Frações Contínuas e Métodos Numéricos de Aproximações OFICIAL 3

Frações Contínuas e Métodos Numéricos de Aproximações
Leandro Cruvinel, Luísa Montanheiro, Luíza Provasi
Universidade Federal do Triângulo Mineiro
[email protected], [email protected], [email protected]
Objetivos
A origem das frações contínuas é abstrata e se
confunde com o estabelecimento dos algoritmos
de Euclides, sendo encontrados exemplos
datados dos últimos dois milênios. Neste
trabalho vamos entender o desenvolvimento
das frações contínuas e sua aplicação no
cálculo da raiz quadrada para então comparálos à eficiência do método algorítmico utilizado
pela calculadora.
Onde $% vale −1 quando &% e '% tem sinais
iguais e +1 quando opostos. É importante
ressaltar que em modo hiperbólico adota-se
m = −1 para o cálculo da raiz quadrada. As
iterações devem ser repetidas para S#, =
4, 13, 40, k, 3k + 1. Para garantir a convergência
do CORDIC, é utilizado & = 1,5 e ' = 0,5 [2].
n
Fração Contínua
CORDIC
2
2,235294118
1,69438
4
2,236065574
1,9859154
Métodos/Procedimentos
6
2,23606797
2,173599
O desenvolvimento do projeto valeu-se de
seminários, estudos e debates sobre o tema a
fim de fazer tal comparação.
8
2,236067977
2,2204768
10
2,236067978
2,2321956
Resultados
O projeto se inicia com o estudo das frações
contínuas, que tem a forma:
a +
b
a +
Conclusões
,
b
b
a +
a +⋯
onde ai e bj são números reais ou complexos
para todo i, j ϵ ℕ [1]. Por exemplo:
a² + b ≈ a +
b
b
2a +
2a + ⋯
= x − mδ y 2
y
=y +δx2
z
= z − δ α#,
,
,
Observa-se que nem sempre o CORDIC é o
melhor método iterativo para o cálculo da raiz
quadrada, porém é vantajoso devido à
simplicidade das operações em base binária,
utilizada na calculadora.
Referências Bibliográficas
.
Logo, as frações contínuas podem ser utilizadas
para o cálculo das raízes quadradas. Fazendo
a = 2 e b = 1, das frações contínuas finitas
obtidas da infinita acima, tem-se aproximações
para √5.
A seguir é estudado o método
CORDIC,
algoritmo
empregado
pelas
calculadoras, formulado da seguinte maneira:
x
Tabela 1: Comparação da convergência dos
métodos iterativos das frações contínuas e
CORDIC para o cálculo da √5 ≈ 2,2360679775,
onde n é o número de iterações.
[1]
C.
D.
Olds,
"Continued
Fractions,"
Mathematical Association of America, v. 9, New
York, 1963.
[2]
Meher,
P.K.;
Valls,
J.;
Tso-Bing,
J.;
Sridharan, K.; Maharatna, K., "50 Years of
CORDIC:
Algorithms,
Architectures,
and
Applications," IEEE Transactions,Circuits and
Systems, vol.56, pp.1893-1907, 2009.