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aula4

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1/12
Resistência dos Materiais 2003/2004
Curso de Gestão e Engenharia Industrial
4ª Aula
Duração - 2 Horas
Data - 2 de Outubro de 2003
Sumário: Mudança de Eixos de Referência. Tensões Principais e Direcções Principais.
Invariantes das Tensões. Tensor Hidrostático ou Isotrópico. Tensor das Tensões de
Desvio. Casos Particulares.
Objectivos da Aula: Apreensão das Operações com o Tensor das Tensões mais
relevantes para efeitos de Utilização do Tensor das Tensões em Problemas de Mecânica
dos Sólidos. Definição de alguns Tensores relevantes na análise do comportamento de
Sólidos e Estruturas.
Resumo do Conteúdo da Aula
1- Mudança de Eixos de Referência
A mudança de eixos de referência implica mudanças nas componentes do tensor das
tensões. Considere-se conhecido o tensor das tensões no sistema de eixos Oxyz e
determine-se o tensor das tensões no sistema de eixos Ox´y´z´, sendo os cosenos
directores das direcções Ox´, Oy´ e Oz´, {l,m,n}, definidos de acordo com a tabela
seguinte:
x y z
 l1 l 2 l3 
x′ l 1 m1 n1
ou [ Q ] =  m1 m 2 m 3 
(4.1)
y′ l 2 m 2 n 2
 n1 n 2 n 3 
z′ l 3 m 3 n 3
onde [Q] representa a matriz de transformação de Oxyz em Ox´y´z´.
Uma vez que a transformação de coordenadas é ortogonal, os cosenos directores
estão relacionados pelas equações seguintes:
l1 + l 2 + l 3 = 1
2
2
2
l 1 + m1 + n1 = 1
2
2
2
m1 + m 2 + m 3 = 1
n1 + n 2 + n 3 = 1
l 2 + m2 + n2 = 1
l 3 + m3 + n3 = 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
l 1l 2 + m1m 2 + n1n 2 = 0 l 1l 3 + m1m3 + n1n 3 = 0
l 2l 3 + m 2 m 3 + n 2 n 3 = 0
l 1m1 + l 2 m 2 + l 3m 3 = 0 l 1n1 + l 2 n 2 + l 3n 3 = 0
m1n1 + m 2 n 2 + m 3n 3 = 0
(4.2)
2/12
z
z
z´
y´
y
y
x´
x
x
Figura 4. 1: Mudança de Eixos
O tensor das Tensões no Sistema de Eixos Oxyz é:
σ xx τ xy τ xz 


σ ≈  τ xy σ yy τ yz 
 τ xz τ yz σ zz 
(4.3)
A mudança de sistema de eixos pode fazer-se começando por calcular as
componentes das tensões nas facetas perpendiculares aos eixos Ox´, Oy´ e Oz´ , no
sistema de eixos Oxyz que são:
T x´x T y´x T z´x  σ xx τ yx τ zx   l1 l 2 l3 



T=  T x´y T y´y T z´y  =  τ xy σ yy τ zy   m1 m 2 m 3  = σQ
 T x´z T y´z T z´z   τ xz τ yz σ zz   n1 n 2 n 3 
(4.4)
As componentes do Tensor das Tensões no sistema de Eixos Oxý´z´ podem ser
calculadas projectando as Tensões T, no sistema de eixos Ox´y´z´, ou seja calculando o
produto matricial seguinte:
σ x´x´ τ y´x´ τ z´x´   l1 m1 n1  T x´x T y´x T z´x 

