O Computador Quântico Óptico

Pró-Reitoria de Graduação
Curso de Física
Trabalho de Conclusão de Curso
O COMPUTADOR QUÂNTICO ÓPTICO
Autor: Wilton Albuquerque Rodrigues
Orientador: Dr. Paulo Henrique Alves Guimarães
1
Brasília - DF
2011
O COMPUTADOR QUÂNTICO ÓPTICO
(Optical Quantum Computer)
Wilton Albuquerque Rodrigues1, Paulo Henrique A. Guimarães1
1
Curso de Física - Universidade Católica de Brasília
Computação quântica é um ramo do conhecimento que faz uso dos conceitos
da Física Quântica como meio para realização de tarefas computacionais. Este
trabalho se propõe a apresentar de forma sintética as bases da computação quântica
com objetivo de demonstrar a possibilidade da implementação de um computador
quântico óptico, levando em conta as tecnologias que atualmente estão disponíveis
para essa empreitada.
Palavras-chave: Computação quântica, portas quânticas ópticas, implementação de
um computador quântico óptico.
Quantum computing is a branch of knowledge that makes use of the concepts of
quantum physics as a means to perform computing tasks. This work is to present in
summary form the foundations of quantum computing in order to demonstrate the
feasibility of implementing a optical quantum computer, taking into account the
currently available technologies for this work.
Keywords: Quantum computing, optical quantum gates, implementation of an optical
quantum computer.
1.
Introdução
A computação quântica surge como promessa de realizar tarefas
que a computação clássica em tese nunca poderá realizar devido a limitações
impostas por fenômenos físicos na esfera subatômica, nesta perspectiva,
surgem várias propostas para a construção de um computador quântico. A
princípio é constatado que o computador quântico é uma construção teórica,
no entanto se não houvesse a possibilidade de implantação na Natureza de
máquinas que processem a informação quântica, este campo de pesquisa
seria apenas uma curiosidade matemática (NIELSEN, CHUANG, 2005), e não
despertaria nenhum interesse por parte da comunidade cientifica.
É
necessário frisar que
implantar experimentalmente circuitos
quânticos e sistemas de comunicação tem se tornado um grande desafio, na
medida em que é difícil controlar um sistema quântico individual e é de vital
2
importância a manipulação de tais sistemas para que de fato a computação
quântica seja uma realidade.
Este trabalho apresenta a possibilidade de implantação de uma
maquina quântica pelo viés da óptica quântica, para isso é apresentada uma
breve revisão de álgebra linear, e posteriormente é feita uma síntese das
portas quânticas, e de alguns conceitos da física óptica. Ao fim são analisadas
as chances de equipamentos que manipulam estados quânticos serem
utilizados para a construção de portas quânticas.
2.
Breve histórico da Computação Quântica.
A computação sem duvida foi a área da ciência que mais êxito
conseguiu durante a segunda metade do século 20, e que vem evoluindo
constantemente. Segundo a famosa Lei de Moore (ALEGRETTI, 2004) a
velocidade do computador é dobrada a cada 18 meses (...), sendo esta lei
mantida desde o surgimento do primeiro PC em 1981. No entanto
observadores cogitam que a validade da Lei terminará em algum momento dos
primeiros 20 anos do século XXI (NIELSEN. 2005). Acredita-se que a
tecnologia utilizada na fabricação de transistores esteja chegando ao seu
limite, devido aos fenômenos quânticos que impõe restrições ao avanço da
atual tecnologia (SCHNEIDER. 2005), a alternativa que segue como solução
ao rompimento da Lei de Moore é mudar para um novo paradigma da
computação como indica Chuang e Nielsen (2005). Esse paradigma como
menciona os autores é dado pela teoria da Computação Quântica.
O interesse pela computação quântica surgiu quando em 1982,
Feynman indicou que os sistemas clássicos não poderiam modelar sistemas
quânticos, estes só poderiam ser modelados utilizando um sistema quântico
(ALVES, 2003). O primeiro passo na computação quântica foi dado por
Deutsche (NIELSEN, CHUANG, 2005), desenvolvendo o conceito de
computador Quântico Universal e com a publicação do primeiro algoritmo
quântico, que seria capaz de resolver problemas matemáticos de maneira mais
eficiente, que um algoritmo clássico (NICOLAU, 2010).
