Lista 10 - Instituto Superior Técnico

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
10a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR
LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE
o
1 semestre 2003/04 - semana de 2003-12-01
1. Seja hu, vi = u · v o produto interno usual em R2 . Para os vectores u, v, w e para
k = −4, verifique:
(a) hu, vi = hv, ui
(b) hu + v, wi = hu, wi + hv, wi
(c) hu, v + wi = hu, vi + hu, wi
(d) hku, vi = khu, vi = hu, kvi
(e) h0, vi = hv, 0i = 0
2. Utilize o produto interno usual em R2 para calcular:
(a) kwk com w = (−1, 3).
(b) d(u, v) com u = (−1, 3) e v = (2, 5).
3. Utilize os produtos internos usuais para calcular:
(a) kwk com w = (−1, 3).
(c) kwk com w = (−1, 3, 2).
(b) d(u, v) com u = (1, −2) e v = (2, 1).
(d) d(u, v) com u = (2, −2, 2) e v = (0, 4, −2).
(e) kwk com w = (3, 4, 0, −2). (f ) d(u, v) com u = (0, −2, −1, 1) e v = (−3, 2, 4, 4).
√
√
√
√
d(u, v) = 10; (c) kwk = 14; (d) d(u, v) = 2 14;
Solução: (a)√ kwk = 10; (b) √
(e) kwk = 29; (f) d(u, v) = 43
4. Seja R4 com o produto interno usual. Para que valores de k podemos afirmar que
kkvk = 5 com v = (−2, 3, 0, 6) ?
Solução: k = ± 75
5. Seja R3 com o produto interno usual. Para que valores de k podemos afirmar que u
e v são ortogonais?
(a) u = (2, 1, 3) , v = (1, 7, k).
(b) u = (k, k, 1) , v = (k, 5, 6).
Solução: (a) k = 3; (b) k = −3 ou k = −2
6. Seja R4 com o produto interno usual. Encontre dois vectores com norma igual a um
que sejam ortogonais aos seguintes três vectores: u = (2, 1, −4, 0), v = (−1, −1, 2, 2) e
w = (3, 2, 5, 4).
Solução:
√2 , 0, √1 , 0
5
5
, − √221 , √421 , 0, √121
7. Quais dos seguintes conjuntos de vectores são ortogonais relativamente ao produto
interno usual em R2 ?
(a) {(0, 1) , (2, 0)}
(d) {(0, 0) , (0, 1)}
(b) {(− √12 , √12 ) , ( √12 , √12 )}
Resposta: Todos excepto o conjunto da alı́nea (c).
(c) {(− √12 , − √12 ) , ( √12 , √12 )}
8. Quais dos conjuntos do exercı́cio anterior são ortonormais relativamente ao produto
interno usual em R2 ?
Resposta: S o conjunto da alı́nea (b) ortonormal.
9. Quais dos seguintes conjuntos de vectores são ortogonais relativamente ao produto
interno usual em R3 ?
(a) {( √12 , 0, √12 ) , ( √13 , √13 , − √13 ) , (− √12 , 0, √12 )}
(c) {(1, 0, 0) , (0, √12 , √12 ) , (0, 0, 1)}
(b) {( 23 , − 23 , 31 ) , ( 23 , 13 , − 32 ) , ( 13 , 23 , 32 )}
(d) {( √16 , √16 , − √26 ) , ( √12 , − √12 , 0)}
Resposta: Os conjuntos das alı́neas (b) e (d) so ortogonais.
10. Converta os seguintes conjuntos de vectores (ortogonais relativamente ao produto interno usual) em conjuntos ortonormais.
(a) {(−1, 2) , (6, 3)}
(c) {( 51 , 51 , 15 ) , (− 12 , 12 , 0) , ( 31 , 13 , − 32 )}
(b) {(1, 0, −1) , (2, 0, 2) , (0, 5, 0)}
Solução: (a) {(− √15 , √25 ) , ( √25 , √15 )} ; (b) {( √12 , 0, − √12 ) , ( √12 , 0, √12 ) , (0, 1, 0)} ;
(c) {( √13 , √13 , √13 ) , (− √12 , √12 , 0) , ( √16 , √16 , − √26 )}
11. Considere em R3 o produto interno usual e seja B = {v1 , v2 , v3 } uma base ortonormal,
em que v1 = (− √12 , 0, √12 ), v2 = (0, 1, 0), v3 = ( √12 , 0, √12 ).
a) Considere os seguintes vectores de coordenadas na base B: (x)B = (−1, 0, 1),
(y)B = (0, 0, −2), (z)B = (−1, −4, 1). Determine os vectores x, y e z.
b) Mostre que os os vectores x, y e z da alı́nea anterior constituem uma base de R3 .
c) Para os vectores x, y e z da alı́nea anterior, calcule kyk, d(x, z) e hz, yi.
