A`B` - Liceu Albert Sabin

MATEMÁTICA III
pág 510
© 2015 EFMN
Prof. Eloy Machado
Tales de Mileto
TALES DE MILETO
Tales teria sido o primeiro a conseguir medir a altura
das pirâmides, comparando sua sombra com a sombra
de uma vareta fincada no chão.
TEOREMA DE TALES
Qualquer segmento de uma transversal é proporcional ao seu segmento
homólogo (correspondente) da outra.
A
B
C
AB
BC
=
A’B’ B’C’
A’
r//s//t
B’
C’
s
t
TEOREMA DE TALES
Qualquer segmento de uma transversal é proporcional ao seu segmento
homólogo (correspondente) da outra.
A
B
C
AB
BC
AC
=
=
= ... = k
A’B’ B’C’ A’C’
A’
r//s//t
B’
C’
s
t
razão da
proporção
TEOREMA DE TALES
A proporção também existe de outra forma:
A
B
A’
B’
C’
C
AB
A’B’
=
BC
B’C’
r//s//t
s
t
SEMELHANÇA DE FIGURAS
AB e A’B’: Segmentos homólogos (ou correspondentes)
EF e E’F’:
Segmentos homólogos (ou correspondentes)
ABC e A’B’C’: Ângulos homólogos (ou correspondentes)
r e r’: Elementos homólogos (ou correspondentes)
SEMELHANÇA DE FIGURAS
Têm sempre a mesma forma, independentemente do tamanho:
Todos os elementos lineares homólogos são proporcionais.
Todos os ângulos homólogos são congruentes.
As linhas aumentam (ou diminuem), mas os
ângulos permanecem os mesmos!
POLÍGONOS SEMELHANTES
R
A semelhança exige correspondência de vértices!
ABCDE  RSTPQ
A
S
B
C
Q
E
T
D
A =R
P
B =S
....
E =Q
e
AB
RS
=
BC
ST
EA
....
=
=
QR
=k
razão de
semelhança
TRIÂNGULOS SEMELHANTES
São triângulos de mesma forma, independentemente do tamanho.
Os triângulos são
semelhantes!
Conheço 2
ângulos
Paralela a
um lado
(critério AA)
(teorema
fundamental)
3 ângulos congruentes
e
3 lados proporcionais
Lados proporcionais
(outros elementos homólogos também)
(lucro = todas essas proporções)
DESCOBRINDO A SEMELHANÇA
SÃO SEMELHANTES?
60o
70o
50o
70o
SIM!
60o
50o
70o
70o
70o
NÃO SEI!
50o
70o
50o
SIM!
CRITÉRIO “AA”
Basta saber que dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois
ângulos do outro!
A'
A
c
h
B
m
a
b
c'
C
B'
B = B'
AA
 BCA  B'C'A'
h'
m'
a'
b'
C'
C = C'

a
b
c
h
m
a+b+c
=
=
=
=
=
= ... = k
a'
b'
c'
h'
m'
a' + b' + c'
a)
ACB  PMN
9
3
=
21
7
3
k=
7
b)
ACB  PMN
ACB  PMN
x
3
 x = 12
=
28
71
4
y
3
 y=6
=
14
71
2
TEOREMA FUNDAMENTAL
Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo, interceptando os outros dois
lados ou seus prolongamentos, determina um triângulo semelhante ao original
E
DE // BC  ADE  ABC
D
A
A
D
B
E
C
B
C
ALP  ABC
h–x
x
h–x
=
a
h
xh = ah – ax
x
xh + ax = ah
x(h + a) = ah
LP // BC  ABC  ALP
ah
x=
h+a
ACD  DCB
25
25
x
=
x
9
x2 = 225
x = 15
DC // AB  EAB  ECD
5–h
h
DC // AB  EAB  ECD
2
4
5–h
=
h
36
 2h = 15 – 3h
5h = 15
h = 3 cm
bh
63
= 9 cm2
SEAB =
=
2
2
2º Modo: (excelente,
se for possível obter k)
2x
3x
2
k=
4
36
 k=
2x + 3x = 5
5x = 5  x = 1
DC // AB  EAB  ECD
h = 3x  h = 3
63
= 9 cm2
SEAB =
2
2
3
BASE MÉDIA DO TRIÂNGULO
Base Média: Segmento com extremidades nos pontos médios de dois
lados de um triângulo.
A
Propriedades:
É paralela ao 3o lado:
M
MN // BC
N
Base média
É metade do 3o lado:
B
3º lado
C
MN =
BC
2
a) Paralelogramo, pois
MN é base média do ADB:
MN // BD e MN =
BD
2
QP é base média do CDB:
BD
QP // BD e QP =
2
 MN // QP e MN = QP
Analogamente,
MQ // NP e MQ = NP
 MNPQ é paralelogramo
a) Paralelogramo, pois
MN é base média do ADB:
7
MN // BD e MN =
7
BD
2
QP é base média do CDB:
BD
QP // BD e QP =
2
 MN // QP e MN = QP
Analogamente,
MQ // NP e MQ = NP
 MNPQ é paralelogramo
a) Paralelogramo, pois
MN é base média do ADB:
7
MN // BD e MN =
5
5
7
BD
2
QP é base média do CDB:
BD
QP // BD e QP =
2
 MN // QP e MN = QP
b) Perím = 5 + 7 + 5 + 7 = 24 cm
Analogamente,
MQ // NP e MQ = NP
 MNPQ é paralelogramo
a
b
MN =
+
2
2
b
2
a
2
a+b
MN =
2
BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO
Base Média: Segmento com extremidades nos pontos médios dos dois
lados transversos de um trapézio.
B
Propriedades:
C
É paralela às bases:
MN // BC // AD
M
Base média
N
É a média das bases:
MN =
A
D
BC + AD
2
Obs: BC, MN e AD formam uma PA!
* FIM!!!