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Introducao as Equacoes Diferenciais

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CAPÍTULO
1
Introdução às
Equações Diferenciais
Descrição do capítulo
1.1 Definições e terminologia
1.2 Problemas de valor inicial
1.3 Equações diferenciais como modelos matemáticos
Exercícios de revisão
O objetivo deste curto capítulo é duplo: introduzir a terminologia básica
das equações diferenciais e investigar superficialmente como as equações
diferenciais surgem como uma tentativa de descrever ou modelar fenômenos
físicos em termos matemáticos.
18
CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais
1.1
Definições e terminologia
Introdução
As palavras diferencial e equação certamente sugerem a solução de
algum tipo de equação que contenha derivadas. Porém, antes que comecemos a resolver qualquer coisa, precisamos aprender algumas das definições e terminologias
básicas deste assunto.
Uma definição A derivada dy/dx de uma função y f(x) é por si própria uma
outra função f¿(x) determinada por uma regra apropriada. Por exemplo, a função y
2
e0,1x é diferenciável no intervalo (q, q), sendo sua derivada dada por dy/dx 2
2
0,2xe0,1x . Se substituirmos e0,1x pelo símbolo y, obtemos
(1)
Imagine agora que um amigo seu simplesmente tenha entregue a você a equação diferencial indicada em (1), e que você não tenha idéia de como ela foi construída. Seu amigo pergunta: qual é a função representada pelo símbolo y? Você está agora em frente a um
dos problemas básicos de um curso de equações diferenciais: como resolver tal equação
para a função incógnita y f(x)? O problema é de certo modo equivalente ao problema
inverso do cálculo diferencial: dada uma derivada, determine uma anti-derivada.
Antes de prosseguirmos mais além, vamos apresentar uma definição mais precisa do conceito de uma equação diferencial.
DEFINIÇÃO 1.1
Equação diferencial
Uma equação que contenha as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes,
em relação a uma ou mais variáveis independentes, é dita ser uma equação diferencial (ED).
A fim de estudarmos essas equações, elas serão classificadas por tipo, ordem e
linearidade.
Classificação por tipo Se uma equação contiver apenas derivadas ordinárias de
uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente,
trata-se de uma equação diferencial ordinária (EDO). Por exemplo,
(2)
são equações diferenciais ordinárias. Uma equação envolvendo derivadas parciais de
uma ou mais variáveis dependentes de duas ou mais variáveis independentes é denominada uma equação diferencial parcial (EDP). Por exemplo,
(3)
são equações diferenciais parciais.
Notação
Ao longo deste texto, derivadas ordinárias serão escritas utilizando-se a
notação de Leibniz dy/dx, d2y/dx2, d3y/dx3, ..., ou a notação prima y¿, y–, y‡,... Utilizando-se a última notação, as duas primeiras equações diferenciais em (2) podem ser
escritas de forma um pouco mais compacta como y¿ 5y ex e y– y¿ 6y 0. Na
verdade, a notação prima é utilizada para indicar apenas as primeiras três derivadas; a
quarta derivada é escrita y(4) em vez de y. Em geral, a derivada de ordem n é d ny/dxn
ou y(n). Apesar de ser menos conveniente de escrever e digitar, a notação de Leibniz
é mais vantajosa em relação à notação prima pelo fato de apresentar de modo mais
claro tanto as variáveis dependentes como as variáveis independentes. Por exemplo,
1.1 Definições e Terminologia
na equação diferencial d x/dt 16x 0, percebe-se imediatamente que o símbolo
x agora representa uma variável dependente, enquanto a variável independente é t.
Deve-se estar consciente que em física e engenharia a notação em ponto de Newton
(destacada de modo pejorativo por alguns como a notação “excremento de mosca”)
é algumas vezes utilizada para indicar derivadas em relação ao tempo t. Assim, a
equação diferencial d2s/dt2 9,81 se escreve 9,81. Derivadas parciais são
freqüentemente apresentadas por uma notação de subscrito indicando as variáveis
independentes. Por exemplo, a primeira e a segunda equações em (3) podem ser escritas, respectivamente, como uxx uyy 0 e uxx utt 2ut.
2
2
Classificação por ordem
A ordem de uma equação diferencial (EDO ou EDP)
corresponde à ordem da mais alta derivada na equação. Por exemplo,
é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. Equações diferenciais ordinárias
de primeira ordem são ocasionalmente escritas na forma diferencial M(x, y)dx N(x, y)
dy 0. Por exemplo, se considerarmos que y representa a variável dependente em (y x)dx 4xdy 0, então y¿ dy/dx, e dividindo-se pelo elemento diferencial dx obtemos
a forma alternativa 4xy¿ y x. Veja as Observações ao final desta seção.
Em símbolos, podemos expressar uma equação diferencial ordinária de ordem n
com uma variável dependente pela forma geral
(4)
onde F é uma função de valores reais com n 2 variáveis: x, y, y¿, ..., y . Por razões
práticas e teóricas, também adotaremos daqui por diante a hipótese de que é possível
resolver uma equação diferencial ordinária da forma (4) unicamente para a derivada
mais elevada y(n) em termos das n1 variáveis restantes. A equação diferencial
(n)
(5)
onde f é uma função contínua de valor real, é referida como a forma padrão de (4).
Portanto, quando for conveniente para os nossos propósitos, utilizaremos as formas
normais
para representar equações diferenciais ordinárias gerais de primeira e segunda ordem.
Por exemplo, a forma padrão da equação de primeira ordem 4xy¿ y x é y¿ (x y)/4x. Veja as Observações.
Classificação por linearidade Uma equação diferencial ordinária de ordem n (4)
é linear se F for linear em y, y¿, ..., y(n). Isto significa que uma EDO de ordem n é
linear quando (4) for an(x)y(n) an1(x)y(n1) ... a1(x)y¿ a0(x)y g(x) 0 ou
(6)
Dois casos especiais e importantes de (6) se referem às EDs de primeira ordem linear
(n 1) e de segunda ordem linear (n 2):
(7)
Com a combinação aditiva no lado esquerdo de (6), temos que as duas propriedades
características de uma EDO linear são:
19
20
CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais
• A variável dependente y e todas as suas derivadas y¿, y–, ..., y são de primeiro
grau, isto é, a potência de cada termo envolvendo y é 1.
(n)
• Os coeficientes a0, a1, ..., an de y, y¿, ..., y dependem no máximo da variável
independente x.
(n)
Lembre-se destas
duas características
de uma EDO linear.
As equações
são equações diferenciais ordinárias de primeira, segunda e terceira ordens, respectivamente. Acabamos de demonstrar que a primeira equação é linear na variável y
escrevendo-a na forma alternativa 4xy¿ y x. Uma equação diferencial ordinária
não-linear é simplesmente uma equação que não seja linear. Funções não-lineares da
y¿
variável dependente ou suas derivadas, como sen y ou e , não podem existir em uma
equação linear. Portanto,
são exemplos de equações diferenciais ordinárias não-lineares de primeira, segunda e
quarta ordem, respectivamente.
Solução
Conforme declarado anteriormente, um dos nossos objetivos nesse curso é resolver – ou determinar soluções de – equações diferenciais. A seguir, definimos
o conceito de solução de uma equação diferencial ordinária.
DEFINIÇÃO 1.2
Solução de uma EDO
Qualquer função f, definida em um intervalo I e possuindo ao menos n derivadas
contínuas em I, que quando substituídas em uma equação diferencial ordinária de
ordem n reduz a equação a uma identidade, é dita ser uma solução da equação no
intervalo.
Em outras palavras, uma solução de uma equação diferencial ordinária de ordem n
(4) é uma função f que tem ao menos n derivadas e
Dizemos que f satisfaz a equação diferencial em I. Para os nossos propósitos, consideraremos também que uma solução f é uma função com valores reais. Em nossa
0,1x2
é uma solução de dy/dx 0,2xy no
discussão inicial, já tínhamos visto que y e
intervalo (q,q).
Ocasionalmente, será conveniente indicar uma solução pelo símbolo alternativo
y(x).
Intervalo de definição
Não se pode considerar uma solução de uma equação
diferencial ordinária sem pensar simultaneamente em um intervalo. O intervalo I na
Definição 1.2 é denominado de diversas maneiras, como o intervalo de definição, o
intervalo de existência, o intervalo de validade, ou o domínio da solução, podendo
ser um intervalo aberto (a, b), um intervalo fechado [a, b], um intervalo infinito (a,
q), e assim por diante.
Exemplo 1
Verificação de uma solução
Verifique que a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (q,q).
1/2
4
(a) dy/dx xy ; y x /16
(b) y– 2y¿ y 0; y xex
21
1.1 Definições e Terminologia
Solução
Uma forma de verificar que a função dada é uma solução é notar, após a
substituição, se cada lado da equação é o mesmo para todo x no intervalo.
(a) A partir do
vemos que cada membro da equação é igual para todo número real x. Observe que y1/2
2
4
x /4 é, por definição, a raiz quadrada não-negativa de x /16.
(b) A partir das derivadas y¿ xex ex e y– xex 2ex temos, para todo número real x,
❑
Observe também que, no Exemplo 1, cada equação diferencial possui a solução
constante y 0, q x q. Uma solução de uma equação diferencial que seja
identicamente zero em um intervalo I é dita ser uma solução trivial.
Curva solução
O gráfico de uma solução f de uma EDO é denominado curva
solução. Como f é uma função diferenciável, ela é contínua no seu intervalo de definição I. Assim, pode existir uma diferença entre o gráfico de uma função f e o gráfico de
uma solução f. Escrito de outra forma, o domínio da função f não precisa ser igual ao
intervalo I de definição (ou domínio) da solução f. O Exemplo 2 ilustra a diferença.
Exemplo 2
Função versus solução
Considerado simplesmente como uma função, o domínio de y 1/x é o conjunto de todos os números reais x exceto 0. Quando geramos o gráfico y 1/x, traçamos pontos no
plano xy que correspondem a uma amostragem ponderada de números tomados a partir
desse domínio. A função racional y 1/x é descontínua em 0, e seu gráfico, na região
próxima da origem, é apresentado na Figura 1.1(a). A função y 1/x não é diferenciável
em x 0, pois o eixo y (cuja equação é x 0) é uma assíntota vertical do gráfico.
Agora, y 1/x também é uma solução da equação diferencial de primeira ordem
linear xy¿ y 0 (verifique). Porém, quando dizemos que y 1/x é uma solução
desta ED, significa que ela é uma função definida em um intervalo I no qual ela é
diferenciável e satisfaz a equação. Em outras palavras, y 1/x é uma solução da ED
em qualquer intervalo que não contenha 0, tal como (3, 1), ( , 10), (q, 0) ou
(0, q). Como as curvas solução definidas por y 1/x nos intervalos 3 x 1 e
x 10 são simplesmente segmentos ou partes das curvas solução definidas por y
1/x em q x 0 e 0 x q, respectivamente, faz sentido adotar o intervalo
I tão extenso quanto possível. Assim, tomaríamos I como sendo (q, 0) ou (0, q). A
curva solução em (0, q) é mostrada na Figura 1.1(b).
❑
y
1
1
x
(a) Função y 1/x, x 苷 0
y
1
1
x
Soluções explícitas e implícitas
Você já deve estar familiarizado com os termos funções explícitas e implícitas do curso de cálculo. Uma solução na qual a
variável dependente é expressa somente em termos da variável independente e
constantes é dita ser uma solução explícita. Para os nossos propósitos, vamos
imaginar a solução explícita como uma fórmula explícita y f(x) que podemos
manipular, calcular e diferenciar aplicando as regras padrões. Vimos nos últimos
4
x
dois exemplos que y x /16, y xe e y 1/x são, respectivamente, soluções ex1/2
plícitas de dy/dx xy , y– 2y¿ y 0 e xy¿ y 0. Além disso, a solução trivial y 0 é uma solução explícita de todas as três equações. Veremos que quando
formos de fato resolver algumas equações diferenciais ordinárias tais métodos de
solução nem sempre resultarão em uma solução explícita y f(x). Isto é particularmente válido quando se tenta resolver equações diferenciais de primeira ordem
não-lineares. Muitas vezes temos que nos contentar com uma relação ou expressão
G(x, y) 0 que define uma solução f implicitamente.
(b) Solução y 1/x, (0, q)
Figura 1.1 A função y 1/x não é
igual à solução y 1/x.
22
CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais
DEFINIÇÃO 1.3
Solução implícita de uma EDO
Uma relação G(x, y) 0 é dita ser uma solução implícita de uma equação diferencial ordinária (4) em um intervalo I desde que exista pelo menos uma função f que
satisfaça tanto a relação como a equação diferencial em I.
y
5
–5
5
x
Está além do escopo deste texto investigar as condições sob as quais uma relação G(x, y) 0 define uma função diferenciável f. Assim, consideraremos que se a
implementação formal de um método de solução resulta em uma relação G(x, y) 0, existe ao menos uma função f que satisfaz tanto a relação (isto é, G(x, f(x)) 0)
como a equação diferencial em um intervalo I. Se a solução implícita G(x, y) 0 for
razoavelmente simples, podemos ser capazes de resolver y em termos de x e obter
uma ou mais soluções explícitas. Veja as Observações.
