halliday-centro-massa-momento-angular

Halliday & Resnick
Fundamentos de Física
Mecânica
Volume 1
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Capítulo 9
Centro de Massa e
Momento Linear
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9-1 Centro de Massa
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9-1 Centro de Massa
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Objetivos do Aprendizado
9.01 Dada a posição de várias
partículas em um eixo ou
plano, determinar a posição
do centro de massa.
9.02 Determinar a posição do
centro de massa de um
objeto usando princípios de
simetria.
9.03 No caso de um objeto
bidimensional ou
tridimensional com uma
distribuição homogênea de
massa, determinar a posição
do centro de massa (a)
dividindo mentalmente o
objeto em figuras
geométricas simples, (b)
substituindo essas figuras
por partículas e (c)
calculando o centro de
massa dessas partículas.
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9-1 Centro de Massa




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O movimento de objetos que giram pode ser
complicado (pense em um taco de beisebol)
Entretanto, existe um ponto especial em qualquer
objeto para o qual o movimento é simples
O centro de massa do
taco descreve uma
parábola igual à de uma
partícula
Todos os outros pontos
do taco giram em torno
desse ponto
Figura 9-1
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9-1 Centro de Massa


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Definição de centro de massa (CM):
No caso de duas partículas separadas por uma distância
d, tomando a origem na posição da partícula 1:
Eq. (9-1)

Tomando a origem em um ponto arbitrário:
Eq. (9-2)
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

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A posição do centro de massa não depende do
sistema de coordenadas escolhido
O centro de massa é uma propriedade das partículas
e não das coordenadas
Figura 9-2
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9-1 Centro de Massa

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No caso de muitas partículas, podemos generalizar a
equação e escrever
Eq. (9-4)
em que M = m1 + m2 + . . . + mn.

Em três dimensões, calculamos o centro de massa
separadamente para cada eixo:
Eq. (9-5)
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9-1 Centro de Massa

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Mais concisamente, podemos escrever:
Eq. (9-8)


No caso de corpos maciços, podemos tomar o limite
de uma soma infinita de partículas infinitamente
pequenas, ou seja, calcular uma integral!
Calculando separadamente o centro de massa para
cada coordenada, escrevemos
Eq. (9-9)
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9-1 Centro de Massa

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Vamos considerar apenas objetos de massa
específica, ρ, uniforme, para os quais
Eq. (9-10)

Nesse caso, temos:
Eq. (9-11)

Podemos dispensar uma ou mais das integrais se o
objeto apresentar algum tipo de simetria
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9-1 Centro de Massa
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
O centro de massa está no ponto de simetria (se existir)

Está na reta ou no plano de simetria (se existir)

Não precisa estar no objeto (pense em uma rosquinha)
Respostas: (a) na origem (b) em Q4, na reta y = x (c) no eixo y
(d) na origem (e) em Q3, na reta y = x
(f) na origem
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9-1 Centro de Massa
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Exemplo Subtração
o
o
o
o
o
Pede-se: determinar o CM de um
disco no qual está faltando um disco
menor:
Determine o CM de cada disco
Determine o CM dos dois CMs,
considerando negativa a massa do
disco menor
Na figura, CMC é o centro de massa
da placa composta
CMP é o centro de massa da placa
composta com o Disco S removido
Figura 9-4
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9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas
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9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas
Objetivos do Aprendizado
9.04 Aplicar a segunda lei de
Newton a um sistema de
partículas, relacionando a
força resultante (das forças
que agem sobre as
partículas) à aceleração do
centro de massa do sistema.
9.05 Aplicar as equações de
aceleração constante ao
movimento das partículas de
um sistema e ao movimento
do centro de massa do
sistema.
9.06 Dadas a massa e a
velocidade das partículas,
calcular a velocidade do centro
de massa de um sistema.
9.07 Dadas a massa e a
aceleração das partículas,
calcular a aceleração do centro
de massa de um sistema.
9.08 Dada a posição do centro
de massa em função do tempo,
calcular a velocidade do centro
de massa de um sistema.
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9.09 Dada a velocidade do centro de massa em função do
tempo, calcular a aceleração do centro de massa de um
sistema.
9.10 Calcular a variação de velocidade de um centro de massa
integrando a função aceleração do centro de massa em
relação ao tempo.
9.11 Calcular o deslocamento de um centro de massa
integrando a função velocidade do centro de massa em
relação ao tempo.
9.12 No caso em que as partículas de um sistema de duas
partículas se movem e o centro de massa permanece em
repouso, determinar a relação entre os deslocamentos e a
relação entre as velocidades das duas partículas.
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9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas


