8ª Aula 23 de Outubro de 2003

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Resistência dos Materiais 2003/2004
Curso de Gestão e Engenharia Industrial
8ª Aula
Duração - 2 Horas
Data - 23 de Outubro de 2003
Sumário: Energia de Deformação. Critérios de Cedência. Equações de Equilíbrio em
termos dos Deslocamentos.
Objectivos da Aula: Apreensão dos Conceitos envolvidos e reconhecimento do facto
que um problema de Elasticidade pode nalguns casos ter solução.
Resumo do Conteúdo da Aula
1-Energia de Deformação
Para um material isotrópico com comportamento Linear Elástico, a curva tensão deformação modelo, resultante da tracção sobre uma barra, é a que se representa na
figura 8.1a. No caso de o material ter um comportamento elasto - perfeitamente plástico a
curva é a que se representa na figura 8.1b. As energias de deformação Elástica, U e , num
caso e noutro e a energia dissipada no processo de deformação plástica , U d , estão
representadas nas referidas figuras.
σ
σ
Ud
σ = Eε
dU e
dUe
ε
ε
a)
b)
Figura 8.1: Energia de Deformação Elástica e Energia Dissipada
A densidade de energia de deformação elástica d U e , ou energia armazenada por unidade
de volume pode ser calculada a partir da tensão e deformação e no caso da barra
traccionada é
2/8
1
1
1 2 E 2
d U e = σ xx ε xx = σε =
σ = ε
2
2
2E
2
(8.1)
A energia de deformação elástica total na barra traccionada obtém-se integrando a
densidade de energia de deformação elástica e é
Ue =
1
1
E
2
2
∫∫∫V σ xx ε xxdV =
∫∫∫V σ xxdV = ∫∫∫V ε xxdV
2
2E
2
(8.2)
No caso tridimensional a densidade de Energia de Deformação é
dUe =
1
( σ xx ε xx + σ yyε yy + σ zzε zz + 2τ xzε xz + 2τ xyε xy + 2τ yzε yz )
2
(8.3)
A energia de deformação elástica total no sólido de volume V é
Ue =
1
∫∫∫ ( σ xx ε xx + σ yyε yy + σ zzε zz + 2τ xyε xy + 2τ xzε xz + 2τ yzε yz )dV
2 V
(8.4)
sendo o integral estendido ao volume do sólido.
Considerando a Lei de Hooke, a expressão 8.4 pode ser escrita em termos das tensões e
toma a forma
U e = ∫∫∫V
1
1 2
σ 2xx + σ 2yy + σ 2zz − 2ν ( σ xx σ yy + σ xx σ zz + σ yyσ zz )  +
( τ xy + τ2xz + τ2yz ) dV (8.5)
2E
2G
No caso do tensor das tensões estar referido ao sistema de eixos principais a energia de
deformação elástica em termos das tensões principais é
U e = ∫∫∫V
1
σ12 + σ 22 + σ32 − 2ν ( σ1σ 2 + σ1σ3 + σ 2σ3 ) dV
2E 
(8.6)
ou em termos dos invariantes I1 e I 2 do tensor das tensões
 I12

