Fundamentos da Eletrostática Aula 05 A Lei de Coulomb e o Campo

A lei de Coulomb
Fundamentos da Eletrostática
Aula 05
A Lei de Coulomb e o Campo
Elétrico
Conforme mencionamos anteriormente, trataremos neste curso de
distribuções estáticas de cargas;
isto é, vamos sempre supor que
os corpos carregados permanecem xos durante todo o tempo e,
como conseqüência, todas as grandezas que vamos considerar são
independentes do tempo.
Prof. Alex G. Dias
Prof. Alysson F. Ferrari
Esta simplicação nos permitirá encontrar com mais facilidade
forças, campos e energia de tais congurações. Neste processo, você
deverá praticar várias das habilidades necessárias para o desenvolvimento completo da teoria eletromagnética, que envolve a situação de
cargas em movimento.
Começamos com a lei de Coulomb,
uma constatação exerimental de que a
força sobre uma carga pontual
q1
r1, devido à existência de
carga q2 localizada em r2 é
zada em
outra
locali-
F =
uma
q1 q2 r1 − r2
.
4πε0 |r1 − r2|3
Aparece nesta expressão a constante fundamental
ε0 = 8.85 × 10
NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1
NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1
C
−12
N
2
· m2
,
1
Carga Elétrica
chamada de permissividade do vácuo. Você verá mais adiante que o
eletromagnetismo possui outra constante fundamental,
µ0, relacionada
ao campo magnético gerado por cargas em movimento,
−7 N
µ0 = 12.57 × 10
Note que o produto
ε0 µ0
· s2
C
tem dimensões de
2
Paramos agora para uma observação sobre a carga elétrica.
.
observado que as cargas livres (manipuláveis) existentes na natureza
são encontradas em múltiplos inteiros de uma unidade de carga. Tal
1
(velocidade)
2 . De fato,
James Clerck Maxwell descobriu, no nal do século XIX, que
unidade corresponde exatamente à carga de um elétron,
ε0 µ 0
|qe| = 1.6019 × 10−19C .
está relacionado à velocidade da luz através de
c=√
É
1
.
µ 0 ε0
O elétron é considerado uma partícula pontual, sem estrutura interna, na teoria padrão que descreve parte das interações fundamentais
O fato de que a luz não é mais que um fenômeno eletromagnético
foi uma das maiores descobertas do século XIX. A radiação eletromagnética recebe diferentes nomes conforme o seu comprimento de
onda típico - luz, microondas, ondas de rádio, raios-X, etc... , e suas
aplicações práticas são tão difundidas que é difícil imaginar a vida
moderna sem elas.
da natureza. Por se tratar de uma partícula microscópica, o comportamento do elétron só pode ser descrito por uma teoria quântica, e
na mecânica quântica não é possível ter controle total da trajetória do
elétron para testar, por exemplo, a lei de Coulomb entre dois elétrons.
Por outro lado,
qe
é um número extremamente pequeno e as cargas
macroscópicas que manipulamos em laboratório envolvem tipicamente
um número muito grande de elétrons.
Isto nos permite usar uma
aproximação clássica em que carga elétrica pode estar continuamente
distribuída num dado volume, por exemplo.
Assim, podemos considerar as cargas contidas em um dado volume,
por exemplo, como resultando de uma distribuição contínua de cargas,
com uma densidade volumétrica
ρ (r).
Denimos
ρ
da seguinte maneira: consideramos um dado volume
de
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2
r,
contendo
n (∆V )
num ponto
∆V
r
em torno
elétrons. Não podemos simplesmente tomar
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3
∆V → 0,
evidente.
ou a natureza corpuscular da carga elétrica se tornará
Assim, tomamos
∆V
muito pequeno (do ponto de vista
de Coulomb?
No mundo microscópico, devemos usar a mecânica
quântica para descrever os fenômenos, e aí não se pode empregar
macroscópico), mas ainda assim grande o suciente para envolver um
o conceito de força.
número considerável de elétrons.
importância, e a medida, por exemplo, das linhas espectrais do átomo
00
00
∆V → 0
Denotamos este limite físico por
. Assim,
Contudo, o conceito de potencial tem grande
de Hidrogênio mostram que o elétron está ligado ao núcleo atômico
por um potencial que, com grande precisão, é da forma
n (∆V ) qe
=
∆V
∆V →000
ρ (r) = 00 lim
e a distribuição contínua
ρ (r)
∆q
,
00 ∆V →000 ∆V
1
r , justamente
o potencial clássico de Coulomb.
lim
é uma boa aproximação para uma
distribuição de elétrons carregados, de tal forma que a carga total em
V
ˆ
seja dada por
Q=
V
ρ (r) d3V .
