∑ ∑ . ∑ ∑ r = ∑

CES – Centro de Ensino Superior de C. Lafaiete
Faculdade de Engenharia Elétrica
Mecânica dos Sólidos
Prof. Aloísio Elói
Momento e Colisões
“Revisão”: Serway e Jewett, capítulo 08.
Resumo
p = mv .Ver figura 01.
d p
2. Segunda lei de Newton: R = ∑ F =
= ma .
dt
1. Momento linear:
∑p =∑p
3. Conservação do momento linear: Num sistema isolado o momento linear total permanece constante:
i
f
.
4. Impulso de força constante: I = F ∆t .
5. Impulso (geral): I = ∫ Fdt . Ver figura 02.
 Unidimensionais → linha (= frontais, diretas ou centrais).

6. Colisões:  Bidimensionais → plano( = oblíquas).
Tridimensionais → espaço.

Elásticas → A energia cinética se conserva: K f = K i.

7. Colisões:  Inelásticas → A energia cinética não se conserva: K f ≠ K i.

→ Perfeitamente inelásticas: corpos juntos após colisão.

p
=
∑
∑ pi  → v = m1v1i + m1v2i . Ver figura 03.
f
8. Colisões unidimensionais perfeitamente inelásticas:

f
m1 + m1
v1 f = v 2 f = v f 

 m1 − m2 
 2m2 
v1i + 
v1 f = 

 v2i
p f = ∑ p i  
 m1 + m2 
 m1 + m2 
∑
9. Colisões unidimensionais elásticas:
(Ver figura 04).
→
K f = Ki
 v =  2m1  v +  m2 − m1  v
 2 f  m + m  1i  m + m  2 i
 1
2 
 1
2 

m1v1ix + m1v2 ix = m1v1 fx + m1v2 fx
(Ver figura 05)
10. Colisões bidimensionais: ∑ p f = ∑ p i → 
m1v1iy + m1v2 iy = m1v1 fy + m1v2 fy
11. Centro de massa de um sistema de partículas:
12. Centro de massa de uma distribuição contínua:
13. Movimento de um sistema de partículas:
mi r i
∑
r CM = M .
r CM = M1 ∫ rdm
.
1
= ∑m v → Mv
M
v CM
=
p i = p tot
1
CM
∑
i

 d p
1
tot
a CM = M ∑ mi a1 → M a CM = ∑ F i =
dt
 ∑ F ext = 0 → p tot = M v CM = 0