− I 2 dV
U e = ∫∫∫V 
 2E 2G 
(8.7)
De modo análogo se podia obter a energia de deformação elástica em termos das
deformações e em termos dos invariantes das deformações.
2- Critérios de Cedência
Alguns materiais, nomeadamente os materiais dúcteis, especialmente os materiais
plásticos, têm um comportamento quando traccionados que pode ser designado por
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elástico perfeitamente plástico, este modelo de comportamento caracteriza-se pela
existência de uma Tensão de Cedência, σ cp , a qual estabelece o início da deformação
plástica.
No caso tridimensional a caracterização do estado de Tensão passa pela existência
de seis componentes, do tensor das tensões, independentes obrigando à consideração de
funções que possam ser consideradas para definir a cedência nessas condições de
solicitação. Desenvolveram-se várias teorias para quantificar a cedência de Estados
tridimensionais de tensão, algumas dessas teoria são de uso mais frequente e por isso só
essas vão ser referidas.
Teoria da Tensão de Corte Máxima
A teoria da Tensão de Corte Máxima, resulta da constatação experimental de que
os materiais dúcteis tendem a sofrer deslizamentos ao longo de planos criticamente
orientados durante a cedência plástica. No caso teoria da Tensão de Corte máxima esses
planos são considerados como correspondendo a tensões de corte máxima, tendo estas
tensões atingido um valor crítico nos referidos planos.
No caso de se considerar o caso unidimensional de carregamento, por exemplo,
uma barra sujeita a esforços de tracção, as tensões de corte máxima são
τ max =
± σ1
2
(8.8)
Designando por τ cr a tensão de corte crítica que corresponde ao início da cedência
plástica e tomando o valor da tensão de corte crítica igual a metade da tensão de
cedência, que se admite ter o mesmo valor quer à tracção quer à compressão, σ cp , no
ensaio unidimensional de tracção. A teoria da tensão de corte máxima no caso uniaxial
implica que seja
τ max =
± σ1
≤ τ cr
2
ou
σ1 ≤ σ cp
(8.9)
No caso de um estado plano de tensão as tensões principais são σ1, σ 2 e σ 3 = 0 , os
potenciais valores das tensões de corte máxima são
σ1
σ
σ −σ
ou 2 ou 2 1
2
2
2
A aplicação da Teoria da tensão de corte máximo implica que se verifique uma das
desigualdades seguintes
σ1 ≤ σ cp ou
σ 2 ≤ σ cp ou
σ 2 − σ1 ≤ σ cp
(8.10)
4/8
A representação gráfica destas condições está feita na figura 8.2, no espaço de tensões de
Westergard, o critério que resulta da aplicação desta teoria é muitas vezes designado por
Critério de Cedência de Tresca, embora tenha sido primeiro apresentado por Coulomb.
σ2
σ cp
−σ cp
σ cp
σ1
−σ cp
Figura 8.2: Critério de Cedência de Tresca no caso Bidimensional
No caso tridimensional, o Critério de Cedência de Tresca, considerando as
tensões principais, σ1, σ 2 e σ3 , toma a forma
σ 3 − σ 2 ≤ σ cp ou
σ 2 − σ1 ≤ σ cp
ou
σ 3 − σ1 ≤ σ cp
(8.11)
sendo no espaço de Westergard representado por um prisma hexagonal.
Teoria da Energia de Distorção Máxima
A densidade de energia de deformação, como foi referido anteriormente pode calcular-se
a partir das tensões principais fazendo uso da expressão
dUe =
1
σ12 + σ 22 + σ32 − 2ν ( σ1σ 2 + σ1σ3 + σ 2σ3 ) 
2E
(8.12)
A parcela da energia de deformação por unidade de volume responsável pela dilatação do
sólido pode ser expressa em termos da pressão média e é
d U dil =
3 (1 − 2ν )
1 − 2ν
2
2
( σ1+ σ 2 + σ3 )
σm =
2E
6E
(8.13)
Subtraindo a densidade de energia de dilatação à densidade de energia de deformação
obtém-se a densidade de energia distorcional ou de desvio que é
d U dis =
1 
2
2
2

(
σ
1− σ 2 ) + ( σ1− σ 3 ) + ( σ 3 − σ 2 )

12G 
(8.14)
5/8
De acordo com a teoria básica da energia distorcional, o valor da densidade de energia de
desvio ou distorcional não deve exceder o valor correspondente ao máximo admissível à
2
/12G , ou seja
tracção simples o qual é 2σ cp
2
2
 − 2+ − 2+
 ≤ 2σ cp
−
( σ1 σ 2 ) ( σ1 σ3 ) ( σ 3 σ 2 ) 
(8.15)
Esta expressão pode ser escrita em termos das componentes do tensor das tensões no
sistema de eixos Oxyz, com a forma
( σ xx −σ yy ) + ( σ yy −σ zz ) + ( σ zz −σ xx )2 + 6τ2xy + 6τ2yz + 6τ2xz ≤ 2σcp2
2
2
(8.16)
Este critério costuma ser designado por Critério de Cedência de von Mises e no espaço de
Westergard é representado por um cilindro.
No caso particular de se tratar de um estado plano de tensão este critério toma a forma
( σ1) − ( σ1σ 2 ) + ( σ 2 )
2
2
2
≤ σ cp
(8.17)
em termos das componentes do tensor das tensões no sistema de eixos Oxy, toma a forma
2
2
2
2
σ xx + σ yy − σ yyσ xx + 3τ xy ≤ σ cp
(8.18)
que corresponde no espaço de tensões a uma elipse como se representa na figura 8.3.
σ2
σ cp 1
-1
1
σ1
σ cp
-1
Figura 8.3: Critério de Cedência de von Mises
O hexágono de Tresca fica inscrito na elipse de von Mises se forem representados na
mesma figura.
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3- Equações de Equilíbrio em termos dos Deslocamentos
As equações de equilíbrio de Forças estabelecidas em termos das tensões, como
foi visto anteriormente, são
∂ σ xx ∂ τ yx ∂ τ zx
 ∂x + ∂y + ∂z + X = 0