(Tudo isto é feito, na prática, porque é muito mais fácil manipular
formalmente integrais do que somas).
Dito isto, o que realmente entendemos por cargas pontuais,
quando nos referimos à lei de Coulomb? Na verdade, as observações
experimentais que levaram a esta lei envolvem cargas concentradas
em corpos carregados de volumes muito pequenos, de tamanho muito
menor do que as distâncias entre os corpos envolvidos.
Nestas
1
condições, o fato de que a força elétrica varia como 2 foi vericado
r
experimentalmente com grande precisão.
De ora em diante, sempre
que nos referirmos a carga pontual estamos nos referindo a este tipo
de concentração macroscópica de cargas.
Podemos nos perguntar sobre a validade da lei de Coulomb no
nível microscópico ou seja, elétrons individuais obedecem à lei
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4
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5
Princípio da Superposição
Leitura suplementar I
No começo do século XX, Robert Millikan efetuou uma experiência para medir a carga do elétron observando que, com
Dada uma carga pontual
grande precisão, micropartículas de óleo carregadas sempre
Q localizada
r, a lei de Coulomb nos diz qual a força
possuíam carga igual a um múltiplo inteiro de um certo valor,
em
uma unidade indivisível de carga, que foi entendida como sendo
que ela sente devido à presença de uma
igual à carga de um único elétron. Este experimento valeu-lhe
carga
o prêmio Nobel de física em 1923 e é considerado um dos mais
verem outras cargas presentes? Digamos
belos experimentos da física realizados até hoje.
que exista (além de
Veja mais em:
cargas
ri .
http://en.wikipedia.org/wiki/Oil-drop%5Fexperiment
q1
localizada em
qi ,
Mas e se hou-
Q) uma coleção de N
cada uma localizada no ponto
É um fato experimental da maior im-
portância que vale o princípio da superposição : a força sentida por
http://www.if.ufrgs.br/historia/millikan.html
é simplesmente a soma das forças
Leitura suplementar II
a carga
A teoria clássica do eletromagnetismo não é suciente para
qi
além de
Q.
Fi,
Q
calculadas como se só existisse
Ou seja,
F = F1 + F2 + · · ·
#
"
r − r2
r − r1
Q
q1
+
q
=
2
3
3 + ···
4πε0
|r − r1|
|r − r2|
a eletrônica moderna; seu componente mais fundamental, o
transistor, só tem seu funcionamento explicado pela mecânica
quântica. Além disso, existem transistores sensíveis à passagem
de um único elétron, para os quais a aproximação macroscópia
discutida acima é totalmente inválida.
N
Q X r − ri
qi
=
4πε0 i=1 |r − ri|3
Veja mais em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Trans%C3%ADstor
http://en.wikipedia.org/wiki/Transistor
http://physicsworld.com/cws/article/print/1420
No caso de uma distribuição contínua, a soma será substituída por
uma integral sobre a distribuição de carga
Q
F (r) =
4πε0
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r1 .
6
ˆ
r − r0
|r −
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ρ (r)
3 ρ (r
r0 |
0
da seguinte forma,
) d3 V 0 .
7
e
(quando não especicamos o volume de integra-
Q
F (r) =
4πε0
ção é porque integramos sob todo o espaço).
Note que podemos escrever
ˆ
r − r0
linha
3 λ (r
r0 |
|r −
0
) d`0 .
Para concluir, notamos que para uma distribuição discreta de
dq 0 = ρ (r0) d3V 0 = ρ (r0) dx0dy 0dz 0 ,
0
N
qi, podemos denir uma distribuição ρ (r ) por meio da função
δ (r − ri), onde ri é a posição de cada carga qi:
cargas
0
onde
dq 0
é a quantidade innitesimal de carga presente numa região
innitesimal em torno do ponto
r0 .