–5
(a) Solução implícita
x2 y2 25
Exemplo 3
Verificação de uma solução implícita
A relação x y 25 é uma solução implícita da equação diferencial
2
2
y
5
(8)
x
no intervalo 5 x 5. Por diferenciação implícita, obtemos
–5
5
(b) Solução explícita
y1 = √25 x2, 5 x 5
y
5
–5
5
x
–5
(c) Solução explícita
y2 = –√25 x2, 5 x 5
Figura 1.2 Uma solução implícita e
duas soluções explícitas de (8).
Resolvendo a última equação para o símbolo dy/dx, obtemos (8). Além disso, resolver
2
2
. As duas funções
x y 25 para y em termos de x resulta em
e
satisfazem a relação (isto é, x2
2
2
2
f1 25 e x f2 25) e são soluções explícitas definidas no intervalo 5 x 5. As curvas solução indicadas na Figura 1.2(b) e 1.2(c) são partes do gráfico da
solução implícita na Figura 1.2(a).
❑
2
2
Qualquer relação da forma x y c 0 satisfaz formalmente (8) para qualquer constante c. Entretanto, sabe-se que a relação deve sempre fazer sentido para os
2
2
sistema de números reais; assim, por exemplo, não podemos dizer que x y 25
0 é uma solução implícita da equação. Por que não?
Como a distinção entre uma solução explícita e uma solução implícita deve estar
intuitivamente clara, nós não insistiremos nessa questão dizendo sempre “Aqui está
uma solução explícita (implícita)”.
Família de soluções O estudo das equações diferenciais é similar àquele do cálculo integral. Em alguns textos, uma solução f é algumas vezes referida como uma
integral da equação, e seu gráfico é denominado uma curva integral. Quando se
calcula uma antiderivada ou uma integral indefinida no cálculo, utilizamos uma única
constante c de integração. De maneira análoga, quando resolvemos uma equação diferencial de primeira ordem F(x, y, y¿) 0, usualmente obtemos uma solução contendo uma constante arbitrária ou um parâmetro c. Uma solução contendo uma constante
arbitrária representa um conjunto G(x, y, c) 0 de soluções denominadas família de
soluções de um parâmetro. Quando resolvemos uma equação diferencial de ordem
(n)
n F(x, y, y¿, ..., y ) 0, buscamos uma família de soluções de n parâmetros G(x,
y, c1, c2, ..., cn) 0. Isto significa que uma única equação diferencial pode possuir
um número infinito de soluções correspondentes ao número ilimitado de escolhas
para o(s) parâmetro(s). Uma solução de uma equação diferencial que seja livre de
parâmetros arbitrários é designada como solução particular. Por exemplo, a família
de um parâmetro y cx x cos x é uma solução explícita da equação de primeira
2
ordem linear xy¿ y x sen x no intervalo (q,q) (verifique). A Figura 1.3, obtida
por meio de um programa gráfico, mostra os gráficos de algumas das soluções dessa
23
1.1 Definições e Terminologia
família. A solução y x cos x, a curva colorida na figura, é uma solução particular
x
x
que corresponde a c 0. De modo similar, no intervalo (q, q), y c1e c2xe é
uma família de soluções de dois parâmetros (verifique) da equação de segunda ordem
linear y– 2y¿ y 0 no Exemplo 1. Algumas soluções particulares da equação são
x
x
x
a solução trivial y 0 (c1 c2 0), y xe (c1 0, c2 1), y 5e 2xe (c1 5,
c2 2), e assim por diante.
Em todos os exemplos anteriores, utilizamos x e y para denotar as variáveis independente e dependente, respectivamente. Porém, devemos nos acostumar a ver e trabalhar com outros símbolos para expressar estas variáveis. Por exemplo, poderíamos
escrever a variável independente como t e a variável dependente como x.
Exemplo 4
y
c0
c0
x
c0
Figura 1.3 Algumas soluções de xy¿ y x2sen x.
Utilizando símbolos diferentes
As funções x c1 cos 4t e x c2 sen 4t, onde c1 e c2 são constantes ou parâmetros
arbitrários, são ambas soluções da equação diferencial linear
x– 16x 0.
Para x c1 cos 4t, as primeiras duas derivadas em relação a t são x¿ 4c1 sen 4t e
x– 16c1 cos 4t. Substituindo x– e x, temos
x– 16x 16c1 cos 4t 16(c1 cos 4t) 0.
De modo similar, para x c2 sen 4t, temos x– 16c2 sen 4t, e portanto
x– 16x 16c2 sen 4t 16(c2 sen 4t) 0.
Finalmente, é simples verificar que a combinação linear das soluções para a família
de dois parâmetros x c1 cos 4t c2 sen 4t é também uma solução da equação
diferencial.
❑
O próximo exemplo mostra que uma solução de uma equação diferencial pode
ser uma função definida por partes.
Exemplo 5
Solução definida por partes
y
Verifique que a família de um parâmetro y cx consiste em uma família de um parâmetro de soluções da equação diferencial xy¿ 4y 0 no intervalo (q,q). Veja
a Figura 1.4(a). A função diferenciável definida por partes
4
c1
x
c 1
é uma solução particular da equação. Porém, ela não pode ser obtida a partir da fa4
mília y cx por uma única escolha de c; a solução é construída a partir da família
adotando-se c 1 para x 0 e c 1 para x 0. Veja a Figura 1.4(b).
❑
(a)
y
c 1,
x0
Solução singular
Em alguns casos, a equação diferencial possui uma solução
que não é um membro da família de soluções da equação, ou seja, a solução não pode
ser obtida especificando-se qualquer dos parâmetros na família de soluções. Tal soe
lução extra é denominada uma solução singular. Por exemplo, vimos que
1/2
y 0 são soluções da equação diferencial dy/dx xy em (q,q). Na Seção 2.2,
1/2
demonstraremos, resolvendo-a de fato, que a equação diferencial dy/dx xy pos. Quando c 0, a solução
sui a família de um parâmetro de soluções
. Observe, porém, que a solução trivial y 0 é uma
particular resultante é
; não há como
solução singular, pois ela não é um membro da família
determinar um valor para a constante c de modo que se obtenha y 0.
Sistemas de equações diferenciais Até este ponto, viemos discutindo equações
diferenciais únicas contendo uma função incógnita. Entretanto, muitas vezes na teoria, assim como em muitas aplicações, teremos que trabalhar com sistemas de equa-
x
c 1,
x0
(b)
Figura 1.4
4y 0.
Algumas soluções de xy¿ 24
CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais
ções diferenciais. Um sistema de equações diferenciais ordinárias é constituído por
duas ou mais equações que envolvem as derivadas de duas ou mais funções incógnitas de uma única variável independente. Por exemplo, se x e y denotam variáveis
dependentes e t é a variável independente, então um sistema com duas equações diferenciais de primeira ordem é dado por
(9)
Uma solução de um sistema definido como (9) é um par de funções diferenciáveis x f1(t), y f2(t) definido em um intervalo comum I que satisfaz cada equação do sistema neste intervalo. Veja os Problemas 33 e 34 nos Exercícios 1.1.
Observações
(i) Algumas poucas palavras adicionais a respeito de soluções implícitas de equações
diferenciais são apresentadas. No Exemplo 3, fomos capazes de resolver a relação x2 y 25 para y em termos de x, obtendo duas soluções explícitas,
2
, da equação diferencial (8). Porém, não se atenha muito a
e
esse exemplo. A não ser que seja fácil, óbvio ou importante, ou que você seja instruído a fazê-lo, usualmente não há necessidade de se tentar resolver uma solução
implícita G(x, y) 0 para y explicitamente em termos de x. Também, não interprete
de modo incorreto a segunda sentença que se segue à Definição 1.3. Uma solução
implícita G(x, y) 0 pode definir uma função f satisfatoriamente diferenciável que
seja uma solução de uma ED, porém podemos não ser capazes de resolver G(x, y) 0 utilizando métodos analíticos como a álgebra. A curva solução de f pode ser uma
parte do gráfico de G(x, y) 0. Veja os Problemas 41 e 42 nos Exercícios 1.1. Além
disso, leia a discussão que se segue ao Exemplo 4 na Seção 2.2.
(ii) Apesar do conceito de solução ter sido enfatizado nesta seção, deve-se ter consciência que uma ED não necessariamente tem que possuir uma solução. Veja o Problema 35 nos Exercícios 1.1. A questão a respeito da existência da solução será discutida na próxima seção.
(iii) Pode não ser claro se uma EDO de primeira ordem escrita na forma diferencial
M(x, y)dx N(x,y) dy 0 é linear ou não-linear, pois não existe nada nesta forma
que nos indique qual símbolo se refere à variável dependente. Veja os Problemas 9 e
10 nos Exercícios 1.1.
(iv) Pode não parecer grande problema assumir que F(x, y, y¿, ..., y(n)) 0 pode ser
resolvida para y(n), porém deve-se ter um pouco de cuidado nesse ponto. Existem exceções e certamente existem alguns problemas associados a esta consideração. Veja
os Problemas 48 e 49 nos Exercícios 1.1.
(v) Se toda solução de uma EDO de ordem n F(x, y, y¿, ..., y(n)) 0 em um intervalo
I pode ser obtida a partir de uma família de n parâmetros G(x, y, c1, c2, ..., cn) 0 por
escolhas apropriadas dos parâmetros ci, i 1, 2, ..., n, dizemos então que a família é a
solução geral da ED. Na resolução das EDO lineares, imporemos restrições relativamente simples aos coeficientes da equação; com essas restrições, pode-se assegurar que
não apenas uma solução existe no intervalo, como também que a família de soluções
permite todas as soluções possíveis. Equações não-lineares, com a exceção de algumas
EDs de primeira ordem, são usualmente difíceis ou mesmo impossíveis de serem resolvidas em termos de funções elementares familiares: combinações finitas de potências
inteiras de x, raízes, exponenciais e funções logarítmicas, funções trigonométricas e trigonométricas inversas. Além disso, se obtivermos uma família de soluções para uma
equação não-linear, não será claro se esta família conterá todas as soluções. Em um nível
prático, então, a designação “solução geral” é aplicada apenas para ED lineares. Não se
preocupe a respeito deste conceito agora, mas guarde as palavras “solução geral” em sua
mente – retornaremos a esta notação na Seção 2.3 e novamente no Capítulo 3.
Introdução às Equações Diferenciais
EXERCÍCIOS 1.1
25
As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 319.
Nos Problemas 1-8, indique a ordem da equação diferencial
ordinária dada. Determine se a equação é linear ou não-linear
comparando-a com (6).
1. (1 x)y– 4xy¿ 5y cos x
19.
20. 2xy dx (x y) dy 0; 2x y y 1
2
2
2
Nos Problemas 21-24, verifique que a família de funções indicadas é uma solução da equação diferencial dada. Assuma um
intervalo de definição I apropriado para solução.
2.
3. t5y(4) t3y– 6y 0
21.
4.
22.
5.
6.
23.
7. (sen u)y‡ (cos u)y¿ 2
24.
8.
Nos Problemas 9 e 10, determine se a equação diferencial de
primeira ordem apresentada é linear na variável dependente indicada comparando-a com a primeira equação diferencial dada
em (7).
9. (y 1) dx x dy 0; em y; em x
2
10. udv (v uv ueu) du 0; em v; em u
Nos Problemas 11-14, verifique que a função indicada é uma solução explícita da equação diferencial dada. Assuma um intervalo aproximado I de definição para cada solução.
25. Verifique que a função definida por partes
é uma solução da equação diferencial xy¿ 2y 0 em
(q,q).
26. No Exemplo 3, vimos que y f1(x) e y f2(x)
são soluções de dy/dx x/y no intervalo
(5,5). Explique por que a função definida por partes
11. 2y¿ y 0; y ex/2
12.
13. y– 6y¿ 13y 0; y e cos 2x
3x
14. y– y tg x; y (cos x) ln(sec x tg x)
Nos Problemas 15-18, verifique que a função indicada y f(x) é
uma solução explícita da equação diferencial de primeira ordem
dada. Procedendo como no Exemplo 2, considerando f simplesmente como uma função, dê o seu domínio. Então, considerando
f como uma solução da equação diferencial, defina ao menos
um intervalo I de definição.
15.
16. y¿ 25 y2; y 5 tg 5x
17. y¿ 2xy2; y 1/(4 x2)
18. 2y¿ y3 cos x; y (1 sen x)1/2
Nos Problemas 19 e 20, verifique que a expressão indicada é
uma solução implícita da equação diferencial de primeira ordem
dada. Determine pelo menos uma solução explícita y f(x) em
cada caso. Utilize um programa gráfico para obter o gráfico de
uma solução explícita. Defina um intervalo I de definição para
cada solução f.
não é uma solução da equação diferencial no intervalo
(5,5).
27. Determine valores de m para os quais a função y emx é
uma solução da equação diferencial dada. Explique seu raciocínio.
(a) y¿ 2y 0
(b) y– 5y 6y 0
28. Determine valores de m para os quais a função y xm é uma
solução da equação diferencial dada. Explique seu raciocínio.