√
√
√
√
Solução: (a) x = ( 2, 0, 0) , y = (− 2, 0, − 2) , z = ( 2, −4, 0) ; (b) kyk = 2 ; d(x, z) =
4 ; hz, yi = −2
12. Considere em R4 o produto interno usual e seja B = {v1 , v2 , v3 , v4 } uma base
ortogonal, em que v1 = (1, −2, 3, −4), v2 = (2, 1, −4, −3), v3 = (−3, 4, 1, −2) e
v4 = (4, 3, 2, 1).
a) Considere os seguintes vectores de coordenadas na base B: (x)B = (−1, 2, 1, 3),
(y)B = (0, −3, 1, 5), (z)B = (−2, −4, 3, 1). Determine os vectores x, y e z.
b) Para os vectores x, y e z da alı́nea anterior, calcule kxk, d(x, y) e hz, yi.
√
√
Solução: (b) kxk = 15 ; d(x, y) = 30 ; hz, yi = 20
13. Seja R2 com o produto interno usual. Utilize o algoritmo de Gram-Schmidt e a
normalização para transformar {u1 , u2 } numa base ortonormal.
(a) u1 = (1, −3) , u2 = (2, 2)
(b) u1 = (1, 0) , u2 = (3, −5)
Solução: (a) {( √110 , − √310 ) , ( √637 , √237 )} ; (b) {(1, 0) , (0, −1)}
14. Seja R3 com o produto interno usual. Utilize o algoritmo de Gram-Schmidt e a
normalização para transformar {u1 , u2 , u3 } numa base ortonormal.
(a) u1 = (1, 1, 1) , u2 = (−1, 1, 0) , u3 = (1, 2, 1)
(3, 7, −2) , u3 = (0, 4, 1)
(b) u1 = (1, 0, 0) , u2 =
Solução: (a) {( √13 , √13 , √13 ) , (− √12 , √12 , 0) , ( √16 , √16 , − √26 )} Solução: {( √16 , √16 , √16 ) , ( √26 , √26 , − √26 ) , (
15. Seja W o subespaço de R3 gerado pelos vectores u1 = (0, 1, 0) e u2 = ( 45 , 0, − 35 )
Exprima w = (1, 2, 3) na forma w = w1 + w2 , em que w1 ∈ W e w2 ∈ W ⊥ .
)
Solução: (1, 2, 3) = (− 54 , 2, 53 ) + ( 95 , 0, 12
5


1 2 −1 2

16. Seja A =  3 5 0 4 

1 1 2 0
a) Encontre bases para os subespaços gerados pelas linhas da matriz, pelas colunas
da matriz e para o espaço nulo (ou núcleo) da matriz A.
b) Verifique que qualquer vector do espaço gerado pelas linhas de A é ortogonal a
qualquer vector do espaço nulo da matriz A.
c) Encontre uma base para o espaço nulo da matriz AT . Verifique que qualquer
vector do espaço gerado pelas colunas de A é ortogonal a qualquer vector do
espaço nulo da matriz AT .
Solução: (a) LinA = L{(1, 2, −1, 2), (0, −1, 3, −2)}, Col A = L{(1, 3, 1), (2, 5, 1)} e
Nucl A = L{(2, −2, 0, 1), (−5, 3, 1, 0)}; (c) Nucl AT = L{(2, −1, 1)}
17. Seja W o subespaço de R2 dado pela equação y = 2x. Determine W ⊥ . Qual a
distância do vector (1, −1) aos subespaços W e W ⊥ , respectivamente?
n
Solução: W ⊥ = (x, y) ∈ R2 : y = − x2
√
o
; d((1, −1), W ) =
√
3 5
5
; d((1, −1), W ⊥ ) =
5
5
a) Seja W o subespaço de R3 dado pela equação x − 2y − 3z = 0. Determine W ⊥ .