3
O avanço mais significativo veio em 1994 quando o pesquisador Peter
Shor dos laboratórios AT&T Bell publicou o seu algoritmo quântico (ALVES,
2003). Esse algoritmo utiliza propriedades de um computador quântico para
realizar fatoração de números inteiros grandes de forma eficiente, algo que em
um computador clássico levaria muito tempo para ser realizado. A aplicação
direta do algoritmo de Shor se dá na quebra de chaves criptográficas, que se
baseiam justamente na dificuldade de fatoração de números grandes como
justifica Alves, o que fez chamar a atenção de muitos setores e governos para
o real potencial da computação quântica.
3.
Computação Quântica
“Por computação quântica e informação quântica entendemos o estudo
das tarefas que podem se realizadas pelo processamento da informação
contida em sistemas quânticos” (NIELSEN, CHUANG, 2005). Temos a
definição de que o “computador quântico é um dispositivo que executa cálculos
fazendo uso direto de propriedades da Mecânica Quântica, tais como
sobreposição e interferência de estados (NICOLAU, 2010).
4.
Álgebra Linear
Para um bom entendimento de mecânica quântica e consequentemente
da computação quântica alguns conceitos básicos de álgebra linear se tornam
importantes. Não será gasto muito tempo neste tema, pois o foco principal é o
computador quântico óptico e a possibilidade de sua implantação.
A álgebra linear é considerada o estudo dos espaços vetoriais
juntamente com as operações lineares que são realizadas nele. Vetores são
grandezas físicas que não são definidas completamente pelo seu módulo e
pela unidade de medida utilizada em sua medição, como é o caso de
grandezas escalares, para isso são necessários mais dados para que sejam
definidas tais grandezas, além do módulo a sua direção e seu sentido são
necessários para se defini-la.
Neste trabalho os vetores são representados em notação matricial já
que as operações com matrizes produzem o mesmo resultado que as
4
operações vetoriais, o que difere uma da outra é somente a forma como se
escreve os vetores sendo que talvez a representação matricial possa ser mais
familiar ao leitor.
Uma matriz é um objeto matemático que é organizado em linhas e
colunas:
Onde cada elemento dentro desta matriz é indicado pelos índices:
É formado
(
por ) elementos que estão dispostos em
linhas e
colunas onde
é o elemento associado a -ésima linha e -ésima coluna.
Segue alguns conceitos relacionados a matrizes relevantes para o nosso
trabalho.
4.1.
Multiplicação por uma escalar:
Para multiplicar um número
multiplicado cada entrada
também
4.2.
e
qualquer por uma matriz
de A por
A, é
. Assim, a matriz resultante B será
. Exemplo:
Multiplicação de matrizes.
Considere as seguintes matrizes
(4.1)
5
Cada elemento de
é calculado multiplicando-se ordenadamente os
elementos da linha i da matriz
da matriz
pelos elementos correspondentes da coluna j
e, a seguir, somando-se os produtos obtidos. Veja abaixo:
(4.2)
O cálculo é feito na seguinte forma:
(4.3)
(4.4)
(4.5)
O produto entre duas matrizes
colunas da matriz
e
é definido se, e somente se, o número de
for igual ao número de linhas da matriz . Assim:
(4.6)
4.3.
Matriz Diagonal:
Neste caso os elementos significativos se encontram unicamente na
diagonal principal.
Diagonal principal
Diagonal secundária
A=
4.4.
Matriz Identidade
São matrizes quadradas (possuem número de colunas iguais a número
e linhas), com entrada “1” em todos os elementos pertencentes à diagonal
principal e com entrada “0” fora da diagonal principal. Exemplos:
6
,
Uma matriz identidade desempenha na aritmética matricial o mesmo
papel que o número 1 desempenha nas relações numéricas
(4.7)
De forma que sendo A uma matriz m x n, teremos: A =A e
4.5.
A= A
Transposta de uma matriz
Se
é uma matriz
qualquer então a transposta de
é definida como a matriz
, denotada
, que é a troca ordenada de suas linhas
pelas suas colunas.
Ex.:
4.6.
Número complexo
A noção de números complexos é importante por que o objeto de
estudo da álgebra linear são os espaços vetoriais, o espaço vetorial de maior
interesse para nós é Cⁿ considerado como o espaço de todas as n-uplas de
números complexos. Um número complexo é um par ordenado de números
reais denotados tanto por (a, b) quanto por
, onde
Neste caso convém usar uma única letra para denotarmos um número
complexo,
O conjugado complexo é obtido trocando o sinal da parte imaginária; por
exemplo, se temos o número complexo
seu conjugado complexo
será
4.7.