(a) xy– 2y¿ 0
(b) x2y– 7xy¿ 15y 0
Nos Problemas 29-32, utilize o conceito que y c, q x q, é uma função constante se e somente se y¿ 0 para determinar se a equação diferencial dada possui soluções constantes.
29. 3xy¿ 5y 10
30. y y2 2y 3
31. (y 1)y¿ 1
32. y– 4y¿ 6y 10
26
Matemática Avançada para Engenharia
Nos Problemas 33 e 34, verifique que o par indicado de funções
é uma solução do sistema dado de equações diferenciais no intervalo (q,q).
41.
y
33.
1
1
x
34.
Figura 1.5
42.
Gráfico para o Problema 41.
y
1
1
Problemas para discussão
x
35. Crie uma equação diferencial que não tenha nenhuma solução real.
36. Crie uma equação diferencial que tenha somente a solução
trivial y 0. Explique o seu raciocínio.
37. Qual é função do cálculo cuja primeira derivada é ela própria? E cuja primeira derivada é um múltiplo constante k
dela mesma? Escreva cada resposta na forma de uma equação diferencial de primeira ordem com uma solução.
38. Qual função (ou funções) você conhece do cálculo cuja
segunda derivada é ela própria? E cuja segunda derivada
é o negativo dela mesma? Escreva cada resposta na forma
de uma equação diferencial de segunda ordem com uma
solução.
Figura 1.6
Gráfico para o Problema 42.
43. Os gráficos dos membros da família de um parâmetro x y3 3cxy são denominados círculo de Descartes. Verifique
que esta família é uma solução implícita da equação diferencial de primeira ordem
3
39. Dado que y sen x é uma solução explícita da equação diferencial de primeira ordem
, determine um
intervalo I de definição. [Dica: I não é o intervalo q x
q].
40. Discuta por que é intuitivo considerar que a equação diferencial linear y– 2y¿ 4y 5 sen t tenha uma solução da
forma y A sen t Bcos t, onde A e B são constantes. A
seguir, especifique constantes A e B de modo que y Asen t
Bcos t seja uma solução particular da ED.
Nos Problemas 41 e 42, a figura indicada representa o gráfico de
uma solução implícita G(x, y) 0 de uma equação diferencial
dy/dx f(x, y). Em cada caso, a relação G(x, y) 0 define implicitamente diversas soluções da ED. Reproduza cuidadosamente
cada figura em um pedaço de papel. Use cores diferentes para
marcar segmentos ou partes de cada gráfico que correspondam a
gráficos de soluções. Tenha em mente que uma solução f precisa
ser uma função diferenciável. Utilize a curva solução para estimar o intervalo I de definição de cada solução f.
44. O gráfico da Figura 1.6 é membro da família do círculo do
Problema 43 que corresponde a c 1. Discuta: como a ED
no Problema 43 pode auxiliar na determinação de pontos no
gráfico x3 y3 3xy onde a reta tangente é vertical? Como o
conhecimento do local no qual a reta tangente é vertical pode
auxiliar na determinação de um intervalo I de definição de
uma solução f da ED? Apresente suas idéias e compare com
as suas estimativas dos intervalos no Problema 42.
45. No Exemplo 3, o maior intervalo I sobre o qual as soluções
y f1(x) e y f2(x) são definidas corresponde ao intervalo
aberto (5, 5). Por que o intervalo de definição I não pode
ser o intervalo fechado [5, 5]?
46. No Problema 21, uma família de soluções de um parâmetro
da ED P¿ P(1 P) é apresentada. Alguma curva solução
passa pelo ponto (0,3)? E pelo ponto (0,1)?
47. Discuta e ilustre com exemplos como resolver equações diferenciais da forma dy/dx f(x) e d2y/dx2 f(x).
48. A equação diferencial x(y¿)2 4y¿ 12x3 0 tem a forma
indicada em (4). Determine se a equação pode ser colocada
na forma normal dy/dx f(x, y).
1.2 Problemas de Valor Inicial
y f(x) é crescente. O mesmo considerando que y f(x) seja decrescente.
49. A forma normal (5) de uma equação diferencial de ordem n
é equivalente a (4) não importando se ambas as formas têm
exatamente a mesma solução. Crie uma equação diferencial
de primeira ordem para a qual F(x, y, y¿) 0 não é equivalente à forma normal dy/dx f(x,y).
(c) Utilizando apenas a equação diferencial, explique por
que y a/2b é a coordenada y de um ponto de inflexão
do gráfico de uma solução não-constante y f(x).
50. Determine uma equação diferencial de segunda ordem linear F(x, y, y¿, y–) 0 na qual y c1x c2x2 é uma família de soluções de dois parâmetros. Tenha certeza que a sua
equação seja livre dos parâmetros arbitrários c1 e c2.
Informações qualitativas a respeito de uma solução y f(x) de
uma equação diferencial podem muitas vezes ser obtidas a partir
da própria equação. Antes de trabalhar com os Problemas 51-54,
recorde o significado geométrico das derivadas dy/dx e d2y/dx2.
(d) Nos mesmos eixos coordenados, esboce os gráficos das
duas soluções constantes calculadas no item (a). Estas
soluções constantes dividem o plano xy em três regiões.
Em cada região, esboce o gráfico de uma solução nãoconstante y f(x) cujo formato é sugerido pelos resultados dos itens (b) e (c).
54. Considere a equação diferencial y¿ y2 4.
(a) Explique por que não existem soluções constantes da
ED.
2
51. Considere a equação diferencial dy/dx ex .
(a) Explique por que uma solução da ED tem que ser uma
função crescente em qualquer intervalo do eixo x.
(b) O que são
e
(b) Descreva o gráfico de uma solução y f(x). Por
exemplo, uma curva solução pode ter algum extremo
relativo?
? O que isso sugere
(c) Explique porque y 0 é a coordenada y de um ponto
de inflexão de uma curva solução.
a respeito de uma curva solução quando x→ q?
(c) Determine um intervalo sobre o qual uma curva solução é côncava para baixo e um intervalo sobre o qual a
curva é côncava para cima.
(d) Esboce o gráfico de uma solução y f(x) da equação
diferencial cujo formato é sugerido pelos itens (a)-(c).
52. Considere a equação diferencial dy/dx 5 y.
(a) Por inspeção ou pelo método sugerido nos Problemas
29-32, calcule uma solução constante da ED.
(b) Utilizando apenas a equação diferencial, determine intervalos no eixo y nos quais uma solução não-constante
y f(x) é crescente. Determine intervalos no eixo y
nos quais y f(x) é decrescente.
53. Considere a equação diferencial dy/dx y(a by), onde a
e b são constantes positivas.
(d) Esboce o gráfico de uma solução y f(x) da equação
diferencial cujo formato é sugerido pelos itens (a)-(c).
Tarefas computacionais
Nos Problemas 55 e 56, utilize um SAC (sistema de álgebra computacional) para calcular todas as derivadas e realizar as simplificações necessárias de modo a verificar que a função indicada é
uma solução particular da equação diferencial dada.
55. y(4) 20y‡ 158y– 580y¿ 841y 0;
y xe5x cos 2x
56.
(a) Por inspeção ou pelo método sugerido nos Problemas
29-32, determine uma solução constante da ED.
(b) Utilizando apenas a equação diferencial, determine intervalos no eixo y nos quais uma solução não-constante
1.2
Problemas de valor inicial
Introdução Freqüentemente estamos interessados em problemas nos quais buscamos uma solução y(x) de uma equação diferencial de modo que y(x) satisfaça condições pré-definidas – isto é, condições que são impostas sobre a incógnita y(x) ou
sobre suas derivadas. Nesta seção, examinaremos um problema assim denominado
problema de valor inicial.
Problema de valor inicial
27
Em um determinado intervalo I contendo x0, o pro-
blema
(1)
28
CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais
onde y0, y1, ..., yn1 são constantes reais especificadas arbitrariamente, é denominado
um problema de valor inicial (PVI). Os valores de y(x) e de suas primeiras n1
derivadas em um ponto x0: y(x0) y0, y¿(x0) y1, ..., y(n1)(x0) yn1, são designados
condições iniciais.
PVI de primeira e segunda ordem O problema indicado em (1) é também denominado um problema de valor inicial de ordem n. Por exemplo,
solução da ED
y
(2)
e
(x0, y0)
(3)
x
I
Figura 1.7
y
são problemas de valor inicial de primeira e segunda ordem, respectivamente. Estes
dois problemas são fáceis de ser interpretados em termos geométricos. Em (2) estamos
buscando uma solução da equação diferencial em um intervalo I contendo x0, de modo
que uma curva solução passe pelo ponto prescrito (x0, y0). Veja a Figura 1.7. Em (3),
queremos determinar uma solução da equação diferencial cujo gráfico não apenas passe por (x0, y0), mas que também neste ponto a curva tenha um coeficiente angular (ou
inclinação) igual a y1. Veja a Figura 1.8. O termo condição inicial vem de sistemas físicos onde a variável independente é o tempo e onde y(t0) y0 e y¿(t0) y1 representam,
respectivamente, a posição e a velocidade de um objeto em algum tempo inicial t0.
Resolver um problema de valor inicial de ordem n muitas vezes exige o uso de
uma família de soluções de n parâmetros da equação diferencial dada para determinar
n constantes especificadas de modo que a solução particular resultante da equação
também se “ajuste”, isto é, satisfaça, as n condições iniciais.
PVI de primeira ordem.
soluções da ED
m y1
(x0 , y0)
x
I
Figura 1.8
PVI de segunda ordem.
Exemplo 1
PVI de primeira ordem
x
Verifica-se facilmente que y ce é uma família de soluções de um parâmetro da
equação de primeira ordem y¿ y no intervalo (q,q). Se especificarmos uma
condição inicial, por exemplo, y(0) 3, então substituir x 0, y 3 na família de0
x
termina a constante 3 ce c. Assim, a função y 3e é uma solução do problema
de valor inicial
y
(0, 3)
y¿ y,
x
(1, –2)
Mas, se exigirmos que uma solução da equação diferencial passe pelo ponto (1, 2)
ao invés de (0, 3), teremos y(1) 2 resultando em 2 ce ou c 2e1. A funx1
ção y 2e é uma solução do problema de valor inicial
y¿ y,
Figura 1.9
Soluções de PVI.
y(0) 3.
y(1) 2.
Os gráficos dessas duas funções estão indicados em colorido na Figura 1.9.
❏
O próximo exemplo ilustra outro problema de valor inicial de primeira ordem.
Neste exemplo, observe como o intervalo I de definição da solução y(x) depende da
condição inicial y(x0) y0.
Exemplo 2
Intervalo I de definição de uma solução
No Problema 6 dos Exercícios 2.2, você terá que mostrar que a família de soluções de
2
2
um parâmetro da equação diferencial de primeira ordem y¿ 2xy 0 é y 1/(x c). Se impusermos a condição inicial y(0) 1, e então substituirmos x 0 e y 1 na família de soluções, teremos como resultado 1 1/c ou c 1. Assim, y 2
1/(x 1). Enfatizaremos agora as três seguintes distinções.
29
1.2 Problemas de Valor Inicial
• Considerado como uma função, o domínio de y 1/(x2 1) é o conjunto de
números reais x no qual y(x) é definido; este é o conjunto de todos os números
reais exceto x 1 e x 1. Veja a Figura 1.10(a).
2
• Considerado como uma solução da equação diferencial y¿ 2xy 0, o in2
tervalo I de definição de y 1/(x 1) poderia ser definido como sendo
qualquer intervalo sobre o qual y(x) é definido e diferenciável. Como pode ser
2
visto na Figura 1.10(a), os maiores intervalos nos quais y 1/(x 1) é uma
solução são q x 1, 1 x 1, e 1 x q.
2
• Considerado como uma solução do problema de valor inicial y¿ 2xy 0,
2
y(0) 1, o intervalo I de definição de y 1/(x 1) poderia ser definido
como sendo qualquer intervalo sobre o qual y(x) é definido, diferenciável e
contenha o ponto inicial x 0; o maior intervalo para o qual isto é válido é 1
x 1. Veja a Figura 1.10(b).
y
–1
(a) função definida para todo x
exceto x 1
y
Veja os Problemas 3-6 nos Exercícios 1.2 para uma continuação do Exemplo 2.
Exemplo 3
PVI de segunda ordem
No Exemplo 4 da Seção 1.1, vimos que x c1 cos 4t c2 sen 4t é uma família de
soluções de dois parâmetros de x– 16 x 0. Determine uma solução do problema
de valor inicial.
x
1
–1
1
x
(0, –1)
(4)
Aplicamos primeiro x(␲/2) 2 à família de soluções indicada:
c1cos2␲ c2 sen 2␲ 2. Como cos2␲ 1 e sen2␲ 0, obtemos c1 2. A
seguir, aplicamos x¿(␲/2) 1 à família de um parâmetro x(t) 2 cos 4t c2 sen
4t. Diferenciando e definindo t ␲/2 e x¿ 1, temos 8 sen 2␲ 4c2 cos 2␲ 1, de
onde resulta c2 . Logo,
Solução
(b) solução definida no intervalo
contendo x 0
Figura 1.10 Gráficos de função e solução de PVI no Exemplo 2.
❏
é uma solução de (4).