O movimento do centro de massa não é afetado por
forças internas ao sistema (colisões de bolas de bilhar)
Movimento do centro de massa de um sistema:
Eq. (9-14)
Eq. (9-15)

Observações:
1. Fres é a soma das forças externas
2. M é a massa total do sistema
3. aCM é a aceleração do centro de massa
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9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas
Exemplos Usando a equação do movimento do CM:
o
Colisão de bolas: as forças são internas e, portanto, F = 0 e a = 0
o
Bola de tênis: a = g e, portanto, a trajetória é balística
o
Explosão de fogos de artifício: como as forças da explosão são internas,
o centro de massa dos fragmentos descreve uma trajetória balística,
caso a resistência do ar possa ser desprezada.
Figura 9-5
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9-2 A Segunda Lei para um Sistema de Partículas
Resposta: O sistema é constituído por Frederico, Eduardo e a vara. Como
todas as forças são internas, o centro de massa não se move. Como o
centro de massa está na origem, os patinadores se encontrarão na origem
nos três casos! (Naturalmente, a origem está mais próxima de Frederico do
que de Eduardo.)
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9-3 Momento Linear
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Objetivos do Aprendizado
9.13 Saber que o momento é
uma grandeza vetorial e que,
portanto, possui um módulo
e uma orientação e pode ser
representado por meio de
componentes.
9.14 Saber que o momento
linear de uma partícula é
igual ao produto da massa
pela velocidade da partícula.
9.15 Calcular a variação do
momento de uma partícula a
partir da variação de
velocidade da partícula.
9.16 Aplicar a relação entre o
momento de uma partícula e
a força (resultante) que age
sobre a partícula.
9.17 Calcular o momento de
um sistema de partículas
como o produto da massa
total pela velocidade do
centro de massa.
9.18 Usar a relação entre o
momento do centro de
massa de um sistema e a
força resultante que age
sobre o sistema.
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9-3 Momento Linear

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O momento linear é definido por meio da equação
Eq. (9-22)


O momento
o
tem a mesma direção que a velocidade
o
só pode ser mudado por uma força externa
Segunda lei de Newton, em termos do momento:
Eq. (9-23)
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9-3 Momento Linear
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Respostas: (a) 1, 3, 2 e 4 (b) na região 3

Podemos somar os momentos das partículas de um
sistema para obter:
Eq. (9-25)
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9-3 Momento Linear

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A segunda lei de Newton para um sistema de
partículas pode ser escrita na forma
Eq. (9-27)


A aplicação de uma força externa a um sistema
produz uma variação do momento linear
Na ausência de uma força externa, o momento linear
total de um sistema de partículas não pode variar
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9-4 Colisão e Impulso
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9-4 Colisão e Impulso
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Objetivos do Aprendizado
9.19 Saber que o impulso é
uma grandeza vetorial e,
portanto, tem um módulo e
uma orientação.
9.23 Dada a equação de uma
força em função do tempo,
calcular o impulso integrando a
função.
9.20 Usar a relação entre o
impulso e a variação de
momento.
9.24 Dada a curva de uma força
em função do tempo, calcular o
impulso por integração gráfica.
9.21 Usar a relação entre o
impulso, a força média e a
duração do impulso.
9.25 Em uma série contínua de
colisões de projéteis com um
alvo, calcular a força média que
age sobre o alvo a partir da taxa
mássica das colisões e da
variação de velocidade dos
projéteis.
9.22 Usar as equações de
aceleração constante para
relacionar o impulso à força
média.
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9-4 Colisão e Impulso


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O momento de uma partícula pode variar em uma colisão
Definimos o impulso J a que um corpo é submetido durante uma colisão
por meio da equação:
Eq. (9-30)

Isso significa que o impulso aplicado é igual à variação do momento do
objeto durante a colisão:
Eq. (9-31)

Essa equação, como outras equações vetoriais, pode ser escrita na forma
de componentes
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9-4 Colisão e Impulso

Dados Fméd e t, temos:
Eq. (9-35)

