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1 – INTRODUÇÃO 1.1 – Visão Global da Mecânica EME 311 Mecânica dos Sólidos - CAPÍTULO 01 - 1.2 – Unidades de Medidas 1.3 – Grandezas Escalares e Vetoriais Profa. Patricia Email: [email protected] 1.1.1 – Mecânica dos corpos rígidos 1.1.2 – Conceitos 1.3.1 – Operações vetoriais 1.3.2 – Adição de forças vetoriais 1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares 1.3.4 – Vetores cartesianos IEM – Instituto de Engenharia Mecânica UNIFEI – Universidade Federal de Itajubá Capítulo 1 - Introdução 1.1 - Visão Global da Mecânica 2 1.1 - Visão Global da Mecânica MECÂNICA Ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos movimentos. A Mecânica descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob a ação de forças. Capítulo 1 - Introdução 3 Capítulo 1 - Introdução 4 1.1.1 - Mecânica dos corpos rígidos 1.1.1 - Mecânica dos corpos rígidos Estática: se refere aos corpos em repouso e estuda as forças em equilíbrio, independentemente do movimento (velocidade constante) por elas produzido. Dinâmica: Na Estática, os corpos analisados são considerados rígidos, consequentemente, os resultados obtidos independem das propriedades do material. Capítulo 1 - Introdução 5 estuda a relação entre o movimento e a causa que o produz (força); Preocupa-se com o movimento acelerado dos corpos. Estática é um caso particular da dinâmica, no qual a aceleração é nula. Capítulo 1 - Introdução 6 1.1.2 - Conceitos 1.1.2 - Conceitos MODELOS E IDEALIZAÇÕES LEIS DE NEWTON Primeira Lei : uma partícula em descanso, ou movendo-se a velocidade constante, tende a permanecer em seu estado (equilíbrio). Ponto material – possui massa, mas as dimensões são desprezíveis; Corpo rígido – corpo que não deforma sob efeito de carregamento; Forças concentradas – forças que atuam em um ponto de um corpo. Capítulo 1 - Introdução 7 Capítulo 1 - Introdução 8 1.1.2 - Conceitos 1.1.2 - Conceitos LEIS DE NEWTON Segunda Lei: uma partícula de massa m onde uma força F atua, ganha aceleração a que tem a mesma direção e magnitude proporcional à força aplicada. LEIS DE NEWTON Terceira Lei : forças mútuas de ação e reação entre duas partículas são iguais, opostas e colineares. Capítulo 1 - Introdução Capítulo 1 - Introdução 9 1.2 – Unidades de Medidas 1.2 – Unidades de Medidas Sistema Internacional de Unidades (SI) Sistema Internacional de Unidades (SI) unidades básicas: metro (m); quilograma (kg); e segundo (s). unidades derivadas: força, trabalho, pressão, etc... Capítulo 1 - Introdução A unidade de força, chamada Newton (N), é derivada de F=ma (segunda Lei de Newton); Então o Newton (N) é igual a força que imprime a aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. 11 10 1 N = 1 kg . 1 m/s2 Capítulo 1 - Introdução 12 1.2 – Unidades de Medidas 1.2 – Unidades de Medidas Sistema Usual Americano SISTEMAS DE UNIDADES (FPS – feet, pound, second – pé, libra, segundo) comprimento – pés (pés); Força – libras (lb); Tempo – segundos (s). A unidade de massa, chamada slug, é derivada de F=ma. 1 slug é igual à quantidade de matéria acelerada de 1 pé/s2 quando acionada por uma força de 1 lb 1 slug = 1 lb . s2/pé. Capítulo 1 - Introdução Unidade de medida (FPS) Força lb 4,4482 N Massa slug 14,5938 kg Comprimento pé 0,3048 m 1 pé = 12 polegadas; 1000 lb = 1 kip (quilolibra) Igual a Unidade de medida (SI) Outras conversões: Capítulo 1 - Introdução Massa Força SI metro segundo quilograma