Equações de movimento

Equações que representam movimentos
Já estudamos várias formas de representar e analisar um movimento: diagrama de
velocidades, tabela, gráfico. Nesta atividade você obterá equações que representam e ajudam
a analisar o movimento para os casos de velocidade constante e de aceleração constante.
Equações que relacionam a posição e o tempo, x(t), e a velocidade e o tempo v(t).
I.
Movimento com velocidade constante
1. Pessoa viajando pela BR-040
A BR-040 vai de Brasília ao Rio de Janeiro, passando por Belo Horizonte. Brasília pode
ser tomada como ponto de referência de posição da estrada, marcada como 0 km. Belo
Horizonte fica a 1050 km de Brasília, portanto na posição 1050 km. E o Rio de Janeiro a 440
km quilômetros de BH, portanto no 1490 km.
Saí de Belo Horizonte às 18:00 em direção ao Rio de Janeiro. Fiz a viagem mantendo uma
velocidade praticamente constante de 80 km/h.
a) Depois de 1 hora de viagem, quantos quilômetros percorri? Em qual posição da
estrada estou?
b) Depois de 2 horas de viagem, quantos quilômetros percorri? Em qual posição da
estrada estou?
c) Depois de 3 horas de viagem, quantos quilômetros percorri? Em qual posição da
estrada estou?
d) Em qual posição da estrada estarei depois das 3,5 primeiras horas de viagem?
e) Tente montar uma fórmula que indique em qual posição, x, da estrada eu estava
em cada instante de tempo, t. Será uma função x(t). Mostre sua conclusão à
professora ou confira no livro de física se sua expressão está correta.
f) Utilize sua função x(t) para prever qual foi a hora da minha chegada ao Rio de
Janeiro.
g) Considere agora a situação de um viajante que sai de Belo Horizonte indo para
Brasília com uma velocidade aproximadamente constante de 70 km/h. Utilize a
relação x(t)=xo+v.t.
i. Quais são os valores xo e v que você utilizará nessa equação de forma que
x(t) represente sua posição em um tempo t?
ii. Escreva a função x(t) utilizando os valores encontrados no item anterior.
iii. Em que posição da estrada o viajante estará depois de 5 horas de viagem?
iv. Qual será o tempo de viagem de BH a Brasília?
v. Desenhe o gráfico de x(t) que representa a viagem. Qual é o formato desse
gráfico?
vi. Quando o gráfico é uma reta, sua inclinação pode ser calculada como a
variação da coordenada vertical quando a coordenada horizontal varia uma
unidade. Qual é a inclinação desse gráfico (não se esqueça das unidades)? O
que ela representa? Mostre seus resultados à professora.
2. Movimento do planador no trilho de ar plano
Vamos revisitar um dos movimentos já estudados do planador sobre o trilho de ar plano.
a) Abra um programa que lide com dados e gráficos, pode ser o Calc do LibreOffice
(gratuito), o Excel, da Microsoft ou o SciDavis (gratuito).
b) Monte uma tabela com os dados de posição e tempo do planador. Coloque na
primeira coluna os valores de tempo e na segunda coluna os valores de posição.
c) Selecione essas tabelas e gere um gráfico (plot-scatter para o SciDavis; gráfico
de dispersão XY para o Excel ou LibreOffice).
d) Insira uma linha de tendência com sua equação. (LibreOffice e excel: clique com
o botão esquerdo e depois com direito sobre um dos pontos do gráfico e insira
linha de tendência “linear”, selecione “show equation”. SciDavis: Analisys>Quick fit->Fit linear.)
e) Copie em seu caderno a equação que o programa te forneceu. (O que o
programa chamou de f(x) ou de y é a nossa posição, então copie chamando de
x(t). O que o computador chamou de x é nosso tempo, copie chamando de t.)
f) Esperamos que a equação de movimento x(t) tenha a estrutura x(t)=xo+v.t.
Compare esta última expressão com a encontrada no item anterior, através do
computador.
i. Qual é o valor da posição inicial, xo, segundo a equação fornecida pelo
programa? Esse valor está de acordo com o que você esperava?
ii. Qual é o valor da velocidade, v, do carrinho, segundo a equação fornecida
pelo programa? Esse valor está de acordo com o que você esperava?
iii. Registre suas conclusões, chame sua professora e apresente-as a ela.
II.
Movimento com aceleração constante
1. Bola de tênis descendo a rampa
Vamos considerar o movimento que já estudamos da bola de tênis descendo uma rampa. Esse
foi um movimento acelerado, com aceleração praticamente constante. Vamos considerá-la
constante.
a) A fórmula x(t)=xo+v.t pode ser utilizada para relacionar posição e tempo da bola
de tênis na rampa, assim como fizemos com o planador no plano? Discuta com
seus colegas, registre por escrito suas conclusões. Chame sua professora para
apresentar suas conclusões.
b) A expressão x(t)=xo+v.t é válida somente para o caso de velocidade constante.
No caso de haver aceleração, se ela for constante, é válida a expressão
x(t)=xo+vo.t+a.t2/2 (estude no livro a dedução dessa expressão).
c) Monte no computador (Excel, LibreOffice ou SciDavis) uma tabela com os
valores de tempo e de posição para o movimento da bola no plano.
i. Faça o gráfico e desenhe uma linha de tendência polinomial de grau 2, já que
esperamos que x(t) seja uma função de 2o grau. (Esperamos mesmo? Por
quê?)
ii. A linha de tendência desenhada pelo computador ficou adequada aos pontos
experimentais? Se sim, isso é um bom indício que x(t) é uma função de 2º
grau e, portanto, o movimento tem aceleração constante! Esse é um bom
teste para descobrirmos se o movimento tem aceleração constante ou não.
iii. Copie a equação fornecida pelo computador. Compare com a expressão
x(t)=xo+vo.t+a.t2/2. Encontre os valores de xo, vo. e a através dessa
comparação. Esses valores estão de acordo com o que você esperava?
Explique o porquê. Apresente suas conclusões para a professora.
d) Se a=v/t, então v=a.t e vf=vi+a.t. Você já calculou o valor da aceleração,
utilize a fórmula vf=vi+a para prever a velocidade da bola depois de 10 s de
percurso. Compare esse valor com o valor da sua tabela.
e) Outra relação que é útil para o movimento com aceleração constante é chamada
relação de Torricelli: v2=vo2+a.x. Utilize os valores conhecidos de a, vo e x
para prever em qual distância a bola atingiria a velocidade de 100 km/h, se
continuasse descendo o trilho. (Situação impossível porque o trilho não tem
espaço suficiente, mas e se tivesse?)
2. Bola de tênis rolando no plano
a) Repita o passo c do exercício anterior para o caso da bola de tênis rolando no
plano.
b) Utilize os valores de v e a encontrados no item anterior e a equação de Torricelli
para prever qual a distância que a bola percorreria até parar. Compare o valor
encontrado aqui com o valor medido na prática.
c) Utilize a equação de movimento encontrada, no item (a), do tipo
x=xo+vo.t+a.t2/2, e os valores xo, vo e a, também encontrados no item (a) e o
valor de posição final, para prever qual seria o tempo que a bola levaria para
parar. Compare esse valor com o encontrado na prática.
Faça um resumo das equações que podem ser utilizadas no movimento com velocidade
constante e das equações que podem ser utilizadas no movimento com aceleração
constante.