0
ρ (r ) =
Já se a carga estiver distribuída apenas sobre
uma superfície,
dq
0
qi δ 3 (r0 − ri) ,
i=1
será dada por uma distri-
buição supercial de carga,
de tal forma que
ˆ
dq 0 = σ (r0) da0
0
3
0
ρ (r ) d V =
N
X
ˆ
qi
3
0
3
ˆ
r − r0
superfície |r −
3 σ (r
r0 |
0
) da0 .
Q
F (r) =
4πε0
um longo o condutor, com diâmetro muito
i=1
ˆ
r − r0
3 ρ (r
r0 |
0
) d3 V 0
N
Q X
r − ri
=
qi
,
4πε0 i=1 |r − ri|3
será descrita
por uma distribuição linear de carga,
dq 0 = λ (r0) d`0
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qi ,
|r −
ˆ
N
Q X
r − r0 3 0
=
qi
δ (r − ri) d3V 0
3
0
4πε0 i=1
|r − r |
uma linha (situação que descreve, por exemplo,
dq 0
N
X
e
Se a carga estiver distribuída apenas sobre
menor que seu comprimento),
0
δ (r − ri) d V =
i=1
e
Q
F (r) =
4πε0
N
X
que é justamente a força para uma coleção discreta de cargas.
8
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9
O Campo Elétrico
Num caso mais geral, envolvendo várias distribuições de cargas,
podemos simplesmente escrever
Q
F (r) =
4πε0
ˆ
r − r0
|r −
3 dq
r0 |
0
,
Na expressão geral
Q
F (r) =
4πε0
onde subentende-se que a integral extenda-se por toda região em
que há carga, e em cada situação deve-se tomar o
dq 0
Q
F (r) =
4πε0
3
|r − r0|
ˆ
+
r−r
superfície
ˆ
+
ρ (r ) + ρdiscreto (r ) d3V 0
0
linha
|r −
r−r
|r −
0
3 σ (r
r0 |
3 λ (r
r0 |
0
0
Q,
dq 0
0
,
(que são integradas) e
que só aparece como um fator multiplicativo na força
F.
Isto signica que a razão
0
0
|r −
3 dq
r0 |
existe uma clara assimetria entre as cargas
a carga
r − r0 r − r0
apropriado.
Alternativamente, podemos escrever explicitamente para a força total
"ˆ
ˆ
F (r)
= E (r) ,
Q
) da0
#
denominada de campo elétrico
) d`0 .
especicar o valor de
Q. Q
E no ponto r,
pode ser calculada sem
é a chamada carga teste e
dq 0
as cargas
fontes do problema em questão.
Na verdade, embora a força
F
só exista quando a carga
Q
está
presente, podemos pensar que o campo elétrico produzido pelas cargas
dq 0
r, mesmo se Q está ausente. Assim, uma distribuição
ρ (r) cria um campo elétrico E (r) em todo o espaço, que
existe em
de cargas
pode ser calculado de forma geral como
1
E (r) =
4πε0
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10
ˆ
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r − r0
|r −
3 dq
r0 |
0
,
11
Exemplo 1: distribuição linear de carga
ou, mais explicitamente,
E (r) =
1
4πε0
"ˆ
ρ (r0) + ρdiscreto (r0) d3V 0
r − r0
3
|r − r0|
ˆ
+
superfície
ˆ
+
Problema: determinar o campo elé-
r − r0
linha
|r −
r − r0
3 σ (r
r0 |
0
0
0
3 λ (r
|r − r0|
O campo elétrico só depende das cargas
) da
trico em um ponto
P
no eixo
z,
consi-
derando que há uma distribuição linear de
#
) d`
dq 0.
0
cargas, com densidade constante
.
lizada sobre o eixo dos
de
x=0
até
x = L.
Não podemos, contudo,
Posição de
medir diretamente o campo elétrico: precisamos colocar uma carga de
Q num dado ponto do espaço, medir a força exercida sobre esta
carga, e daí inferimos E. Geralmente, é preciso considerar Q pequena
x,
λ,
loca-
que se extende
P : r = z ẑ
teste
Elemento de carga:
dq 0 = λdx0
o bastante para não inuenciar signicativamente as cargas fontes que
queremos estudar. O fundamental é que podemos calcular e estudar
o campo elétrico sem precisar da carga teste
Q,
Posição de
dq 0: r0 = x0x̂
e é o que faremos no
restante deste curso.