Transformações Lineares
Uma transformação linear
de
(ou um operador linear no caso
) é definida por equações que apresentaremos na forma matricial
7
(4.8)
e fica
, Sendo a matriz
chamada de canônica da transformação
linear em T.
Um importante operador linear em qualquer espaço vetorial V é o
operador identidade,
definido pela equação:
para todos os vetores
Se não houver possibilidade de confusão representaremos
por .
Para se calcular elementos da matriz do operador
estados
e
(onde, para
, temos que
e
entre os
são os elementos
diagonais), podemos usar a seguinte equação:
(4.9)
A notação utilizada na equação (4.1) é chamada notação de Dirac, na
frente ela aparecerá mais vezes, basta saber no momento que o símbolo
chamado de bra e representa a linha de
coluna de
,e
é
chama-se ket e representa a
.
Suponha V um espaço vetorial com vetores de base
operador linear de V em V, onde
e
e
, e A um
. Encontramos a
representação matricial do operador A.
(4.10)
Portanto, a representação matricial é:
(4.11)
8
4.8.
Transposta conjugada:
Tendo a matriz
que tem entradas complexas é dito que sua transposta
conjugada é
fica sendo a matriz no qual as entradas são conjugados complexos das
entradas de
e
é transposta de .
Exemplo:
Se
então,
A matriz unitária fica definida como
definida quando
4.9.
. Já uma matriz Hermitiana de
é
.
Matrizes de Pauli.
Um grupo de quatro matrizes importantes e úteis para a Computação
Quântica e Informação Quântica são as matrizes de Pauli. São matrizes
unitárias 2 x 2 que podem ser representadas de várias maneiras. As matrizes e
suas correspondentes notações são mostradas abaixo.
5.
O Qubit (bit quântico):
A unidade básica de informação nos computadores clássicos é o bit,
que pode ter os estados 0 ou 1 como valores, nos computadores são
representados pela presença ou não de corrente elétrica nos chips (Oliveira e
Sarthour , 2004). Analogamente, a unidade de informação quântica é o bit
9
quântico (ou q-bit), que assim como o bit pode ter dois estados possíveis
representados pelos vetores
e
, onde:
(5.1)
A diferença entre os bits e q-bits é que os q-bits além dos dois estados
clássicos podem formar combinações lineares de estados chamadas de
superposição (CHUANG. 2005).
(5.2)
Onde o número α e β são complexos. O estado de um q-bit é
representado por um vetor num espaço vetorial complexo de duas dimensões
chamado espaço de Hilbert. A interpretação física de um q-bit descrito por
Motta (2010), é que ele está, simultaneamente nos estados
e
, sendo
assim a quantidade de informação armazenada no estado
é infinita, no
entanto para se ter acesso a essa informação que está no nível quântico é
necessário fazer uma medida, e ao medirmos um q-bit encontramos o estado 0
com probabilidade
e o estado 1 com probabilidade
, que leva a
, neste caso o q-bit é descrito como um vetor normalizado com
módulo 1(NIELSEN, CHUANG, 2005).
Uma forma de representar o q-bit graficamente é através da chamada
esfera de Bloch como pode ser visto na fig. 1, que é uma representação
limitada, pelo fato de não existir uma generalização simples da esfera de Bloch
para muitos q-bits. Nesta esfera a seta representa o valor do q-bit, quando ela
aponta para o pólo norte ele vale
apontada para o pólo sul vale
o que equivale ao bit clássico “0”, e ao ser
que equivale ao bit clássico “1”, as demais
regiões representam superposições quânticas de
e
.
10
Figura 1: Esfera de Bloch (Fonte: Wikipédia)
Um q-bit como visto é um sistema de dois estados e pode ser
representado fisicamente por um elétron nos dois níveis mais baixo de um
átomo de hidrogênio, por exemplo: o elétron pode ter a probabilidade α e β de
estar no nível fundamental ou no primeiro estado excitado respectivamente,
algo que deixa o elétron parcialmente em ambos os estados de energia. Além
deste exemplo de dois elétrons orbitando no átomo também existe a
possibilidade de trabalhar com q-bits através do spin nuclear num campo
magnético uniforme, assim como através de fótons, processo que veremos
com mais detalhes adiante por ser importante para a compreensão do tema
aqui explorado, o computador óptico.
