∑ ∑ . ∑ ∑ r = ∑
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CES – Centro de Ensino Superior de C. Lafaiete Faculdade de Engenharia Elétrica Mecânica dos Sólidos Prof. Aloísio Elói Momento e Colisões “Revisão”: Serway e Jewett, capítulo 08. Resumo p = mv .Ver figura 01. d p 2. Segunda lei de Newton: R = ∑ F = = ma . dt 1. Momento linear: ∑p =∑p 3. Conservação do momento linear: Num sistema isolado o momento linear total permanece constante: i f . 4. Impulso de força constante: I = F ∆t . 5. Impulso (geral): I = ∫ Fdt . Ver figura 02. Unidimensionais → linha (= frontais, diretas ou centrais). 6. Colisões: Bidimensionais → plano( = oblíquas). Tridimensionais → espaço. Elásticas → A energia cinética se conserva: K f = K i. 7. Colisões: Inelásticas → A energia cinética não se conserva: K f ≠ K i. → Perfeitamente inelásticas: corpos juntos após colisão. p = ∑ ∑ pi → v = m1v1i + m1v2i . Ver figura 03. f 8. Colisões unidimensionais perfeitamente inelásticas: f m1 + m1 v1 f = v 2 f = v f m1 − m2 2m2 v1i + v1 f = v2i p f = ∑ p i m1 + m2 m1 + m2 ∑ 9. Colisões unidimensionais elásticas: (Ver figura 04). → K f = Ki v = 2m1 v + m2 − m1 v 2 f m + m 1i m + m 2 i 1 2 1 2 m1v1ix + m1v2 ix = m1v1 fx + m1v2 fx (Ver figura 05) 10. Colisões bidimensionais: ∑ p f = ∑ p i → m1v1iy + m1v2 iy = m1v1 fy + m1v2 fy 11. Centro de massa de um sistema de partículas: 12. Centro de massa de uma distribuição contínua: 13. Movimento de um sistema de partículas: mi r i ∑ r CM = M . r CM = M1 ∫ rdm . 1 = ∑m v → Mv M v CM = p i = p tot 1 CM ∑ i d p 1 tot a CM = M ∑ mi a1 → M a CM = ∑ F i = dt ∑ F ext = 0 → p tot = M v CM = 0 p = mv 01 – Momento linear: 02 - Impulso 03 – Colisão perfeitamente inelástica 04 – Colisão unidimensional elástica 06 – Centro de massa 05 – Colisão bidimensional Exemplos 01 (8.1/pág. 248) – Ao considerar a energia de um sistema constituído pela Terra e uma bola solta caindo de certa altura podemos desprezar a energia cinética da Terra. Verifique essa afirmação. (KT/KB ~ 10-24). 02 (8.2/pág. 249) – Um jogador de beisebol deseja manter seu condicionamento físico durante o inverno. Para isso ele utiliza uma máquina de 50 kg, arremessadora de bolas, que é colocada no local do arremessador, como mostrado na figura. O solo está coberto com uma fina camada de gelo, de maneira que é desprezível o atrito entre o solo e a máquina. A máquina arremessa uma bola de 0,15 kg horizontalmente com uma velocidade escalar de 36 m/s. Qual é a velocidade escalar de recuo da máquina? (v2f = - 0,11 m/s). 03 (8.3/pág. 249) – Um tipo de partícula nuclear chamado kaon neutro (K0), decai em um par de outras partículas chamadas píons (π+ e π-), que têm cargas opostas, mas com massas iguais, como na figura. Supondo que o kaon esteja inicialmente em repouso, prove que os dois píons tem de ter momentos que são iguais em módulo e opostos em sentido. (Dem.). Exemplo 03 Exemplo 02 04 (8.4/pág. 253) – Em um teste de colisão um automóvel de massa 1 500 kg colide contra uma parede, como na figura. As velocidades inicial e final do automóvel são vi = - 15,0i m/s e vf = 2,60i m/s. Se a colisão dura 0,150 s, encontre o impulso devido à colisão e a força média exercida sobre o veículo (2,64 x 104i kgm/s e 1,76 x 105i N). 05 (8.5/pág. 257) – A quantidade máxima de energia cinética é transformada em outras formas de energia em uma colisão perfeitamente inelástica. Prove essa afirmativa para uma colisão unidimensional entre duas partículas. (Dem.). 