ1 )
2 (σ − σ ) − n2 (σ − σ )

m
−
m
= 0

2
1
3
1
2
 h
i
1)
n (σ3 −σ
− m2 (σ2 − σ1 ) − n2 (σ3 − σ1 )
= 0
2


 2
l + m2 + n2 = 1
Uma solução deste sistema é dada por:
m = 0; n = 0 ⇒ l = ±1
Estes são os cossenos diretores de um dos planos principais
cuja a tensão tangencial é nula.
Flávia Bastos
RESMAT II
20/1
Estacionaridade das Tensões
Principais
Uma outra solução com m = 0 que satisfaz a primeira destas
equações é obtida substituindo na parcela entre parênteses da
segunda equação:
(σ3 − σ1 )
− n2 (σ3 − σ1 ) = 0
2
cuja solução é:
√
1
2
n = ⇒n=±
2
2
Utilizando a terceira equação obtemos:
√
1
2
2
l = ⇒l=±
2
2
2
Flávia Bastos
RESMAT II
21/1
Estacionaridade das Tensões
Principais
Temos então como solução geral deste sistema:
(
√
√
2
2
m = 0; l = ±
;n = ±
2
2
Procedendo de modo análogo eliminando-se m e n na equação
de determinação (
de τn , obtemos√
outro conjunto
de soluções:
√
2
2
;l = ±
n = 0; m = ±
2
2
(
√
√
2
2
l = 0; m = ±
;n = ±
2
2
Cada conjunto destes valores define um plano bissetor dos
planos principais em torno do ponto.
Flávia Bastos
RESMAT II
22/1
Estacionaridade das Tensões
Principais
Cálculo das tensões tangenciais extremas.
√
Determinemos o valor de τn para m = 0; l = ± 22 ; n = ±


σ1 0 0
Como σ 123 =  0 σ2 0  e a direção possui
e
e
 √  0 0 σ3


 22 
0
, o vetor tensão total será:
N=
√

e
 2 

2
o
n √
√
2
2
ρn = σ N =
σ
0
σ
1
3
2
2
f e
ee
Cujo módulo vale:
σ 2 + σ32
|ρn |2 = 1
2
f
Flávia Bastos
RESMAT II
23/1
√
2
2 .
(21)
(22)
Estacionaridade das Tensões
Principais
A tensão normal neste plano vale:
σ1 + σ3
σn = ρn · N = σ1 l2 + σ2 m2 + σ3 n2 =
2
f e
Daí obtemos a tensão tangencial extrema que vale:
τn2 = |ρn |2 − σn2
f
2 σ1 + σ32
σ1 + σ3 2
2
τn =
−
2
2
τn = ±
Flávia Bastos
σ1 − σ3
2
(23)
(24)
(25)
RESMAT II
(26)
24/1
Estacionaridade das Tensões
Principais
Com as outras soluções obtemos:
√
Para:
√
2
2
σ2 − σ3
l = 0; m = ±
;n = ±
⇒ τn = ±
(27)
2
2
2
√
Para:
√
2
2
σ1 − σ2
n = 0; l = ±
;m = ±
⇒ τn = ±
(28)
2
2
2
Flávia Bastos
RESMAT II
25/1