Aula 03 – Fluxo Elétrico

ELETROMAGNETISMO
AULA 03 – O FLUXO ELÉTRICO
Eletromagnetismo - Instituto de Pesquisas Científicas
Vamos supor que exista certa superfície
inserida em uma campo elétrico. Essa
superfície possui uma área total A. Definimos
o fluxo elétrico 𝑑𝜙 através de um elemento
de área 𝑑𝐴 dessa superfície como:
𝑑𝜙 = 𝐸 ∙ 𝑛𝑑𝐴 = 𝐸 ∙ 𝑑 𝐴
Onde 𝑛 é o vetor normal à superfície. Em
módulo:
𝑑𝜙 = 𝐸𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃
A unidade do fluxo elétrico é Nm²/C.
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Podemos calcular o fluxo total integrando toda a área. Agora, vamos supor que nossa
superfície seja fechada. Para calcular o fluxo total nessa superfície fazemos:
.
𝜙=
𝐸 ∙ 𝑑𝐴
𝑆
Note que esse resultado é um escalar e não um vetor (é a integral de um produto
escalar). A integral com um círculo nos diz que a superfície S a qual estamos fazendo a
integração é fechada.
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Como exemplo, tomemos uma carga elétrica e ao
redor dela vamos desenhar uma superfície
esférica. Logo, haverá um campo elétrico
atravessando essa superfície (direcionado para
fora da carga) então há um fluxo elétrico. Essa
superfície esférica possui um raio r, de modo que
a carga elétrica esteja bem no centro. Logo, o
fluxo elétrico será:
𝜙 = 𝐸𝐴 = 𝐸4𝜋𝑟²
Nós sabemos que o campo elétrico gerado pela
carga na superfície é:
𝑞
𝐸=
4𝜋𝜀0 𝑟²
Portanto, o fluxo será:
𝑞
𝜙=
𝜀
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O fluxo independe do tamanho da superfície. Na verdade, o fluxo depende apenas da
carga interna à essa superfície. A equação que encontramos anteriormente nos diz
isso. Não importa o formato da superfície em torno da carga: o fluxo depende apenas
da carga elétrica em si! Esse é um resultado muito importante. Se tivermos mais de
uma carga no interior da superfície então o fluxo será:
Σ𝑄𝑖𝑛
𝜙 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =
𝜀0
Onde Σ𝑄𝑖𝑛 é o somatório de todas as cargas internas à superfície.
À superfície damos o nome de superfície gaussiana e a equação acima é chamada de
lei de Gauss. A lei de Gauss é sempre válida, mas nem sempre é util. Podemos utiliza-la
sem medo de ser feliz se estivermos analisando um caso com simetria adequada.
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Uma superfície esférica condutora de raio R está
desenhada na imagem ao lado. Há uma carga Q
na parte externa da esfera. Queremos
determinar qual o valor do campo elétrico em
um ponto r1 dentro da esfera e em um ponto r2
fora da esfera. Qual a melhor maneira de
resolver isso?
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Podemos aplicar diretamente a lei de Gauss (pois esse é um problema simétrico). A
primeira coisa a se fazer é desenhar duas superfícies gaussianas. A superfície s1 é a
que passa pelo ponto interno à esfera e possui raio r1. A superfície s2 é a que passa
pelo ponto externo à esfera e possui raio r2.
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Pela lei de Gauss temos 4𝜋𝑟 2 𝐸 = 𝑄/𝜀0 . Então, para a superfície 1:
𝑄
2
4𝜋𝑟1 𝐸 =
𝜀0
𝑄
𝐸=
4𝜋𝑟12 𝜀0
Mas lembre-se que a lei de Gauss diz que a carga em questão tem de estar interna a
superfície gaussiana. Como a carga Q está fora dessa superfície, então a mesma vale
zero. Portanto, o campo elétrico no ponto interno à esfera condutora é zero!