Existência e unicidade
Duas questões fundamentais surgem quando se considera um problema de valor inicial:
Existe solução para o problema? Se existe uma solução, ela é única?
Para um problema de valor inicial como (2), perguntamos:
A equação diferencial dy/dx f(x, y) tem soluções?
Existência Qualquer curva solução passa pelo ponto (x , y )?
0
0
Unicidade
Podemos ter certeza de que existe precisamente uma curva solução passando pelo ponto (x0, y0)?
Note que nos Exemplos 1 e 3 a frase “uma solução” é utilizada ao invés de “a solução” do problema. O artigo indefinido “uma” é aplicado deliberadamente para sugerir
a possibilidade de que outras soluções possam existir. Até este ponto, não foi demonstrado que exista uma única solução de cada problema. O próximo exemplo ilustra um
problema de valor inicial com duas soluções.
y y x4/16
Exemplo 4
Um PVI pode ter diversas soluções
Cada uma das funções y 0 e y x /16 satisfaz a equação diferencial dy/dx xy
1/2
e a condição inicial y(0) 0. Assim, o problema de valor inicial dy/dx xy , y(0) 0, tem pelo menos duas soluções. Conforme ilustrado na Figura 1.11, os gráficos de
ambas funções passam pelo mesmo ponto (0,0).
❏
Dentro das fronteiras seguras de um curso formal em equações diferenciais,
pode-se estar bastante certo que a maioria das equações diferenciais terá soluções
4
1/2
1
x
y0
Figura 1.11
PVI.
(0, 0)
Duas soluções do mesmo
30
CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais
e que as soluções dos problemas de valor inicial provavelmente serão únicas. A vida
real, entretanto, não é tão simples. Deseja-se saber, antes de se tentar resolver um
problema de valor inicial, se ele possui solução e, caso exista, se ela é a única solução do problema. Como iremos considerar equações diferenciais de primeira ordem
nos próximos dois capítulos, determinaremos aqui, sem prova, um teorema claro que
fornece condições que são suficientes para garantir a existência e a unicidade de uma
solução de um problema de valor inicial de primeira ordem na forma dada em (2).
Esperaremos até o Capítulo 3 para abordar a questão de existência e unicidade de um
problema de valor inicial de segunda ordem.
TEOREMA 1.1
y
Existência de uma única solução
Seja R uma região retangular no plano xy definida por a x b, c y d, que
contenha o ponto (x0, y0) no seu interior. Se f(x, y) e f/ y são contínuas em R,
então existe algum intervalo I0: x0 h x x0 h, h 0, contido em a x
b, e uma função única y(x) definida em I0 que é uma solução do problema de valor
inicial (2).
d
R
(x0, y0)
c
a
Figura 1.12
I0
b
x
Região retangular R.
O resultado anterior é um dos teoremas mais populares de existência e unicidade
para as equações diferenciais de primeira ordem, pois os critérios de continuidade de
f(x,y) e f/ y são relativamente fáceis de serem checados. A geometria do Teorema
1.1 é ilustrada na Figura 1.12.
Exemplo 5
Exemplo 3 revisitado
Vimos no Exemplo 3 que a equação diferencial dy/dx xy1/2 tem ao menos duas soluções cujos gráficos passam por (0,0). A inspeção dessas funções
mostra que elas são contínuas no plano metade superior definido por y 0. Assim,
o Teorema 1.1 nos permite concluir que através de qualquer ponto (x0, y0), y0 0, no
plano metade superior, existe algum intervalo centrado em x0 no qual a equação diferencial dada tem uma solução única. Dessa forma, por exemplo, mesmo sem resolvêlo, sabemos que existe algum intervalo centrado em 2 no qual o problema de valor
1/2
❏
inicial dy/dx xy , y(2) 1, possui uma única solução.
No Exemplo 1, o Teorema 1.1 garante que não existem outras soluções dos prox
blemas de valor inicial y¿ y, y(0) 3 e y¿ y, y(1) 2, que não sejam y 3e
x1
e y 2e , respectivamente. Isto é em decorrência do fato de que f(x, y) y e
f/ y 1 são contínuas por todo o plano xy. Pode-se mostrar que o intervalo I, no
qual cada solução é definida, é (q,q).
Intervalo de existência/unicidade
Suponha que y(x) represente uma solução do
problema de valor inicial (2). Os seguintes três conjuntos no eixo real x não podem ser
iguais: o domínio da função y(x), o intervalo I sobre o qual a solução y(x) é definida ou
existe, e o intervalo I0 de existência e unicidade. No Exemplo 2 da Seção 1.1, apresentamos a diferença entre o domínio de uma função e o intervalo I de definição. Considere
agora que (x0, y0) seja um ponto no interior da região retangular R do Teorema 1.1. Sabe-se que a continuidade da função f(x,y) em R por si mesma é suficiente para garantir
a existência de ao menos uma solução de dy/dx f(x,y), y(x0) y0, definida em algum
intervalo I. O intervalo I de definição para este problema de valor inicial é usualmente
tomado como sendo o maior intervalo que contém x0 sobre o qual a solução y(x) é definida e diferenciável. O intervalo I depende de f(x, y) e da condição inicial y(x0) y0.
Veja os Problemas 31-34 nos Exercícios 1.2. A condição extra da continuidade da primeira derivada parcial f/ y em R nos permite dizer que não apenas uma solução existe em algum intervalo I0 contendo x0, porém também é a única solução satisfazendo
1.2 Problemas de Valor Inicial
31
y(x0) y0. Entretanto, o Teorema 1.1 não dá nenhuma indicação dos tamanhos dos
intervalos I e I0; o intervalo I de definição não necessita ser tão amplo como a região R,
e o intervalo I0 de existência e unicidade pode não ser tão grande quanto I. O número
h 0 que define o intervalo I0, x0 h x x0 h, pode ser muito pequeno. Assim,
é melhor imaginar que a solução y(x) é única em um sentido local, isto é, uma solução
definida próxima do ponto (x0, y0). Veja o Problema 44 nos Exercícios 1.2.
Observações
(i) As condições no Teorema 1.1 são suficientes, mas não necessárias. Quando f(x,
y) e f/ y forem contínuas em uma região retangular R, sempre existirá uma solução
de (2) e ela será única sempre que (x0, y0) for um ponto interior a R. Entretanto, se as
condições definidas na hipótese do Teorema 1.1 não se aplicarem, então qualquer coisa poderá acontecer: o Problema (2) pode ainda ter uma solução e esta solução pode
ser única, ou (2) pode ter diversas soluções, ou pode não ter solução alguma. Uma
releitura do Exemplo 4 revela que a hipótese do Teorema 1.1 não se aplica à reta y 0 para a equação diferencial dy/dx xy1/2. Portanto, não é surpresa, como vimos no
Exemplo 3 desta seção, que existam duas soluções definidas em um intervalo comum
h x h satisfazendo y(0) 0. Por outro lado, a hipótese do Teorema 1.1 não se
aplica à reta y 1 para a equação diferencial dy/dx |y 1|. No entanto, pode-se
provar que a solução do problema de valor inicial dy/dx |y 1|, y(0) 1, é única.
Você pode advinhar essa solução?
(ii) Você é encorajado a ler, pensar a respeito, trabalhar e então manter em mente o
Problema 43 dos Exercícios 1.2.
EXERCÍCIOS 1.2
As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 319.
x
Nos Problemas 1 e 2, y 1/(1 c1e ) é uma família de soluções de um parâmetro da ED de primeira ordem y¿ y y2.
Determine uma solução do PVI de primeira ordem constituído
por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas.
2. y(1) 2
1.
Nos Problemas 3-6, y 1/(x2 c) é uma família de soluções de
um parâmetro da ED de primeira ordem y¿ 2xy2 0. Determine uma solução do PVI de primeira ordem constituído por essa
equação diferencial e as condições iniciais dadas. Defina o maior
intervalo I sobre o qual a solução seja definida.
9.
10.
Nos Problemas 11-14, x c1 ex c2 ex é uma família de soluções de dois parâmetros da ED de segunda ordem y– y 0.
Determine uma solução do PVI de segunda ordem constituído
por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas.
11. y(0) 1,
y¿(0) 2
12. y(1) 0,
y¿(1) e
13. y(1) 5,
y¿(1) 5
3.
4.
14. y(0) 0,
5. y(0) 1
6.
Nos Problemas 15 e 16, determine por inspeção ao menos duas
soluções do PVI de primeira ordem dado.
Nos Problemas 7-10, x c1 cos t c2 sen t é uma família de soluções de dois parâmetros da ED de segunda ordem x– x 0.
Determine uma solução do PVI de segunda ordem constituído
por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas.
7. x(0) 1,
x¿(0) 8
8. x(p/2) 0,
x¿(p/2) 1
15. y¿ 3y2/3,
y¿(0) 0
y(0) 0
16. xy¿ 2y,
y(0) 0
Nos Problemas 17-24, determine uma região do plano xy na qual
a equação diferencial indicada teria uma solução única cujo gráfico passa por um ponto (x0, y0) na região.
17.
18.
32
CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais
19.
20.
21. (4 y )y¿ x
2
22. (1 y )y¿ x
2
3
23. (x y )y¿ y
2
2
33. (a) Verifique que 3x2 y2 c é uma família de soluções de
um parâmetro da equação diferencial ydy/dx 3x.
(b) À mão, esboce o gráfico da solução implícita 3x2 y2
3. Calcule todas as soluções explícitas y f(x) da
ED no item (a) definidas por esta relação. Dê o intervalo I de definição de cada solução explícita.
2
24. (y x)y¿ y x
2
Nos Problemas 25-28, determine se o Teorema 1.1 garante que
(c) O ponto (2,3) está no gráfico de 3x2 y2 3, porém qual das soluções explícitas do item (b) satisfaz
y(2) 3?
tenha uma solução única
a equação diferencial
através do ponto indicado.
25. (1,4)
26. (5,3)
27. (2,3)
28. (1,1)
29. (a) Por inspeção, determine uma família de soluções de um
parâmetro da equação diferencial xy¿ y. Verifique que
cada membro da família é uma solução do problema de
valor inicial xy¿ y, y(0) 0.
(b) Explique o item (a) determinando uma região R no plano xy na qual a equação diferencial xy¿ y teria uma
solução única através de um ponto (x0, y0) em R.
(c) Verifique que a função definida por partes
34. (a) Utilize a família de soluções do item (a) do Problema 33
para determinar uma solução implícita do problema de
valor inicial ydy/dx 3x, y(2) 4. A seguir, à mão,
esboce o gráfico da solução explícita deste problema e
dê o seu intervalo I de definição.
(b) Existem soluções explícitas de ydy/dx 3x que passam
pela origem?
Nos Problemas 35-38, o gráfico de um membro da família de
soluções da equação diferencial de segunda ordem d2y/dx2 f(x,
y, y¿) é indicado. Case a curva solução com pelo menos um par
das seguintes condições iniciais.
(a) y(1) 1, y¿(1) 2
(b) y(1) 0, y¿(1) 4
satisfaz a condição y(0) 0. Determine se esta função
é também uma solução do problema de valor inicial do
item (a).
(c) y(1) 1, y¿(1) 2
(d) y(0) 1, y¿(0) 2
30. (a) Verifique que y tg(x c) é uma família de soluções
de um parâmetro da equação diferencial y¿ 1 y2.
(b) Como f(x,y) 1 y e f/ y 2y são contínuas em toda
parte, a região R no Teorema 1.1 pode ser tomada como
sendo o plano xy inteiro. Utilize a família de soluções do
item (a) para calcular uma solução explícita do problema
de valor inicial de primeira ordem y¿ 1 y2, y(0) 0.
Apesar de x0 0 estar no intervalo 2 x 2, explique
por que a solução não é definida nesse intervalo.
(e) y(0) 1, y¿(0) 0
(f) y(0) 4, y¿(0) 2
2
35.
y
5
x
5
(c) Determine o maior intervalo I de definição para a solução do problema de valor inicial no item (b).
31. (a) Verifique que y 1/(x c) é uma família de soluções
de um parâmetro da equação diferencial y¿ y2.
(b) Como f(x,y) y e f/ y 2y são contínuas em toda
parte, a região R no Teorema 1.1 pode ser tomada
como sendo o plano xy inteiro. Determine uma solução a partir da família do item (a) que satisfaça y(0) 1. Determine uma solução a partir da família do item
(a) que satisfaça y(0) 1. Determine o maior intervalo I de definição para a solução de cada problema de
valor inicial.
–5
2
Figura 1.13 Gráfico para o Problema 35.
36.
y
5
x
32. (a) Determine uma solução a partir da família do item (a) do
Problema 31 que satisfaça y¿ y2, y(0) y0, onde y0
0. Explique por que o maior intervalo I de definição para
esta solução é q x 1/y0 ou 1/y0 x q.
(b) Determine o maior intervalo I de definição para a solução do problema de valor inicial de primeira ordem
y¿ y2, y(0) 0.
5
–5
Figura 1.14 Gráfico para o Problema 36.
1.2 Problemas de Valor Inicial
37.
