ANEXO VI 1. Determine o quociente e o resto na divisão euclidiana

ANEXO VI
1. Determine o quociente e o resto na divisão euclidiana de f = 3X4 – 5X2
+ 6X +1 por g = X – 4.
f:=3*x^4-5*x^2+6*x+1:g:=x-4:
q:=quo(f,g,x);
3
2
q := 3 x + 12 x + 43 x + 178
r:=rem(f,g,x);
r := 713
f:=x->3*x^4-5*x^2+6*x+1:
f(4);
713
2. Obter a decomposição linear de
f:=x^3-x^2-2*x+2: em R[X].
factor(f,real);
( x + 1.414213562 ) ( x − 1. ) ( x − 1.414213562 )
aqui obtivemos uma decomposição linear de f com os valores aproximados
das raízes. Sabemos que 1.41421... é um valor aproximado para 2 .
factor(f,sqrt(2));
(x −
2 ) (x +
2 ) (x − 1)
É claro, portanto, que f não possui uma decomposição linear em Z[X].
3. Obter a decomposição linear de
f:=3*x^5-3*sqrt(3)*x^4-45*x^3+45*sqrt(3)*x^2-48*x+48*sqrt(3):
C[X]
Observe que f ∈ R[X].
evala(AFactor(f));
3 ( −4 + x ) ( x −
em
2
2
3 ) ( x − RootOf( _Z + 1 ) ) ( x + RootOf( _Z + 1 ) ) ( x + 4 )
Observe que as raízes de _Z2 + 1 são i e -i, assim temos na forma
tradicional,
164
f = 3(X-4)(X+4)(X -
3 )(X-i)(X+i).
4. Se A não é um anel de integridade, então existem polinômios distintos de
mesmo grau n com n + 1 raízes.
Seja A = Z6.
f:=x->x^3-x^2 mod 6:
g:=x->x^3-2*x^2+x mod 6:
f(0)=g(0);
0=0
f(1)=g(1);
0=0
f(3)=g(3);
0=0
f(4)=g(4);
0=0
Veja que grau de f é igual a grau de g e que f ≠ g.
5. Fatorar :
a) f =: x^3 – x^2 - x – 2: em Z[X].
factor(f);
2
(x − 2) (x + x + 1)
Observe que X - 2 e X2 + X + 1 são irredutíveis sobre Z.
b) f=: x^8 – 2*x^4 + 1: em R[X]
factor(f);
2
2
2
2
(x − 1) (x + 1) (x + 1)
Assim vemos que 1 é raiz de f com multiplicidade 2 e -1 também é raiz
com multiplicidade 2. As outras raízes são complexas.
165
factor(f,complex);
2
2
2
2
( x + 1. ) ( x + 1. I ) ( x − 1. I ) ( x − 1. )
As raízes são: 1, -1, i, -i todas com multiplicidade 2.
Observe que a resolução de um problema depende onde ele é formulado e
de qual o interesse do momento.
6. Dado o polinômio,
f:=x^5-10*x^4+30*x^3-135*x+162: que possui 3 como raiz, determinar a
multiplicidade desta raiz.
f1:=diff(f,x);
4
3
2
f1 := 5 x − 40 x + 90 x − 135
subs(x=3,f1);
0
f2:=diff(f,x$2);
3
2
f2 := 20 x − 120 x + 180 x
subs(x=3,f2);
0
f3:=diff(f,x$3);
2
f3 := 60 x − 240 x + 180
subs(x=3,f3);
0
f4:=diff(f,x$4);
f4 := 120 x − 240
subs(x=3,f4);
120
Como f(4)(3) ≠ 0, temos que m(f,3) = 4.
7. Decompor
X
em frações parciais.
( X + 1)( X − 1)
2
gcd(x,(x^2+1)*(x-1));
1
portanto, estamos em condição de utilizar o procedimento. Também
devemos perceber que X2 +1 é irredutível sobre R.
166
A decomposição procurada será da forma
X
aX + b
c
= 2
+
2
( X + 1)( X − 1) X + 1 X − 1
Assim, X = (aX + b)(X - 1) + c(X2 + 1).
subs(x=1,x=(a*x+b)*(x-1)+c*(x^2+1));
1=2c
subs(x=0,x=(a*x+b)*(x-1)+c*(x^2+1));
0 = −b + c
subs(x=2,x=(a*x+b)*(x-1)+c*(x^2+1));
2=2a+b+5c
solve({2*c=1,-b+c=0,2*a+b+5*c=2},{a,b,c});
{a =
-1
1
1
,c= ,b= }
2
2
2
8. Análise e localização das raízes de equações do tipo Xn –1 =0.
a) Fazer o gráfico de X6 – 1 e analisar as raízes pelo gráfico.
with(plots):
plot(x^6-1,x=-1.5..1.5);
Pelo gráfico percebemos que –1 e 1 são raízes da equação dada, mas
também sabemos que esta equação possui 6 raízes complexas.
Onde estão as outras raízes?
Mesmo tomando um intervalo de plotagem maior não as encontraremos no
gráfico. Tente.
Será possível localizá-las?
167
S:={solve(x^6-1=0,x)};
S := { -1 , 1, −
1
2
+
1
2
I 3, −
1
2
−
1
1 1
1 1
I 3, − I 3, + I 3 }
2
2 2
2 2
Vamos agora obter a forma polar destas raízes.
readlib(polar):
for i to nops(S) do polar(S[i]) od;
polar( 1, π )
polar( 1, 0 )
 2 
polar 1, π 
 3 
2 

polar 1, − π 
3 

1 

polar 1, − π 
3 

 1 
polar 1, π 
 3 
Obs. O primeiro elemento significa o módulo da raiz e o segundo o
argumento. Por exemplo, a representação trigonométrica da última raiz é:
π
π
cos( ) + i sen( ).
3
3
Utilizando a representação trigonométrica para cada raiz obtemos o que
segue.
hex:=[seq([cos(2*Pi*k/6),sin(2*Pi*k/6)],k=1..6)]:
circ:=plot(cos,sin,º.2*Pi]):
p:=polygonplot(hex,color=blue):
display({circ,p});
168
Agora visualizamos todas as raízes de x6 – 1 = 0.
169