6.
Circuitos Quântico
A computação quântica tem um grande potencial para armazenamento
de informação, mais somente isso não a torna interessante do ponto de vista
da ciência da computação é necessário que haja uma manipulação eficiente
da informação de maneira a obter resultados desejados (MARQUEZINO,
2006), isso pode ocorrer através de portas lógicas.
A computação quântica da mesma forma que a computação clássica,
usa como meio de manipulação de informações as portas lógicas; na
computação clássica é mais fácil e perceptível entendê-las por que neste caso
as portas lógicas são mais próximas da realidade, por exemplo, linhas
11
correspondem a fios e bifurcações significam que a corrente elétrica passa por
ambos os fios (PORTUGAL, 2005).
Agora serão vistas as principais portas quântica de 1 q-bit, uma porta
quântica sobre um q-bit pode ser descrita como uma matriz 2x2 (por exemplo,
uma matriz unitária qualquer especifica uma porta quântica válida), diferente
das portas clássicas onde somente uma porta lógica não-trivial de um bit pode
existir (a porta NOT ou NÃO, com a ação dela os 0 e 1 são trocados um pelo
outro), existem muitas portas quânticas não-triviais (NIELSEN, CHUANG,
2005), dentre as mais importantes, temos a porta Not Quântica sendo análoga
a porta clássica NOT. A porta quântica NOT é dada por um operador
que
satisfaz:
e
Assim a matriz que representa o operador
(6.1)
é dada da seguinte forma
(6.2)
Outra porta é porta Z
(6.3)
essa porta não altera o estado de
, e muda o sinal de
para -
.
Porta Hadamard,
(6.4)
Veja o funcionamento desta porta
(6.5)
(6.6)
O papel da porta Hadamard é transformar a base
e
em uma base em
que os estados são uma superposição da base computacional. A ação da
porta Hadamard pode ser visualizada na esfera de Bloch na fig.2. A operação
que a Hadamard realiza corresponde a uma rotação
reflexão sobre o plano
de
, seguida de uma
.
12
Figura 2: Visualização, na esfera de Bloch, ação da porta Hadamard sobre o estado
.
6.1.
CNOT: O Não-Controlado
As matrizes unitárias 2x2 são infinitas, sendo ilimitado o número
de portas quânticas de 1 q-bit, no entanto elas não são suficientes para montar
circuitos quântico que possam representar operações sobre um numero
qualquer de q-bits (LULA, 2005), para isso as matrizes 4X4 são capazes de
cumprir bem este papel; tendo como principal representante a porta CNOT,
conhecida também como porta Não-controlado, ela define operações sobre 2
q-bits e é chamada de porta Universal.
Na fig.3 é visto um exemplo da porta Não-controlado, ela tem dois q-bits
de entrada, o q-bit de controle e o q-bit alvo, nesta ordem, o funcionamento
desta porta se dá seguinte forma: a linha superior representa o q-bit de
controle e a linha inferior o q-bit alvo, se o q-bit de controle estiver nos estado
“0” nada acontece com o q-bit alvo, este só muda se e somente se o estado do
q-bit de controle for igual a 1.
Figura 3: Porta CNOT
A vantagem desta porta é que os q-bits podem estar nos estados
superpostos. A ação desta porta pode ser resumida em
onde
é a operação adição de modulo 2.
;
;
;
.
13
Existem outras portas quânticas que podem ser consideradas
universais, no entanto a porta CNOT juntamente com as portas de um q-bit
são protótipos para a formação de qualquer outra porta quântica (CHUANG,
NIELSEN 2005), por isso ela é considerada uma porta Universal.
A matriz associada a porta CNOT é dada por:
Antes de se prosseguir é importante verificar algumas convenções
utilizadas em circuitos quânticos, na fig. 4 é representado uma porta UControlada.
Figura 4: Uma representação de uma porta U-Controlada.
