Frações contínuas e a aproximação de um número real por

Frações contínuas e a aproximação de um número real por racionais
Leandro Cruvinel Lemes e Luiz Alberto Duran Salomão
Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia, MG
1. Objetivos
A representação de um número real x por
decimais tem algumas vantagens indiscutíveis
como, por exemplo, sua praticidade para
efetuar cálculos. No entanto, essa forma de
representação envolve a escolha arbitrária da
base 10 e freqüentemente pode ocultar
aproximações racionais muito mais eficientes
do que aquelas que exibe. Por exemplo, as
e
desigualdades π − 22 < 1 < π − 314
7
355
1
3141592
π−
<
< π−
113
3000000
1000000
355
113
700
100
mostram que
22
7
e
são melhores aproximações de π que
aproximações decimais com denominadores
muito maiores. O objetivo deste trabalho é
apresentar a representação de números reais
por frações contínuas, uma forma de
representação que fornece aproximações
racionais surpreendentemente boas, como
ilustram os exemplos acima.
2. Material e métodos
Este trabalho foi desenvolvido através de
estudos, discussões e seminários envolvendo o
bolsista e o orientador e baseia-se em
publicações variadas sobre o tema em questão.
3. Resultados e discussão
O trabalho se inicia com um estudo das frações
contínuas simples como um aparato para a
representação de números reais. A seguir, são
estudados os convergentes de uma fração
contínua como aproximações racionais ótimas
do real por ela representado e obtemos
diversas estimativas para a diferença entre o
número real e o convergente de ordem k da
fração
contínua
correspondente.
Uma
interessante aplicação desse estudo refere-se
à existência de números transcendentes.
Conforme o teorema de Liouville, se, para uma
constante real positiva arbitrária C e um natural
arbitrário n existirem inteiros p e q
modo que
p
C
(1)
α −
≤
q
q
(q > 0) de
n
então o número α será transcendente.
Utilizando
frações
contínuas,
podemos
construir tantos destes números quanto
quisermos. Para isso, devemos escolher
elementos a 0 , a1 , a 2 , ... , a k formar o
convergente pk e tomar ak +1 > qk k −1 , uma vez
qk
que assim,
α−
pk
1
< k +1 . (2)
qk
qk
Como conseqüência da inequação (2), a
inequação (1) será satisfeita para valores
suficientemente grandes de k, não importando
quais sejam os valores de C e n.
4. Conclusões
A representação de números reais por frações
contínuas permite-nos vislumbrar aspectos da
natureza dos números reais que não se
revelam quando se emprega a representação
decimal. Junta-se a isso o fato deste tema
relacionar-se com diversos ramos da
matemática, propiciando àqueles que se
dedicam ao seu estudo o emprego de uma
gama variada de técnicas de demonstração de
teoremas e resolução de problemas. Por todas
essas razões, entendemos que as atividades
que desenvolvemos no decorrer desse trabalho
muito irão contribuir para nossa formação
científica.
5. Referências bibliográficas
[1] KHINCHIN, A. Ya., Continued Fractions,
Dover, 1997.
[2] LEQUAIN, Y., Aproximação de um número
real por números racionais, 19º Colóquio
Brasileiro de Matemática, IMPA, 1993.