 ∂ τ xy ∂ σ yy ∂ τ zy
+
+
+Y=0

∂y
∂z
 ∂x
 ∂ τ xz ∂ τ yz ∂ σ zz
+
+
+Z=0

∂y
∂z
 ∂x
(8.19)
Tendo em conta a Lei de Hooke Generalizada e as relações deformações - deslocamentos
que são

E
(1−ν )ε xx +ν ε yy +ν ε zz 
σ xx =
(1+ν )(1− 2ν ) 


E
(1−ν )ε yy +ν ε xx +νε zz 
 σ yy =
1
1
2
+ν
−
ν
(
)(
)


E
(1−ν )ε zz +νε xx +νε yy 
 σ zz =
(1+ν )(1− 2ν ) 


∂u

∂x

ε xz  
1  ∂u ∂v 

ε yz  =   + 
 2  ∂y ∂x 
ε zz  
 1  ∂u + ∂w 


 2  ∂z ∂x 
ε xx ε xy

 ε yx ε yy
 ε zx ε zy
1  ∂u ∂v 
 + 
2  ∂y ∂x 
∂v
∂y
1  ∂v ∂w 
 +

2  ∂z ∂y 
τ xy = G γ xy

 τ xz = G γ xz
τ = Gγ
yz
 yz
(8.20)
1  ∂u ∂w  
 +

2  ∂z ∂x  
1  ∂v ∂w  
 +

2  ∂z ∂y  

∂w

∂z

(8.21)
obtém - se as equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos com a forma

(λ + µ) ∂
2
u
+
2
2
2
 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 
∂v
∂w
+
 +µ 2 + 2 + 2  + X = 0
∂x∂y ∂x∂z 
 ∂ x ∂ y ∂z 
 ∂x
2
2
2
2
 2u
 2v
v
w
v
v
(λ + µ)  ∂ + ∂ 2 + ∂  + µ  ∂ 2 + ∂ 2 + ∂ 2  + Y = 0
 ∂x∂y ∂ y ∂y∂z 
 ∂x ∂ y ∂z 
2
2
 ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w 
 ∂ 2u
∂ v ∂ w
+
+ 2  + µ 2 + 2 + 2  + Z = 0
∂z 
∂y
 ∂z∂x ∂z∂y ∂ z 
 ∂x
(λ + µ) 
(8.22)
7/8
onde
λ=
Eν
(1 + ν )(1 − 2ν )
e
µ=
E
sendo λ e µ designadas por Constantes de
2(1 + ν)
Lamé.
As equações 8.22 são conhecidas por equações de Navier.
4-Problemas Propostos de Elasticidade
1. Considere um estado de tensão num ponto cujas tensões principais são:
σ1 = 40MPa , σ2 = 30MPa e σ3 = 10MPa . Adicionou-se a este estado de tensão um
outro estado de tensão cujas tensões principais são σ1 = σ2 = σ3 = 20MPa . Diga de
quanto aumenta a tensão tangencial máxima, justifique a resposta com base nos três
circulos de Mohr.
2. Considere o estado de tensão caracterizado pelo tensor das tensões seguinte:
80 x 40
 x 50 y  MPa


40 y 80 
e determine x e y de tal modo que a tensão tangencial se anule na faceta com versor
da normal n = 3 3 − 3 3
3 3.
{
}
3. Admita que o processo de deformação a que está sujeito o sólido é um processo de
deformação homogénea e considere que:
- o volume do sólido não se altera,
- o novo comprimento OA é de 3.03cm,
- o ângulo AÔB não se altera
- as novas coordenadas do ponto D são {0.015,1.515,1.56}cm
a) Determine as componentes do tensor das deformações
b) Determine a nova área da face ABC.
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C
d
3cm
3cm
D
O
A
d
B
3cm
4. Um prisma rectangular de dimensões 30 × 40 × 25 cm3 está sujeito ao estado de
tensão representado pelo seguinte tensor das tensões:
3 0 0
0 9 1 MPa


0 1 9
Mediante um ensaio de tracção simples sobre um provete cilíndrico de 20 cm de
comprimento e 1 cm de diâmetro, verificou-se que por acção de uma força de tracção
de 9424.8N nos topos do varão o seu comprimento passou a 20.012 cm e o diâmetro a
0.99985cm.
Supondo que o provete é representativo do material linear elástico, homogéneo e
isotrópico que constitui o prisma, determine o seu novo volume e a distorção máxima
que nele se encontra por acção daquele estado de tensão.
5- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo
- V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995,
Páginas 81-92
- Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill,
1989. Páginas 26-27.
- J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia.