Lista 4 - ´Algebra - 2013/01 Grupos 1. Sejam (G,∗) um grupo e a, b

Lista 4 - Álgebra - 2013/01
Grupos
1. Sejam (G, ∗) um grupo e a, b ∈ G. Verifique se a equação x ∗ a = b tem solução e é única em G.
2. Verifique se (R, ∗) é grupo quando x ∗ y = x + y − 1.
3. Construa a tabela de operações para (Z∗7 , ·). Determine o inverso de cada elemento de (Z∗7 , ·).
4. Mostre que o oposto de x ∈ (Zn , +) é n − x.
5. Calcule o simétrico de cada elemento de S3 .
6. Considere os elementos de S4 : id, f1 = (34), f2 = (1234), f3 = (13)(24), f4 = (1432).
(a) Mostre que {id, f1 } é um grupo, com a operação composição.
(b) Calcule f22 , f23 e f2 ◦ f3 .
(c) Apesar de S4 não ser abeliano, verifique se f2 ◦ f3 = f3 ◦ f2 .
(d) Mostre que {id, f2 , f3 , f4 } é grupo, com a operação composição. É abeliano?
7. Construa a tabela de operações do grupo diedral de ordem 6.
8. Construa a tábua da operação ∗ sobre G = {e, a, b}, sabendo que (G, ∗) é um grupo.
9. Construa a tabela de operações de um grupo G = {e, a, b, c, d, f } sabendo que: G é abeliano, o elemento neutro é e, af = bd = e, ad = bc = f , ac = bb = d e cd = a.
10. Determine todos os subgrupos de (Z4 , +), (Z∗5 , ·) e (Z8 , +).
11. Verifique se H é subgrupo de G quando:
(a) G = (Q∗ , ·) e H = {x ∈ Q : x > 0}.
(b) G = (C∗ , ·) e H = {cos θ + i sin θ : θ ∈ R}.
cos θ sin θ
(c) G = (GL2 (R), ·) e H =
:θ∈R .
− sin θ cos θ
(d) G = (Rn , +) e H = {(a1 , a2 , · · · an ) ∈ Rn : a1 + a2 + · · · + an = 0}.
12. Apresente dois subgrupos, H1 e H2 , de um grupo G tais que H1 ∪ H2 não é subgrupo de G.
13. Seja G um grupo e a um elemento de G. Prove que Na = {x ∈ G : ax = xa} é um subgrupo de G.
14. Sejam G um grupo e H um subgrupo. Seja x ∈ G e seja xHx−1 o subconjunto de G formado por
todos os elementos xhx−1 , com h ∈ H. Mostre que xHx−1 é um subgrupo de G.
15. Calcule Z(S3 ) e Z(K), sendo K o grupo de Klein.
1
16. Calcule o subgrupo gerado e a ordem de cada elemento de (Z4 , +).
17. Sejam α = cos
2π
2π
2π
2π
+ i sin
e β = cos
+ i sin
elementos do grupo (C∗ , ·). Calcule o(α) e o(β).
4
4
5
5
18. Determine todos os geradores do grupo (Z15 , +).
19. Mostre que o grupo Z2 ×Z2 , com a operação usual do produto cartesiano, é abeliano, mas não é cı́clico.
20. Mostre que, se p é número primo, então todo elemento diferente de 0 em (Zp , +) tem ordem p.
21. Mostre que o único elemento de ordem 1 em um grupo é o elemento neutro.
22. Seja G um grupo tal que o(G) = 2n. Prove que existe x ∈ G, x 6= e, tal que x2 = e.
23. Seja G um grupo e seja α ∈ G, α 6= e.
(a) Mostre que α tem ordem 2 se, e somente se, α = α−1 .
(b) Mostre que se o(α) = mn, então o(αm ) = n.
(c) Mostre que o(α−1 ) = o(α).
(d) Mostre que se o(α) = 2, para todo α 6= e, então G é um grupo abeliano.
24. Descreva todas as classes laterais à esquerda de H em G quando:
(a) G = Z∗5 e H = {1, 4}.
(b) G = R∗ e H = {x ∈ R∗ : x > 0}.
(c) G = Z e H = 3Z.
(d) G = R4 e H = {e, a2 }.
(e) G = Z × Z2 e H = {0} × Z2 .
25. É finito ou infinito o número de classes de Z × 2Z em Z × Z? Por quê?
