Força sobre um elemento diferencial de corrente

Força sobre um elemento diferencial de corrente
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A força sobre uma partícula carregada, que se desloca através de um campo
magnético estacionário vale:
dF = dQ v × B
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Fisicamente, um elemento diferencial de carga é um conjunto de cargas discretas
que ocupam um volume, que apesar de pequeno é muito maior que a separação
média entre as cargas.
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A força sobre um elemento diferencial de carga, será então o somatório das forças
individuais exercidas sobre cada carga.
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Se as cargas forem electrões em movimento num condutor eléctrico, as forças
exercidas transmitem-se ao condutor e, a SOMA DE UM ELEVADO NÚMERO
DE PEQUENAS FORÇAS TEM IMPORTÂNCIA PRÁTICA.
Como se transmite a força exercida sobre os electrões ao condutor ???
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Dentro do condutor os electrões movem-se através de uma região de iões
positivos fixos, que formam uma rede cristalina, a qual dá ao condutor as
suas propriedades de sólido.
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Um campo magnético que exerça forças nos electrões tende a deslocá-los.
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Contudo, as forças de Coulomb entre os electrões e os iões positivos
contrariam tal tendência. Ou seja, a qualquer deslocamento dos electrões
opõem-se uma força de atracção entre os electrões e os iões positivos.
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As forças de Coulomb são substancialmente maiores que as forças
magnéticas nos bons condutores, pelo que os electrões quase não se
deslocam devido às forças magnéticas.
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A força magnética é transferida para a estrutura cristalina do condutor.
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Podemos definir o elemento diferencial de carga da expressão
dF = dQ v × B
como :
dQ = ρdv
teremos então que:
dF = ρ dv v × B
Como anteriormente definido:
J = ρv
Logo:
dF = J × B dv
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Caso se trate de uma superfície diferencial de cargas teremos que:
dF = K × B ds
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Se se tratar de um filamento diferencial de corrente teremos:
dF = IdL × B
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Integrando as duas primeiras expressões em ordem a um volume, ou a uma
superfície teremos:
F=
J × B dv
vol
F = K × B ds
s
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Integrando a terceira expressão em ordem a uma linha de cargas teremos:
F = IdL × B = − I B × dL
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Se aplicarmos esta última expressão a um condutor rectilíneo mergulhado num
campo magnético uniforme, obtemos:
F = IL × B
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A intensidade da força será:
F = BILsenθ
onde θ é o ângulo formado entre o vector que representa a direcção da corrente e o
vector que representa a direcção da densidade de fluxo magnético.
As duas últimas expressões aplicam-se a porções de circuito fechadas.
Fonte: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Força entre elementos diferenciais de corrente
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É possível expressar a força exercida por um elemento de corrente noutro elemento
de corrente sem se determinar o campo magnético.
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Anteriormente constatamos que o campo magnético num ponto 2, devido a um
elemento de corrente num ponto 1 valia:
dH 2 =
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I1dL1 × uR12
4π R122
Atendendo a que a força diferencial num elemento diferencial vale:
temos que:
dF = IdL × B
d (dF2 ) = I 2 dL2 × dB2
o valor dB2 representa a
densidade de fluxo diferencial no
ponto 2 causada pelo elemento de
corrente 1
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Como
dB2 = µ 0 dH 2
podemos escrever que:
I1 I 2
dL2 × (dL1 × u R12 )
d (dF2 ) = µ 0
2
4πR12
A força total entre dois circuitos filamentares pode ser obtida, integrando
convenientemente que:
I1 I 2
F2 = µ 0
4π
u R12 × dL1
× dL2
2
R12
d
F
F
I
A força de repulsão entre dois condutores filamentares rectilíneos e
paralelos, infinitamente longos e separados por uma distância d, onde
fluem correntes com igual valor, I, mas em direcções opostas vale:
µ0 I 2
F =
2π d
I
( N / m)
A obtenção deste resultado não é complicada quando usamos a expressão para
cálculo da força exercida entre dois condutores apresentada anteriormente.
No entanto, a sua obtenção é mais simples se utilizarmos a expressão:
F = IdL × B
tendo presente que o campo criado por um filamento de corrente vale:
H =
I
2πd
µ0 I
B=
2πd