Newton* (m) (s) (kg) (N) (kg.m/s2) FPS pé segundo slug* libra (pé) (s) (lb.s2/pé) (lb) * Unidade derivada Capítulo 1 - Introdução 14 Prefixos usados no SI Quantidade Tempo 1.2 – Unidades de Medidas FATORES DE CONVERSÃO No sistema FPS: Comprimento 13 1.2 – Unidades de Medidas Nome 1 polegada = 2,54 cm 1 kgf = 9,81 N 15 Forma exponencial Prefixo Símbolo SI 109 106 103 10-3 10-6 10-9 Giga Mega Kilo Mili Micro Nano G M k m µ n Capítulo 1 - Introdução 16 1.3 – Grandezas Escalares e Vetoriais ESCALAR – quantidade caracterizada por um número positivo ou negativo. 1.3 – Grandezas Escalares e Vetoriais Ex.: posição, força, momento. Capítulo 1 - Introdução VETOR Nas aulas (livros) é representado em negrito (A); Em manuscritos é representado por uma letra com uma flecha em cima (A). Capítulo 1 - Introdução 18 1.3.1 - Operações vetoriais Representação gráfica de um VETOR: ESCALAR É representado por uma letra em itálico (A); 17 1.3 – Grandezas Escalares e Vetoriais Ex.: massa, volume, comprimento, tempo. VETOR – quantidade que tem intensidade e direção. CONVENSÃO intensidade - comprimento da flecha; direção - definida pelo ângulo entre o eixo de referência e a reta de ação da flecha; sentido - indicado pela ponta da flecha. Multiplicação e divisão de um vetor por um escalar: SENTIDO OPOSTO MESMO SENTIDO Capítulo 1 - Introdução 19 Capítulo 1 - Introdução 20 1.3.1 - Operações vetoriais 1.3.1 - Operações vetoriais Adição vetorial: R vai da origem á extremidade R = A + B = B + A (comutativa) Capítulo 1 - Introdução 21 1.3.1 - Operações vetoriais Capítulo 1 - Introdução Determinar Vetor Resultante Força: FR = F1+F2 Capítulo 1 - Introdução R’ = A - B = A + (- B) 22 1.3.1 - Operações vetoriais Exemplos de aplicação: Subtração vetorial: Exemplos de aplicação: 23 Determinar componentes de um vetor de força: Capítulo 1 - Introdução 24 1.3.2 - Adição de forças vetoriais 1.3.2 - Adição de forças vetoriais Resultante de 3 forças F1, F2 e F3 sobre um ponto O: Determina-se a resultante de duas forças e depois se adiciona essa resultante à terceira força. FR = (F1 + F2 ) + F3 Trigonometria: Procedimento para resolver problemas que envolvam duas forças LEI DO PARALELOGRAMO Capítulo 1 - Introdução 25 Capítulo 1 - Introdução 1.3.2 - Adição de forças vetoriais 1.3.2 - Adição de forças vetoriais Exemplo: Resolução: Lei paralelogramo / Triângulo 26 O gancho é submetido à duas forças, F1 e F2. Determinar a intensidade e direção da força resultante. Capítulo 1 - Introdução 27 Capítulo 1 - Introdução 28 1.3.2 - Adição de forças vetoriais 1.3.2 - Adição de forças vetoriais Resolução: Resolução: Determinar força resultante: Capítulo 1 - Introdução 29 Determinar direção força resultante: Capítulo 1 - Introdução 1.3.2 - Adição de forças vetoriais 1.3.2 - Adição de forças vetoriais Exemplo: Resolução: Lei paralelogramo / Triângulo 30 Determinar a intensidade das componentes da força de 600 lb aplicada na estrutura da figura no eixos u e v. Capítulo 1 - Introdução 31 Capítulo 1 - Introdução 32 1.3.2 - Adição de forças vetoriais 1.3.2 - Adição de forças vetoriais Resolução: Usar a lei do paralelogramo para adicionar mais de duas forças requer cálculos extensos de geometria e trigonometria para determinar os valores numéricos da intensidade e direção da resultante; Problemas deste tipo são mais facilmente resolvidos usando-se o “método dos componentes retangulares”. Determinar a intensidade das componentes: Capítulo 1 - Introdução 33 