BC0209–Fenômenos Eletromagnéticos

BC0209–Fenômenos Eletromagnéticos
Terceiro quadrimestre de 2013
Prof. José Kenichi Mizukoshi
Aula 18 (versão 14/01/2014)
Ondas Mecânicas – Conceito
Aula 18
■
Uma onda mecânica é um sinal (perturbação) que se propaga através de um meio,
como uma corda, o ar, a água, etc, à velocidade finita, sem o transporte de matéria.
Para o caso de ondas progressivas, há a
propagação de informação e de energia.
■
Se a perturbação for um deslocamento na
direção perpendicular à propagação da onda,
tem-se uma onda transversal (e.g. um pulso
em uma corda). Se o deslocamento ocorrer na
direção paralela, tem-se uma onda longitudinal (e.g. ondas sonoras). Existem também
ondas que não são nem transversais e nem
longitudinais, como as ondas na superfı́cie da
água.
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Função de onda progressiva
■
Considere um exemplo especı́fico de uma onda progressiva, que é a propagação de um pulso através
de uma corda, com velocidade v.
O perfil (forma da corda) numa dada posição x e
instante t é dada por uma função f (x, t) = y(x, t).
Se o perfil não muda, tem-se que
instante t = 0
y(x, t) = f (x − vt)
para um pulso se propagando para à direita. Se
estivesse propagando para à esquerda, terı́amos
y(x, t) = g(x + vt)
■
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f (x−vt) e g(x+vt) são conhecidas como funções
de onda.
instante t
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Ondas harmônicas
■
Para as ondas harmônicas, têm-se que
~v
vt
◆ um dado elemento do meio (corda,
por exemplo) executa um movimento
harmônico simples (MHS);
◆ o perfil da onda é uma função senoidal.
■
Se a onda harmônica numa corda estiver se propagando para à direita, a sua
função de onda será dada por
y(x, t) = f (x − vt) = A cos[k(x − vt) + δ]
(✻)
A é a amplitude da onda, δ é a constante de fase e k uma constante, cujo
significado será discutido na próxima página.
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Ondas harmônicas
■
O comprimento de onda λ é o
perı́odo espacial, i.e., o movimento se repete
com o deslocamento x → x + λ. Ou seja,
y(x, t) = y(x + λ, t)
Para y(x, t) dada pela Eq. (✻), a equação acima leva a
A cos[k(x − vt) + δ ] = A cos[k((x + λ) − vt) + δ] = A cos[k(x − vt) + δ +kλ]
{z
}
|
{z
}
|
≡φ
=φ
Utilizando a relação cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b, obtemos
cos φ = cos φ cos(kλ) − sen φ sen (kλ)
o que implica que
kλ = 2π
Aula 18
⇒
2π
λ=
k
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Ondas harmônicas
■
O número de onda angular é definido como
k=
2π
λ
No sistema internacional (SI) de unidades, [λ] = m e [k] = rad/m.
■
O perı́odo temporal T é definido como sendo
o menor intervalo de tempo ∆t 6= 0, tal que o
movimento se repete. Ou seja,
y(x, t) = y(x, t + T )
Analogamente ao caso do comprimento de onda, a relação acima é satisfeita
se
2π
T =
kv
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Ondas harmônicas
Como o perı́odo se relaciona com a frequência angular ω da forma
T = 2π/ω, tem-se que
kv ≡ ω
■
A frequência é definida como
1
ν=
T
Segue que ω = 2πν.
■
Como ω = kv, tem-se que
2π
2π
=
v
T
λ
⇒
1
v
=
T
T
⇒
λ
v=
T
Ou seja, a onda se desloca de ∆x = λ em um intervalo de tempo ∆t = T .
■
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No SI, [T ] = s e [ν] = s−1 ≡ hertz (Hz).