33
43. Suponha que a equação diferencial de primeira ordem dy/
dx f(x, y) possua uma família de soluções de um parâmetro e que f(x, y) satisfaça as hipóteses do Teorema 1.1 em
alguma região retangular R do plano xy. Explique por que
duas curvas solução diferentes não podem interceptar ou
ser tangentes uma em relação a outra em um ponto (x0, y0)
em R.
y
5
x
5
44. As funções
–5
Figura 1.15 Gráfico para o Problema 37.
38.
têm o mesmo domínio mas são claramente diferentes. Veja
as Figuras 1.18(a) e 1.18(b), respectivamente. Mostre que
ambas as funções são soluções do problema de valor inicial
dy/dx xy1/2, y(2) 1 no intervalo (q,q). Solucione a
aparente contradição entre este fato e a última sentença do
Exemplo 5.
y
5
x
5
y
y
(2, 1)
1
–5
x
Figura 1.16 Gráfico para o Problema 38.
(a)
Problemas para discussão
Nos Problemas 39 e 40, utilize o Problema 47 dos Exercícios 1.1
e (2) e (3) desta seção.
39. Determine uma função y f(x) cujo gráfico em cada ponto
(x,y) tem o coeficiente angular dado por 8e2x 6 e tem o
ponto de interceptação do eixo y (0,9).
40. Determine uma função y f(x) cuja derivada segunda é y–
12x 2 em cada ponto (x, y) em seu gráfico e em que y
x 5 é tangente ao gráfico no ponto correspondente a
x 1.
41. Considere o problema de valor inicial y¿ x 2y, y(0) .
Determine qual das duas curvas mostradas na Figura 1.17 é
a única curva solução plausível. Explique o seu raciocínio.
Figura 1.18
x
(b)
Duas soluções do PVI no Problema 44.
Modelo matemático
45. Crescimento populacional No início da próxima seção,
veremos que as equações diferenciais podem ser utilizadas
para descrever ou modelar muitos sistemas físicos diferentes. Neste problema, considere que um modelo de crescimento populacional de uma pequena comunidade seja dado
pelo problema de valor inicial
onde P é o número de indivíduos na comunidade e o tempo
t é medido em anos. Quão rápido, isto é, qual é a taxa de
crescimento populacional em t 0? Quão rápido é o crescimento populacional quando a população é de 500?
y
1
(0, 1 2)
x
1
Figura 1.17
(2, 1)
1
Gráfico para o Problema 41.
42. Determine um valor plausível de x0 para o qual o gráfico
da solução do problema de valor inicial y¿ 2y 3x 6,
y(x0) 0 é tangente ao eixo x em (x0, 0). Explique o seu
raciocínio.
34
CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais
1.3
Equações diferenciais como modelos matemáticos
Introdução
Nesta seção, introduziremos a noção de um modelo matemático. Grosso
modo, um modelo matemático é uma descrição matemática de alguma coisa. Esta descrição pode ser tão simples como uma função. Por exemplo, estudando a queda de gotas de
água e as marcas que eles faziam em um papel absorvente, Leonardo da Vinci compreendeu que a velocidade de um corpo em queda é dada por v gt. Apesar de existirem muitos tipos de modelos matemáticos, nesta seção nos concentraremos apenas nas equações
diferenciais e discutiremos alguns modelos de equações diferenciais específicos para a
biologia, física e química. Uma vez estudado alguns métodos para solucionar EDs, retornaremos a esse assunto nos Capítulos 2 e 3 e resolveremos alguns desses modelos.
Modelos matemáticos Muitas vezes, deseja-se descrever o comportamento de
algum sistema ou fenômeno da vida real, seja físico, sociológico ou mesmo econômico, em termos matemáticos. A descrição matemática de um sistema ou um fenômeno é denominada como modelo matemático, sendo construída com certos objetivos
em mente. Por exemplo, podemos desejar compreender os mecanismos de um certo
ecossistema estudando o crescimento das populações de animais naquele sistema, ou
podemos querer datar fósseis pela análise do decaimento de uma substância radioativa no fóssil ou no estrato no qual ele foi descoberto.
A construção de um modelo matemático de um sistema se inicia com a identificação das variáveis que são responsáveis por alterar o sistema. Podemos decidir, de início,
não incorporar todas essas variáveis no modelo. Neste primeiro passo, estamos especificando o nível de resolução do modelo. A seguir, adotamos um conjunto de considerações razoáveis ou hipóteses a respeito do sistema que estamos tentando descrever. Estas
considerações também incluirão alguma lei empírica que possa ser aplicada ao sistema.
Para alguns propósitos, pode ser perfeitamente razoável se contentar com modelos de pequena resolução. Por exemplo, você pode já estar consciente de que na
modelagem da queda de corpos próximos da superfície do solo, a força de retardo do
atrito do ar é algumas vezes ignorada em cursos iniciais de física; porém, se você é
um cientista cujo trabalho é prever exatamente o caminho de vôo de um projétil de
longo alcance, a resistência do ar e outros fatores como a curvatura do terreno têm
que ser levados em consideração.
Como as hipóteses feitas a respeito de um sistema envolvem freqüentemente uma
taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas suposições pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo
matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais.
Uma vez que tenhamos formulado um modelo matemático que é uma equação
diferencial ou um sistema de equações diferenciais, estaremos frente a frente com o
problema nada insignificante de tentar resolvê-lo. Se formos capazes de resolvê-lo,
então consideraremos o modelo como sendo razoável caso sua solução seja consistente com dados experimentais ou fatos conhecidos a respeito do comportamento do
sistema. Porém, se as predições produzidas pela solução forem pobres, podemos aumentar o nível de resolução do modelo ou adotar considerações alternativas a respeito
dos mecanismos para modificação do sistema. Os passos do processo de modelagem
são então repetidos como indicado no diagrama a seguir.
Considerações
Expressar as considerações em
termos de equações diferenciais
Se necessário, alterar as considerações
ou aumentar a resolução do modelo
Conferir as predições
do modelo com
fatos conhecidos
Apresentar as predições do
modelo, por exemplo, graficamente
Formulação
matemática
Resolução das Eds
Obtenção
das soluções
1.3 Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos
É claro, aumentando a resolução, aumentamos a complexidade do modelo matemático e a chance de que não consigamos obter uma solução explícita.
Um modelo matemático de um sistema físico freqüentemente envolverá a variável tempo t. Uma solução do modelo, então, dá o estado do sistema; em outras palavras, para valores apropriados de t, os valores da variável dependente (ou variáveis)
descrevem o sistema no passado, presente e futuro.
Dinâmica da população Uma das primeiras tentativas de se modelar o crescimento da população humana por meio da matemática foi feita pelo economista inglês Thomas Malthus em 1798. Basicamente, a idéia do modelo Malthusiano corresponde à consideração de que a taxa na qual a população de um país cresce em
um certo tempo é proporcional* à população total do país naquele tempo. Em outras
palavras, quanto mais pessoas existem em um tempo t, mais existirão no futuro. Em
termos matemáticos, se P(t) corresponde à população total em um tempo t, então esta
suposição pode ser escrita como
(1)
onde k é uma constante de proporcionalidade. Este modelo simples, falho ao desconsiderar muitos fatores (imigração e emigração, por exemplo) que podem influenciar
o crescimento ou a redução da população humana, todavia, foi razoavelmente preciso
na previsão da população dos Estados Unidos durante os anos 1790-1860. Populações
que crescem a uma taxa descrita por (1) são raras; no entanto, (1) ainda é utilizada
para modelar o crescimento de pequenas populações ao longo de pequenos intervalos
de tempo, por exemplo, o crescimento de bactérias em uma placa de laboratório.
Decaimento radioativo O núcleo de um átomo consiste da combinação de prótons e nêutrons. Muitas dessas combinações de prótons e nêutrons são instáveis, isto
é, os átomos decaem ou se transformam em átomos de outra substância. Tais núcleos
são ditos ser radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, o rádio altamente radioativo, Ra-226, se transforma no gás radônio radioativo, Rn-222. Na modelagem do
fenômeno de decaimento radioativo, assume-se que a taxa dA/dt com a qual os núcleos de uma substância decaem seja proporcional à quantidade (mais precisamente,
o número de núcleos) A(t) da substância restante no tempo t:
(2)
É claro que as equações (1) e (2) são exatamente as mesmas; a diferença está apenas
na interpretação dos símbolos e as constantes de proporcionalidade. Para o crescimento, como supusemos em (1), k 0, e no caso de (2) e decaimento, k 0.
O modelo (1) para crescimento pode ser visto como a equação dS/dt rS, que
descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r é composta
continuamente. O modelo (2) para decaimento também ocorre em um cenário biológico, como a determinação da meia vida de uma droga – tempo necessário para
que 50% de uma droga seja eliminada do corpo por excreção ou metabolismo. Em
química, o modelo de decaimento (2) aparece como a descrição matemática de uma
reação química de primeira ordem. O principal é isto:
Uma única equação diferencial pode servir como um modelo matemático
para muitos fenômenos diferentes.
Modelos matemáticos muitas vezes estão acompanhados por certas condições
secundárias. Por exemplo, em (1) e (2) esperamos conhecer, respectivamente, uma
população inicial P0 e uma quantidade inicial de substância radioativa A0 que esteja
disponível. Se este ponto inicial no tempo for tomado como sendo t 0, então sabe* Se duas quantidades u e v são proporcionais, escrevemos u r v. Isto significa que uma quantidade
é um múltiplo constante da outra: u kv.
35
36
CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais
mos que P(0) P0 e A(0) A0. Em outras palavras, um modelo matemático pode
consistir em um problema de valor inicial ou, como veremos mais tarde na Seção 3.9,
um problema de valor de contorno.
Lei de Newton do resfriamento/aquecimento De acordo com a lei empírica de
Newton do resfriamento – ou aquecimento – a taxa com a qual a temperatura do
corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura
do meio envolvente, também chamada temperatura ambiente. Considerando que T(t)
representa a temperatura de um corpo no instante de tempo t, Tm a temperatura do
meio envolvente, e dT/dt a taxa com a qual a temperatura do corpo varia, então a lei
de Newton do resfriamento/aquecimento se traduz no enunciado matemático
(3)
onde k é uma constante de proporcionalidade. Em um ou outro caso, resfriamento ou
aquecimento, se Tm for uma constante, sustenta-se o raciocínio de que k 0.
Disseminação de uma doença
Uma doença contagiosa, por exemplo, o vírus da gripe, dissemina-se por toda uma comunidade por meio do contato entre pessoas. Admita
que x(t) corresponda ao número de pessoas que tenham contraído a doença e y(t) o número de pessoas que ainda não foram expostas. Parece razoável considerar que a taxa dx/dt
com a qual a doença é disseminada seja proporcional ao número de encontros ou interações entre estes dois grupos de pessoas. Se considerarmos que o número de interações é
proporcional a x(t) juntamente com y(t), isto é, proporcional ao produto xy, então
(4)
onde k é a constante usual de proporcionalidade. Suponha que uma comunidade pequena tenha uma população fixa de n pessoas. Se uma pessoa infectada for introduzida
nesta comunidade, então poderia-se dizer que x(t) e y(t) estariam relacionadas por x y n 1. Aplicando esta última equação para eliminar y em (4), obtemos o modelo
(5)
Uma condição inicial óbvia acompanhando a equação (5) é x(0) 1.
Reações químicas A desintegração de uma substância radioativa, governada pela
equação diferencial (2), é dita ser uma reação de primeira ordem. Em química,
poucas reações seguem esta mesma lei empírica: se as moléculas da substância A
se decompõem em moléculas menores, uma hipótese natural é que a taxa na qual
esta decomposição ocorra seja proporcional à quantidade da primeira substância que
ainda não se submeteu à conversão; isto é, se X(t) for a quantidade de substância A
remanescente em qualquer tempo, então dX/dt kX, onde k é uma constante negativa
pois X está decrescendo. Um exemplo de uma reação química de primeira ordem é a
conversão de cloreto de butil-t em álcool butil-t:
(CH3)3CCl NaOH → (CH3)3COH NaCl.
Somente a concentração do cloreto de butil-t controla a taxa da reação. Porém, na
reação
CH3Cl NaOH → CH3OH NaCl,
para toda molécula de cloreto de metil, uma molécula de hidróxido de sódio é consumida, formando assim uma molécula de álcool metil é uma molécula de cloreto de sódio.
Neste caso, a taxa na qual a reação ocorre é proporcional ao produto das concentrações restantes de CH3Cl e de NaOH. Considerando que X corresponda à quantidade de
CH3OH formado e que ␣ e ␤ sejam as quantidades dadas dos dois primeiros produtos
químicos A e B, então as quantidades instantâneas não convertidas no produto químico
C são ␣ X e ␤ X, respectivamente. Portanto, a taxa de formação de C é dada por
1.3 Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos
(6)
onde k é uma constante de proporcionalidade. Uma reação cujo modelo é a equação
(6) é dita ser de segunda ordem.