1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares Capítulo 1 - Introdução 34 1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares Método dos componentes retangulares componentes vetoriais que são mutuamente perpendiculares. Método dos componentes retangulares Pela lei do paralelogramo F = Fx + Fy F’ = F’x + F’y Capítulo 1 - Introdução 35 Capítulo 1 - Introdução 36 1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares 1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares Método dos componentes retangulares Em termos dos vetores cartesiano unitários: i e j. F = Fx + Fy Método dos componentes retangulares Em termos dos vetores cartesiano unitários: i e j. F’ = F’x + F’y F = Fx i + Fy j F’ = F’x i + F’y (-j) escalar F’ = F’x i - F’y j Em manuscritos: F = Fxiˆ + Fy ˆj Capítulo 1 - Introdução Em manuscritos: 37 1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares F = Fxiˆ − Fy ˆj Capítulo 1 - Introdução 38 1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares Qual a resultante? Qual a resultante? Usando: NOTAÇÃO VETORIAL CARTESIANA Capítulo 1 - Introdução 39 Capítulo 1 - Introdução 40 1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares 1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares Em termos das componentes: Qual a resultante? F1 = F1x i + F1y j FR = F1 + F2 + F3 F2 = - F2x i + F2y j = F1x i + F1y j - F2x i + F2y j + F3x i - F3y j F3 = F3x i - F3y j = (F1x - F2x + F3x ) i + (F1y + F2y - F3y ) j = (FRx) i + (FRy) j Capítulo 1 - Introdução 41 1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares Capítulo 1 - Introdução 42 1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares Em termos das componentes: Qual a resultante? FRx = Usando: NOTAÇÃO ESCALAR ∑F x = F1x - F2x + F3x FRy = ∑F y = F1y + F2y - F3y Capítulo 1 - Introdução 43 Capítulo 1 - Introdução 44 1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares 1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares Pelo teorema de Pitágoras: A resultante produz o mesmo efeito de tração no suporte que os quatro cabos. FR = FRx2 + FRy2 tgθ = FRy FRx Capítulo 1 - Introdução 45 Exemplo 1 Capítulo 1 - Introdução 46 Exemplo 2 Determine a intensidade da força resultante e a sua direção, medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. Capítulo 1 - Introdução Determine a grandeza da força resultante e sua direção, medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. 47 Capítulo 1 - Introdução 48 1.3.4 - Vetores cartesianos 1.3.4 - Vetores cartesianos Vetor: A = Ax i + Ay j + Az k Regra da mão direita Intensidade: A = Ax 2 + Ay 2 + Az 2 Capítulo 1 - Introdução 49 1.3.4 - Vetores cartesianos Capítulo 1 - Introdução 1.3.4 - Vetores cartesianos Direção: Os componentes de uA são os cossenos diretores de A. Direção: ûA Um modo fácil de obter os cossenos diretores de A é criar um vetor unitário na direção de A. A uA = A A A A = x i + y j+ z k A A A Capítulo 1 - Introdução 50 51 ûA cos α = Ax A cos β = cos γ = Az A Capítulo 1 - Introdução Ay A 52 1.3.4 - Vetores cartesianos 1.3.4 - Vetores cartesianos A = Au A ûA A = Auˆ A = A ( cos α i + cos β + cos γ k ) = Acos α i + Acos β j + + Acos γ k = Ax i + Ay j + Az k Capítulo 1 - Introdução 53 1.3.4 - Vetores cartesianos Capítulo 1 - Introdução 54 Exemplo 3 Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o anel. A força F que o cabo de amarração da aeronave exerce sobre o apoio em O é orientada ao longo do cabo Capítulo 1 - Introdução 55 Capítulo 1 - Introdução 56