σ´≈  τ x´y´ σ y´y´ τ z´y´  = l 2 m 2 n 2   T x´y T y´y T z´y  ≈ Q TT


 τ x´z´ τ y´z´ σ z´z´  l3 m 3 n 3   T x´z T y´z T z´z 
ou seja:
(4.5)
3/12
[ σ´] = [Q] [ σ ][Q]
T
(4.6)
onde [Q ] representa a matriz de transformação do sistema de eixos Oxyz no sistema de
eixos Ox´y´z´.
Caso Particular do Estado Plano de Tensão
As tensões no sistema de eixos Oxy são, σ xx , σ yy e τ xy , como se representa na
figura 4.2. Pretendem-se as tensões no sistema de eixos Ox´y´ definido de tal modo que
os ângulos formados por Ox e Ox´ e Oy e Oy´ tenham a grandeza θ, como se representa
na referida figura. O referido ângulo é medido a partir do eixo dos xx (sentido positivo) e
no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
Considerando o elemento triangular ABC e considerando o equilíbrio de forças na
direcção do eixo dos x´x´, ∑ F x´ = 0 , obtém-se:
σ x´x´dA = σ xxdAcosθcosθ + σ yydAsenθsenθ + τ xydAcosθsenθ + τ xydAcosθsenθ
(4.7)
ou seja:
2
2
σ x´x´ = σ xx cos θ + σ yysen θ + 2τ xycosθsenθ
(4.8)
tendo em conta que:
cos θ =
2
1 + cos2θ
1 − cos2θ
, sen 2θ =
e 2senθcosθ = sen2θ
2
2
a equação 4.8 pode escrever-se com a forma
σ x´x´ = σ xx
1 + cos2θ
1 − cos2θ
+ σ yy
+ τ xysen2θ
2
2
(4.9)
simplificando obtém-se:
σ x´x´ =
σ xx + σ yy σ xx − σ yy
+
cos2θ + τ xysen2θ
2
2
(4.10)
Considerando o equilíbrio de forças segundo o eixo dos y´y´ no elemento ABC de
espessura unitária, obtém-se a tensão tangencial ou de corte na faceta BC, como sendo:
τ x´y´ =
σ yy − σ xx
sen2θ + τ xycos2θ
2
(4.11)
4/12
σyy
y´
y
F τxy
C
θ
D
E
A
σxx
σxx
B
x
´
θ
y
90º
y´
τ x´ y´
σ x´ x´
x´
θ
x
τxy
σ yy
x
(a)
(b)
Figura 4.2: Mudança de Eixos.
De forma análoga, considerando o elemento DEF se obtém as tensões σ y´y´ . A fórmula
que permite a obtenção de σ y´y´ , pode ser obtida de 4.10 substituindo θ por θ+90º, ou
seja:
σ y´y´ =
σ xx + σ yy σ xx − σ yy
−
cos2θ − τ xysen2θ
2
2
(4.12)
Adicionando as equações 4.10 e 4.12 obtém-se:
σ xx + σ yy = σ x´x´ + σ y´y´
(4.13)
donde se conclui que a soma dos elementos da diagonal de cada um dos tensores σ e σ´
é idêntica qualquer que seja o ângulo θ considerado ou seja o tr(σ) é um invariante do
tensor das tensões. Resultados análogos aos anteriores podem ser obtidos considerando o
produto matricial representado pela equação 4.6, tendo em conta que no estado plano de
tensão não existem tensões na faceta perpendicular ao eixo dos zz.
As tensões σ x´x´ e τ x´y´ representam as tensões normais e de corte na faceta BC
cuja normal faz um ângulo θ com o eixo dos xx.
5/12
2- Tensões Principais e Direcções Principais
Existem três facetas ortogonais entre si em que o vector Tensão tem a direcção da
normal sendo nulas as Tensões Tangenciais. Ao plano no qual são nulas as Tensões
Tangenciais chama-se Plano Principal, às Tensões Normais no Plano Principal chamamse Tensões Principais e à direcção da normal ao plano principal chama-se Direcção
Principal. Relembrando o estudo feito em Álgebra Linear, as matrizes simétricas são
diagonalizáveis sendo os valores da diagonal designados por Valores Próprios e as
direcções a que estão associados por Vectores Próprios. As componentes do Tensor das
Tensões foram representadas por uma matriz simétrica sendo portanto legítimo pensar
que os valores próprios da Matriz das Tensões são as Tensões Principais e que os
Vectores Próprios que lhe estão associados são as Direcções Principais.
O cálculo das Tensões Principais é feito considerando o sistema de equações
seguinte:
σ xx τ xy τ xz   l 
l
 