Como estamos integrando,
precisamos conhecer apenas a
área sob a curva da força
Figura 9-9
Resposta: (a) mantém (b) mantém (c) diminui
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9-4 Colisão e Impulso

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Se cada projétil de uma salva de
n projéteis sofre uma variação de
momento Δp,
Eq. (9-36)

A força média é:
Figura 9-10
Eq. (9-37)

Se as partículas param,
Eq. (9-38)

Se as partículas ricocheteiam com a mesma velocidade
escalar,
Eq. (9-39)
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9-4 Colisão e Impulso

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Como o produto nm é a massa total para n colisões,
podemos escrever:
Eq. (9-40)
Respostas: (a) nula (b) positiva (c) o sentido positivo do eixo y (a força é normal)
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9-5 Conservação do Momento Linear
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9-5 Conservação do Momento Linear
Objetivos do Aprendizado
9.26 No caso de um sistema
isolado de partículas, usar a
lei de conservação do
momento linear para
relacionar o momento inicial
das partículas ao momento
em um instante posterior.
9.27 Saber que, mesmo que
um sistema não seja isolado,
a lei de conservação do
momento linear pode ser
aplicada à componente do
momento na direção de um
eixo, contanto que não haja
uma componente de uma
força externa na direção
desse eixo.
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9-5 Conservação do Momento Linear

Quando o impulso é zero, temos:
Eq. (9-42)



o que significa que
É a chamada lei de conservação do momento
linear
Dependendo das componentes da força resultante
externa, é possível aplicar o seguinte princípio:
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9-5 Conservação do Momento Linear


Forças internas podem mudar os momentos de partes
do sistema, mas não podem mudar o momento linear
do sistema como um todo
Não confunda momento e energia
Respostas: (a) zero (b) não (c) o sentido negativo do eixo x
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9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões
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9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões
Objetivos do Aprendizado
9.28 Saber a diferença entre
colisões elásticas, colisões
inelásticas e colisões
totalmente inelásticas.
9.29 Saber que, em uma
colisão unidimensional, os
objetos se movem na mesma
linha reta antes e depois da
colisão.
9.30 Aplicar a lei de
conservação do momento
linear a uma colisão
unidimensional em um
sistema isolado para
relacionar os momentos dos
objetos antes e depois da
colisão.
9.31 Saber que, em um
sistema isolado, o momento
e a velocidade do centro de
massa não são afetados por
colisões entre objetos do
sistema.
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9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões

Tipos de colisões:

Colisões elásticas:
o
A energia cinética total é constante
o
É uma aproximação razoável em muitas situações
o


Na prática, uma parte da energia cinética, mesmo que pequena, é
sempre convertida em outras formas de energia
Colisões inelásticas: uma parte considerável da energia
cinética é convertida em outras formas de energia
Colisões totalmente inelásticas:
o
o
Os objetos permanecem unidos após a colisão
A conversão de energia cinética para outras formas de energia é a maior
possível
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9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões

Em uma dimensão:

Colisão inelástica
Eq. (9-51)

Colisão totalmente inelástica, com o alvo em repouso:
Eq. (9-52)
Figura 9-14
Figura 9-15
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9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões

A velocidade do centro de
massa não muda:
Eq. (9-56)

A Fig. 9-16 mostra vários
estágios de uma colisão
totalmente inelástica
Figura 9-16
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9-6 Momento e Energia Cinética em Colisões
Respostas: (a) 10 kg ∙ m/s (b) 14 kg ∙ m/s
(c) 6 kg ∙ m/s
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9-7 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
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9-7 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
Objetivos do Aprendizado
9.32 No caso de colisões
elásticas de dois corpos em
uma dimensão, aplicar as
leis de conservação da
energia e do momento para
relacionar os valores iniciais
e finais da velocidade dos
corpos.
9.33 No caso de um projétil
que colide com um alvo
estacionário, analisar o
movimento resultante para
três casos possíveis: massas
iguais, massa do alvo muito
maior que a massa do
projétil e massa do projétil
muito maior que a massa do
alvo.
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9-7 Colisões Elásticas em Uma Dimensão

A energia cinética total é conservada em colisões elásticas

No caso de um alvo estacionário, temos:
Eq. (9-63)
Eq. (9-64)
Figura 9-18
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9-7 Colisões Elásticas em Uma Dimensão

