Mecânica dos Sólidos Aula 8

Sumário e Objectivos
Sumário: Função de Prandtl. Torção de Veios de Secção
Elíptica e Rectangular e de Secções Abertas de paredes
delgadas. Perfis Tubulares
Objectivos da Aula: Apreensão dos conceitos
Fundamentais associados à torção de veios de forma
arbitrária.
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1
Vigas
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2
Camião
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3
Bicicleta
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4
Função de Tensão de
Prandtl
A solução do problema de torção de um veio de secção arbitrária, na ausência de
forças de massa, passa pela solução do sistema de equações
∂ τ zx ∂ τ zy
+
=0
∂x
∂y
∂ τ zx ∂ τ zy
−
= −2Gθ
∂y
∂x
considerando as condições de fronteira seguintes
τ zxl + τ zym = 0 na superfície lateral do sólido
M t = ∫∫A (x τ yz − yτ xz)dxdy
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para z=0 e z=L.
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5
Função de Tensão de
Prandtl
Para resolver este problema um dos métodos disponíveis recorre à chamada
função de tensão de Prandtl que é uma função tal que
τ zx =
∂φ
∂φ
e τ zy = −
∂y
∂x
verificando automaticamente as equações de equilíbrio.
Substituindo estas expressões na equação de compatibilidade obtém-se
2
2
∂φ ∂φ
+ 2 = −2Gθ
2
∂x ∂y
Esta equação é muitas vezes referida como Equação de Poisson.
A solução do problema passa agora pela solução da equação de
compatibilidade sujeita às condições de fronteira
∂φ ∂φ
l− m = 0
∂y ∂x
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6
Veio de Secção Elíptica
x
y
A função φ a considerar é
⎛ x 2 y2 ⎞
φ = k ⎜ 2 + 2 − 1⎟
⎝a b
⎠
b
x
a
sendo k uma constante
Substituindo a função φ na equação de compatibilidade, obtém-se
2k
a
2
+
2k
b
2
= −2Gθ = H
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2
2
a b
k=
H
2
2
2( b + a )
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7
Veio de Secção Elíptica
A função de Prandtl para o veio de secção elíptica toma a forma
2
2
⎛
⎞
y
ab
x
H ⎜ 2 + 2 −1⎟
φ=
2
2
2(a + b ) ⎝ a b
⎠
2 2
A1ª condição de fronteira refere-se ao contorno do veio e
∂φ ∂y ∂φ ∂x ∂φ
é
+
=
=0
∂y ∂s ∂x ∂s ∂s
A outra condição de fronteira diz respeito
aos extremos do veio e é
∂φ
∂φ
M t = ∫∫ (x τ yz − yτ xz )dxdy = − ∫∫A (x + y )dxdy
∂x
A
por aplicação do teorema de Gauss
obtém-se
M t = − ∫∫A (
∂ (φx)
∂ (φy)
+y
− 2φ)dxdy =
∂x
∂y
=-∫ (xφ cos(ν, x) + yφ cos(ν, y))ds + ∫∫ 2φdxdy
C
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∂y
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A
8
Veio de Secção Elíptica
O integral estendido ao contorno é nulo pela 1ª condição de Fronteira e o
Momento torsor é
3 3
πa b
Ou seja
M t = 2φdxdy
Gθ
=
∫∫
Mt
A
(a
2
+ b2)
No caso do veio elíptico a função de Prandtl pode ser escrita em termos do
Momento torsor, com a seguinte forma
2
2
⎛
⎞
y
φ = − M t ⎜ x 2 + 2 − 1⎟
πab ⎝ a b
⎠
As tensões são
2 y
y
∂φ
= − Mt3 = − Mt
τ xz =
∂y
πa b
2I x
∂φ 2M tx M tx
=
=
τ xz = −
∂x πba 3
2I y
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Tensão Resultante
(
τ zα = τ +τ
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2
zx
)
1/ 2
2
zy
2M t ⎛ x y
=
+
πab ⎜ a 4 b 4
⎝
2
2
1/ 2
⎞
⎟
⎠
9
Membrana Elástica
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10
Membrana Elástica
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11
Membrana Elástica
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12
Membrana Elástica
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13
Analogia de Membrana
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Analogia de Membrana de
Prandtl
2
2
∂φ ∂φ
+
= −2Gθ
∂x 2 ∂ y2
2
2
p
∂z ∂z
+
=
−
∂x 2 ∂ y2
T
x
S
α
p
S
z
x
y
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dx
d
y
Prandtl mostrou que as
deformações de corte numa
barra elástica rectilínea
sujeita a um momento
torsor estão relacionadas
com as inclinações da
membrana estendida num
orifício de uma placa plana
e sujeita a uma pressão p,
considerando o orifício com
a forma da secção recta da
barra e a membrana ligada
à fronteira do orifício.
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Analogia de Membrana
Secção Rectangular
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16
Analogia de Membrana
Secção Rectangular
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17
Analogia de Membrana
Secção Rectangular
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18
Secções Abertas de
parede delgada
3M t
=
= Gθt;
τ max
2
bt
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3M
θ= 3 t ;
bt G
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1 3
C=G I p = b t G
3
19
Secções Abertas de
parede delgada
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20
Secções Abertas de
parede delgada
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21
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22
Secções Abertas de Paredes
Delgadas
G n
C = G I p = k ∑ b ia 3i
3 i =1
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τ = Gθa i sendo θ= M t / C
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23
Secção Tubular de
parede Fina
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Secção Tubular de
parede Fina
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Secção Tubular de
parede Fina
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Secção Tubular de
parede Fina
L é o perímetro
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Secção Tubular de
parede Fina
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Secção Tubular de
parede Fina
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29
Secção Tubular de
parede Fina
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30
Secção Multicelular
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31
Secção Multicelular
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32
Secção Multicelular
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33
Veio Circular de Secção
Variável
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Veio Circular de Secção
Variável
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35
Veio Circular de Secção
Variável
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Veio Circular
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Energia de Deformação
de Torção
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Problema 1
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Resolução Problema 1
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40
Resolução Problema 1
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41
Resolução Problema 1
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Resolução Problema 1
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43
Resolução Problema 1
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44
Resolução Problema 1
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45
Problema 2
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Resolução Problema 2
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Resolução Problema 2
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60
Problema 3
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61
Resolução Problema 3
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Resolução Problema 3
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Resolução Problema 3
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64
Problemas Propostos
1. Calcule o cociente entre as tensões máxima e o cociente
entre os ângulos de torção produzidos para um mesmo
momento torsor numa barra de secção rectangular (b/a=3) e
numa barra de secção circular com área equivalente à secção
rectangular. Considere as barras com o mesmo comprimento
e construídas do mesmo material.
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65
Problemas Propostos
2. Determine a tensão máxima instalada e o ângulo de
torção por unidade de comprimento numa cantoneira
100×100×10mm, submetida a um momento torsor de
1kN.m.
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66
Problemas Propostos
3. Mostre que a função de tensão
Gθ ⎡
2a ⎤ ⎡
2a ⎤ ⎡
a⎤
φ=
−
−
+
−
+
x
3y
x
3y
x
2a ⎢⎣
3 ⎥⎦ ⎢⎣
3 ⎥⎦ ⎢⎣
3 ⎥⎦
é adequada para efeitos de cálculo das tensões num triângulo equilátero
com a forma representada na figura. Determine as tensões tangenciais
x
a/3
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2a/3
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