soluções séries 1 e 2

Mecânica e Ondas – LEGI 2º Semestre 2013/2014
Soluções dos problemas das séries
Série 1
Problema 1
a1: (1, r); a2: (1, r, 1); a3: (1, r, r sen)
b1: sim; b2: sim; b3: não.
Problema 2
-1
Velocidade do avião (constante): v = -120.0 ûx + 85.0 ûy (ms )
Posição do avião no instante inicial: r0= 4500 ûx + 1700 ûy + 800
ûz (m),
Distância minima: 4067 m, sendo na horizontal 3983 m. Ocorre
no instante t=18.2 s.
Problema 3
O avião aterra no instante t=90 s, sendo nesse instante =π/2
rad e ρ=1500m, logo o abvião está bem posicionado para
aterrar. A sua velocidade nesse instante é v = -30.0 ûρ + 0 ûφ -1
8.89 ûz (ms ), que é uma velocidade orientada segundo o eixo da
pista e de modulo adequado à aterragem. O ângulo que faz com
a horizontal no instante da aterragem é de 16º, o que é também
adequado.
Problema 4
Fazendo a transformação para coordenadas cartesianas,
verifica-se que x(t) = 0.5t (m) e y(t) = 0.8 – t (m). Trata-se
portanto de um movimento rectilíneo uniforme, com velocidade
-1
v = 0.5 ûx – 1 ûy (ms ).
Série 2
Problema 1
1/2
a) Equação da trajectória: y(x) = - 1.5 + 2x
b) A particular cai quando y = 1.0 m, o que ocorre quando t = 0.5s.
Problema 2
Distância: 449.3 m; ângulo com a horizontal: -43.3º
Problema 3
Em coordenadas polares:
(t) =0.5 (m)
3
θ(t) = 4t /3 + π/2 (rad)
Em coordenadas cartesianas:
3
x(t) = 0.5 cos (4t /3 + π/2) (m)
3
y(t) = 0.5 sen (4t /3 + π/2) (m)
Aceleração:
4
a = - 8t ûρ _+ 4t ûθ _
Problema 4
-1
a) v = -0.13 ûρ + 0.038 ûθ (ms )
-2
a = -0.00296 ûρ -0.01 ûθ (ms ).
b) A aceleração transversal à haste é aθ =. 0.02-0.0078t. Entre t=0 e
-2
t=7.7s, o valor máximo do módulo de aθ é 0.04 ms . Por conseguinte a
haste não se quebra.
Problema 5
-2
Usando coordenadas polares, a = -0.144t ûρ + 0.48 ûθ (ms ). O módulo de
2
1/2
-2
-1
a é [(0.144t) +0.482] (ms ). A velocidade é v = 0.4 ûρ + 0.24t ûθ (ms )
2
2 1/2
-1
e o seu módulo é [0.4 +(0.24t) ] (ms ). A aceleração tangencial é at =
2
2 -1/2
0.0576t[0.4 +(0.24t) ]
-2
2
2 1/2
(ms ). Tendo em conta que a = [an +at ] , para t
-2
= 10 s calcula-se que an = 1.50 ms .
Problema 6
-1
x(t) =x0 + k ln [1 + kv0t]
O valor de t para o qual x=100m (com x0=0) é t100 = 0.876 s. Nesse
-1
instante, a velocidade segundo Ox tem o valor vx = 108.6 ms .
Problema 7
−t
vz(t) = (α/β) + (v0- α/β)e
Quando t tende para infinito, a velocidade tende para α/β, um valor
constante designado por “velocidade limite”. β