Misturas A mistura de duas soluções de sal de concentrações diferentes resulta em
uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Vamos supor que um tanque de mistura grande comporte 300 litros de salmoura
(isto é, água com uma certa quantidade de quilos de sal dissolvidos). Outra solução
de salmoura é bombeada para dentro desse tanque grande a uma taxa de 3 litros por
minuto; a concentração de sal neste fluxo é de 2 kg de sal por litro. Quando a solução
do tanque estiver bem misturada, ela é bombeada para fora à mesma taxa da solução
de entrada. Veja a Figura 1.19. Se A(t) corresponde a taxa de sal (medida em quilos) no
tanque no instante de tempo t, a taxa com a qual A(t) se modifica é uma taxa líquida:
taxa de entrada de
salmoura 3 l/min
constante
300 l
(7)
A taxa de entrada Rin com a qual o sal entra no tanque é o produto do fluxo da concentração de sal e o fluxo da concentração de fluído. Observe que Rin é medido em
quilos por minuto
taxa de saída de
salmoura 3 l/min
Figura 1.19
Tanque de mistura.
Agora, como a solução está sendo bombeada para fora do tanque com a mesma taxa
que ela é bombeada para dentro, a quantidade de litros de salmoura no tanque no
instante de tempo t é um valor constante de 300 litros. Conseqüentemente, a concentração de sal no tanque, assim como no fluxo para fora, é c(t) A(t)/300 kg/l, e assim
a taxa de saída Rout de sal é
A taxa líquida então se escreve
(8)
Se rin e rout denotam taxas gerais de entrada e saída das soluções de salmoura*,
então existem três possibilidades: rin rout, rin rout e rin rout. Na análise que nos
levou a (8), assumimos rin rout. Nos últimos dois casos, a quantidade de litros de salmoura no tanque está aumentando (rin rout) ou decrescendo (rin rout) à taxa líquida
rin rout. Veja os Problemas 10-12 nos Exercícios 1.3.
Aw
Esvaziando um tanque
Em hidrodinâmica, a lei de Torricelli diz que a velocidade
v do fluxo de água de um buraco estreito na base do tanque preenchido com uma profundidade h é igual à velocidade que um corpo (neste caso, uma gota de água) adquiriria caindo livremente a partir de uma altura h; isto é,
, onde g é a aceleração
em decorrência da gravidade. Esta última expressão surge da igualdade da energia cinética
com a energia potencial mgh e posterior solução em relação a v. Suponha
que um tanque preenchido com água seja esvaziado por um buraco sob influência da
gravidade. Gostaríamos de calcular a profundidade h de água remanescente no tanque
no instante de tempo t. Considere o tanque apresentado na Figura 1.20. Se a área do
buraco for Ah (em m2) e a velocidade da água deixando o tanque é
* Não confunda estes símbolos com Rin e Rout, que são taxas de entrada e saída do sal.
(em m/s),
h
Ah
Figura 1.20
tanque.
Água escoando de um
37
38
CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais
3
então o volume de água que deixa o tanque por segundo é
(em m /s). Assim,
se V(t) expressa o volume de água no tanque no instante de tempo t,
(9)
L
E(t)
R
C
(a) Circuito série LRC
onde o sinal menos indica que V está decrescendo. Observe aqui que estamos ignorando a possibilidade de que haja atrito no buraco, o que poderia causar uma redução
da taxa de fluxo. Agora, se o tanque está de tal modo que o volume de água nele
no instante de tempo t possa ser escrito como V(t) Awh, onde Aw (em m2) é a área
constante da superfície superior da água (veja a Figura 1.20), então dV/dt Awdh/
dt. Substituindo esta última expressão em (9) resulta na equação diferencial desejada
para a altura da água no instante de tempo t:
(10)
Indutor
indutância L: henrys (h)
di
queda de tensão: L
dt
É interessante observar que (10) permanece válida mesmo quando Aw não é constante.
Neste caso, temos que expressar a área da superfície superior da água em função de h,
isto é, Aw A(h). Veja o Problema 14 nos Exercícios 1.3.
Circuitos série Considere o circuito série de laço único contendo um indutor, um
resistor e um capacitor como mostra a Figura 1.21(a). A corrente em um circuito após
o fechamento de uma chave é expressa por i(t); a carga em um capacitor no instante
de tempo t é denotada por q(t). As letras L, C e R são conhecidas como indutância,
capacitância e resistência, respectivamente, sendo geralmente constantes. De acordo
com a segunda lei de Kirchhoff, a tensão E(t) imposta em um laço fechado tem que
ser igual à soma das quedas de tensão no laço. A Figura 1.21(b) também mostra os
símbolos e as fórmulas para as respectivas quedas de tensão em um indutor, um capacitor e um resistor. Como a corrente i(t) está relacionada à carga q(t) no capacitor por
i dq/dt, pela adição das três quedas de tensão
i
L
Resistor
resistência R: ohms (Ω)
queda de tensão: iR
i
R
Capacitor
capacitância C: farads (f)
1
queda de tensão: q
C
i
e igualando-se a soma à tensão imposta obtemos uma equação diferencial de segunda
ordem
C
(11)
(b)
Figura 1.21 Corrente i(t) e carga q(t)
são medidas em ampéres (A) e coulombs
(C), respectivamente.
v0
pedra
s0
s(t)
prédio
solo
Figura 1.22 Posição da pedra medida a
partir do nível do solo.
Examinaremos com detalhes uma equação diferencial análoga a (11) na Seção 3.8.
Queda de corpos
Na construção de um modelo matemático do movimento de um
corpo que se move em um campo de força, muitas vezes inicia-se com a segunda lei
de Newton do movimento. Recorde da física elementar que a primeira lei do movimento de Newton diz que um corpo irá permanecer em repouso ou continuará a se
mover com uma velocidade constante a menos que uma força externa atue. Em cada
caso, isto equivale a dizer que quando a soma das forças F Fk – isto é, a força
líquida ou resultante – atuando no corpo é zero, então a aceleração a do corpo é zero.
A segunda lei do movimento de Newton indica que quando a força líquida atuando
em um corpo não for zero, então a força líquida será proporcional à sua aceleração a,
ou mais precisamente, F ma, onde m é a massa do corpo.
Suponha agora uma pedra lançada para cima de um telhado de um prédio ilustrado na Figura 1.22. Qual é a posição s(t) da pedra relativa ao solo no instante de
tempo t? A aceleração da pedra é a derivada segunda d2s/dt2. Se considerarmos que a
direção para cima é positiva e que nenhuma outra força atua na pedra a não ser a força
da gravidade, então a segunda lei de Newton nos dá
(12)
39
1.3 Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos
Em outras palavras, a força líquida é simplesmente o peso F F1 W da pedra
próxima à superfície do solo. Lembre-se que a magnitude do peso é W mg, onde
m é a massa do corpo e g é a aceleração em decorrência da gravidade. Utiliza-se o
sinal menos em (12), pois o peso da pedra é uma força direcionada para baixo, a qual
é oposta à direção positiva. Se a altura do prédio for s0 e a velocidade inicial da pedra
for v0, então s é determinada a partir do problema de valor inicial de segunda ordem
(13)
Apesar de não termos enfatizado soluções das equações que temos construído, notamos que (13) pode ser resolvida pela integração da constante g duas vezes em
relação a t. As condições iniciais determinam as duas constantes de integração.
Você deve reconhecer a solução de (13) a partir da física elementar como a fórmula
.
Queda de corpos e resistência do ar Antes do famoso experimento de Galileu na
Torre de Pisa, era crença geral que objetos mais pesados em queda livre, como uma bala
de canhão, caiam com uma aceleração maior do que a dos objetos mais leves, como uma
pena. Obviamente, uma bala de canhão e uma pena quando caem simultaneamente de
uma mesma altura, caem com taxas diferentes, porém isto não decorre do fato da bala
de canhão ser mais pesada. A diferença nas taxas se deve à resistência do ar. A força de
resistência do ar foi ignorada no modelo apresentado em (13). Sob algumas circunstâncias, um corpo de massa m em queda – como uma pena com baixa densidade e formato
irregular – encontra uma resistência do ar proporcional à sua velocidade instantânea v.
Se tomarmos, nesta circunstância, a direção positiva como sendo orientada para baixo,
então a força líquida atuando sobre a massa é dada por F F1 F2 mg kv, onde o
peso F1 mg do corpo é uma força atuando na direção positiva e a resistência do ar F2
kv é uma força, denominada amortecimento viscoso, atuando na direção oposta ou
para cima. Veja a Figura 1.23. Agora, como v está relacionada à aceleração a por a dv/dt, a segunda lei de Newton se escreve F ma m dv/dt. Igualando a força líquida
a esta forma da segunda lei de Newton, obtemos uma equação diferencial de primeira
ordem para a velocidade v(t) do corpo no instante de tempo t,
kv
Direção
positiva
Resistência do ar
Gravidade
mg
Figura 1.23
massa m.
Queda de um corpo de
(14)
Aqui k é uma constante de proporcionalidade positiva. Se s(t) for a distância percorrida pelo corpo no instante de tempo t a partir do seu ponto inicial de liberação, então
v ds/dt e a dv/dt d2s/dt2. Em termos de s, (14) é uma equação diferencial de
segunda ordem
(15)
L/2 x
L/2
L/2 x
L/2
x0
x x0
Uma corrente deslizante Suponha uma corrente uniforme de comprimento L metros presa sobre uma lingüeta de metal ancorada em uma parede a uma altura acima do
nível do solo. Vamos considerar que a lingüeta não tenha atrito e que a corrente pese r
N/m. A Figura 1.24(a) ilustra a posição da corrente na qual ela permanece em equilíbrio; se fosse disposta um pouco para a direita ou para esquerda, a corrente escorregaria
para fora da lingüeta. Suponha que a direção positiva seja para baixo, e considere que
x(t) represente a distância que a extremidade direita da corrente percorreria no instante
de tempo t. A posição de equilíbrio corresponde a x 0. Na Figura 1.24(b), a corrente
é deslocada uma quantidade x0 metros e é segurada na lingüeta até que ela seja liberada
em um instante de tempo inicial que é designado como t 0. Para a corrente em movimento, como indicado na Figura 1.24(c), temos as seguintes quantidades:
(a) equilíbrio
x (t)
(b) corrente presa (c) movimento
até t 0
para t 0
Figura 1.24 Corrente deslizando em
uma lingüeta sem atrito.
40
CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais
Como a d2x/dt2, ma F se torna
(16)
(a) fios telefônicos
Cabos suspensos
(b) ponte suspensa
Figura 1.25 Cabos suspensos entre
suportes verticais.
y
T2
P2
fio
T1
θ
T2 sen θ
T2 cos θ
P1
(0, a)
w
x
Suponha que um cabo flexível, fio ou corda esteja suspenso entre
dois suportes verticais. Exemplos físicos disso poderiam ser um de dois cabos sustentando
o leito da estrada de uma ponte suspensa mostrada na Figura 1.25(a) ou um fio de telefone
comprido e esticado entre dois postes como indicado na Figura 1.25(b). Nosso objetivo é
construir um modelo matemático que descreva o formato que tal cabo assume.
Para começar, examinaremos somente uma parte ou elemento do cabo entre o
seu ponto mais baixo P1 e qualquer ponto arbitrário P2. Desenhado em colorido na
Figura 1.26, este elemento do cabo consiste em uma curva em um sistema de coordenadas retangulares com o eixo y escolhido de modo a passar através do ponto mais
baixo P1 na curva e o eixo x escolhido a unidades abaixo de P1. Três forças estão
atuando no cabo: as tensões T1 e T2 no cabo que são tangentes ao cabo em P1 e P2,
respectivamente, e a parcela W da carga vertical total entre os pontos P1 e P2. Seja T1
|T1|, T2 |T2| e W |W| expressando as magnitudes destes vetores. Agora a tensão
T2 é separada em componentes horizontal e vertical (quantidades escalares) T2cosu e
T2senu. Em decorrência do equilíbrio estático, podemos escrever
T1 T2 cos u
e
W T2 sen u.
Dividindo a última equação pela primeira, eliminamos T2 e obtemos tg u W/T1.
Mas como dy/dx tg u, temos
(x, 0)
Figura 1.26
(17)
Elemento de um cabo.
Esta equação diferencial simples de primeira ordem serve como um modelo tanto
para o formato de um fio flexível como um fio telefônico suspenso sob o seu próprio
peso, assim como o formato dos cabos que sustentam o leito da estrada de uma ponte
suspensa. Retornaremos à Equação (17) nos Exercícios 2.2 e na Seção 3.10.
Observações
Cada exemplo nesta seção descreveu um sistema dinâmico: um sistema que se modifica ou se desenvolve com o fluxo do tempo t. Como o estudo de sistemas dinâmicos
é um ramo da matemática atualmente em destaque, relacionaremos a terminologia
desse campo à discussão corrente.