 
 τ yx σ yy τ yz  m  = σ m 
n 
 τ zx τ zy σ zz   n 
 
ou
σ xx τ xy τ xz   l 
l
 

 
 τ yx σ yy τ yz  m  − σ  m  = 0
n 
 τ zx τ zy σ zz   n 
 
(4.14)
onde {l,m,n} representam os cosenos directores da direcção normal ao plano em que a
tensão tangencial é nula e em que a tensão normal tem grandeza σ.
O sistema de equações linear e homogéneo, 4.14, pode ser escrito com a seguinte forma:
σ xx − σ
τ xy
τ xz   l 

 
σ yy − σ
τ yz   m  = 0
 τ yx
τ zy
σ zz − σ   n 
 τ zx
(4.15)
A existência de uma solução não trivial (solução trivial l=m=n=0) para este sistema de
equações Algébricas e Lineares obriga a que se considere que o determinante da matriz
dos coeficientes seja igual a zero, sendo a equação resultante designada por Equação
Característica, ou seja:
σ xx − σ
τ xy
τ xz
3
2
τ yx
σ yy − σ
τ yz = −σ + I1σ − I 2σ + I 3 = 0
τ zx
τ zy
σ zz − σ
onde
I1 = σ xx + σ yy + σ zz
2
2
2
I 2 = σ xx σ yy + σ xx σ zz + σ yyσ zz − τ xy − τ xz − τ yz
I3 = σ xx σ yyσ zz + 2τ xy τ xz τ yz − σ xx τ yz − σ yy τ xz − σ zz τ xy
2
2
2
(4.16)
6/12
As raízes da equação característica podem ser representadas por σ1, σ 2, σ3 e são
designadas por Tensões Principais.
As quantidades, ( I1, I 2, I 3 ), são designadas por Invariantes do Tensor das Tensões por
não dependerem do sistema de eixos em que as componentes do Tensor das Tensões
estão a ser consideradas. A equação característica é independente do referencial em que
se consideram as componentes do Tensor das Tensões, tendo três raízes que foram
representadas por σ1, σ 2, σ3 . Os invariantes do tensor das tensões podem ser escritos em
termos das tensões principais, σ1, σ 2, σ3 , do seguinte modo:
I1 = σ1 + σ 2 + σ3
I 2 = σ1σ 2 + σ1σ3 + σ 2σ3
I 3 = σ1σ 2σ3
As Tensões Principais são valores extremos das Tensões Normais e uma vez
conhecidos os seus valores σ1, σ 2, σ3 , os cosenos directores das Direcções Principais
{l,m,n} podem ser calculados, considerando o sistema de equações 4.15 e a
condição l 2 + m 2 + n 2 = 1 . Para efeitos de cálculo de l,m,n, pode considerar-se o sistema
de equações constituído por 2 das equações 4.15, com σ substituído por um dos valores
2
2
2
σ1, σ 2, σ3 , conjuntamente com a condição l + m + n = 1 , ou podem arbitrar, o valor de
l=1 no sistema de equações 4.15 (com σ substituído por um dos valores σ1, σ 2, σ3 ) e
determinar m,n e normalizar de seguida o vector l,m,n obtido. Note-se que algum cuidado
deve existir quando as tensões σ1, σ 2, σ3 não são distintas.
Caso Particular do Estado Plano de Tensão
A tensão normal σ x´x´ tem um valor máximo para um certo ângulo,θ. A determinação dos
valores extremos de σ x´x´ pode ser feita derivando em ordem a θ a expressão 4.10 e
igualando a zero, ou seja
d σ x´x´´
σ − σ yy
= − xx
2 sen2θ+2τ xy cos 2θ
dθ
2
(4.17)
donde:
tan g2θp =
τ xy
( σ xx − σ yy ) / 2
(4.18)
O ângulo θ p representa o ângulo formado pela direcção principal máxima ou
mínima com a direcção do eixo dos xx como se representa na figura 4.3. Existem dois
valores possíveis para θ p desfasados de 90º, como se mostra na referida figura. Note-se
que as facetas com as orientações definidas pelos ângulos θ p e θ´p são facetas em que a
tensão tangencial ou de corte é nula, como se constata substituindo os valores de θp e θ´p
na expressão 4.10. Os planos definidos pelos referidos ângulos são planos principais e
7/12
as tensões actuantes nestes planos são tensões principais. As grandezas das tensões
principais obtêm-se substituindo os valores dos senos e cosenos dos ângulos θp e
θ´p definidos pela equação 4.18, na expressão 4.10, obtendo-se os valores máximos e
mínimos das tensões σ x´x´ :
τ
σ xx − σ yy
2
2
A
2θ´p
τxy
O
−τxy
2θp
 σ xx − σ yy 
 + τ2xy
OA = OB = 
2


