A Forma Geométrica dos Cabos Suspensos Prof. Lúcio Fassarella

A Forma Geométrica dos Cabos Suspensos
Prof. Lúcio Fassarella
- 2008 -
Problema: Determinar a forma geométrica de um cabo de comprimento L suspenso em suas
extremidades por postes de mesma altura H separados por uma distância D.
Resolução
Para resolver o problema começamos com algumas considerações.
1) Considerações físicas. Este é um problema de Estática, no contexto da Mecânica Clássica. Para
resolvê-lo precisamos de de…nir um sistema de coordenadas cartesianas e introduzir parâmetros relevantes.
2) Parâmetros. Pensando no problema, percebemos que os únicos parâmetros relevantes são a aceleração gravitacional local g e massa m ou a densidade do cabo, sendo = L=m.
3) Sistema de coordenadas cartesianas. De…nimos o sistema de coordenadas cartezianas xd
yz identi…cando os planos coordenados:
z =
y =
x =
0
0
0
plano de…nido pelo cabo suspenso e postes;
plano de…nido pelo nível do solo;
plano de simetria do cabo suspenso.
A geometria do problema nos permite desconsiderar a coordenada z e supor que a curva descrita pelo cabo
suspenso é o grá…co de uma função y = y (x) de…nida no intervalo [ D=2; D=2],
y:
D D
;
! R:
2 2
4) Variáveis auxiliares. Para aplicar os princípios de Mecânica Clássica, de…nimos as seguintes funções:
T (x) : a tensão do cabo no ponto x 2 [ D=2; D=2]
(x) : o ângulo entre o eixo-x e a reta tangente ao cabo no ponto (x; y (x)), medido no sentido
anti-horário para x 2 [ D=2; D=2]. Do Cálculo Diferencial e Integral, sabemos que vale
tan ( (x)) = y 0 (x) ; 8x 2
D D
;
;
2 2
(1)
L (x1 ; x2 ) : o comprimento do segmento do cabo entre os pontos (x1 y (x1 )) e (x2 ; y (x2 )), para
x1 ; x2 2 [ D=2; D=2] com x1 < x2 . Do Cálculo Diferencial e Integral, sabemos que vale
Z x2 q
2
L (x1 ; x2 ) =
1 + y 0 (x) dx:
(2)
x1
1
5) Desenvolvimento
Considere x0 ; x 2 [ D=2; D=2] com x0 < x. A condição de que o segmento do cabo entre os pontos
(x0 ; y (x0 )) e (x; y (x)) está em equilíbrio estático signi…ca que a resultante das forças externas que atuam
nesse segmento é nula; isso implica nas seguintes equações para as componentes na direção do eixo-x e do
eixo-y:
T (x) cos ( (x)) T (x0 ) cos ( (x0 )) = 0
(3)
e
T (x) sin ( (x))
T (x0 ) sin ( (x0 )) = g L (x0 ; x) :
(4)
A equação A implica que o produto da tensão pelo cosseno do ângulo da tangente é uma constante,
T (x) cos ( (x)) = :
(5)
Podemos identi…car essa constante como sendo a tensão no ponto mais baixo do cabo, com coordenada
x = 0:1
(0) = 0
= T (0) :
Usando a equação (5), substituimos T (x) por = cos ( (x)) na equação (4) e obtemos
tan ( (x))
tan ( (x0 )) = g L (x0 ; x) :
Considerando as expressões (1) e (2) obtemos a seguinte equação integro-diferencial
Z xq
g
2
0
1 + y 0 (u) du:
y (x) = 1 +
(6)
x0
Podemos transformar essa equação numa equação puramente diferencial derivando ambos os lados:
q
g
2
1 + y 0 (x) :
y 00 (x) =
(7)
6) Resolução da equação diferencial
A equação (7) é de segunda ordem, mas podemos reduzir a ordem introduzindo a variável auxiliar
z := y 0 ;
então
z 0 (x) =
Essa equação é separável:
p
g p
1 + z2:
dz
g
dx:
=
2
1+z
A solução dessa equação pode ser obtida por integração direta:
Z
Z
dz
g
p
=
dx:
2
1+z
Então (sinh
1
denota a função inversa do seno-hiperbólico)
sinh
1
(z) =
donde
z = sinh
g
g
x+ ;
x+
:
1 Observamos que a equação (5) nos permite concluir que a tensão aumenta à medida em que nos aproximamos das extremidades do cabo.