Em termos mais precisos, um sistema dinâmico consiste em um conjunto de variáveis dependentes com o tempo, denominadas variáveis de estado, junto com uma
regra que nos permite determinar (sem ambigüidade) o estado do sistema (este pode
ser estado passado, presente ou futuro) em termos de um estado prescrito em algum
tempo t0. Sistemas dinâmicos são classificados como sistemas discretos no tempo
ou sistemas contínuos no tempo. Neste curso, estaremos preocupados apenas com
sistemas dinâmicos contínuos no tempo – sistemas nos quais todas as variáveis são
definidas sobre uma escala contínua de tempo. A regra ou o modelo matemático em
um sistema dinâmico contínuo no tempo é uma equação diferencial ou um sistema de
equações diferenciais. O estado do sistema em um instante de tempo t é o valor das
variáveis de estado naquele instante de tempo; o estado do sistema especificado em um
instante de tempo t0 consiste simplesmente nas condições iniciais que acompanham o
modelo matemático. A solução do problema de valor inicial é referida como a resposta do sistema. Por exemplo, no caso anterior de decaimento radioativo, a regra é dA/
dt kA. Assim, se a quantidade de uma substância radioativa em algum tempo t0 for
conhecida, por exemplo, A(t0) A0, então, pela solução da regra, a resposta do siste-
1.3 Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos
41
ma para t t0 é determinada como sendo A(t) A0e
(veja a Seção 2.7). A resposta A(t) é a variável de estado único para este sistema. No caso da pedra atirada do
telhado do prédio, a resposta do sistema, a solução da equação diferencial d2s/dt2 g sujeita ao estado inicial s(0) s0, s¿(0) v0 é a função
,
0 t T, onde o símbolo T representa o instante de tempo no qual a pedra atinge o
solo. As variáveis de estado são s(t) e s¿(t), as quais são, respectivamente, a posição
vertical da pedra acima do solo e sua velocidade no tempo t. A aceleração s–(t) não é
uma variável de estado, pois somente temos que saber a posição inicial e a velocidade
inicial em um tempo t0 para determinar unicamente a posição da pedra s(t) e a velocidade s¿(t) v(t) para qualquer tempo no intervalo t0 t T. A aceleração s–(t) a(t) é, é claro, dada pela equação diferencial s–(t) g, 0 t T.
Um último ponto: nem todo sistema estudado neste texto é um sistema dinâmico. Examinaremos também alguns sistemas estáticos para os quais o modelo é uma
equação diferencial.
(tt0)
EXERCÍCIOS 1.3
As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 319.
Dinâmica da população
1. Sob as mesmas considerações que fundamentam o modelo
em (1), determine uma equação diferencial que governe o
crescimento da população P(t) de um país quando permitese a imigração de indivíduos dentro do país a uma taxa constante r 0. Qual é a equação diferencial para a população
P(t) do país quando permite-se a emigração de indivíduos a
uma taxa constante r 0?
2. O modelo de população indicado em (1) é falho ao não levar
a morte em consideração; a taxa de crescimento é igual à
taxa de nascimento. Em outro modelo de variação de população de uma comunidade, considera-se que a taxa com
a qual a população varia é uma taxa líquida – isto é, a diferença entre a taxa de nascimentos e a taxa de mortes na
comunidade. Determine um modelo para a população P(t)
se tanto a taxa de nascimento como a taxa de morte são proporcionais à população existente no instante de tempo t.
3. Utilizando o conceito de taxa líquida introduzido no Problema 2, determine uma equação diferencial que governe uma
população P(t) considerando que a taxa de nascimento seja
proporcional à população existente no instante de tempo t,
porém que a taxa de morte seja proporcional ao quadrado da
população existente no instante de tempo t.
T
200
150
100
50
0
50
100
t
min
Figura 1.27
Curva de resfriamento do Problema 5.
6. A temperatura ambiente Tm em (3) poderia ser uma função
do tempo t. Suponha que em um meio controlado artificialmente, Tm(t), seja periódico com um período de 24 horas,
como ilustrado na Figura 1.28. Projete um modelo matemático para a temperatura T(t) de um corpo no interior deste
ambiente.
Tm(t)
4. Modifique o modelo no Problema 3 para a taxa líquida na
qual a população P(t) de um determinado tipo de peixe varie, considerando-se também que os peixes sejam pescados
a uma taxa constante h 0.
120
100
80
60
Lei de Newton do resfriamento/aquecimento
5. Uma xícara de café se resfria de acordo com a lei de Newton
do resfriamento (3). Utilize os dados do gráfico de temperatura T(t) na Figura 1.27 para estimar as constantes Tm, T0
e k no modelo da forma de um problema de valor inicial de
primeira ordem
40
20
Figura 1.28
0
12
Meianoite
Meiodia
24
36
48
t
Meia- Meio- Meianoite
dia
noite
Temperatura ambiente no Problema 6.
42
CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais
Disseminação de uma doença/tecnologia
7. Suponha que um estudante com um vírus da gripe retorne
para um campus isolado de 1000 estudantes. Determine
uma equação diferencial que governe o número de pessoas
x(t) que contraíram a gripe considerando que a taxa com a
qual a doença se dissemine seja proporcional ao número de
interações entre o número de estudantes com a gripe e o número de estudantes que ainda não estiveram expostos a ela.
8. Em um instante de tempo t 0, uma inovação tecnológica é introduzida em uma comunidade com uma população
fixa de n pessoas. Determine uma equação diferencial que
governe o número de pessoas x(t) que tenham adotado a
inovação em um instante de tempo t, considerando-se que a
taxa com a qual a inovação se dissemina pela comunidade
seja proporcional ao número de pessoas que a adotaram
juntamente com o número de pessoas que não a adotaram.
Aw
buraco
circular
Figura 1.29
Tanque cúbico do Problema 13.
14. O tanque cônico apresentado na Figura 1.30 perde água
através de um buraco circular em sua base. Determine uma
equação diferencial para a altura da água h no instante de
tempo t. O raio do buraco é de 0,0508 m, g 9,81 m/s2, e
o fator de atrito / contração introduzido no Problema 13 é
c 0,6.
2,438 m
Misturas
Aw
9. Suponha que um tanque grande de mistura tenha inicialmente 300 litros de água na qual 50 kg de sal foram adicionados.
Água pura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa
de 3 litros/min, e quando a solução está bem misturada, é
bombeada para fora à mesma taxa. Determine uma equação
diferencial para a quantidade A(t) de sal no tanque no instante de tempo t. O que é A(0)?
10. Suponha que um tanque grande de mistura tenha inicialmente 300 litros de água na qual 50 kg de sal foram adicionados.
Água pura é bombeada para o tanque a uma taxa de 3 litros/
min, e quando a solução está bem misturada, é bombeada
para fora à uma taxa mais lenta, de 2 litros/mim. Se a concentração da solução que entra for de 2 kg/litro, determine
uma equação diferencial para a quantidade A(t) de sal no
tanque no instante de tempo t.
6,096 m
h
buraco circular
Figura 1.30
Esvaziando um tanque
13. Suponha que água esteja vazando de um tanque através de
um buraco circular de área Ah em sua base. Quando água escapa através do buraco, o atrito e a contração do fluxo próximo ao buraco reduzem o volume de água deixando o tanque
por segundo para
, onde c (0 c 1) é uma constante empírica. Determine uma equação diferencial para a
altura h da água no tempo t para o tanque cúbico da Figura
1.29. O raio do buraco é de 2 m, g 9,81 m/s2.
Tanque cônico do Problema 14.
Circuitos série
15. Um circuito série é constituído por um resistor e um indutor
como ilustrado na Figura 1.31. Determine uma equação diferencial para a corrente i(t) considerando que a resistência
seja R, a indutância L, e a tensão imposta E(t).
11. Qual é a equação diferencial no Problema 10, considerando
que a solução bem misturada seja bombeada para fora a uma
taxa mais rápida de 3,5 litros/min?
12. Generalize o modelo dado em (8) na página 37 considerando que o tanque inicialmente contenha N0 litros de salmoura, rin e rout sejam as taxas de entrada e saída de salmoura,
respectivamente (medidas em litros por minuto), cin seja a
concentração do sal no fluxo de entrada, c(t) seja a concentração de sal no tanque e no fluxo de saída no instante de
tempo t (medida em quilos de sal por litro), e A(t) seja a
quantidade de sal no tanque no instante de tempo t.
10 m
h
L
E
R
Figura 1.31
Circuito série RL do Problema 15.
16. Um circuito série é constituído por um resistor e um capacitor como ilustrado na Figura 1.32. Determine uma equação
diferencial para a carga q(t) no capacitor considerando que a
resistência seja R, a capacitância C, e a tensão imposta E(t).
R
E
C
Figura 1.32
Circuito série RC do Problema 16.
43
1.3 Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos
Queda de corpos e resistência do ar
17. Em movimentos de alta velocidade no ar, como o salto livre
no ar mostrado na Figura 1.33 antes que o pára-quedas seja
aberto, a resistência do ar é próxima a uma potência da velocidade instantânea v(t). Determine uma equação diferencial
para a velocidade v(t) de um corpo em queda com massa m,
considerando que a resistência do ar seja proporcional ao
quadrado da velocidade instantânea.
uma reta vertical através do centro de gravidade da massa, e
que as únicas forças que atuam no sistema sejam o peso da
massa e a força de restauração da mola esticada. Aplique a
lei de Hooke: A força de restauração de uma mola é proporcional ao seu alongamento total. Determine uma equação
diferencial para o deslocamento x(t) no instante de tempo t.
kv2
x (t) > 0
Figura 1.33 Resistência do ar proporcional ao quadrado da
velocidade no Problema 17.
Segunda lei de Newton e
Princípio de Arquimedes
18. Um barril cilíndrico de s m de diâmetro e w kg de peso está
flutuando na água como indicado na Figura 1.34(a). Após uma
depressão inicial, o barril exibe um movimento para cima e
para baixo inclinado ao longo de uma linha vertical. Utilizando a Figura 1.34(b), determine uma equação diferencial para
o deslocamento vertical y(t) considerando que a origem seja
tomada como estando no eixo vertical da superfície da água
quando o barril está em repouso. Aplique o Princípio de Arquimedes: a flutuação, ou força para cima da água no barril, é
igual ao peso da água deslocada. Considere que a direção para
baixo seja positiva, que a densidade da água seja de 1000 kg/
m3, e que não exista resistência entre o barril e a água.
s/2
s/2
0
(a)
superfície
0
y(t)
Figura 1.35
(c)
Sistema massa/mola do Problema 19.
20. No Problema 19, qual é a equação diferencial para o deslocamento x(t) se o movimento ocorre em um meio que transmite uma força de amortecimento ao sistema massa/mola
que é proporcional à velocidade instantânea da massa e atua
em uma direção oposta àquela do movimento?
Segunda lei de Newton e massa variável
Quando a massa m de um corpo que se move por um campo de força varia, a segunda lei de Newton assume uma outra forma: Se a
força líquida atuando em um corpo não é zero, então a força líquida
F é igual à taxa temporal de variação do momento do corpo. Isto é,
(18)
onde mv é o momento. Aplique esta formulação da segunda lei
de Newton nos Problemas 21 e 22.
21. Uma corrente uniforme com 10 m de comprimento é amontoada de forma livre no solo. Conforme indicado na Figura
1.36, uma extremidade da corrente é puxada verticalmente
para cima por uma força constante de 5 N. A corrente pesa
1 N/m. Determine uma equação diferencial para a altura x(t)
da extremidade acima do nível do solo no instante de tempo
t. Admita que a direção positiva seja para cima.
(b)
força
para cima
de 5 N
Movimento do barril flutuante no Problema 18.
x(t)
Segunda lei de Newton e lei de Hooke
19. Após uma massa m ser conectada a uma mola, ela é esticada
s unidades e então atinge o repouso na posição de equilíbrio
como apresentado na Figura 1.35(b). Após o sistema massa/
mola ser colocado em movimento, considere que x(t) representa a distância da massa além da posição de equilíbrio.
Como indicado na Figura 1.35(c), admita que a direção para
baixo seja positiva, que o movimento ocorra ao longo de
m
(b)
(a)
Figura 1.34
x=0
m
posição de
equilíbrio
mg
x (t) < 0
s
mola nãoesticada
Figura 1.36
Corrente puxada para cima do Problema 21.
* Observe que quando m for constante, esta equação é igual a F ma.
44
CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais
22. Uma corrente uniforme de comprimento L, medida em metros, é mantida verticalmente de modo que a extremidade
inferior apenas encoste o chão, como ilustrado na Figura
1.37. A corrente pesa 2 N/m. A extremidade superior que
está suspensa é liberada a partir do repouso em t 0 e a corrente cai. Ignore a resistência do ar, considere que a direção
positiva seja para baixo e que x(t) denote o comprimento da
corrente no chão no instante de tempo t. Utilize o fato de
que a força líquida F em (18) atuando na corrente no tempo
t 0 seja a constante 2L para mostrar que a equação diferencial para x(t) é
24. Suponha que um buraco seja perfurado através do centro da
Terra e uma bola de boliche de massa m seja abandonada no
buraco, como mostra a Figura 1.39. Construa um modelo
matemático que descreva o movimento da bola. No tempo t,
considere r como a distância a partir do centro da Terra para
a massa m, M como a massa da Terra, Mr como a massa da
parcela da Terra dentro de uma esfera de raio r, e d como a
densidade constante da Terra.
superfície
m
r
R
Figura 1.39
Buraco através da Terra no Problema 24.
Modelos matemáticos variados
25. Teoria da aprendizagem Na teoria da aprendizagem, a
taxa com a qual um assunto é memorizado é considerada
como sendo proporcional à quantidade a ser memorizada.
Suponha que M se refira à quantidade total de um assunto
a ser memorizado e A(t) seja a quantidade memorizada no
tempo t. Determine uma equação diferencial para a quantidade A(t).
L
Figura 1.37 Corrente mantida verticalmente no Problema 22.