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Equação da onda: caso unidimensional
■
Conforme visto, a função de onda de uma onda progressiva propagando-se
em uma dimensional com velocidade v é dada por
y(x, t) = f (x′ );
x′ = x − vt
◆ Vamos primeiro derivar y(x, t) em relação a t duas vezes. Temos que
∂y(x, t)
df (x′ ) ∂x′
=
∂t
dx′ ∂t
∂x′
Como
= −v, obtém-se
∂t
df (x′ )
∂y(x, t)
= −v
∂t
dx′
Derivando a expressão acima em t, lembrando que v é constante, temos
d2 f (x′ ) ∂x′
∂ 2 y(x, t)
= −v
2
∂t
∂t
dx′ 2 |{z}
⇒
2
′
∂ 2 y(x, t)
2 d f (x )
=v
2
∂t
dx′ 2
( ✻)
= −v
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Equação da onda: caso unidimensional
◆ Por outro lado, podemos derivar y(x, t) em relação à x duas vezes.
∂x′
= 1, segue que
Como
∂x
df (x′ ) ∂x′
∂y(x, t)
=
∂x
dx′ ∂x
⇒
∂y(x, t)
df (x′ )
=
∂x
dx′
Derivando a expressão acima em relação à x,
∂ 2 y(x, t)
d2 f (x′ ) ∂x′
=
2
∂x
dx′ 2 ∂x
⇒
∂ 2 y(x, t)
d2 f (x′ )
=
2
∂x
dx′ 2
( ✻ ✻)
Comparando as Eqs. (✻) e (✻ ✻), obtemos a chamada equação de onda:
1 ∂ 2 y(x, t)
∂ 2 y(x, t)
= 2
2
∂x
v
∂t2
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O princı́pio da superposição
■
Verifica-se que muitas ondas na natureza obedecem o princı́pio de superposição, i.e., uma
combinação linear qualquer de ondas é também
uma onda.
◆ É importante ressaltar que a superposição
de ondas não altera as caracterı́sticas de
cada uma das ondas.
■
Como exemplo, vamos supor que y1 (x, t) =
f (x−vt) e y2 (x, t) = g(x+vt) são duas funções
de onda, descrevendo pulsos que viajam em sentidos contrários. O pulso resultante é dado por
y(x, t) = y1 (x, t)+y2 (x, t) = f (x−vt)+g(x+vt)
Neste exemplo, há um aumento na amplitude quando os pulsos se cruzam, ou
seja, ocorre uma interferência construtiva.
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O princı́pio da superposição
■
Se tivermos um dos pulsos invertido em relação ao
outro, o pulso resultante, dado por
y(x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) = f ′ (x − vt) + g ′ (x + vt)
apresentará um cancelamento parcial entre as ondas.
Neste caso, ocorre uma interferência destrutiva.
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Ondas estacionárias
■
Considere duas ondas harmônicas que se propagam em sentidos contrários
em uma corda:
y1 (x, t) = A sen (kx − ωt)
y2 (x, t) = A sen (kx + ωt)
A onda resultante é dada por
y(x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) = A[sen (kx − ωt) + sen (kx + ωt)]
Lembrando que sen (a ± b) = sen a cos b ± cos a sen b, temos que
y(x, t) = A[sen kx cos ωt − cos kx sen ωt + sen kx cos ωt + cos kx sen ωt]
∴ y(x, t) = 2A sen kx cos ωt
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(onda estacionária)
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Ondas estacionárias
■
Os antinodos ocorrem na posição de máxima amplitude, ou seja,
1
|sen kxA | = 1 ⇒ kxA = n +
π, n = 0, ±1, ±2, . . .
2
Como kλ = 2π,
■
1 λ
xA = n +
2 2
Os nodos ocorrem nos pontos de amplitude nula, em qualquer instante do
tempo:
sen kxN = 0
⇒
kxN = nπ
onde n = 0, ±1, ±2, . . . Logo,
xN
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2A sen kx
nλ
=
2
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Ondas estacionárias em cordas: modos
normais de vibração
■
Considere uma corda esticada de comprimento L, com uma extremidade em
x = 0 e outra em x = L.