τxy
sen 2 θP = −sen 2 θ´P =
2
 σ xx − σ yy 
σ
 + τ2xy

2


cos 2 θP = −cos 2 θ´P =
B
−
σ xx − σ yy
2
(σxx − σ yy)/ 2
2
 σ xx − σ yy 

 + τ2xy
2


Figura 4.3: Ângulos θp para as Tensões Principais.
2
+ σ yy
 σ −σ 
(4.19)
±  xx yy  + τ 2xy
2 
2
min

Estas tensões são usualmente designadas por σ1 e σ 2 correspondendo σ1 ao valor da
tensão principal máxima e σ 2 ao valor da tensão principal mínima. Estes valores também
podem ser calculados a partir do tensor das tensões calculando os valores próprios do
referido tensor.
( σ x´x´ ) max = σ xx
3- Valores Extremos das Tensões Tangenciais
As tensões actuantes num plano com orientação arbitrária são representadas por
T x, T y e T z , l,m,n os cosenos directores do vector normal n , as componentes da tensão
T, segundo os eixos Ox, Oy e Oz, obtêm-se recorrendo às equações de Cauchy, como se
viu na aula anterior:
8/12
T x = lσ xx + m τ yx + n τ zx
T y = lτ xy + mσ yy + n τ zy
(4.20)
T z = lτ xz + m τ yz + n σ zz
A componente normal, T n , da tensão é calculada, projectando o vector T segundo a
direcção normal à faceta, ou seja :
T n = lT x + m T y + n T z =
= l 2σ x + m 2σ y + n 2σ z + 2lm τ xy + 2 ln τ xz + 2mn τ yz
(4.21)
A grandeza da tensão tangencial pode ser calculada por aplicação do teorema de
Pitágoras como sendo
2
2
T t = T −T n
(4.22)
No caso de se considerar o sistema de eixos constituído pelas direcções principais, o
cálculo das tensões, numa faceta com uma orientação arbitrária em relação ao sistema de
eixos principais, pode ser feito a partir das tensões principais, σ1, σ 2, σ3 , obtendo-se para
a tensão tangencial a expressão seguinte:
2
T t = ( lσ1) + ( mσ 2 ) + ( nσ3 ) − ( l 2σ1+ m 2σ 2 + n 2σ3 )
2
2
2
2
(4. 23)
Para determinar os máximos e mínimos de T t , pode usar-se o método dos
multiplicadores de Lagrange. De acordo com o referido método, considere-se a função
f = T 2t + λ 2 ( l 2 + m 2 + n 2 )
(4.24)
onde λ 2 é o multiplicador de Lagrange. Os valores extremos de f são tais que:
∂f
∂f
∂f
=
=
=0
∂l ∂m ∂n
(4.25)
Estas condições tendo em conta as equações 4.23 e 4.24 conduzem a
lσ12 − ( l 2σ1 + m 2σ 2 + n 2σ3 ) ( 2lσ1) + λ 2l = 0
mσ 22 − ( l 2σ1 + m 2σ 2 + n 2σ3 ) ( 2mσ 2 ) + λ 2m = 0
n σ32 − ( l 2σ1 + m 2σ 2 + n 2σ 3 ) ( 2n σ 3 ) + λ 2n = 0
(4.26)
9/12
Estas equações correspondem a condições necessárias e suficientes para que f tenha um
valor extremo. Para obter o extremo de T t é necessário considerar a condição
2
2
2
l + m + n =1.
As soluções óbvias são
l=m=0, n= ± 1
n=m=0, l= ± 1
l=n=0, m= ± 1
a que corresponde λ = σ3 e
a que corresponde λ = σ1 e
a que corresponde λ = σ 2 e
Tt = 0
Tt = 0
Tt = 0
À solução l ≠ 0, m ≠ 0, n ≠ 0 corresponde σ1 = σ 2 = σ3 e T t = 0
As soluções remanescentes correspondem a considerar só um dos cosenos directores
igual a zero sendo os outros dois diferentes de zero, por exemplo, l=0, m ≠ 0, n ≠ 0 ,
nestas condições a 1ª das equações 4.26 é sempre satisfeita e as duas restantes conduzem
à equação seguinte depois de simplificação adequada
(n
2
− m 2 ) ( σ 2 −σ3 ) = 0
2
Sendo σ 2 ≠ σ 3 , a equação anterior implica n 2 = m 2 , e sendo m 2 + n 2 = 1 , obtém-se
1
1
1
e T t = ± ( σ 2 − σ3 )
l=0, m = ± , n = ±
2
2
2
De modo análogo se obtém
1
1
1
m=0, l = ± , n = ±
e T t = ± ( σ1 − σ3 )
2
2
2
n=0, l = ±
1
1
,m = ±
2
2
e Tt = ±
1
( σ1 − σ 2 )
2
(4.27)
Donde se infere que os planos que correspondem a tensões de corte máximas fazem
ângulos de 45º com os planos principais e os valores das tensões de corte podem ser
obtidos a partir das tensões principais considerando as expressões anteriores.
4- Tensor Isotrópico ou Hidrostático e Tensor das Tensões de Desvio
O Tensor Isotrópico ou Hidrostático é
0
σ m 0