26. Seja G um grupo de ordem pn , em que p é primo e n > 1. Mostre que a ordem de um elemento
qualquer de G é uma potência de p.
27. Sejam H e K subgrupos de um grupo finito G com |H| = p, |K| = q, p e q primos distintos. Prove
que H ∩ K = {e}.
28. Sejam G um grupo finito e H ≤ K ≤ G. Mostre que (G : H) = (G : K)(K : H).
29. Mostre que o conjunto das classes laterais de H = nZ em G = Z é {0, 1, 2, · · · , n − 1} = Zn . Conclua
que (Z : nZ) = n.
30. Mostre que H ⊳ G quando:
(a) G = Z8 e H = {0, 2, 4, 6}.
(b) G = Z∗7 e H = {1, 2, 4}.
(c) G = D5 e H = {e, a, a2 , a3 , a4 }.
2
(d) G = GL3 (R) = {A ∈ M3 (R) : det(A) 6= 0} e H = {A ∈ GL3 (R) : detA < 0}.
31. Descreva o grupo quociente
G
e a tabela de operações para cada item do exercı́cio anterior.
H
32. Seja H um subgrupo de G. Mostre que os seguintes itens são equivalentes:
(a) xH = Hx, ∀x ∈ G.
(b) xHx−1 ⊆ H, ∀x ∈ G.
(c) xHx−1 = H, ∀x ∈ G.
33. Sejam G um grupo, H ⊳ G e K ⊳ G. Mostre que H ∩ K ⊳ G.
34. Sejam G um grupo, H ⊳ G e K ⊳ G e H ∩ K = {e}. Mostre que hk = kh, ∀h ∈ H e ∀k ∈ K.
Dica: prove que (kh)(hk)−1 = e.
35. (a) Mostre que, se G é um grupo qualquer, então xZ(G) = Z(G)x, ∀x ∈ G.
G
é cı́clico, então G é abeliano.
(b) Prove que se
Z(G)
(c) Conclua que (G : Z(G)) nunca pode ser um número primo.
(d) Calcule Z(S3 ) e Z(D4 ).
36. Seja G um grupo tal que |G| = n e G = hai. Se H ⊳ G, prove que
G
n
= hai e que o(a) =
.
H
|H|
37. Verifique se cada uma das funções abaixo é homomorfismo de grupo:
(a) f : R∗ → R∗ , f (x) = x.
(b) f : R → R, f (x) = x + a, a ∈ R e a 6= 0.
(c) f : Z × Z → Z, f (x, y) = y.
(d) f : C∗ → C∗ , f (x) = x−1 .
(e) f : Z2 → Z4 , f (x) = x.
38. Calcule o núcleo e a imagem dos homomorfismos do exercı́cio anterior.
39. Verifique se os homomorfismos do exercı́cio (1) são monomorfismos, epimorfismos ou isomorfismos.
Para aqueles que forem isomorfismo, calcule f −1 .
40. Verifique se f : (R∗+ , ·) → (R∗ , +), f (x) = ln x é homomorfismo. f é isomorfismo?
41. Mostre que todo subgrupo normal de G é núcleo de algum epimorfismo que tem G como domı́nio.
42. (a) Verifique se f : 4Z → Z6 , f (4x) = 4x, é homomorfismo.
(b) Mostre que Im(f ) = {0, 2, 4} e N (f ) = 12Z.
4Z
≃ {0, 2, 4}
(c) Conclua que {0, 2, 4} ⊳ Z6 , 12Z ⊳ 4Z e
12Z
(d) Mostre que Im(f ) ≃ Z3 .
43. Sejam G = D4 e H = {e, a, a2 , a3 }. Descreva o homomorfismo projeção canônica f : G →
3
G
,
H
explicite N (f ) e Im(f ).
44. Identifique, via isomorfismo, os grupos abaixo:
Z
3Z
3Z + 15Z
15Z
(b)
(c)
.
(a) 3Z
15Z
5Z
15Z
45. Prove que
Z × Dn
≃ Zm .
mZ × Dn
46. Verifique se os grupos G e H são isomorfos:
(a) G = Z4 e H = Z2 × Z2 .
(b) D4 e Z8 .
(c) D4 e Z4 × Z2 .
(d) D4 e Z2 × Z2 × Z2 .
∗ , ·) e de
47. Mostre que G = {2m 3n : m, n ∈ Z} e J = {m + ni : m, n ∈ Z} são subgrupos de (R+
(C, +), respectivamente, e que são isomorfos.
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