Um circuito deve ser lido sempre da esquerda para a direita as linhas
que aparecem não são necessariamente fios, elas representam a evolução de
um q-bit, podendo ser apenas a passagem do tempo ou o deslocamento de
uma partícula, como o deslocamento de um fóton, a linha vertical que aparece
unindo os símbolos • e U informa que o circuito atua simultaneamente nos dois
q-bits, ela representa o sincronismo, e não o envio de informação. Portanto,
não são permitidas nem junções, nem bifurcações de q-bits. O símbolo • indica
que o q-bit representado nessa linha é um q-bit de controle, ou seja, caso
esteja no estado
, a porta U realiza a operação, caso esteja no estado
a
porta U não realiza operação alguma. Por fim temos a saída, os q-bits que
compõem a saída podem ou não ser medidos.
7.
Óptica
Para se ter uma boa noção da proposta do computador quântico óptico
é necessária uma boa fundamentação teórica em óptica clássica, conceitos
como: refração, reflexão, interferência, e caráter ondulatório da luz, são
14
importantes princípios que norteiam a implementação do computador quântico
óptico.
7.1
Refração e reflexão
O mecanismo Físico para refração e reflexão da luz pode ser entendido
em termos da absorção da luz pelos átomos nos meios refletores e refratários
(TIPLER, 2006), a luz que se desloca no ar quando atinge uma superfície
transparente, que pode ser um vidro ou água, e é absorvida pelos átomos do
material transparente, estes átomos a irradiam na mesma frequência que
foram absorvidas, mas com velocidades diferentes.
A velocidade da luz em um meio transparente é menor que a velocidade
da luz,
no vácuo, o que caracteriza o índice de refração n que é
a razão entre a velocidade c (velocidade da luz no vácuo) e a velocidade da
luz no meio v. n = c/v
A luz ao atingir uma superfície que faz fronteira entre dois meios como,
por exemplo, ar-vidro, tem parte de sua energia luminosa refletida e parte
absorvida pelo meio. Quando o raio de luz passa de um meio para o outro sua
velocidade passar a depender do meio em que se encontra, a esse fenômeno
dar-se o nome de refração, essa variação da velocidade ocorre após a luz
passar pelo o que é chamado de plano de incidência e dependendo do ângulo
da luz incidente, pode ocorrer a mudança do ângulo
do raio de luz em
relação à normal do plano de incidência, para o angulo
também em relação
à normal. Na reflexão o raio que é refletido permanece no plano de incidência
fazendo um ângulo
em relação normal que é igual a
. A fig.5 abaixo
exemplifica as duas situações:
Figura 5: Refração e reflexão
15
7.2.
A luz como uma onda eletromagnética
A luz é uma onda eletromagnética, e como tal é formada por dois
campos: o elétrico -
e o magnético
, estes campos estão em planos
perpendiculares entre si e perpendiculares a propagação da onda como
demonstrado na fig.6.
Figura 6: Representação de uma onda eletromagnética. Fonte: Enciclopédia livre - Wikipédia.
As ondas eletromagnéticas podem interagir com a matéria, o campo
elétrico, por exemplo, pode interagir com nuvens de elétrons que constituem a
matéria fazendo-a oscilar.
As equações de Maxwell da onda eletromagnética são expressas
abaixo:
Equação de Onda para :
(7.1)
Equação de Onda para :
(7.2)
7.3.
A dualidade onda-partícula
A luz tem propriedades claras que a caracterizar como onda, e ao
mesmo tempo como partícula, o experimento de dupla-fenda evidência o
caráter ondulatório da luz por meio de propriedades como o padrão de
interferência e difração da luz. Em contra partida no inicio do sec. XX
16
descobriu-se que a energia da luz pode chegar em quantidades discretas,
Einstein chegou a demonstrar que a energia luminosa é quantizada
em
pequenas porções chamadas fótons, sendo que a energia de cada fóton é
dada por
(7.3)
Sendo
a frequência,
é a chamada de constante de Planck, ficou assim
definido o caráter corpuscular da luz, de modo que um feixe de luz é composto
por um feixe de partículas, os fótons, e cada fóton tem uma energia
7.4.
.
Interferência
A interferência é observada quando duas ondas coerentes se
superpõem. Coerência é a medida da correlação entre as fases medidas em
diferentes pontos de uma onda. Coerência em óptica é obtida geralmente pelo
espalhamento de um feixe de luz de uma única fonte, em dois ou mais feixes
que podem então ser combinados para produzir um padrão de interferência, os
lasers são as mais importantes fontes de luz coerente em laboratórios.
7.5.
