1. Verifique se a função dada é solução para a equação diferencial

Universidade do Estado de Mato Grosso - Campus de Sinop
Cálculo Diferencial e Integral III - FACET
Lista 1
Profª Ma. Polyanna Possani da Costa Petry
1. Verifique se a função dada é solução para a equação diferencial.
;
a)
b)
c)
d)
e)
;
f)
g)
h)
2. Em cada um dos problemas abaixo determine os valores de r para os quais a dada equação
diferencial tem soluções da forma
ou
.
a)
c)
b)
d)
3. Verifique se a equação diferencial é linear.
a)
b)
c)
4. i) Desenhe o campo de direções para as equações diferenciais
ii) Confirme o item anterior no Winplot.
a)
b)
5. O circuito elétrico simples, mostrado na figura abaixo, contém uma força eletromotriz que produz
uma voltagem
volts ( ) e uma corrente
possui um resistor com resistência de
ampères (A) em um tempo
O circuito também
Ohm ( ) e um indutor com indutância de
henrys ( ).
A equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no tempo é dada por
Suponha que, nesse circuito, a resistência seja de 12 , a indutância de 4
e a pilha fornece uma
voltagem constante de 60 .
a) Desenhe um campo de direções para a equação com esses valores. Esboce também no Winplot.
b) O que você pode dizer sobre o valor limitante da corrente?
c) Identifique quaisquer solução de equilíbrio.
6. Resolva as equações diferenciais:
f)
a)
g)
b)
h)
c)
i)
d)
j)
e)
7. Encontre uma equação da curva que satisfaça
e cujo intercepto
é 7.
8. Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.
a)
b)
c)
d)
e)
9. O Modelo de crescimento populacional de Malthus baseia-se na premissa de que a população
cresce a uma taxa proporcional ao tamanho da população. Se
população no instante , então
é o número de indivíduos da
descreve esse crescimento, onde
é a constante de
proporcionalidade. A tabela abaixo apresenta a população do mundo entre os anos de 1900 e 2000.
Ano
População
(milhões)
1900
1.650
1910
1.750
1920
1.860
1930
2.070
1940
2.300
1950
2.560
1960
3.040
1970
3.710
1980
4.450
1990
5.280
2000
6.080
a) Use os dados da tabela para modelar a população do mundo no século
tempo inicial
, isto é, considere o
em 1900.
b) Utilizando o PVI determinado no item anterior e a população do ano de 1910, estime o valor da
constante de proporcionalidade , também denominada taxa de crescimento relativo.
c)
Estime a população mundial em 1920, 1930, 1940 e 1950. Após aproximadamente quantos
anos as previsões tornaram-se imprecisas?
10. Um material radiativo, tal como um dos isótopos de tório, o tório-234, desintegra a uma taxa
proporcional à quantidade presente. Se
, onde
a) Se
é a quantidade presente no instante , então
é a taxa de decaimento.
de tório-234 decaem a
em 1 semana, determine a taxa de decaimento
b) Encontre uma equação para a quantidade de tório-234 presente em qualquer instante
c) Encontre o tempo necessário para que o tório-234 decaia à metade da quantidade original.
11. A meia-vida
de um material radioativo é o tempo necessário para que uma quantidade desse
material decaia à metade de sua quantidade original. Mostre que para qualquer material radioativo
que decaia de acordo com a equação
, a meia vida é dada por
12. Resfriamento de um corpo: Consideremos um modelo simplificado para o fenômeno de variação de
temperatura num corpo por perda ou ganho de calor para o meio ambiente, fazendo as seguintes
hipóteses:
i. A temperatura é a mesma no corpo todo e depende apenas do tempo.
ii. A temperatura do meio ambiente,
, é constante com o tempo.
iii. O fluxo de calor através das paredes do corpo dado por
é proporcional à diferença entre as
temperaturas do corpo e do meio ambiente, isto é,
Newton para resfriamento) onde
(chamada lei de
é uma constante positiva que depende das propriedades
físicas do corpo. Conhecendo-se que a temperatura
.
a) Determine a equação que fornece a temperatura do corpo no instante .
b) Calcule
tal que
atinge 99% da temperatura ambiente.
GABARITO
6.
a)
f)
b)
g)
c)
h)
√
d)
(
)
√
i)
e)
√
j)
7.
8.
a)
d)
b)
e)
(
)
b)
c)
. Aproximadamente
10.
a)
b)
c)
12.
a)
| |
√
| |
c)
9.
√
b)
|
|
|
|
anos.