06 (8.6/pág. 257) – Um carro de 1 800 kg parado no sinal de trânsito sofre uma colisão pela traseira de um carro de 900 kg e os dois ficam presos um ao outro. Se o carro mais leve estava a 20,0 m/s antes da colisão, qual é a velocidade escalar dos carros presos após a colisão? (vf = 6,67 m/s). 07 (8.7/pág. 258) – Nêutrons são produzidos em um reator nuclear quando átomos de U 92235 se dividem em um processo chamado fissão. Esses nêutrons estão em movimento a cerca de 107 m/s e têm de tornar-se mais lentos antes de tomar parte em outro evento de fissão. Eles são alentecidos ao atravessar um material sólido ou líquido chamado moderador. O processo de alentecimento envolve colisões elásticas. Vamos mostrar que um nêutron perde a maior parte de sua energia cinética se ele colide elasticamente com um moderador contendo núcleos leves, tais como o deutério (em água pesada, D2O). (Dem.). Exemplo 04 08 (8.8/pág. 258) – Um bloco de massa m1 = 1,60 kg movendo-se inicialmente para a direita com velocidade escalar de 4,00 m/s sobre um trilho horizontal sem atrito, colide com uma mola sem massa ligada a um segundo bloco de massa m2 = 2,10 kg, movendo-se para a esquerda com velocidade escalar de 2,50 m/s, como na figura (parte “a”). A mola tem constante elástica de 600 N/m. (a) Determine a velocidade de m2 no instante em que m1está em movimento para a direita com velocidade escalar de 3,00 m/s como na figura (parte “b”). (b) Determine a compressão da mola nesse instante. (c) Determine a compressão máxima da mola durante a colisão. [(a) v2f = -1,74 m/s. (b) x = 0,173 m. (c) x = 0,358 m]. Exemplo 08 09 (8.9/pág. 261) – Um próton colide elasticamente com outro próton que está inicialmente em repouso. O próton incidente tem uma velocidade escalar inicial de 3,5 x 105 m/s e realiza uma colisão oblíqua com o segundo próton, como na figura 05 da página anterior. (A distâncias curtas os prótons exercem uma força eletrostática repulsiva entre si). Após a colisão, um próton se afasta a 37° da direção original do movimento, e o segundo é desviado a um ângulo φ em relação ao mesmo eixo. Encontre as velocidades escalares finais dos dois prótons e o ângulo φ. (v1f = 2,8 x 105 m/s; v2f = 2,1 x 105 m/s; φ = 53°). 10 (8.10/pág. 262) – Um carro de 1 500 kg indo para o leste à velocidade escalar de 25,0 m/s colide em um cruzamento à caminhonete de 2 500 kg indo para o norte à velocidade escalar de 20,0 m/s, como mostrado na figura.Encontre a direção e o módulo da velocidade dos destroços após a colisão, supondo que os veículos realizem uma colisão perfeitamente inelástica. (v = 15,6 m/s, θ = 53,1°). Exemplo 10 11 (8.11/pág. 265) – Um sistema consiste em três partículas localizadas nos vértices de um triângulo retângulo, como na figura. Encontre o centro de massa do sistema. [ rCM ( = d+ 5 b 7 ) iˆ + 4 ˆ hj ]. 7 Exemplo 11 12 (8.12/pág. 265) – Solicita-se que você pendure uma placa metálica por um único fio vertical. A placa tem o formato triangular mostrado na figura. A parte inferior da placa deve ficar paralela ao solo. A qual distância da extremidade esquerda da placa você deve fixar o fio? (xCM = 2a/3). Exemplo 12 MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS • • • • • • 1 v CM = m v ∑ i i M i 1 Aceleração do centro de massa: a CM = m a ∑ i i M i Momento total: P tot = M v CM ¨ d P tot 2ª Lei de Newton: ∑ F ext = M a CM = dt d P tot = 0 → P tot = constante Conservação: ∑ F ext → M v CM = 0 → dt Velocidade do centro de massa: Ver exercícios à página 269 do livro-texto.
