Roteiro Exp. 7 - PÊNDULO FÍSICO

FÍSICA EXPERIMENTAL I
Experimento 9
FEX I
Experimento No 9: OSCILADOR AMORTECIDO
Objetivos: Registrar o movimento do oscilador amortecido (MHA).
Medir grandezas físicas diretas e, a partir de um gráfico, determinar outras grandezas.
Determinar a constante de amortecimento para o MHA.
Analisar o comportamento dinâmico de um MHA.
Teoria: Seja um sistema em situação de equilíbrio estável. Quando esse sistema é levemente
afastado dessa situação e liberado, passa a executar um movimento periódico ou oscilatório, em
torno da posição de equilíbrio, chamado de Movimento Harmônico Simples (MHS), se não
existirem forças dissipativas.
Contudo, nos sistemas reais, a amplitude da oscilação decresce gradativamente em
decorrência do atrito, até anular-se. Tal movimento denomina-se movimento harmônico amortecido
(MHA). Sendo que em geral, o atrito é proveniente da resistência do ar ou de força internas que
atuam no sistema. O módulo da força de atrito usualmente depende da velocidade, sendo que em
muitos casos de interesse ela é proporcional à velocidade do corpo, embora em sentido oposto
(força de resistência ao movimento).
Considerando que a força de atrito, ou amortecedora, seja linearmente proporcional a
velocidade, podemos equacionar o movimento aplicando a 2a. Lei de Newton:
∑ F = ma ,
(4.1)
Ou seja, de forma mais explicita,
m
d 2x
dx
= −b − k x ,
2
dt
dt
(4.2)
2
onde o primeiro termo da direita, − b d 2x , é a força amortecedora, e b é uma constante positiva. O
dt
segundo termo da direita, − kx , é a força restauradora, e k é a constante elástica.
Reescrevendo a equação (4.2), obtemos
d 2 x b dx k
+
+ x=0 ,
dt 2 m dt m
(4.3)
que matematicamente, é uma equação diferencial linear e homogenia de coeficientes constantes,
cuja solução, como pode ser provada, é
x(t ) = Ae
−b t
2m
cos(ω ' t + δ ) ,
(4.4)
Sendo que
2
k  b 
ω ' = 2π f ' =
−
 . (4.5)
m  2m 
Se b=0 , a expressa (4.5) se reduziria a
1
FÍSICA EXPERIMENTAL I
ω'= ω =
k
,
m
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Experimento 9
(4.6)
que representa a freqüência angular do movimento não amortecido, ou seja, de movimento
harmônico simples (MHS).
Se b≠ 0 , então há atrito, e ω’ é menor que ω , como se nota pela equação (4.5).
A amplitude do movimento decresce gradualmente, até anular-se de um fator
−b t
Ae 2 m .
(4.7)
O intervalo de tempo t , durante o qual a amplitude se reduz ao valor de 1
valor inicial A (37%A) , é denominado de vida média (τ ) da oscilação, i. e.,
τ=
e
de seu
2m
. (4.8)
b
Se a força de atrito for suficientemente grande, b aumenta a ponto de a equação (4.4)
não ser mais solução da equação do movimento, equação (4.3). O movimento não será mais
periódico. O corpo simplesmente irá retorna a posição de equilíbrio, quando largado na
posição de deslocamento inicial A , sem oscilar.
Contudo, no MHA –Movimento Harmônico Amortecido, a energia do oscilador é
gradualmente dissipada pelo atrito, anulando-se com o tempo.
Figura (4.1): O deslocamento x(t) para o oscilador harmônico amortecido (MHA). A amplitude diminui
exponencialmente com o tempo (linha tracejada).
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FÍSICA EXPERIMENTAL I
Experimento 9
FEX I
Descrição do Experimento: O equipamento utilizado nesse experimento é um suporte com uma
haste flexível fixa numa das extremidades, sendo que, na extremidade livre é preso um suporte com
pino, massa de 27 g, onde no orifício é disposto de uma esfera, que após ser impregnada de tinta
irá registrar o MHA. O registro desta vibração deverá se assemelhar ao gráfico à cima x(t) para o
MHA.
Equipamento/Material:
1. Haste flexível;
2. Suporte de fixação;
3. Esfera;
4. Tinta;
5. Régua milimetrada;
6. Cronômetro;
Procedimentos:
(a) O aparato já se encontra montado sobre a bancada.
(b) Verifique se a esfera de rolamento encontra-se no orifício na extremidade livre da haste fixa.
(c) Disponha uma folha de papel A4 (ou milimetrado) sob a haste oscilante e ajuste para que a
haste não toque o papel (apenas a esfera deverá assentar-se ao papel).
(d) Molhe a esfera através do orifício com uma pequena gota de tinta.
(e) Zere o cronômetro e prepare-se para dispará-lo.
(f) Tomando o cuidado para nunca arrastar a haste sobre o papel, faça oscilar a haste flexível e,
seguidamente, dispare o cronômetro simultaneamente puxando a folha A4 paralelamente sobre a
mesa à velocidade constante. Ao término da oscilação trave o cronômetro (treine este procedimento
uma primeira vez e após execute com esmero).
(g) Anote na tabela 1 o tempo total T e o comprimento obtido x, da primeira a última oscilação.
(h) Calcule o tempo decorrido para cada 1,0 cm – time-scaling - (ts) do comprimento total da
oscilação. Anote na tabela 1.
(i) Meça as amplitudes A (altura positiva de cada pico) e usando ts , determine os tempos
correspondentes. Anote na tabela. Anote na tabela 1.
(j) Faça um gráfico linearizado em papel monolog de A × t.
(l) Determine o coeficiente angular α. Anote na tabela 2.
(m) Sabendo que a massa m do sistema oscilante é de 27g determine a constante de amortecimento
b. Anote na tabela 2.
(n) Calcule o tempo de vida média τ para a oscilação. Anote na tabela 2.
- Siga as instruções e responda às questões do relatório experimental.
Cuidados com a experiência:
- Não esbanje tinta. Goteje pequenas gotas para não borrar a folha.
- Tome cuidado para não retirar a esfera de rolamento de dentro do orifício.
- Jamais force por demais a haste flexível.
- Seja responsável: Use o material com zelo!
- Qualquer dúvida ou alteração comunique o professor e aguarde.
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