Para a superfície 2, o caso é diferente. A carga está dentro de nossa gaussiana, então:
𝑄
𝐸=
4𝜋𝑟22 𝜀0
Esse resultado é conhecido por nós. Ele nada mais é do que o campo elétrico em um
ponto P gerado por uma carga Q. Note que esse resultado é equivalente à carga estar
no centro da nossa superfície.
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Se temos um material condutor, a lei de Gauss nos diz que as cargas elétricas nesse
material irão se distribuir pela superfície do mesmo (as cargas buscam a estabilidade
e a encontram na superfície). Se tivermos uma esfera carregada, o campo elétrico deve
ser nulo em seu interior e máximo na superfície.
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Temos agora uma superfície plana infinitamente grande e carregada. A densidade de
cargas sobre essa superfície é dada por 𝜎 = 𝑄/𝐴. Queremos calcular o campo elétrico
a uma distância do plano. Para isso, podemos traçar uma superfície gaussiana de modo
a interceptar esse plano. Há três condições que devem ser satisfeitas:
1° - Os extremos da superfície gaussiana são iguais e paralelos ao campo.
2° - As paredes da superfície são perpendiculares ao plano.
3° - As distâncias d são exatamente iguais.
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A superfície gaussiana escolhida é cilíndrica de modo a tornar o problema mais
simétrico. Nossa superfície intercepta o plano, de modo que o campo elétrico atravessa
a superfície superior e a inferior. Logo, pela lei de Gauss:
𝜙=
𝐸 ∙ 𝑑 𝐴 = 𝐸2𝐴
Como o campo atravessa duas superfícies de área A, então temos 2A.
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A partir da densidade de cargas, encontramos que:
𝑄
𝜎 = → 𝑄 = 𝜎𝐴
𝐴
Da lei de Gauss:
𝑄 𝜎𝐴
𝜙= =
𝜀0
𝜀0
Como para esse caso o fluxo também é igual a E2A:
𝜎𝐴
= 𝐸2𝐴
𝜀0
Portanto, isolando o campo elétrico:
𝜎
𝐸=
2𝜀0
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Lembrando do resultado que encontramos na aula anterior para um disco carregado:
𝜎
𝑧
𝐸𝑧 =
1− 2
2𝜀0
𝑅 + 𝑧2
1/2
Note que se z tender a zero ou R tender a infinito, o disco irá se tornar um plano. Tanto
para um caso, quanto para o outro, o resultado final será:
𝐸𝑧 =
𝜎
2𝜀0
Que é o resultado encontrado a partir de Gauss.
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Uma superfície gaussiana cilíndrica está contida em uma campo elétrico como mostra
a figura. Qual é o fluxo elétrico através da superfície?
Separamos a superfície em três partes importantes. A parte a possui o vetor normal da
área apontando para a esquerda, em sentido oposto ao do campo elétrico. A parte b (a
lateral da superfície) possui o vetor normal perpendicular ao campo elétrico. A parte c
possui o vetor normal apontando na mesma direção do campo elétrico.
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O fluxo total é a soma dos fluxos nessas três regiões. Portanto, para a região 1, ou
região a:
𝜙1 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝐸𝐴
O sinal negativo mostra que os vetores do campo elétrico e da área tem sentidos
opostos (cosseno de 180°).
Para a região 2, ou b:
𝜙2 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0
Pois nesse caso temos cosseno de 90°.
Por fim, para a região 3, ou c:
𝜙3 = 𝐸𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐸𝐴
Pois agora temos cosseno de 0°. Logo, o fluxo sobre a superfície é:
𝜙 = 𝜙1 + 𝜙2 + 𝜙3 = −𝐸𝐴 + 0 + 𝐸𝐴 = 0
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Isso está de acordo com o que estudamos até aqui. Não há cargas no interior da
superfície cilíndrica, logo o fluxo tem de ser zero. Para tentar compreender melhor,
imagine que a quantidade de linhas de campo que entram na superfície é igual a
quantidade de linhas de campo que saem da superfície.
