investigação da construção de conceitos matemáticos em

INVESTIGAÇÃO DA CONSTRUÇÃO DE CONCEITOS MATEMÁTICOS
EM CRIANÇAS DO 1º E 2º CICLOS DO ENSINO FUNDAMENTAL
Vitor Lira Veloso
Yara Maria Leal Heliodoro
Universidade Católica de Pernambuco (UNICAP)
[email protected]; [email protected]
Maria Cecília Antunes de Aguiar
Universidade Católica de Pernambuco (UNICAP)
[email protected]
RESUMO
A pesquisa se propôs a investigar como se processa a formação do
conceito de espaço, em um nível de ensino subseqüente ao estudado por
Aguiar (2006), com a perspectiva de também analisar sua articulação com
as representações de objetos e figuras no espaço, assim como essas
representações matemáticas se articulam com a medição de objetos, de
deslocamentos,
de
distâncias
e
de
figuras
geométricas,
o
que
conseqüentemente envolve a utilização dos números racionais na
representação decimal. O estudo está ancorado na Teria dos Campos
Conceituais (TCC) do teórico Francês Vergnaud (1991, 1994, 1996 e 2000)
para quem o conhecimento está organizado em campos conceituais cujo
domínio, se dá pelo sujeito ao longo da vida, através da experiência, da
maturidade e da aprendizagem. Esta teoria se ocupa do desenvolvimento
e da aprendizagem. De acordo com esta teoria, fica evidente a
impossibilidade de se estudar as coisas separadamente. E é neste sentido
que os campos conceituais são unidades de estudo frutíferas para dar
sentido aos problemas de aquisição e às observações feitas em relação a
conceitualização. Vergnaud (1991: 135), considera a TCC como “uma
teoria cognitivista que visa a fornecer um quadro coerente e alguns
princípios de base para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem
de competências complexas, especialmente aquelas que decorrem das
ciências e técnicas”. A Metodologia de coleta dos dados inclui: a
caracterização da escola e do seu entorno - instalações, estrutura, rituais e
o funcionamento pedagógico da escola; gestores e funcionários; e a uma
observação da prática pedagógica de uma professora do 1º Ciclo do
Ensino Fundamental. Nos três últimos meses de 2007, foi iniciada a
observação, de uma turma de 2ª série (3° ano do 1° ciclo), acompanhada,
em 2008, na 3ª série (1° ano do 2° ciclo). Foram observadas 72 horasaula, sendo as atuações de 29 alunos, entre 8 a 11 anos, registradas por
meio de gravador de áudio e bloco de anotações. O registro em áudio foi
transcrito, compondo um relato com as observações anotadas no diário de
bordo, o qual foi analisado nas reuniões semanais do grupo da pesquisa.
O conteúdo das aulas de Matemática observadas enfatizou as operações
fundamentais, sendo o conceito de localização espacial trabalhado
explicitamente numa aula de geografia, na qual utilizou o mapa do Brasil,
dividido em regiões e estados. Nesta aula, foi possível inferir que os alunos
utilizaram um “teorema-em-ação”, que não era completamente adequado,
mas que consistia num passo inicial na construção dos pontos colaterais.
Outro “teorema-em-ação” utilizado pelos alunos foi o de inferir a fronteira
de um desenho pela relevância dada à espessura dos traços contidos nele,
desconsiderando
os
diferentes
componentes
iconicamente em um mapa, como rios.
físicos
representados
Dando prosseguimento, foi
elaborada uma seqüência didática a ser aplicada na sala pelos
pesquisadores que pretende provocar o surgimento dos conceitos alvos da
presente pesquisa.
Palavras-chave: Localização espacial; campo conceitual; formação de conceitos; prática
pedagógica; Educação Matemática.
Introdução
Este trabalho deu continuidade ao estudo realizado por (AGUIAR, 2006), no qual o
desenvolvimento do conceito de espaço em crianças foi investigado, com vistas a contribuir
numa proposta pedagógica para a Educação Infantil. Faz parte de um projeto mais amplo
que compreende localização espacial, medição e suas representações matemáticas.
Propõe-se a descrever e analisar processos cognitivos e didáticos encontrados na
prática pedagógica e na aprendizagem desses conceitos pelas crianças, assim como sua
utilização e o exercício de competências perceptivo-gestuais, intelectuais complexas,
lingüísticas ou simbólicas e sociais mobilizadas na resolução de problemas. E mais,
investigar as principais dificuldades e possibilidades de crianças, quanto à aprendizagem e
formação de conceitos envolvidos na construção e na sistematização de conteúdos básicos
relativos ao eixo curricular da Matemática “Espaço e Forma” (BRASIL, 1997,1998), no 2º
Ciclo do Ensino Fundamental, e seus rebatimentos nos blocos curriculares “Números e
Operações” e “Grandezas e Medidas” (BRASIL, 1997,1998).