◆ As ondas estacionárias estabelecidas na corda possuem vários padrões de
vibração, conhecidos como modos normais. Cada um desses modos
possui uma frequência caracterı́stica.
◆ Se as extremidades da corda estão fixas, as ondas estacionárias
obedecem às seguintes condições de contorno:
y(0, t) = y(L, t) = 0
◆ Fazendo xN = L na última equação da página anterior, obtemos a
condição para os comprimentos de onda presentes na corda:
2L
λn =
(n = 1, 2, 3, . . .)
n
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Ondas estacionárias em cordas: modos
normais de vibração
λ
Como v = = λν, temos que as frequências naturais de vibração
T
são
n
v (n = 1, 2, 3, . . .)
νn =
2L
■
Os três primeiros modos normais de vibração de uma corda de comprimento
L:
ν2
λ2 = L
ν1
λ1 = 2L
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ν3
2
λ3 = L
3
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Ondas estacionárias em cordas: modos
normais de vibração
■
A função de onda do n-ésimo mode normal de vibração é dada por
(lembrando que ω = 2πν):
nπx
nπvt
yn (x, y) = bn sen
cos
+ δn (n = 1, 2, 3, . . .)
L
L
■
Pelo princı́pio de superposição, uma onda qualquer pode ser escrita em
termos da combinação linear de todos os modos:
y(x, t) =
∞
X
yn (x, y)
n=1
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Equações de Maxwell
■
Aula 18
Os princı́pios básicos dos fenômenos eletromagnéticos podem ser descritos
por um conjunto de quatro equações, conhecidas como Equações de
Maxwell. Na forma integral, são elas:
I
~ · dA
~= Q
(lei de Gauss)
(i)
E
ε0
I
~ · dA
~=0
(ii)
B
(lei de Gauss para o magnetismo)
I
Z
d
~ · d~ℓ = −
~ · dA
~
(iii)
E
B
(lei de Faraday)
dt
Z
I
~ · dA
~
~ · d~ℓ = µ0 I + µ0 ε0 d
E
(lei de Ampère-Maxwell)
B
(iv)
dt
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Equações de Maxwell – forma diferencial
■
Utilizando-se os teoremas de Gauss e de Stokes, as equações de Maxwell
podem ser escritas na forma diferencial:
(i)
(ii)
ρ
~
~
∇·E =
ε0
~ ·B
~ =0
∇
(iii)
~
∂
B
~ ×E
~ =−
∇
∂t
(iv)
~
∂
E
~ ×B
~ = µ0~ + µ0 ε0
∇
∂t
dQ
, e ~ a densidade de corrente, que está
onde ρ é a densidade de carga, ρ =
dV
relacionada com a corrente I por
Z
~
I=
~ · dA
S
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Equações de Maxwell no vácuo: ondas
eletromagnéticas
■
No vácuo, não há cargas ou correntes elétricas, portanto ρ = 0 e ~ = 0;
◆ Por simplicidade, vamos assumir que os campos elétrico e magnético só
dependem da coordenada z:
~ t) = Ex (z, t) ı̂ + Ey (z, t) ̂ + Ez (z, t) k̂
~ r, t) = E(z,
E(~
~ r, t) = B(z,
~ t) = Bx (z, t) ı̂ + By (z, t) ̂ + Bz (z, t) k̂
B(~
■
Com as suposições acima e lembrando que
∂
∂
∂
~
k̂
ı̂ +
̂ +
∇=
∂x
∂y
∂z
as equações de Maxwell nos fornecem
(i)
∂Ex ∂Ey ∂Ez
+
+
=0
∂y
∂z
{z } |{z}
|∂x
=0
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⇒
∂Ez
=0
∂z
=0
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Equações de Maxwell no vácuo: ondas
eletromagnéticas
∂Bx ∂By ∂Bz
+
+
=0
(ii)
∂z
{z } |∂y
|∂x
{z }
=0
⇒
∂Bz
=0
∂z
=0
ı̂
̂
k̂
∂
∂
~ ×E
