Profª: Nathascha S de Oliveira Matematica B Cápitulo I Progressão

qualquer (exceto o primeiro termo) e seu termo
antecessor. Assim, temos que:
Profª: Nathascha S de Oliveira
Matematica B
Cápitulo I
Progressão aritmética (P.A.)
Curiosidade
O termo progressão foi usado
primeiramente por J. Holiwood em sua obra
Tractatus de Arte Numerandi (1488). Já no século
XVIII, o estudo das progressões é apresentado de
uma forma mais bem fundamentada nos
trabalhos publicados por Abraham Moivre, Daniel
Bernonilliii e Leonhard Euler.
Sequência
Pode-se dizer que uma sequência é um
conjunto de objetos organizados segundo uma
ordem predefinida.
Classificação de uma P.A.
As
progressões
classificadas em três tipos:
aritméticas
- Se
, então a P.A. é crescente.
Exemplo: (1, 5, 9, 13, ...),
e
.
- Se
, então a P.A. é decrescente.
Exemplo: (13, 7, 1, -5, ...),
e
- Se
, então a P.A. é constante.
Exemplo: (3, 3, 3, 3, ...),
e
.
.
Termo geral
Seja
a
progressão
.
aritmética
O termo
Representação:
geral da P.A. é dado pela fórmula:
Observe abaixo alguns exemplos de sequência:
- Números primos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...)
- Números pares: (0, 2, 4, 6, 8, 10, ...)
- Meses do ano: (Janeiro, Fevereiro, Março, ...,
Dezembro)
onde r é razão da progressão aritmética.
Progressão aritmética
Progressão aritmética (P.A) é uma
sequência de números em que, a partir do
segundo termo, cada elemento é igual ao
anterior somado com um valor constante. A esse
valor atribuirmos o nome de razão (r) da
progressão aritmética. Abaixo um exemplo onde
o primeiro termo vale 2 e a razão vale 3, ou seja,
e
.
(2, 5, 8, 11, 14, 17, ...)
Outros exemplos:
a) (80, 70, 60, 40, ...), e .
b) (15, 15, 15,15, ...), e .
Observação
Para se calcular a razão de uma P.A.,
basta achar a diferença entre um elemento
são
Propriedades
1) Tirando os termos extremos, qualquer termo é
a média aritmética entre os termos antecedente
e conseqüente, ou seja,
Exemplo: Note que na P.A. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13),
temos
, que
e assim por diante.
2) A soma de dois termos eqüidistantes (mesma
distância) dos extremos é igual a soma dos
extremos. No exemplo anterior, note que
.
- Numa P.A. com número de termos ímpar, o
termo central é a média aritmética dos termos
extremos. No exemplo anterior, o termo
,
é o termo central da P.A. sendo também a média
de
.
3) Se e são dois termos quaisquer de uma P.A de
razão r, então:
e) 20
Soma dos termos de uma progressão aritmética
Caso desejamos somar um número finito
de termos de uma progressão aritmética,
utilizaremos a fórmula a seguir:
05) (FGV-SP) A soma dos múltiplos de 7 entre 20
e 1000 é:
a) 70539
b) 71400
c) 71540
d) 76500
e) 71050
Exercícios
06) (PUC-SP) Um pêndulo, oscilando, percorre
sucessivamente 18 cm, 15 cm, 12 cm,... A soma
dos percursos até o repouso é:
a) 45 cm
b) 63 cm
c) 90 cm
d) 126 cm
e) n.r.a
01) (Mack-SP) O trigésimo primeiro termo de
uma progressão aritmética de primeiro termo 2 e
razão 3 é:
a) 63
b) 65
c) 92
d) 95
e) 98
07) (UCPR) A soma dos n primeiros termos de
uma P.A. é n²+2n. O décimo termo dessa P.A.
vale:
a) 17
b) 18
c) 19
d) 20
e) 21
02) (Udesc) A soma dos múltiplos positivos de 8
formados por 3 algarismos é:
a) 21286
b) 12846
c) 61376
d) 112
08) (UFSC) Qual deve ser o número mínimo de
termos da sequência (-133, -126, -119, -112, ...)
para que a soma de seus termos seja positiva?
em que
primeiro termo da P.A,
último termo da P.A e
quantidade de termos
da P.A.
03) Determine três números em P.A. de tal forma
que o elemento central é 4 e o produto dos três
termos vale 28.
04) (Udesc) O perímetro de um terreno triangular
cujas medidas dos lados representam a
progressão aritmética de termos x+1, 2x e x²-5,
nessa ordem, é:
a) 26
b) 25
c) 24
d) 28
09) Três números estão em P.A. de tal forma que
a soma entre eles é 15; e o produto, 105. O maior
desses números vale:
10) (UFSC) Numa. P.A. decrescente de 7 termos, a
soma dos termos extremos é 92, e a diferença
entre os dois primeiros termos é -5. O valor do 1º
termo é:
Gabarito – Capítulo I
01) C
02) C
03) (1, 4, 7)
04) C
05) E
06) B
07) E
08) 40
09) 7
10) 61