A Teoria dos Campos Conceituais (TCC) do neopiagetiano Gerard Vergnaud (1991,
1994, 1996 e 2000) servirá como um dos suportes teóricos fundamentais do presente
trabalho, desde que sua utilização no campo da didática, ou seja, no estudo dos processos
de ensino e de aprendizagem. Esta teoria favorece, por um lado, a delimitação do
conhecimento em campos conceituais, a especificação epistemológica na transposição
didática do saber e, por outro, a descoberta de situações que dão sentido, significação aos
conceitos, a explicitação dos invariantes operatórios subjacentes à ação e as diversas
formas de simbolização do problema e de sua resolução pelo sujeito. (MAIA, 2000 e
AGUIAR, 2006).
De acordo com a TCC (VERGNAUD, 1991 e 1994) o conceito não se constrói
isoladamente, mas num campo com outros conceitos. Sua constituição depende da interrelação entre três dimensões do conhecimento, sendo, então, definido por: C = { S; I O;
},
sendo S = conjunto de situações que dão sentido ao conceito (a referência), O = conjunto de
invariantes operatórios, mecanismos utilizados pelo sujeito na resolução do problema (o
significado) e
= formas possíveis de representações simbólicas utilizadas, tanto para a
apresentação, quanto para a resolução e solução do problema.
A TCC é uma teoria multidimensional do desenvolvimento, da conceitualização, que
procura identificar as filiações e as rupturas entre as diversas formas de conhecimento em
via de aquisição pelo indivíduo. Porém, nesse processo, as filiações dos saberes e dos
fazeres não se realizam numa ordem fixa, como admitia Piaget (1977), mas através de uma
hierarquia parcial dos conhecimentos práticos, ou abstratos (VERGNAUD, 2000). Ela leva
em consideração tanto características pessoais do sujeito em situação, como o contexto
situacional, no qual se insere a atividade do mesmo e os aspectos específicos do
conhecimento em aquisição, em particular, as diversas formas de representação simbólica
possíveis de serem utilizadas no processo de conceitualização.
Justifica-se a preocupação com as representações matemáticas, entendidas aqui
como representação decimal do número racional, na medida em que os números racionais
representados na forma escrita de decimais são usados, freqüentemente, tanto no contexto
escolar como no contexto do cotidiano, em situações de leitura, escrita e de operações,
muitas vezes mecanicamente sem nenhuma preocupação com o significado. Muitos dos
significados das operações presentes nos números naturais podem ser estendidos às
situações que envolvem números racionais, tais como, problemas de estruturas aditivas,
envolvendo transformação, combinação e comparação e de estruturas multiplicativas em
diferentes situações como razão, comparação, configuração retangular, excluindo o
raciocínio combinatório que não é extensivo aos números racionais não inteiros. De acordo
com os PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais), (BRASIL, 1997) “é importante que as
atividades de cálculo com números decimais estejam sempre vinculadas a situações
contextualizadas, de modo que seja possível fazer uma estimativa ou enquadramento do
resultado, utilizando números naturais mais próximos”
A reflexão sobre as dificuldades no processo de aprendizagem e de ensino dos
conceitos analisados deverá fornecer elementos para a construção e a vivência de
alternativas de seqüências didáticas (ZABALA, 1998) que poderão conduzir à superação
dessas dificuldades, e que também se alicerçarão na pedagogia de Paulo Freire (1999),
entre outros, bem como em resultados de estudos realizados na área da Educação
Matemática. Até o presente momento foram observadas a prática pedagógica de uma
professora do 1° ciclo do Ensino Fundamental e as atuações de 29 alunos, entre 8 a 11
anos nas turmas sob sua orientação.
Metodologia
Este trabalho está sendo executado no 1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental. Iniciouse em 2007 com a observação de uma turma do 3º ano do 1º Ciclo do Ensino Fundamental,
que está sendo acompanhada, em 2008, no 1º ano do 2º Ciclo, desse mesmo nível de
ensino.
Inicialmente, o grupo de pesquisadores e suas respectivas orientadoras participaram
de reuniões semanais, realizadas na UNICAP. Nestas reuniões, foram discutidos todos os
passos do projeto e foram estudadas as teorias pertinentes à sua fundamentação teórica.
Em seguida, apresentou-se o projeto de pesquisa na escola, para a anuência
voluntária dos professores. Nessa reunião, participaram a gestora e doze professores do
turno da tarde. Depois da aceitação dos professores e da escola, houve reunião com os pais
para explicar a pesquisa e distribuir o termo de consentimento livre e esclarecido, para que
os mesmos lessem e consentissem a participação dos filhos na pesquisa.
Na metade do mês de outubro foi iniciada a observação em sala de aula, buscando
analisar como as crianças compreendiam os conceitos-alvo da pesquisa, espontaneamente.
Na maioria das aulas, não foram abordados estes conceitos, mas houve situações, e até em
aulas de outras disciplinas, que não matemática, nas quais eles foram abordados.
Todo registro foi realizado através da gravação das aulas e pela descrição minuciosa
dos fatos, procedimento adotado em comum nas turmas componentes da amostra.