1
E (r) =
4πε0
1
=
4πε0
Como
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ˆ
ˆ
0
r − r0
|r −
L
3 dq
r0 |
0
zẑ − x0x̂
0
3/2 λ dx
2
z 2 + (x0)
x0 é uma variável muda, vamos mudá-la para x por comodidade,
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e calcular:
e daí
λ
E (zẑ) =
4πε0
=
ˆ
L
zẑ − xx̂
3/2
0
"
λ
zẑ
4πε0
(z 2 + x2)
ˆ L
dx
0
λ
E (zẑ) =
4πε0
dx
(z 2 + x2)
ˆ
3/2
− x̂
0
L
#
xdx
(z 2 + x2)
"
L
L3
−
z |z| 2z |z|3
!
ẑ −
#
L2
3
2 |z|
x̂ .
3/2
Por integração direta, ou consultando uma tabela de integrais,
obtemos:
ˆ
L
3/2
(z 2 + x2)
0
ˆ
0
dx
L
x dx
(z 2 + x2)
3/2
L
x
= √ L
= √
z 2 z 2 + x2 0
z 2 z 2 + L2
L
1
= 1 −√ 1
= −√
|z|
z 2 + x2 0
z 2 + L2
e portanto,
λ
L
1
1
√
E (zẑ) =
ẑ −
−√
x̂ .
4πε0 z z 2 + L2
|z|
z 2 + L2
Se supomos que
z L,
1
√
=
z 2 + L2
vale a aproximação
1
|z| 1 +
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1
L2
1 ≈ |z| 1 − 2z 2
L2 2
z2
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15
Exemplo 2: carga numa casca esférica
Problema:
determinar
o
Logo,
campo
elétrico dentro e fora de uma superfície
(casca) esférica com densidade de carga
supercial constante
σ.
Sem perda de generalidade (por quê?),
podemos escolher o ponto
z.
P
no eixo dos
Portanto:
ˆ
r − r0
1
0
E (zẑ) =
dq
3
0
4πε0
|r − r |
ˆ π
ˆ 2π
”
σ
zẑ − (R sin θ cos φx̂ + R sin θ sin φŷ + R cos θẑ) “ 2
=
R sin θ
dθ
dφ
`
´
3/2
4πε0 0
0
z 2 + R2 − 2zR cos θ
ˆ 2π
ˆ
−R sin θ (cos φx̂ + sin φŷ) + (z − R cos θ) ẑ
σR2 π
dφ
dθ
sin θ
=
`
´3/2
4πε0 0
0
z 2 + R2 − 2zR cos θ
A integral em
0
0
r =Rr̂ = x x̂ + y ŷ + z ẑ
=R sin θ cos φx̂ + R sin θ sin φŷ
ˆ
|r − r | =
=
2
|r| − 2 |r| R cos θ +
sin φ
são nulas no intervalo
2π
0
ˆ
0
π
ˆ
dφ
dθ
π
0
dθ
(z − R cos θ) ẑ
(z 2
+
R2
3/2
− 2zR cos θ)
(z 2 + R2 − 2zR cos θ)
R2
0
π
dθ
√
(z − R cos θ) sin θ
3/2
(z 2 + R2 − 2zR cos θ)
=
=
Note que, dentro da esfera, temos
sin θ
3/2
z 2 − 2zR + R2 + z − R
p
z 2 (z 2 − 2zR + R2)
|z − R| + z − R
z 2 |z − R|
z < R e |z − R| = − (z − R),
portanto
2
E (zẑ) = 0
dq = σda = σR sin θdθdφ
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logo só
(z − R cos θ) sin θ
p
z 2 + R2 − 2zR cos θ
0
[0, 2π],
Novamente, uma integral que deve ser feita:
+ R cos θẑ
0
ˆ
σR2
ẑ
=
2ε0
0
0
e
sobra
σR2
E (zẑ) =
4πε0
r =zẑ
r
cos φ
16
(pontos dentro da esfera)
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Já fora da esfera, temos
z>R
e
|z − R| = z − R,
logo
σR2
E (zẑ) =
ẑ
ε0 z 2
Note que
q = 4πR2σ ,
logo
E (zẑ) =
q ẑ
.
4πε0 z 2
Questões:
1. Interprete sicamente este resultado,
2. O que a simetria esférica permite concluir sobre
está no eixo dos
z?
E (r)
se
r
não
3. Você consegue argumentar sicamente por que o campo elétrico
dentro da esfera é zero?
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