Acessar - ELT2014

1 – INTRODUÇÃO
1.1 – Visão Global da Mecânica
EME 311
Mecânica dos Sólidos
- CAPÍTULO 01 -
1.2 – Unidades de Medidas
1.3 – Grandezas Escalares e Vetoriais
Profa. Patricia
Email: [email protected]
1.1.1 – Mecânica dos corpos rígidos
1.1.2 – Conceitos
1.3.1 – Operações vetoriais
1.3.2 – Adição de forças vetoriais
1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares
1.3.4 – Vetores cartesianos
IEM – Instituto de Engenharia Mecânica
UNIFEI – Universidade Federal de Itajubá
Capítulo 1 - Introdução
1.1 - Visão Global da Mecânica
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1.1 - Visão Global da Mecânica
MECÂNICA
Ciência física aplicada que trata dos
estudos das forças e dos movimentos.
A Mecânica descreve e prediz as
condições de repouso ou movimento de
corpos sob a ação de forças.
Capítulo 1 - Introdução
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Capítulo 1 - Introdução
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1.1.1 - Mecânica dos corpos rígidos
1.1.1 - Mecânica dos corpos rígidos
Estática:
se refere aos corpos em repouso e estuda as
forças em equilíbrio, independentemente do
movimento (velocidade constante) por elas
produzido.
Dinâmica:
Na Estática, os corpos analisados são
considerados rígidos, consequentemente, os
resultados
obtidos
independem
das
propriedades do material.
Capítulo 1 - Introdução
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estuda a relação entre o movimento e a causa
que o produz (força);
Preocupa-se com o movimento acelerado dos
corpos.
Estática é um caso particular da dinâmica, no
qual a aceleração é nula.
Capítulo 1 - Introdução
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1.1.2 - Conceitos
1.1.2 - Conceitos
MODELOS E IDEALIZAÇÕES
LEIS DE NEWTON
Primeira Lei : uma partícula em descanso,
ou movendo-se a velocidade constante,
tende a permanecer em seu estado
(equilíbrio).
Ponto material – possui massa, mas as
dimensões são desprezíveis;
Corpo rígido – corpo que não deforma sob efeito
de carregamento;
Forças concentradas – forças que atuam em um
ponto de um corpo.
Capítulo 1 - Introdução
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Capítulo 1 - Introdução
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1.1.2 - Conceitos
1.1.2 - Conceitos
LEIS DE NEWTON
Segunda Lei: uma partícula de massa m
onde uma força F atua, ganha aceleração a
que tem a mesma direção e magnitude
proporcional à força aplicada.
LEIS DE NEWTON
Terceira Lei : forças mútuas de ação e
reação entre duas partículas são iguais,
opostas e colineares.
Capítulo 1 - Introdução
Capítulo 1 - Introdução
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1.2 – Unidades de Medidas
1.2 – Unidades de Medidas
Sistema Internacional de Unidades (SI)
Sistema Internacional de Unidades (SI)
unidades básicas:
metro (m);
quilograma (kg); e
segundo (s).
unidades derivadas:
força, trabalho, pressão, etc...
Capítulo 1 - Introdução
A unidade de força, chamada Newton (N), é
derivada de F=ma (segunda Lei de Newton);
Então o Newton (N) é igual a força que
imprime a aceleração de 1 m/s2 à massa de
1 kg.
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1 N = 1 kg . 1 m/s2
Capítulo 1 - Introdução
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1.2 – Unidades de Medidas
1.2 – Unidades de Medidas
Sistema Usual Americano
SISTEMAS DE UNIDADES
(FPS – feet, pound, second – pé, libra, segundo)
comprimento – pés (pés);
Força – libras (lb);
Tempo – segundos (s).
A unidade de massa, chamada slug, é
derivada de F=ma.
1 slug é igual à quantidade de matéria acelerada
de 1 pé/s2 quando acionada por uma força de 1 lb
1 slug = 1 lb . s2/pé.