Resultados Parciais
A análise dos dados coletados na pesquisa possibilitou a caracterização de aspectos
da instituição campo da pesquisa. É uma escola pública municipal da Prefeitura do Recife,
que funciona regularmente nos três turnos e com as seguintes modalidades de ensino:
Fundamental I, Educação de Jovens e Adultos e Educação Inclusiva. A turma foco deste
subprojeto, em 2007, foi o 2º ano do 1º ciclo do Ensino Fundamental.
Os conteúdos conceituais trabalhados nas aulas de matemática no período das
observações contemplavam as quatro operações fundamentais (adição, subtração,
multiplicação e divisão). Foram priorizados a resolução de algoritmos (continhas), o sistema
de numeração decimal (unidades, dezenas e centenas) e a resolução de problemas. Das
aulas observadas, o conceito de localização espacial foi trabalhado explicitamente pela
professora, numa aula de geografia.
A aula começou com a professora distribuindo um exercício numa folha de papel,
onde havia o mapa do Brasil, dividido em regiões e estados. Observou-se nesta aula uma
noção de espaço geográfico sendo construído.
Este exercício consiste em identificar as regiões do Brasil e os estados que a
compõem. Todos os estados possuem uma numeração e a legenda na parte inferior, indica
o nome de cada região. Na aula anterior, a professora pediu que os alunos trouxessem lápis
de cor, no intuito de identificar por cores cada região do Brasil e correlacionar com a
legenda, também pintada com a respectiva cor da região.
Houve a retomada de uma aula anterior, na qual a professora reiterou o fato de de
todos terem residência no Brasil. O conteúdo da aula propriamente dito começou logo em
seguida. Ela dividiu o país em suas cinco regiões, explicando: “A gente tem a região Norte,
Sul, Centro-Oeste, Sudeste e Nordeste”. Quando alguns alunos tentaram acompanhar a
professora, e respondem “Leste e Oeste”, eles usaram um teorema-em-ação, baseado num
conceito adquirido em aulas anteriores, onde estudaram os pontos cardeais. Para Vergnaud,
um teorema-em-ação faz parte dos invariantes operatórios que o sujeito utiliza para
solucionar uma determinada situação e com isso construir um conceito. Composto também
dos conceitos-em-ação, os invariantes operatórios conduzem o indivíduo a respostas,
corretas ou não, baseadas em conceitos que este já possui. Os teoremas-em-ação são
proposições das crianças tidas como verdadeiras sobre o real. Como a divisão do Brasil em
regiões, toma como referência os nomes dos pontos cardeais, Norte e Sul, os alunos
inferiram os outros nomes, Leste e Oeste. Desse modo, é possível inferir que os alunos
utilizaram um teorema-em-ação que não era completamente adequado para aquela
situação, mas que consistia num passo inicial na construção dos pontos colaterais, ou seja,
relacionar Norte com Leste, em Nordeste, e Sul com Leste, em Sudeste. A região CentroOeste foi considerada apenas em um sentido, o Oeste.
Após a identificação de todos os estados da região Norte, a professora pede que
enumerem os estados desta região e escrevam a quantidade na legenda, atribuindo mais
uma característica à região. Posteriormente, ela pede aos alunos que pintem os estados da
região Norte, junto com sua legenda, com a cor verde. Neste momento, alguns alunos não
pintam a parte territorial acima do Rio Amazonas, este sem identificação. Eles consideram o
rio como uma fronteira, ignorando o fato de ter ainda o estado do Amapá, o de Roraima e
uma parte do Amazonas e do Pará a serem pintados.
É possível interpretar que isto se deve ao conceito anterior que as crianças tinham
de fronteira de uma figura. Quando as crianças consideram uma figura, ou uma determinada
área delimitada, ela toma por referência, as linhas periféricas do desenho. No mapa, existem
outros traços, referentes aos limites dos estados, mas estes não causam confusão, pois são
mais delgados que aqueles que delimitam a região Norte. Como o Rio Amazonas está
representado por um traço mais largo, ele foi confundido com um limite da região. Esta
representação icônica do limite por meio do desenho interfere na compreensão da
composição dos estados que pertencem a região, conceito recentemente apresentado pela
professora. Por terem o conceito de limite de um desenho como anterior ao de estados que
compõem uma região, encaram com menos relevância o fato de conterem estados
ignorados na pintura, considerando o contorno mais destacado.
Referências Bibliográficas
AGUIAR, M. C. A. de. O desenvolvimento do conceito de espaço da criança e a
educação Infantil: esquema e interações socioafetivas em situações problemas. 2006.
277 f.Tese (Doutorado em Educação) – Centro de Educação da Universidade Federal de
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______. Le rôle de l'enseignant à la lumière des concepts de schème et de champ
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Artigue,
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______. Au fond de l’ action, la conceptualization. In BARBIER, J. I., Savois théoriques et
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______. Didactiques des mathématiques. Conferência realizada na Pós Graduação de
Educação – UFRPE, 2000.
ZABALA, Antoni. A prática educativa: como ensinar. Tradução de Ernani F. da F. Rosa.
Porto Alegre: ArtMed, 1998. 224p.