Segunda lei de Newton e a
lei da gravitação universal
23. Pela lei de Newton da gravitação universal, a aceleração a
de um corpo em queda livre, como o satélite mostrado na Figura 1.38, caindo a uma grande distância rumo à superfície
não é a constante g. Ao invés, a aceleração a é inversamente
proporcional ao quadrado da distância a partir do centro da
2
terra, a kr , onde k é a constante de proporcionalidade.
Utilize o fato de que na superfície da Terra r R e a g para determinar k. Se a direção positiva for para cima,
aplique a segunda lei de Newton e a sua lei universal da
gravitação para determinar uma equação diferencial para a
distância r.
satélite de
massa m
26. Tendência ao esquecimento No Problema 25, considere
que a taxa com a qual um assunto é esquecido seja proporcional à quantidade memorizada no tempo t. Determine uma
equação diferencial para A(t) quando a tendência ao esquecimento é levada em conta.
27. Infusão de uma droga Uma droga é injetada na corrente
sanguínea de um paciente a uma taxa constante de r gramas
por segundo. Simultaneamente, a droga é removida a uma
taxa proporcional à quantidade x(t) de droga presente no
instante de tempo t. Determine uma equação diferencial que
governe a quantidade x(t).
28. Tractrix Uma pessoa P, partindo da origem, se move na
direção do eixo x positivo, puxando um peso ao longo de
uma curva C, denominada tractrix, como indicado na Figura 1.40. O peso, inicialmente localizado no eixo y em (0, s),
é puxado por uma corda de comprimento constante s, que é
mantida tensionada durante o movimento. Determine uma
equação diferencial para o caminho de movimento. Admita
que a corda esteja sempre tangente a C.
y
ie
erfíc
sup
r
(0, s)
R
(x, y)
y
s
θ
Terra de massa M
Figura 1.38
Satélite no Problema 23.
C
P
Figura 1.40
Curva tractrix no Problema 28.
x
1.3 Equações Diferenciais como Modelos Matemáticos
29. Superfície de reflexão Considere que quando a curva plana
C mostrada na Figura 1.41 é girada sobre o eixo x, ela gera
uma superfície de revolução com a propriedade de que todos
os raios de luz L paralelos ao eixo x que atinjam a superfície
sejam refletidos para um ponto único O (a origem). Utilize
o fato de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão para determinar uma equação diferencial que descreva o formato da curva C. Tal curva C é importante em aplicações que abrangem a construção de telescópios de antenas
de satélites, faróis dianteiros de automóveis e coletores
solares. [Dica: A inspeção da figura mostra que podemos
escrever f 2u. Por quê? Aplique agora uma identidade
trigonométrica apropriada.]
(a) Em P, existe uma força de reação de magnitude F em
decorrência de outras partículas do fluido, normal à superfície S. Pela segunda lei de Newton, a magnitude da
2
força líquida atuando sobre a partícula é mv x. O que é
esta força? Utilize a Figura 1.42(b) para discutir a natureza e a origem das equações
F cos u mg,
θ
L
y
2
y
ω
curva C de interseção
do plano xy e a
superfície de revolução
θ
φ
Superfície refletora no Problema 29.
m ω 2x
P(x, y)
θ mg
θ
P
x
O
Figura 1.41
F sen u mv x.
(b) Utilize o item (a) para determinar uma equação diferencial de primeira ordem que defina a função y f(x).
C
P(x, y)
senhado perpendicular ao eixo y de modo que o ponto de
interseção dos eixos (a origem) esteja posicionado no ponto mais baixo na superfície S. Buscamos então uma função
y f(x), que representa a curva C de interseção da superfície S e o plano de coordenada vertical. Seja o ponto P(x, y)
a posição de uma partícula de massa m do fluido em rotação
no plano coordenado. Veja a Figura 1.42(b).
tangente
y
45
x
reta tangente à
curva C em P
(a)
(b)
Problemas para discussão
Figura 1.42
30. Releia o Problema 37 nos Exercícios 1.1 e calcule uma solução explícita P(t) para a equação (1). Determine uma família
de soluções de um parâmetro para (1).
35. Queda de corpos No Problema 23, considere r R s,
onde s é a distância a partir da superfície da Terra até o
corpo em queda. Em que a equação diferencial obtida no
Problema 23 se torna quando s é muito pequena em relação
a R?
31. Releia a sentença que se segue a equação (3) e considere
que Tm seja uma constante positiva. Discuta por que esperaríamos k 0 em (3) tanto para o caso de resfriamento como
para o caso de aquecimento. Você pode começar interpretando, por exemplo, T(t) Tm de uma maneira gráfica.
32. Releia a discussão associada à equação (8). Se considerarmos que o tanque armazene inicialmente, por exemplo, 50
quilos de sal, isso nos leva a raciocinar que, como sal está
sendo adicionado ao tanque continuamente para t 0, A(t)
deveria ser uma função crescente. Discuta como você determinaria a partir da ED, sem de fato resolvê-la, a quantidade
de quilos de sal no tanque após um longo período de tempo.
33. Modelo
de
população
A
equação
diferencial
, onde k é uma constante positiva, é um
modelo de população humana P(t) de uma determinada comunidade. Discuta uma interpretação para a solução dessa
equação. Em outras palavras, qual tipo de população você
pensa que essa equação diferencial descreve?
34. Fluido em rotação Como indicado na Figura 1.42(a), um
cilindro circular parcialmente preenchido com fluido é girado com uma velocidade angular constante v sobre um eixo
y vertical em relação ao seu centro. O fluido em rotação é
uma superfície de revolução S. Para identificar S, primeiro
estabelecemos um sistema de coordenadas que consiste de
um plano vertical determinado pelo eixo y e um eixo x de-
Fluido em rotação do Problema 34.
36. Gotas de chuva continuam caindo Na meteorologia, o termo virga se refere às gotas de chuva ou partículas de gelo
em queda que se evaporam antes de atingir o solo. Considere que uma gota de chuva típica tenha formato esférico.
A partir de um determinado tempo, que podemos designar
como t 0, a gota de chuva de raio r0 cai de uma nuvem a
partir do repouso e começa a evaporar.
(a) Caso se considere que uma gota de chuva se evapore de
modo que seu formato permaneça esférico, então faz
sentido admitir que a taxa na qual a gota de chuva se
evapora, isto é, a taxa com a qual ela perde massa, seja
proporcional à sua área de superfície. Mostre que esta
última hipótese implica que a taxa na qual o raio r da
gota de chuva decresça seja uma constante. Determine
r(t). [Dica: Veja o Problema 47 nos Exercícios 1.1.]
(b) Considerando que a direção positiva seja para baixo,
construa um modelo matemático para a velocidade v da
queda da gota de chuva no instante de tempo t. Ignore a
resistência do ar. [Dica: Veja a introdução dos Problemas 21 e 22.]
37. Deixe nevar O “problema do trator que retira neve” é um
clássico e aparece em muitos livros de equações diferenciais, mas provavelmente se tornou famoso por Ralph Palmer Agnew:
46
CAPÍTULO 1 Introdução às Equações Diferenciais
“Um dia começou a nevar a uma taxa forte e constante.
Um trator começou a trabalhar ao meio-dia, percorrendo 2
quilômetros na primeira hora e um quilômetro na segunda
hora. A que horas começou nevar?”
Se possível, encontre o livro Differential Equations, Ralph
Palmer Agnew, McGraw-Hill Book Co., e então discuta a
construção e a solução do modelo matemático.
38. Releia esta seção e classifique cada modelo matemático
como linear ou não-linear.
39. Dinâmica da população Considere que P¿(t) 0,15 P(t)
represente um modelo matemático para o crescimento de
uma determinada cultura de células, onde P(t) é o tamanho
CAPÍTULO 1 EXERCÍCIOS DE REVISÃO
___________________
2.
40. Decaimento radioativo
Considere que
A¿(t) = –0,0004332A(t)
represente um modelo matemático para o decaimento do
rádio-226, onde A(t) é a quantidade de rádio (medida em
gramas) restante no tempo t (medido em anos). Qual é a
quantidade da amostra de rádio resta no instante de tempo
t quando a amostra está decaindo a uma taxa de 0,002 gramas por ano?
As respostas de problemas ímpares selecionados estão na página 320.
Nos Problemas 1 e 2, preencha o espaço em branco com uma
equação diferencial de primeira ordem linear que esteja livre do
símbolo c1 e tenha a forma dy/dx f(x, y). Os símbolos c1 e k
representam constantes.
1.
da cultura (medido em tamanho de células) no tempo t (medido em horas). Quão rápido é o crescimento da cultura no
instante de tempo t quando o tamanho da cultura atinge 2
milhões de células?
Nos Problemas 15 e 16, interprete cada enunciado como uma
equação diferencial.
15. No gráfico de y f(x), o coeficiente angular da reta tangente em um ponto P(x, y) é o quadrado da distância de P(x, y)
à origem.
16. No gráfico de y f(x), a taxa com a qual o coeficiente angular varia em relação a x em um ponto P(x, y) é o negativo
da reta tangente em P(x, y).
___________________
17. (a) Defina o domínio da função y x .
2/3
Nos Problemas 3 e 4, preencha o espaço em branco com uma
equação diferencial de segunda ordem linear que esteja livre dos
símbolos c1 e c2 e tenha a forma F(y, y–) 0. Os símbolos c1, c2
e k representam constantes.
3.
___________________
4.
(b) Defina o maior intervalo I de definição sobre o
2/3
qual y x é uma solução da equação diferencial
3xy¿ 2y 0.
18. (a) Verifique que a família de um parâmetro y2 2y x2
x c é uma solução implícita da equação diferencial
(2y 2)y¿ 2x 1.
__________________
(b) Determine um membro da família de um parâmetro no
item (a) que satisfaça a condição inicial y(0) 1.
Nos Problemas 5 e 6, calcule y¿ e y– e então combine estas derivadas com y como uma equação diferencial de segunda ordem linear que seja livre dos símbolos c1 e c2 e tenha a forma
F(y, y¿, y–) 0. Os símbolos c1 e c2 representam constantes.
(c) Utilize o seu resultado no item (b) para calcular uma
função explícita y f(x) que satisfaça y(0) 1. Defina o domínio de f. y f(x) é uma solução do problema de valor inicial? Se sim, determine o seu intervalo I
de definição; caso contrário, explique.
5. y c1ex c2xex
6. y c1ex cos x c2ex sen x
19. Dado que
Nos Problemas 7-12, case cada uma das equações diferenciais
dadas com uma ou mais dessas soluções:
(a) y 0,
(b) y 2,
7. xy¿ 2y
9. y¿ 2y 4
11. y– 9y 18
(c) y 2x,
(d) y 2x .
2
8. y¿ 2
10. xy¿ y
12. xy– y¿ 0
Nos Problemas 13 e 14, determine por inspeção ao menos uma
solução da equação diferencial indicada.
13. y– y
14. y¿ y(y 3)
é uma solução da ED xy¿ y 2x,
determine x0 e o maior intervalo I para o qual y(x) é uma
solução do PVI
xy¿ y 2x;
y(x0) 1.
20. Suponha que y(x) denote uma solução do problema de valor
inicial y¿ x2 y2, y(1) 1 e que y(x) tenha pelo menos
uma derivada segunda em x 1. Em alguma vizinhança de
x 1, utilize a ED para determinar se y(x) está crescendo ou
decrescendo, e se o gráfico de y(x) é côncavo para cima ou
para baixo.
21. Uma equação diferencial pode ter mais do que uma família
de soluções.
Exercícios de Revisão
(a) Trace o gráfico de diferentes membros das famílias
y f1(x) x2 c1 e y f2(x) x2 c2.
é apresentado na Figura 1.43. Utilize o gráfico para estimar
os valores de y0 e y1.
(b) Verifique que y f1(x) e y f2(x) são duas soluções
da equação diferencial de primeira ordem não-linear
(y¿)2 4x2.
y
5
(c) Construa uma função definida por partes que seja solução da ED não-linear no item (b), mas que não seja um
membro das famílias de soluções do item (a).
x
22. Qual é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da
solução de y¿ 6
5x3 que passa por (1, 4)?
5
Nos Problemas 23-26, verifique que a função indicada é uma solução particular da equação diferencial dada. Indique um intervalo de definição I para cada solução.
23. y– y 2 cos x 2 sen x; y x sen x x cos x
24. y– y sec x; y x sen x (cos x) ln(cos x)
25. x y– xy¿ y 0; y sen(ln x)
2
26. x2y– xy¿ y sec(ln x);
y cos(ln x) ln (cos(ln x)) (ln x) sen(ln x)
27. O gráfico de uma solução de um problema de valor inicial
de segunda ordem d2y/dx2 f(x, y, y¿), y(2) y0, y¿(2) y1,
47
–5
Figura 1.43
Gráfico do Problema 27.
28. Um tanque com a forma de um cilindro circular de raio
0,609 m e altura 3,048 m está sustentado em uma das extremidades. Considerando que o tanque esteja inicialmente
cheio de água, e que água vaze a partir de um buraco circular de raio 0,0127 m na sua base, determine uma equação
diferencial para a altura h da água no instante de tempo t.
Ignore o atrito e a contração da água no buraco.
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