Experimento de dupla fenda
Um dos fenômenos mais conhecidos e importantes na computação
quântica é a interferência quântica, para a explicação deste evento na
perspectiva quântica é utilizado aqui o experimento de Thomas Young da
dupla fenda. Neste experimento como representa a fig. 7, tem-se uma fonte
luminosa coerente, uma parede com duas fendas e um anteparo com um
sensor que mede a Intensidade da luz que chega neste anteparo.
intensidade A,B
intensidade A+B
intensidade A?B
fenda
A
s
fonte
luminosa
fenda
B
parede
anteparo
17
Figura 7: Experimento de dupla fenda de Thomas Young. Fonte: (LOPES, 2004)
Ao se abrir apenas uma das fendas a Intensidade da luz atinge seu
máximo na linha onde a fenda é aberta. Quando as duas fendas estão abertas
não são vistas apenas duas incidências de luz distintas, mais sim um padrão
de interferência característico deste fenômeno que gera franjas claras e
escuras. Este fenômeno ocorre devido à interferência construtiva e destrutiva
da luz, e o mais interessante é que esse padrão de interferência ocorre mesmo
quando a fonte de luz emite somente um fóton, é como se cada fóton
interferisse em si mesmo. Ao se tentar efetuar uma medida da partícula, para
saber se ela passa pela fenda A ou pela fenda B haverá o colapso da função
de onda, a partícula será encontrada em uma das fendas, e deixará de realizar
o padrão de interferência.
É explicado agora o experimento de dupla fenda pelo viés da mecânica
quântica, fugindo do rigor do formalismo quântico, pois não é o foco deste
trabalho.
Considere o experimento de dupla fenda como um evento: o fóton sai
da origem (feixe de luz) que é chamada de s e é o estado inicial do evento e
chega ao anteparo que dado por x sendo
o estado final. Na notação de Dirac fica da seguinte forma:
Sendo
a amplitude de probabilidade. E no experimento de dupla fenda fica
A notação de Dirac é utilizada por ser prática em apresentar
transformações e estados quânticos. Considerando ainda o experimento de
dupla fenda, existe ainda a possibilidade deste evento ser divido em dois subeventos, tendo a probabilidade representada por:
No exemplo do experimento de dupla fenda, não se verá a partícula
entrando na fenda A e saindo pela fenda B, pois a amplitude de probabilidade
para esse caso é dada por:
18
A notação de Dirac é consistente em descrever todas as possibilidades
de eventos que podem ocorrer em estados quânticos.
8.
A implementação do computador Quântico Óptico
A construção de um computador quântico de fato, está ligada não
somente a uma representação física do q-bit, mas também a obtenção de uma
tecnologia que possibilite a manipulação de q-bits sem que cause decoerência
no sistema, que seria a perda de informação no mesmo; segue em ordem
abaixo os requisitos que são básicos para a implantação de um computador
quântico.
1. Representação robusta do q-bit.
2. É necessária a construção de portas lógicas quânticas, que possibilitem a
manipulação de q-bits individualmente, de modo a permitir interações
controladas entre eles.
3. Preparação correta do estado inicial.
4. Realização da medida do resultado de saída.
8.1.
Descrição do Equipamento Experimental
Agora Será feita uma breve descrição dos candidatos a componentes
de um computador quântico óptico, assim como a exemplificação de portas
quânticas que podem representar a evolução da informação quântica.
8.2.
Representação do q-bit
Um bit quântico é um sistema quântico de dois níveis e o fóton óptico
possui várias características que o torna um bom candidato à implementação
da computação quântica. O fóton pode representar um q-bit de duas formas,
através de polarização ou da sua localização espacial (numa cavidade ou em
outra). Neste trabalho o q-bit é representado como a superposição de zero e
um fóton, o q-bit fica sendo,
8.3.
.
Preparação do Estado Inicial.
19
É necessário para o estado inicial a geração de fótons individuais, neste
caso é utilizado um feixe de laser, sendo necessário que se reduza a
intensidade do feixe afim de que sejam emitidos poucos fótons, a este
processo é dado o nome de “estado monofotônico” e é justamente a
preparação do nosso estado inicial, nele é preparado um pacote de onda com
exatamente um quantum de energia (LULA, 2005). A maneira de preparar os
feixes com características de “estado monofotônico” é realizado através de um
processo conhecido como conversão paramétrica, nele um único fóton atinge
um meio óptico não-linear, estes meios tem a propriedade de gerar pares de
fótons para cada fóton que atinge o meio-não linear com frequência
, cada fóton é gerado simultaneamente e cada um com metade da energia
do fóton inicial. Quando um dos fótons é detectado destrutivamente através de
um detector se saberá com certeza que o outro fóton existe, neste caso uma
porta óptica é aberta para a passagem do segundo fóton, mais isso apenas
para o caso de um fóton e não dois ou mais serem detectados.
