Divisão Proporcional

Curso: Gestão de Recursos Humanos
Disciplina: Matemática para Negócios
Profa. Neide Pinheiro
Divisão Proporcional
Suponhamos que Antônio, José e Pedro tenham se associado para comprar
um terreno no valor de R$ 60 000,00. Antônio entrou com R$ 30 000,00,
José com R$ 20 000,00 e Pedro com R$ 10 000,00. Algum tempo depois,
venderam o terreno por R$ 90 000,00. Qual a parte que cabe a cada um
deles?
Por convenção, a cada real empregado na compra do terreno deve
corresponder a mesma quantia resultante da venda, isto é, um quota. Essa
quota corresponde à razão entre o preço de venda e o preço de compra, ou
seja:
90000
 1,5
60000
Assim, os três sócios irão receber as seguintes quantias:
Antônio: 30 000 x 1,5 = R$ 45 000,00
José:
20 000 x 1,5 = R$ 30 000,00
Pedro: 10 000 x 1,5 = R$ 15 000,00
Se escrevermos as razões entre as quantias recebidas e empregadas
individualmente, obtemos:
45000 30000 15000


 1,5
30000 20000 10000
A igualdade entre essas razões mostra que as quantias que os sócios
receberam na venda são números proporcionais às quantias empregadas na
compra do terreno. Desse modo pode-se dizer que o produto da venda foi
dividido em três partes proporcionais às partes da compra.
Assim;
DIVIDIR UM NÚMERO EM PARTES PROPORCIONAIS A
VÁRIOS OUTROS NÚMEROS DADOS É DECOMPÔ-LO EM
PARCELAS PROPORCIONAIS A ESSES NÚMEROS.
Divisão em partes diretamente proporcionais
Se quisermos dividir o número 180 em três partes diretamente
proporcionais a 2, 5 e 11. Isso significa dividir o número em três parcelas,
tais que a razão da primeira parcela para o número 2 seja igual à razão da
segunda para o número 5 e igual a da terceira para o número 11. Assim
chamamos de x, y e z, respectivamente, cada uma das parcelas. Ou seja:
x y
z
 
2 5 11
Além disso, como x, y e z são as parcelas em que dividimos o número 180,
devemos ter:
x + y + z = 180
Utilizando a propriedade da proporção que diz : em uma série de razões
iguais, a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes
assim como qualquer antecedente está para o seu respectivo
conseqüente , então :
x yz x y
z
  
2  5  11 2 5 11
ou,
180 x y
z
   , como
18
2 5 11
180
 10 , então
18
x
 10  x  2 x10  20
2
y
 10  y  5 x10  50
5
z
 10  z  11x10  110
11
Sendo 20 + 50 + 110 = 180, concluímos que as partes procuradas são :
20, 50 e 110.
Exemplo:
Divida o número 2990 em partes proporcionais a 5, 7 e 11.
Exercício Resolvido:
Divida o número 184 em partes diretamente proporcionais a
1 2 3
, e .
2 3 4
De acordo com outra propriedade dos números proporcionais, se
multiplicarmos todos os números da seqüência
1 2 3
, e pelo m.m.c dos
2 3 4
conseqüentes ( 12 ), obtemos uma seqüência de números inteiros que
mantém a proporcionalidade e facilita os cálculos:
1
2
x12  6
x12  8
2
3
Assim: x+ y + z = 184 , 6 + 8 + 9 = 23, logo:
3
x12  9
4
 x  y  z  184

y
z
x



8
9
6
Como :
184
8
23
então :
x  6 x8  48
k 
y  8 x8  64
z  9 x8  72
Logo, podemos afirmar que as partes são 48, 64 e 72.
Exemplo:
1 1 1
3 4 7
1. Divida 183 em partes proporcionais a , e .
2. Dois operários contratam um serviço por R$ 180,00. Como devem
repartir essa quantia, se um trabalhou 7 horas e o outro 8 horas, sendo a
divisão diretamente proporcional ao tempo de serviço?
Divisão em partes inversamente proporcionais
Se quisermos dividir o número 210 em partes inversamente proporcionais
a 3, 5 e 6, isso implica em dividirmos o número proporcionalmente aos
inversos de 3, 5 e 6, ou seja,
x y z
 
1 1 1 , como o m.m.c (3,5,6)= 30, temos:
3 5 6
1
x30  10
3
1
x30  6
5
1
x30  5
6
y z
x
  
210
 10 , então :
Desse modo : 10 6 5
, como 10+6+5= 21 e
21
 x  y  z  210
x = 10 x 10= 100
y = 6 x 10 = 60
z= 5x 10 = 50, logo as partes são 100, 60 e 50.
Exemplos:
1. Divida o número 260 em partes inversamente proporcionais aos números
2, 3 e 4.
2. Um pai deixou R$ 2 870 000,00 para serem divididos entre seus três
filhos na razão inversa de suas idades: 8, 12 e 28 anos. Quanto recebeu
cada um?
Divisão proporcional composta
O problema consiste em dividir um número n em partes direta ou
inversamente proporcionais a certos números a, b, c, simultaneamente a
outros tantos números d , e , f.
Segundo a propriedade da proporção, se as partes x, y e z são proporcionais
a a, b e c e também a d, e, f , então são também proporcionais aos
produtos: a.d, b.e , c.f. Então:
y
z
 x



 a.d b.e c. f
x  y  z  n

Exercício resolvido:
Divida 392 em partes ao mesmo tempo proporcionais a 2, 3 e 4 e a 3, 5 e 7.
Resolução:
Temos: 2 x 3 =6
3 x 5 = 15
resultados obtemos: 6 + 15 + 28 = 49.
4 x 7 = 28, somando os três
 x  6 x8  48
392


8

 y  15 x8  120 , logo, as partes procuradas são
Fazendo : 49
 z  28 x8  224

48,120 e 224.
Exercícios.
1. Divida o número 2190 em três partes que sejam, ao mesmo tempo,
diretamente proporcionais a 2, 3, 5 e a 6, 7 e 8.
2. Divida 6050 em três partes que sejam, a um tempo, inversamente
proporcionais a 3, 5 e 6 e diretamente proporcionais a 4, 6 e 9.
3. Divida 292 em três partes ao mesmo tempo inversamente proporcionais
a 3, 5 e 6 e a 4, 6 e 9.
Exercícios
1. Divida o número 870 em partes diretamente proporcionais aos números
7, 10 e 12.
2. Divida 3751 em partes diretamente proporcionais a
7 5 3
, e .
4 8 2
3. Divida o número 325 em partes diretamente proporcionais aos números
0,4;1,2 e 3,4.
4. Divida o número 870 em partes inversamente proporcionais aos números
3, 5 e 9.
5. Divida o número 3161 em partes inversamente proporcionais a
2 4 7
, e .
3 5 8
6. Divida o número 1842 em partes diretamente proporcionais,
1 1 1
5 6 8
simultaneamente, aos números 3, 5 e 9 e , e .
7. Divida o número 330 em partes inversamente proporcionais,
simultaneamente, aos números 3,2 e 8 e 2, 4 e 6.
8. Divida o número 1080 em partes diretamente proporcionais a
inversamente proporcionais a 5 e 6, ao mesmo tempo.
1 3
e
2 4
e