8. Flexão, tensão normal e raio de curvatura

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8. Flexão, tensão normal e raio de curvatura
Terminologia:
Relativamente à posição da carga
M
Flexão recta ou plana: o plano do momento contém
um dos eixos centrais principais de inércia
Flexão desviada: não é recta
M
Relativamente aos outros esforços
Flexão pura: não está acompanhada pelo esforço de corte, o momento flector
é constante e único esforço interno
Flexão simples: não está sobreposta com o esforço normal
Flexão composta: está sobreposta com o esforço normal
Estruturas onde o único esforço interno é o momento flector:
“sistemas encastrado-livre” sujeitos à carga do momento (flector) concentrado
Flexão recta e pura
nas peças prismáticas
Fibras sujeitas ao
encurtamento, compressão
My
My
Fibras sujeitas ao
alongamento, tracção
Superfície neutra: fibras com comprimento inalterado
y, z: eixos
centrais
principais de
inércia
y
z
Linha neutra:
intersecção da superfície
neutra com a secção transv.ersal
comprimento original: dx
comprimento novo: (R+z)dθ
Linha do ponto P
εx =
dθ
R
σx
My
My
P(z)
(
R + z )dθ − dx
=E
dx
(R + z )dθ − dx
dx
devido a
Usando as equações de equivalência
N = ∫ σ x dA = ∫ E
A
A
(R + z )dθ − dxdA = 0
(z variável)
dx
∫ ((R + z )dθ − dx )dA = (Rdθ − dx )A + dθ ∫ zdA = (Rdθ − dx )A = 0
A
σ y = σz = 0
⇒K=
A
⎛ dx
⎞
⎜ + z ⎟dθ − dx
(R + z )dθ − dx = ⎝ dθ ⎠
z
εx =
=
dx
dx
R
yz
M z = − ∫ σ x ydA = − ∫ E dA = 0
R
A
A
eixos principais
eixos centrais
z
σx = E
R
1 dθ
=
R dx
Linha neutra ≡ y
Iy
z2
M y = ∫ σ x zdA = ∫ E dA = E
R
R
A
A
Além disso foi provada a distribuição linear da tensão normal
Fórmula de Euler-Bernoulli
My
σx = σ =
z
Iy
My
1
K xz =
=
R xz EI y
My
εx =
z
EI y
σx
M
compressão
linha neutra
tracção
σx = ±
M
I linha neutra
d linha neutra
d: distância do ponto em causa da linha neutra
Rigidez em flexão:
EI
assegura igual curvatura para o mesmo carregamento
(Módulo de) Resistência em flexão:
cima
y
W
Iy
= cima
d max
σ
cima
x ,max
=
assegura igual tensão normal máxima
W para o mesmo carregamento
My
cima
y
W
baixo
y
W
=
Iy
d
baixo
max
σ
baixo
x ,max
=
My
Wybaixo
É preciso distinguir o máximo em tracção e em compressão
Flexão desviada e composta
Princípio de sobreposição
N My
M
σ= +
z− z y
A Iy
Iz
Rigidez /
Deformação
Carga
Resistência /
Tensão máxima
Normal
EA
εx =
du N
=
dx EA
Flexão
EI
K=
dθ M
=
dx EI
W=
GIT
θ=
dβ T
=
dx GIp
WT =
Torção
W=A
σ máx
=
x
N
W
I
σ máx
=
x
M
W
τmáx
xs =
T
WT
d máx
IT
R máx
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