p
=
mv
01 – Momento linear:
02 - Impulso
03 – Colisão perfeitamente
inelástica
04 – Colisão unidimensional
elástica
06 – Centro de massa
05 – Colisão bidimensional
Exemplos
01 (8.1/pág. 248) – Ao considerar a energia de um sistema constituído pela
Terra e uma bola solta caindo de certa altura podemos desprezar a energia
cinética da Terra. Verifique essa afirmação. (KT/KB ~ 10-24).
02 (8.2/pág. 249) – Um jogador de beisebol deseja manter seu condicionamento
físico durante o inverno. Para isso ele utiliza uma máquina de 50 kg,
arremessadora de bolas, que é colocada no local do arremessador, como
mostrado na figura. O solo está coberto com uma fina camada de gelo, de
maneira que é desprezível o atrito entre o solo e a máquina. A máquina arremessa
uma bola de 0,15 kg horizontalmente com uma velocidade escalar de 36 m/s.
Qual é a velocidade escalar de recuo da máquina? (v2f = - 0,11 m/s).
03 (8.3/pág. 249) – Um tipo de partícula nuclear chamado kaon neutro (K0),
decai em um par de outras
partículas chamadas píons (π+
e π-), que têm cargas opostas,
mas com massas iguais, como
na figura. Supondo que o kaon
esteja
inicialmente
em
repouso, prove que os dois
píons tem de ter momentos
que são iguais em módulo e
opostos em sentido. (Dem.).
Exemplo 03
Exemplo 02
04 (8.4/pág. 253) – Em um teste de colisão um automóvel de massa 1 500 kg colide
contra uma parede, como na figura. As velocidades inicial e final do automóvel são
vi = - 15,0i m/s e vf = 2,60i m/s. Se a colisão dura 0,150 s, encontre o impulso devido
à colisão e a força média exercida sobre o veículo (2,64 x 104i kgm/s e 1,76 x 105i N).
05 (8.5/pág. 257) – A quantidade máxima de energia cinética é transformada em
outras formas de energia em uma colisão perfeitamente inelástica. Prove essa
afirmativa para uma colisão unidimensional entre duas partículas. (Dem.).
06 (8.6/pág. 257) – Um carro de 1 800 kg parado no sinal de trânsito sofre uma
colisão pela traseira de um carro de 900 kg e os dois ficam presos um ao outro. Se o
carro mais leve estava a 20,0 m/s antes da colisão, qual é a velocidade escalar dos
carros presos após a colisão? (vf = 6,67 m/s).
07 (8.7/pág. 258) – Nêutrons são produzidos em um reator nuclear quando átomos
de
U 92235 se dividem em um processo chamado fissão. Esses nêutrons estão em
movimento a cerca de 107 m/s e têm de tornar-se mais lentos antes de tomar parte em
outro evento de fissão. Eles são alentecidos ao atravessar um material sólido ou
líquido chamado moderador. O processo de alentecimento envolve colisões elásticas.
Vamos mostrar que um nêutron perde a maior parte de sua energia cinética se ele
colide elasticamente com um moderador contendo núcleos leves, tais como o deutério
(em água pesada, D2O). (Dem.).
Exemplo 04
08 (8.8/pág. 258) – Um bloco de massa m1 = 1,60 kg movendo-se inicialmente para a direita com velocidade escalar de 4,00 m/s
sobre um trilho horizontal sem atrito, colide com uma mola sem massa ligada a um segundo bloco de massa m2 = 2,10 kg,
movendo-se para a esquerda com velocidade escalar de 2,50 m/s, como na figura (parte “a”). A mola tem constante elástica de 600
N/m. (a) Determine a velocidade de m2 no instante em que m1está em movimento para a direita com velocidade escalar de 3,00 m/s
como na figura (parte “b”). (b) Determine a compressão da mola nesse instante. (c) Determine a compressão máxima da mola
durante a colisão. [(a) v2f = -1,74 m/s. (b) x = 0,173 m. (c) x = 0,358 m].
Exemplo 08
09 (8.9/pág. 261) – Um próton colide elasticamente com outro próton que
está inicialmente em repouso. O próton incidente tem uma velocidade escalar
inicial de 3,5 x 105 m/s e realiza uma colisão oblíqua com o segundo próton,
como na figura 05 da página anterior. (A distâncias curtas os prótons exercem
uma força eletrostática repulsiva entre si). Após a colisão, um próton se afasta
a 37° da direção original do movimento, e o segundo é desviado a um ângulo
φ em relação ao mesmo eixo. Encontre as velocidades escalares finais dos
dois prótons e o ângulo φ.
(v1f = 2,8 x 105 m/s; v2f = 2,1 x 105 m/s; φ = 53°).
10 (8.10/pág. 262) – Um carro de 1 500 kg indo para o leste à velocidade
escalar de 25,0 m/s colide em um cruzamento à caminhonete de 2 500 kg
indo para o norte à velocidade escalar de 20,0 m/s, como mostrado na
figura.Encontre a direção e o módulo da velocidade dos destroços após a
colisão, supondo que os veículos realizem uma colisão perfeitamente
inelástica.
(v = 15,6 m/s, θ = 53,1°).
Exemplo 10
11 (8.11/pág. 265) – Um sistema consiste em três partículas localizadas nos vértices de um triângulo retângulo, como na figura.
Encontre o centro de massa do sistema. [ rCM
(
= d+
5
b
7
) iˆ +
4 ˆ
hj ].
7
Exemplo 11
12 (8.12/pág. 265) – Solicita-se que você pendure uma placa metálica por um único fio vertical. A placa tem o formato triangular
mostrado na figura. A parte inferior da placa deve ficar paralela ao solo. A qual distância da extremidade esquerda da placa você deve
fixar o fio? (xCM = 2a/3).
Exemplo 12
MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
•
•
•
•
•
•
1
v CM =
m
v
∑ i i
M i
1
Aceleração do centro de massa: a CM =
m
a
∑ i i
M i
Momento total: P tot = M v CM ¨
d P tot
2ª Lei de Newton: ∑ F ext = M a CM =
dt
d P tot
= 0 → P tot = constante
Conservação: ∑ F ext → M v CM = 0 →
dt
Velocidade do centro de massa:
Ver exercícios à página 269 do livro-texto.