~ = ∂
(iii) ∇
∂x ∂y ∂z
Ex Ey Ez
~
∂B
=−
∂t
∂Ey
∂Ex
∂
⇒ −
ı̂ +
̂ + 0 k̂ = − [Bx ı̂ + By ̂ + Bz k̂]
∂z
∂z
∂t
∂Bz
⇒
=0
∂t
~
∂By
∂Bx
∂
∂
E
~
~
⇒ −
ı̂ +
̂ = µ0 ε0 [Ex ı̂ + Ey ̂ + Ez k̂]
(iv) ∇ × B = µ0 ε0
∂t
∂z
∂z
∂t
∂Ez
⇒
=0
∂t
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Equações de Maxwell no vácuo: ondas
eletromagnéticas
■
As equações anteriores mostram que Ez e Bz são constantes, i.e, não
dependem nem de z e nem de t. Sem perda de generalidade, podemos tomar
Ez = B z = 0
■
Da componente y da equação (iii) e componente x da equação (iv), obtemos

∂By
∂Ex

(✻)

 ∂z = − ∂t


 − ∂By = µ ε ∂Ex (✻ ✻)
0 0
∂z
∂t
Derivando a equação (✻) em relação ao tempo
∂ 2 By
∂ ∂Ex
=− 2
∂t ∂z
∂t
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Equações de Maxwell no vácuo: ondas
eletromagnéticas
Como
∂ ∂Ex
∂t ∂z
=
temos que [usando a equação (✻ ✻)]:
∂ 2 By
∂
1 ∂By
−
=− 2
∂z
µ0 ε0 ∂z
∂t
∂ ∂Ex
∂z ∂t
⇒
∂ 2 By
∂ 2 By
= µ 0 ε0
2
∂z
∂t2
Analogamente, das equações (✻) e (✻ ✻), obtemos
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
= µ 0 ε0
2
∂z
∂t2
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Equações de Maxwell no vácuo: ondas
eletromagnéticas
➠ Os campos Ex e By
satisfazem simultaneamente a equação da onda,
onde a velocidade de propagação é
1
v=√
≡c
µ 0 ε0
■
As ondas eletromagnéticas são ondas transversais: os campos elétrico e
magnético oscilam em direções perpendiculares à direção da propagação da
onda (direção z).
x
~
E
y
~
B
c
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z
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Equações de Maxwell no vácuo: ondas
eletromagnéticas
Aula 18
■
Tomando os valores experimentais µ0 = 4π × 10−7 T·m/A e
ε0 = 8, 85419 × 10−12 C2 /N·m2 , obtemos c = 2, 99792 × 108 m/s.
■
Final do século XIX: a luz foi considerada como uma onda eletromagnética
propagando-se com velocidade c num meio hipotético que permeava todo o
universo, denominado “éter”.
■
Um referencial em movimento relativo ao éter observaria a velocidade da luz
como sendo diferente de c. O “éter” é um referencial inercial privilegiado.
■
Experimento de Michelson-Morley: a Terra estando em movimento em
relação ao Sol, haveria alguma direção em que o “vento do éter” mudaria a
velocidade da luz. O resultado negativo, sem qualquer sentido na época,
mostrou que a Terra estava sempre em repouso em relação ao “éter”.
■
Postulado da teoria especial da relatividade, desenvolvida por Einstein: a
onda eletromagnética se propaga com velocidade c no vácuo, em qualquer
referencial inercial. Compatibilidade com as equações de Maxwell.
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Referências
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■
R. A. Serway, e J. W. Jewett Jr., Princı́pios de Fı́sica, Vol. 3, Cengage
Learning;
■
D. Halliday, R. Resnick e K. S. Krane, Fı́sica, Vol. 3, LTC;
■
H. D. Young e R. A. Freedman – Sears e Zemansky, Fı́sica III:
Eletromagnetismo, Pearson Addison Wesley.
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