Capítulo 1 - Introdução
Unidade de medida
(FPS)
Força
lb
4,4482 N
Massa
slug
14,5938 kg
Comprimento
pé
0,3048 m
1 pé = 12 polegadas;
1000 lb = 1 kip
(quilolibra)
Igual a
Unidade de medida
(SI)
Outras conversões:
Capítulo 1 - Introdução
Massa
Força
SI
metro
segundo
quilograma
Newton*
(m)
(s)
(kg)
(N)
(kg.m/s2)
FPS
pé
segundo
slug*
libra
(pé)
(s)
(lb.s2/pé)
(lb)
* Unidade derivada
Capítulo 1 - Introdução
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Prefixos usados no SI
Quantidade
Tempo
1.2 – Unidades de Medidas
FATORES DE CONVERSÃO
No sistema FPS:
Comprimento
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1.2 – Unidades de Medidas
Nome
1 polegada = 2,54 cm
1 kgf = 9,81 N
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Forma exponencial
Prefixo
Símbolo SI
109
106
103
10-3
10-6
10-9
Giga
Mega
Kilo
Mili
Micro
Nano
G
M
k
m
µ
n
Capítulo 1 - Introdução
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1.3 – Grandezas Escalares e Vetoriais
ESCALAR – quantidade caracterizada por
um número positivo ou negativo.
1.3 – Grandezas Escalares e Vetoriais
Ex.: posição, força, momento.
Capítulo 1 - Introdução
VETOR
Nas aulas (livros) é representado em
negrito (A);
Em manuscritos é representado por uma
letra com uma flecha em cima (A).
Capítulo 1 - Introdução
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1.3.1 - Operações vetoriais
Representação gráfica de um VETOR:
ESCALAR
É representado por uma letra em itálico (A);
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1.3 – Grandezas Escalares e Vetoriais
Ex.: massa, volume, comprimento, tempo.
VETOR – quantidade que tem intensidade e
direção.
CONVENSÃO
intensidade - comprimento da flecha;
direção - definida pelo ângulo entre o eixo de
referência e a reta de ação da flecha;
sentido - indicado pela ponta da flecha.
Multiplicação e divisão de um vetor por um
escalar:
SENTIDO
OPOSTO
MESMO SENTIDO
Capítulo 1 - Introdução
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Capítulo 1 - Introdução
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1.3.1 - Operações vetoriais
1.3.1 - Operações vetoriais
Adição vetorial:
R vai da origem á extremidade
R = A + B = B + A (comutativa)
Capítulo 1 - Introdução
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1.3.1 - Operações vetoriais
Capítulo 1 - Introdução
Determinar Vetor Resultante Força:
FR = F1+F2
Capítulo 1 - Introdução
R’ = A - B = A + (- B)
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1.3.1 - Operações vetoriais
Exemplos de aplicação:
Subtração vetorial:
Exemplos de aplicação:
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Determinar componentes de um vetor de força:
Capítulo 1 - Introdução
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1.3.2 - Adição de forças vetoriais
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
Resultante de 3 forças F1, F2 e F3 sobre um
ponto O:
Determina-se a resultante de duas forças e
depois se adiciona essa resultante à terceira
força.
FR = (F1 + F2 ) + F3
Trigonometria:
Procedimento para
resolver problemas
que envolvam duas
forças
LEI DO
PARALELOGRAMO
Capítulo 1 - Introdução
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Capítulo 1 - Introdução
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
Exemplo:
Resolução: Lei paralelogramo / Triângulo
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O gancho é submetido à
duas forças, F1 e F2.
Determinar a intensidade
e direção da força
resultante.
Capítulo 1 - Introdução
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Capítulo 1 - Introdução
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1.3.2 - Adição de forças vetoriais
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
Resolução:
Resolução:
Determinar força resultante:
Capítulo 1 - Introdução
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Determinar direção força resultante:
Capítulo 1 - Introdução
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
Exemplo:
Resolução: Lei paralelogramo / Triângulo
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Determinar a intensidade
das componentes da
força de 600 lb aplicada
na estrutura da figura no
eixos u e v.
Capítulo 1 - Introdução
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Capítulo 1 - Introdução
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1.3.2 - Adição de forças vetoriais
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
Resolução:
Usar a lei do paralelogramo para adicionar
mais de duas forças requer cálculos
extensos de geometria e trigonometria para
determinar os valores numéricos da
intensidade e direção da resultante;
Problemas deste tipo são mais facilmente
resolvidos usando-se o “método dos
componentes retangulares”.
Determinar a intensidade das componentes:
Capítulo 1 - Introdução
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1.3.3 – Adição de um sistema de forças
coplanares
Capítulo 1 - Introdução
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1.3.3 – Adição de um sistema de forças
coplanares
Método dos componentes retangulares
componentes
vetoriais que são mutuamente
perpendiculares.