Qual a distância do vector (1, 0, −1) aos subespaços W e W ⊥ , respectivamente?
18.
b) Seja W o subespaço de R3 dado pelas equações paramétricas x = 2t, y = −5t e
z = 4t, sendo t ∈ R. Determine W ⊥ . Qual a distância do vector (1, 0, −1) aos
subespaços W e W ⊥ , respectivamente?
q
Solução: (a) W ⊥ = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x + y = 0, 3x + z = 0} ; d((1, 0, −1), W ) = 2
d((1, 0, −1), W ⊥ ) =
√
67
7
q
6
7
⊥
2
7
;
; (b) W ⊥ = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − 5y + 4z = 0} ; d((1, 0, −1), W ) =
; d((1, 0, −1), W ) =
√1
14
19. Determine as equações cartesianas das seguintes rectas que passam no ponto P e é
paralela a n.
(a) P (3, −1, 2) , n = (2, 1, 3)
(c) P (2, 2, 6) , n = (0, 1, 0)
(b) P (−2, 3, −3) , n = (6, −6, −2)
(d) P (0, 0, 0) , n = (1, −2, 3)
Solução: (a) − x + 2y = −5 e − 3x + z = −7 ; (b) x + y = 1 e x + 3z = −11;
(c) x = 2 e z = 6 ; (d) 2x + y = 0 e − 3y + z = 0
20. Determine a equação cartesiana do plano que contém o ponto (1, −1, 2) e a recta
x = t , y = t + 1 , z = −3 + 2t , t ∈ R.
21. Determine a distância do ponto P ao respectivo plano-3 de R4 :
(a) P (3, −1, 2, 1) ; x + 2y − 2z − w = 4
(c) P (2, 0, 2, 6) ; x − y − z + w = 3
(b) P (−1, 2, 0, 1) ; 2x + 3y − 4z + w = 1
q
Solução: (a) d(P, W +(0, 1, −1, 0)) = 4
(1, −1, −1, 0)) = √34
2
5
q
; (b) d(P, W +(1, 0, 0, −1)) = 2
2
;
7
(c) d(P, W +
22. Considere os seguintes pares de subespaços lineares e encontre em cada caso a dimensão
e uma base para U ∩ W e U + W .
(a) U = L{(1, 0, 2, 0)} e
W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : y + 2z − w = 0 ∧ −y + 3w = 0 ∧ z = 0}.
(b) U = L{(1, 0, −1, 0), (0, 1, 1, 0)} e
W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : −x + y − 2w = 0 ∧ 2y − z = 0}.
(c) U = L({(0, 0, 1, 0), (−2, 0, 0, −2)})
W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x + 2y − z − w = 0 ∧ x − w = 0} .
Solução: (a) uma base de U + W pode ser dada pelo conjunto {(1, 0, 2, 0), (1, 0, 0, 0)}
e dimU + W = 2; como U ∩ W = {(0, 0, 0, 0)}, temos dimU ∩ W = 0 e no existe base para a interseco. (b) uma base de U + W pode ser dada pelo conjunto
{(1, 0, −1, 0), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 0), (−2, 0, 0, 1)}, mas tambm pode escolher-se a base
cannica de R4 e dimU + W = 4; como U ∩ W = {(0, 0, 0, 0)}, temos dimU ∩ W = 0
e no existe base para a interseco.(c) uma base de U + W pode ser dada pelo conjunto {(0, 0, 1, 0), (−2, 0, 0, −2), (0, 1, 2, 0)}, sendo dimU + W = 3; como U ∩ W =
L{(1, 0, 0, 1)}, temos dimU ∩ W = 1 e uma base para a interseco ser dada pelo conjunto {(1, 0, 0, 1)}.
23. Verifique que dimU + dimW = dim(U ∩ W ) + dim(U + W ) nos três casos considerados
no problema anterior. Diga em que alı́neas os pares de subespaços decompõem R4
numa soma directa.
Resposta: nas alı́neas (b) e (c) os pares de subespaços decompõem R4 numa soma
directa.
OBS.: estes dois últimos problemas são repetidos na Lista 6.