2
Como z = y 0 , concluimos
y (x) =
As constantes de integração
y
O valor da tensão
D
2
e
=y
g
cosh
g
x+
+ ; [ ;
2 R] :
podem ser …xadas pelas condições de contorno do problema:
D
2
=H)
=0 ;
=H
g
cosh
g D
2
:
depende do comprimento do cabo:
L =
=
=
=
Z
Z
Z
D=2
D=2
D=2
D=2
r
g
1 + sinh2
x dx
D=2
cosh
g
x dx
D=2
sinh
g
g
D=2
x
;
D=2
donde
L=
Essa é uma equação transcendental para
q
2
1 + y 0 (x) dx
2
sinh
g
g D
2
em termos de L, D,
:
e g.
A solução do problema mostra que um cabo suspenso tem a forma de uma catenária (especi…camente, o
grá…co da função cosseno-hiperbólico).
Segue uma plotagem da solução, para valores escolhidos de D, H, L,
cabo suspenso
3
e g:
7) Análise da solução
y (x) =
L=
2
sinh
g
g
g D
2
g
cosh
;
x +
=H
(8)
cosh
g
g D
2
(9)
7.1) Análise dimensional. Sendo g uma aceleração, uma densidade de massa linear e uma tensão
(que tem unidade de força), deduzimos que g = possui unidade de medida dada pelo inverso da unidade de
distância: usando o Sistema Internacional de Unidades,
hg i
=
m kg
s2 m
kg m
s2
= m
1
Esse fato mostra que nossa solução (8) é coerente dimensionalmente: o argumento xg = da função cosh é
adimensional, já que a coordenada x 2 [ D=2; D=2] tem unidade de distância; a função y (x) tem unidade
de distância, porque é proporcional a =g !
7.2) Análise qualitativa. A relação (9) entre o comprimento L do cabo e a tensão na sua parte inferior
é compatível com nossa intuiação: embora não seja uma relação evidente podemos deduzir que aumenta
quando L
d
<0
dL
e que vale o limite
lim L ( ) = D
!1
Realmente, esse limite pode ser calculado pela regra de L’Hôpital
g D
2
sinh
lim L ( ) = lim
!1
g
2
!1
= D lim
sinh ( )
!0
= D lim
!0
cosh ( )
=D
1
Para calcular d =dL usamos a identidade
d
=
dL
dL
d
1
Agora,
dL
d
=
=
=
=
<
d 2
g D
sinh
d g
2
2
g D
g D
g D
sinh
+ cosh
g
2
2
2 2
2
g D
g D
g D
sinh
cosh
g
2
2
2
g D
2
[sinh (u) u cosh (u)] ; u =
g
2
0 ; 8 >0
Destacamos que a desigualdade
sinh (u)
u cosh (u) < 0 ; 8u > 0
pode ser veri…cada pela inspeção de uma plotagem do grá…co da função ou deduzida da seguinte identidade
(que segue de uma integração por partes)
Z u
v sinh (v) dv = u cosh (u) sinh (u)
0
7.3) Modelagem experimental. A forma geométrica do cabo suspenso é dado pelo grá…co da solução (8);
isso pode ser testado experimentalmente, mas deixamos a cargo do leitor...
4
Observação Histórica. Conta-se que Galileu foi quem primeiro considerou o problema de determinar a
forma geométrica de cabos suspensos e conjecturou que ela fosse de…nida por uma parábola. curva formada
por um …o suspenso entre dois pontos e sob a ação exclusiva da gravidade foi proposto por Galileu Galilei,
que propôs a conjectura de que a curva fosse uma parábola. No século XVII Johann Bernoulli propos o
problema aos seus colegas matemáticos, como era costume naquela época; então a solução correta foi obtida
independentemente por John Bernoulli, Leibniz e Huygens.
Observações Gerais. Além do seu apelo estético, a catenária possui algumas propriedades estruturais
que a torna útil na construção civil, particularmente na construção de pontes.
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