Método dos componentes retangulares
Pela lei do paralelogramo
F = Fx + Fy
F’ = F’x + F’y
Capítulo 1 - Introdução
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Capítulo 1 - Introdução
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1.3.3 – Adição de um sistema de forças
coplanares
1.3.3 – Adição de um sistema de forças
coplanares
Método dos componentes retangulares
Em termos dos vetores cartesiano unitários: i e j.
F = Fx + Fy
Método dos componentes retangulares
Em termos dos vetores cartesiano unitários: i e j.
F’ = F’x + F’y
F = Fx i + Fy j
F’ = F’x i + F’y (-j)
escalar
F’ = F’x i - F’y j
Em manuscritos:
F = Fxiˆ + Fy ˆj
Capítulo 1 - Introdução
Em manuscritos:
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1.3.3 – Adição de um sistema de forças
coplanares
F = Fxiˆ − Fy ˆj
Capítulo 1 - Introdução
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1.3.3 – Adição de um sistema de forças
coplanares
Qual a resultante?
Qual a resultante?
Usando:
NOTAÇÃO VETORIAL
CARTESIANA
Capítulo 1 - Introdução
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Capítulo 1 - Introdução
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1.3.3 – Adição de um sistema de forças
coplanares
1.3.3 – Adição de um sistema de forças
coplanares
Em termos das componentes:
Qual a resultante?
F1 = F1x i + F1y j
FR = F1 + F2 + F3
F2 = - F2x i + F2y j
= F1x i + F1y j - F2x i + F2y j + F3x i - F3y j
F3 = F3x i - F3y j
= (F1x - F2x + F3x ) i + (F1y + F2y - F3y ) j
= (FRx) i + (FRy) j
Capítulo 1 - Introdução
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1.3.3 – Adição de um sistema de forças
coplanares
Capítulo 1 - Introdução
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1.3.3 – Adição de um sistema de forças
coplanares
Em termos das componentes:
Qual a resultante?
FRx =
Usando:
NOTAÇÃO ESCALAR
∑F
x
= F1x - F2x + F3x
FRy =
∑F
y
= F1y + F2y - F3y
Capítulo 1 - Introdução
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Capítulo 1 - Introdução
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1.3.3 – Adição de um sistema de forças
coplanares
1.3.3 – Adição de um sistema de forças
coplanares
Pelo teorema de Pitágoras:
A resultante
produz o mesmo
efeito de tração no
suporte que os
quatro cabos.
FR = FRx2 + FRy2
tgθ =
FRy
FRx
Capítulo 1 - Introdução
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Exemplo 1
Capítulo 1 - Introdução
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Exemplo 2
Determine a intensidade da força resultante e a sua
direção, medida no sentido anti-horário a partir do eixo x
positivo.
Capítulo 1 - Introdução
Determine a grandeza da força resultante e sua direção,
medida no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo.
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Capítulo 1 - Introdução
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1.3.4 - Vetores cartesianos
1.3.4 - Vetores cartesianos
Vetor:
A = Ax i + Ay j + Az k
Regra da mão
direita
Intensidade:
A = Ax 2 + Ay 2 + Az 2
Capítulo 1 - Introdução
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1.3.4 - Vetores cartesianos
Capítulo 1 - Introdução
1.3.4 - Vetores cartesianos
Direção:
Os componentes de uA são
os cossenos diretores de A.
Direção:
ûA
Um modo fácil de obter os
cossenos diretores de A é
criar um vetor unitário na
direção de A.
A
uA =
A
A
A
A
= x i + y j+ z k
A
A
A
Capítulo 1 - Introdução
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ûA
cos α =
Ax
A
cos β =
cos γ =
Az
A
Capítulo 1 - Introdução
Ay
A
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1.3.4 - Vetores cartesianos
1.3.4 - Vetores cartesianos
A = Au A
ûA
A = Auˆ A
= A ( cos α i + cos β + cos γ k )
= Acos α i + Acos β j +
+ Acos γ k
= Ax i + Ay j + Az k
Capítulo 1 - Introdução
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1.3.4 - Vetores cartesianos
Capítulo 1 - Introdução
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Exemplo 3
Determine a intensidade e os ângulos diretores
coordenados da força resultante que atua sobre o anel.
A força F que o cabo de amarração da aeronave exerce
sobre o apoio em O é orientada ao longo do cabo
Capítulo 1 - Introdução
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Capítulo 1 - Introdução
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