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Na figura a seguir, qual das superfícies possui o maior fluxo elétrico?
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Agora vamos analisar o caso onde temos duas placas paralelas, uma com densidade de
cargas positiva e a outra com densidade negativa. As placas estão separadas por uma
distância d.
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Podemos determinar a intensidade do campo elétrico entre as placas e na região
externa às placas. Nós já vimos como fazemos para calcular o campo de uma única
placa. Agora, podemos simplesmente usar a superposição dos campos para
determinar o valor desejado. Sabemos que o campo elétrico da placa carregada
positivamente aponta para fora da mesma, enquanto que para a placa carregada
negativamente, o campo aponta em direção à esta. Logo, teremos:
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As setas à esquerda representam o campo da placa carregada negativamente. Note
que todas estão indo em direção à essa placa. As setas à direita representam o campo
da placa carregada positivamente e por essa razão todas apontam para fora da placa.
Pela superposição temos que ↓↑= 0, ↓↓= 2𝐸, ↑↓= 0. Logo, o campo entre as placas é
dado por:
𝜎
𝐸=
𝜀0
A configuração do campo elétrico entre as placas se torna:
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Materiais não condutores
Podemos nos questionar: qual o campo elétrico gerado por uma esfera não condutora
e uniformemente carregada?
Se a esfera é não condutora, isso quer dizer que as cargas não possuem um movimento
livre sobre sua superfície. Em outras palavras, as cargas não vão todas para a superfície
da esfera (como era o caso de uma esfera condutora). Vamos supor que temos uma
esfera não condutora de raio a. Se tomarmos um ponto fora da esfera a uma distância r
da mesma, então podemos desenhar nossa gaussiana de modo a determinar o campo
elétrico nesse ponto. Pela lei de Gauss:
𝑞𝑖𝑛
𝜙 = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =
𝜀0
O que nos fornece:
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𝑞
𝐸 𝑟 =
𝑟
4𝜋𝜀0 𝑟²
Agora, temos um ponto no interior na esfera. A densidade de cargas com respeito à nossa
superfície gaussiana é dada por:
𝑞
𝜌=
𝑉
Onde V é o volume que a superfície gaussiana abrange. Logo, a densidade será:
𝑞
𝜌=
4 3
𝜋𝑟
3
Escrevendo a carga em termos da densidade:
4
𝑞 = 𝜋𝑟 3 𝜌
3
Por Gauss:
4𝜋𝑟 3 𝜌
𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =
3𝜀0
Sendo 𝑑𝐴 = 4𝜋𝑟 2 a área da superfície gaussiana (e esquecendo os vetores por enquanto):
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4𝜋𝑟 3 𝜌
𝐸=
4𝜋𝑟 2 3𝜀0
Escrevendo a densidade de cargas na esfera como a carga por volume:
4𝜋𝑟 3 𝜌
𝑟𝑞
𝐸=
=
4𝜋𝑟 2 3𝜀0 3𝜀 4 𝜋𝑎3
0 3
𝑞𝑟
𝐸=
4𝜋𝜀0 𝑎3
Note que nesse ultimo passo, consideramos o volume de toda a esfera. Logo, o campo
elétrico para uma esfera não condutora é:
𝐸 𝑟 =
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𝑞𝑟
𝑟
3
4𝜋𝜀0 𝑎
Como temos uma esfera não condutora, a quantidade de cargas
elétricas aumenta a medida que nos aproximamos da borda da
esfera. Na superfície, a quantidade de cargas terá seu valor
máximo. Portanto, o campo elétrico não é mais nulo no interior
do material (como é para os materiais condutores). O campo
elétrico vai aumentando linearmente com o raio da esfera.
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A partir de Gauss, e usando uma simetria cilíndrica, como seria o campo elétrico
gerado por um fio uniformemente carregado?
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