8.3.1. Laser
O Laser (light amplification by stimulated emission of radiation) é uma
luz produzida através de emissão estimulada, neste processo o elétron que
está no átomo em um estado excitado tende a ir para um nível mais abaixo de
energia só que de uma forma demorada que pode ser acelerada por um
agente externo, por exemplo, um fóton externo pode causar o decaimento do
elétron excitado que ao passar para um estado de baixa energia produz um
fóton que é emitido do sistema juntamente com o fóton que causou a transição
com mesma energia e ambos propagando-se na mesma direção.
O que torna o laser interessante para o uso na computação quântica
são suas características peculiares, uma delas, é que a luz do laser é
monocromática sendo ela composta apenas por um comprimento de onda;
outra característica importante é a coerência da luz emitida pelo laser; e o que
faz uma radiação de luz ser coerente são as ondas da radiação estarem em
fase, tendo sempre a mesma direção e comprimento de onda.
20
8.3.2. Meios Não-lineares
O índice de refração nos meios em geral depende do arranjo dos
átomos e da distribuição dos elétrons, os cristais não-lineares utilizados para a
conversão de frequência são meios dielétricos, tais meios são ideais quando
não contém em si cargas livres e sua estrutura atômica é eletricamente neutra
(PENELLO, 2007) o que leva a distribuição de cargas no meio se deslocarem
conforme a orientação do campo elétrico aplicado. Na prática a alteração da
distribuição dos elétrons no meio leva a diferentes níveis de refração.
Na teoria eletromagnética, a resposta que é dada pelo meio material
devido à ação do campo elétrico pode ser obtida com boa aproximação
expandindo a polarização do meio até a terceira ordem na amplitude do campo
elétrico (SOUZA, 2006).
(8.1)
Sendo que
,
,
é a constante dielétrica do vácuo,
é o vetor campo elétrico e
, são respectivamente a susceptibilidade de primeira, segunda e
terceira ordem do meio não-linear (SOUZA, 2006), a descrição na óptica linear
é feita por
mais para meios não lineares a resposta é dada por
e
.
Os meios lineares de segunda ordem podem ser utilizados para
converter frequências; por exemplo, tendo um campo elétrico composto de
duas frequências
e
, propagando-se em uma direção y
Temos a equação do campo elétrico para as duas frequências:
(8.2)
Fazendo as devidas substituições de (8.2) em (8.1) a polarização elétrica nãolinear será dada por:
(8.3)
Fazendo uso das identidades trigonométricas em (8.3), reescrevemos a
equação da seguinte forma:
(8.4)
Dela observamos que a interação das duas ondas eletromagnéticas através de
um meio não-linear de segunda ordem chegará a resultados que vemos na
21
fig.8, polarização elétrica com componentes nas frequências 0,
e
,
,
.
Figura 8. (a) Efeitos não-lineares de segunda ordem. (b) Retificação óptica; (c) soma de
frequências; (d) geração de diferença de frequência. Fonte: (PENELLO, 2007)
A importância dos meios não-lineares para computação quântica é a
possibilidade de interação entre fótons, uma vez que os fótons não interagem
entre si sozinhos, necessitando que algo torne possível esta interação.
8.4.
Divisores de Feixe
O divisor de feixe é um dispositivo semi-refletor que pode ser um
pedaço de vidro parcialmente espelhado que reflete uma parte
nele incide e transmite
da luz que
. Probabilisticamente a luz ao passar pelo divisor de
fase, tem 50% de chance de ser refletida e 50% de ser transmitida.
Geralmente sua montagem é feita através de dois prismas com um fino filme
metálico entre eles, no caso ideal
.
Figura 9: Divisor de Feixe.