σ m =  0 σm 0 
 0
0 σ m 
com
(4.28)
10/12
σ xx + σ yy + σ zz I1
=
a representar a Pressão Hidrostática
3
3
O Tensor das Tensões de Desvio, σ d obtêm-se a partir do tensor das tensões, σ e do
tensor hidrostático e é
σm =
σ xx − σ m
τ xy
τ xz 


σ yy − σ m
τ yz 
σ d ≈  τ yx
τ zy
σ zz − σ m 
 τ zx
(4.29)
5- Problemas Propostos Para Resolução na Aula
1. Determine as tensões principais, a tensão de corte máxima e a orientação dos eixos
principais para os estados planos de tensão abaixo indicados. Ilustre os resultados
com uma figura que mostre a orientação e as componentes da tensão a actuarem em
cada caso.
a) σxx = 50MPa ; σyy = 0; σxy = −60MPa ,
b) σxx = 120MPa ; σyy = 20; σxy = −50MPa ,
c) σxx = 110MPa ; σ yy = −40MPa; σxy = 60MPa .
Resolva o problema analiticamente.
2. O tensor das tensões no sistema de eixos Oxyz, num ponto de um sólido
tridimensional, é o seguinte:
 90 20 − 10 


σij =  20 45 0  MPa
− 10 0 − 30
a) Identifique as tensões e desenhe um volume elementar com as tensões
actuando sobre ele,
b) Determine as tensões principais no referido ponto,
c) Os cossenos directores das direcções principais em relação ao sistema de
eixos Oxyz. Mostre que as direcções principais são ortogonais,
d) Determine o tensor das tensões de desvio,
e) Determine os invariantes do tensor das tensões de desvio,
f) Determine a tensão de corte máxima e a respectiva tensão normal,
g) Calcule a tensão resultante, a tensão normal e a tensão de corte num plano
igualmente inclinado em relação aos eixos coordenados,
h) Determine o Tensor das Tensões num sistema de Eixos obtido do sistema de
eixos inicial rodando 30º em torno do eixo dos zz.
3. O estado de tensão, num ponto de um sólido, é definido pelas tensões principais
σ1 = 20MPa , σ2 = 12MPa , σ3 = 10MPa , nas direcções Ox, Oy e Oz
respectivamente. Determine as tensões normais, resultante e de corte num plano
11/12
cuja normal tem cossenos directores, 0.712 e 0.456 em relação aos eixos Ox e Oy
respectivamente. Resolva o problema analiticamente.
4. O estado de tensão num ponto P é definido pelas seguintes componentes
cartesianas
σ xx = 60MPa σ yy = 30MPa
τ yz = 10MPa
τ xy =τ xz
σ zz = 30MPa
a) Pode afirmar-se sem efectuar cálculos que yz é um plano principal de
tensão? Justifique.
b) Determine as tensões principais no ponto considerado assim como as
direcções principais correspondentes.
c) Determine a Pressão Hidrostática e mostre que é um invariante.
d) Determine o Tensor das Tensões de Desvio.
6- Problemas Propostos Para Resolução nas Horas de Estudo