Depois de algumas transformações algébricas,
obtemos:
Eq. (9-67)
Eq. (9-68)

Resultados
o
o
o
Alvo pesado, v1f = v1i, v2f = 0: o primeiro objeto
ricocheteia com a mesma velocidade escalar
Massas iguais, v1f = 0, v2f = v1i: o primeiro objeto para
Projétil pesado, v1f = v1i, v2f = 2v1i: o primeiro objeto
continua com a mesma velocidade e o segundo objeto é
arremessado com uma velocidade duas vezes maior
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9-7 Colisões Elásticas em Uma DImensão

Se o alvo também está se
movendo, temos:
Eq. (9-75)
Eq. (9-76)
Figura 9-19
Respostas: (a) 4 kg ∙ m/s (b) 8 kg ∙ m/s
(c) 3 J
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9-8 Colisões em Duas Dimensões
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9-8 Colisões em Duas Dimensões
Objetivos do Aprendizado
9.34 No caso de uma colisão
bidimensional em um
sistema isolado, aplicar a lei
de conservação do momento
a dois eixos de um sistema
de coordenadas para
relacionar as componentes
do momento antes da colisão
às componentes em relação
ao mesmo eixo depois da
colisão.
9.35 No caso de uma colisão
elástica em um sistema
isolado, (a) aplicar a lei de
conservação do momento a
dois eixos para relacionar as
componentes do momento
antes da colisão às
componentes em relação ao
mesmo eixo depois da
colisão e (b) usar o princípio
de conservação da energia
cinética para relacionar as
energias cinéticas antes e
depois da colisão.
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9-8 Colisões em Duas Dimensões

Aplicar a lei de
conservação do
momento aos dois eixos
Figura 9-21
Aplicar a lei de
conservação da energia
para colisões elásticas
Exemplo Para um alvo estacionário (Fig. 9-21):

o
Eixo x:
Eq. (9-79)
o
Eixo y:
Eq. (9-80)
o
Energia:
Eq. (9-81)
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9-8 Colisões em Duas Dimensões

Essas três equações têm sete incógnitas, já que v2i =
0. Se conhecermos quatro dessas incógnitas,
poderemos calcular as outras três.
Respostas: (a) 2 kg ∙ m/s (b) 3 kg ∙ m/s
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9-9 Sistemas de Massa Variável: Um Foguete
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Objetivos do Aprendizado
9.36 Usar a primeira equação
do foguete para relacionar a
taxa de perda de massa de
um foguete, a velocidade dos
produtos da combustão em
relação ao foguete, a massa
do foguete e a aceleração do
foguete.
9.37 Usar a segunda equação
do foguete para relacionar a
variação da velocidade do
foguete à velocidade relativa
dos produtos da combustão
e à massa final do foguete.
9.38 No caso de um sistema
em movimento que sofre
uma variação de massa a
uma taxa constante,
relacionar essa taxa à
variação do momento.
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9-9 Sistemas de Massa Variável: Um Foguete

Foguete e produtos da combustão formam um sistema isolado

Conservação do momento:
Pi = Pf

o que nos dá
Eq. (9-83)

Podemos simplificar
usando a velocidade
relativa:
Eq. (9-84)
Figura 9-22
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9-9 Sistemas de Massa Variável: Um Foguete

Primeira equação do foguete:
Eq. (9-87)

R é a taxa mássica de consumo de combustível

O lado esquerdo da equação é o empuxo, T

Segunda equação do foguete:
Eq. (9-88)
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Resumo
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Resumo
Momento Linear e
2a Lei de Newton

Colisão e Impulso

Definição de momento linear:
Eq. (9-30)
Eq. (9-25)


2a
Definição de impulso:
Lei de Newton:
O impulso faz variar o
momento linear
Eq. (9-27)
Conservação do Momento
Linear
Eq. (9-42)
Colisão Inelástica em 1D

O momento é conservado
nessa direção
Eq. (9-51)
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Resumo
Movimento do Centro de
Massa
Não é afetado por colisões e
outras forças internas

Colisões Elásticas em
Uma Dimensão

A energia cinética é conservada
Eq. (9-67)
Colisões em Duas
Dimensões
Podemos aplicar a lei de
conservação do momento a cada
componente
Eq. (9-68)
Sistemas de Massa Variável

A energia cinética é conservada
em colisões elásticas
Eq. (9-87)

Eq. (9-88)