22
A fig. 9 esquematiza um divisor de feixe,
e
são as duas entradas que
comumente representamos como campos eletromagnéticos, e
e
são
respectivamente as saídas. Podemos considerar o princípio da superposição
que é um princípio fundamental da mecânica quântica, para montar nossa
porta lógica: Dados dois estados admissíveis de um sistema quântico, então a
soma desses dois estados também é um estado admissível do sistema
(PESSOA, 2005)
(8.5)
Considerando que os q-bits
e
são respectivamente as entradas
e ,e
que a taxa de transmissão do fóton refletido e transmitido é de 50% cada,
temos que
= = .
(8.6)
(8.7)
(8.8)
Temos que porta quântica que computa as saídas é uma operação unitária
·:
(8.9)
Se for escolhido o caminho
não seria difícil chegar a mesma porta unitária
, neste caso temos que considerar que a reflexão resulta em uma fase
.
(8.11)
(8.12)
8.5.
Deslocadores de fase
Deslocador de fase é uma lâmina de vidro transparente capaz de
diminuir a velocidade da luz que por ele passa tornando possível diminuir ou
aumentar o percurso do feixe transmitido, isso por que a luz gasta um tempo
23
maior para se propagar por uma distância qualquer com um índice de refração
em relação ao tempo que gasta no vácuo. Se criarmos uma porta lógica
ação que esta porta terá no estado de vácuo é deixá-lo invariante
no estado de um fóton
, sendo que
a
e
,
é a
distância do meio com índice de refração
9.
Análise dos componentes de um computador quântico
A análise dos componentes que podem compor um computador
quântico óptico revela que apesar de ser atraente devido às potencialidades
que um fóton tem em representar a informação quântica, são grandes as
dificuldades de ordem tecnológicas encontradas na construção de um
computador quântico.
O primeiro desafio em construir o computador quântico óptico está na
criação do estado inicial; um laser atenuado em um meio não-linear como foi
descrito na seção 8.3, é utilizado para a criação de fótons únicos, o ideal seria
que a cada pulso de luz em um ciclo de tempo houvesse apenas um fóton,
mas isso até o momento não é possível, então lasers atenuados são utilizados
para que o número médio de fótons em cada pulso do laser seja o menor
possível, o problema está justamente ai, quanto menor o número médio de
fótons por pulso, maior é a probabilidade de pulsos vazios.
Os cristais não-lineares surgem para evitar este problema, o seu
funcionamento foi explicado na seção 8.3.2, no entanto esse recurso
apresenta também limitações; por exemplo, na melhor das hipóteses a
eficiência de um cristal não linear é
, além disso, ocorrem muitas perdas
por absorção, sem contar que se não houver um detector de fótons eficiente
para avisar que um fóton foi gerado pequenas frações de fótons por pulso não
serão anunciadas.
Os divisores de feixe e os deslocadores de fase conseguem cumprir
bem o papel de portas lógicas quânticas na qual medidas são capazes de
serem realizadas e transformações unitárias expressam a evolução temporal.
As perdas que são sentidas em tais sistemas são oriundas das limitações
técnicas, que assim como nos meios não-lineares, diminuem as chances de
24
construção de um computador quântico; os divisores de feixe com suas
laminas de metal por exemplo, acabam interagindo com os fótons.
10.
Conclusão.
Este trabalho preocupou-se acima de tudo em demonstrar de forma
sintética as estruturas de um computador quântico, e a possibilidade da
implementação de um computador quântico óptico, já que o fóton se apresenta
como um atraente candidato para a representação de um q-bit por apresentar
assinatura de fenômenos quânticos como interferência e a superposição de
estados e também pelo vantajoso fato de o fóton poder ser guiado por
distâncias longas com pequenas perdas por meio das fibras ópticas.
No entanto é observado através da análise dos componentes
estudados, que a viabilidade de construção de um computador quântico óptico
é muito pequena ficando apenas a lição de que a teoria da máquina quântica é
consistente, mas sua implantação de fato na natureza tem um longo caminho a
se percorrer, as possibilidades são muitas, no entanto os desafios são
grandes, fica então aberta à proposta de algum outro computador quântico,
com um tipo de sistema diferente que possa se tornar realidade para o
processamento quântico.
Agradecimentos:
A Deus, pela oportunidade da vida e de explorar os dons que a mim
foram conferidos, a minha família fonte constante de fortaleza e estímulo que
me da segurança para prosseguir. Ao professor Dr. Paulo Henrique Alves
Guimarães pela orientação, paciência e incentivo que foram cruciais para a
realização deste trabalho.
11.
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