1. Determine as tensões principais, a tensão de corte máxima e a orientação dos
eixos principais para os estados planos de tensão abaixo indicados. Ilustre os
resultados com uma figura que mostre a orientação e as componentes da
tensão a actuarem em cada caso.
d) σxx = 60MPa; σyy = 60; σxy = −60MPa ,
e) σxx = 80MPa; σyy = −40; σxy = −60MPa ,
f) σxx = 130MPa ; σyy = −60MPa ; σxy = 70MPa .
Resolva o problema analítica e graficamente.
2. O tensor das tensões no sistema de eixos Oxyz, num ponto de um sólido
tridimensional, é o seguinte:
 100 10 − 20


σij =  10 45 5 
− 20 5 − 30 
a) Identifique as tensões e desenhe um volume elementar com as tensões
actuando sobre ele.
b) Determine as tensões principais no referido ponto.
c) Determine os cossenos directores das direcções principais em relação ao
sistema de eixos Oxyz. Mostre que as direcções principais são ortogonais.
12/12
d) Determine a tensão de corte máxima e a respectiva tensão normal. Calcule a
tensão resultante, a tensão normal e a tensão de corte num plano cujos
cossenos directores são l=0.732 e m=0.521 com os eixos dos xx e dos yy
respectivamente.
e) Determine o tensor das tensões desvio.
f) Determine os Invariantes do tensor das tensões desvio.
3. O campo de Tensões num sólido elástico, na ausência de forças de volume é
definido, em cada ponto, pelas componentes seguintes:
σ xx = ax
σ yy = 2 − cy
σ zz = 0
τ xy = ax + 2by + c τ yz = −(by − 2)
τ zx = 2ax − 5z
a) Determine a, b, c, de modo que o campo de tensões acima referido seja
compatível com a Teoria da Elasticidade.
b) Determine as tensões principais na origem das coordenadas e as respectivas
direcções.
c) No referido ponto (origem) determine o valor da tensão de corte máxima, bem
como o plano e a direcção segundo a qual actua.
7- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo
- V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995,
Páginas 16-23, 26-28
- Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill,
1989. Páginas 4-8, 10-12, Incompleto
- J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia.
No final da Aula deve saber responder às seguintes questões
-
Diga o que entende por Matriz de Transformação
Diga, justificando, como procede ao cálculo das Componentes do Tensor das
Tensões no sistema de Eixos Ox´ y´z´ conhecendo o Tensor das Tensões no
Sistema de Eixos Oxyz.
Defina Plano principal, Tensão e Direcção Principal
Diga o que são os Invariantes do Tensor das Tensor
Diga o que entende por Tensor das Tensões de Desvio
etc.
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