“polinômio com coeficientes racionais” é uma escrita - MAT-UnB

Polinômios.
Um “polinômio com coeficientes racionais” é uma escrita formal
P (X) =
n
X
ai X i = a0 + a1 X + a2 X 2 + . . . + an X n
i=0
onde ai ∈ Q para todo i ∈ {0, 1, . . . , n}. Isso nos dá uma função f : N → Q
definida por f (i) = ai onde f (i) = 0 se i ≥ n + 1. Observe que o conjunto
C = {i ∈ N : f (i) 6= 0} é finito, de fato f (i) = ai = 0 se i > n, ou
seja C ⊆ {0, 1, . . . , n}. Os números racionais a0 , a1 , . . . , an são chamados de
“coeficientes” do polinômio P (X). Observe que C pode ser vazio, neste
caso o polinômio P (X) éPo polinômio nulo: P (X) = 0. Se C não for
vazio na escrita P (X) = ni=0 ai X i supomos por coerência de notação que
o coeficiente de X n seja não nulo: an 6= 0. Em outras palavras n = max(C).
Se C não for vazio (ou seja se P (X) não for o polinômio nulo), o máximo
elemento de C (que existe pois C é finito) é chamado de grau do polinômio.
Por exemplo o polinômio 6X 3 +2X 2 +1 tem grau 3, e C neste caso é {0, 2, 3}
(que está contido propriamente em {0, 1, 2, 3}). Observe que a0 = 1, a1 = 0,
a2 = 2, a3 = 6, e ai = 0 para todo i ≥ 4. Ou seja os ai que não aparecem
são iguais a zero. Se C for vazio então P (X) = 0 é o polinômio nulo e
normalmente digamos que o grau do polinômio nulo é −∞, um número
menor de todos os números. Os polinômios de grau zero são da forma a
com 0 6= a ∈ Q (polinômios “constantes”), os polinômios de grau 1 são
aX + b com a, b ∈ Q e a 6= 0, os polinômios de grau 2 são aX 2 + bX + c com
a, b, c ∈ Q e a 6= 0, etc.
Pn
Pn
i
i
Dois polinômios P1 (X) =
i=0 bi X são iguais
i=0 ai X , P2 (X) =
exatamente quando são iguais as funções correspondentes f (i) = ai , g(i) =
bi , ou seja exatamente quando ai = bi para todo i ∈ N. Esse fato é as
vezes chamado de “principio de identidade dos polinômios”, se trata de uma
consequência imediata da definição de polinômio.
Podemos introduzir duas operações entre polinômios.
• Soma.
n
X
ai X i +
m
X
i=0
bi X i =
i=0
n
X
(ai + bi )X i
i=0
onde max{n, m} = n.
• Produto. Se trata da regra X i X j = X i+j extendida por distributividade, ou seja


!
!
n
m
n+m
X
X
X
X

ai X i ·
bi X i :=
ai bj  X k .
i=0
i=0
k=0
1
i+j=k
2
Por exemplo
(X 3 + 2X 2 − X + 1)(X 2 + X + 3) =
(1)X 5 + (1 · 1 + 2 · 1)X 4 + (1 · 3 + 2 · 1 − 1 · 1)X 3 +
+(2 · 3 − 1 · 1 + 1 · 1)X 2 + (−1 · 3 + 1 · 1)X + (3)1
= X 5 + 3X 4 + 4X 3 + 6X 2 − 2X + 3.
Observe que se P (X) e Q(X) são dois polinômios não nulos de
Pngraus ni
e m, o grau de
P
(X)Q(X)
é
n
+
m.
De
fato
escrevendo
P
(X)
=
i=0 ai X
Pm
i
e Q(X) =
i=0 bi X com an 6= 0, bm 6= 0 temos que P (X)Q(X) =
an bm X n+m + J(X) com J(X) de grau menor que n + m, logo o grau de
P (X)Q(X) é n + m (observe que an bm 6= 0 sendo an , bn ∈ Q, an 6= 0 e
bm 6= 0).
O conjunto de todos os polinômios com coeficientes racionais é indicado
por Q[X]. Se trata de um grupo comutativo com a operação de soma. Existe
um elemento neutro do produto, o polinômio 1, mas em geral os elementos
não admitem inverso multiplicativo, por exemplo consideramos o polinômio
X. Não existe nenhum polinômio P (X) tal que XP (X) = 1, sendo o grau
de XP (X) igual a 1 + n onde n é o grau de P (X), e 1 + n ≥ 1. Em outras
palavras, o inverso de X seria 1/X mas 1/X não pertence a Q[X] porque
não é um polinômio. Logo Q[X] com a operação de produto não é um grupo.
Temos então uma analogia entre Z e Q[X]: eles têm duas operações
associativas e comutativas (soma e produto), são grupos aditivos (ou seja,
são grupos com a operação de soma), eles têm elemento neutro do produto
(1 nos dois casos), e não todo elemento admite inverso multiplicativo (por
exemplo X não admite inverso multiplicativo em Q[X] pois 1/X não é um
polinômio, e 2 não admite inverso multiplicativo em Z pois 1/2 não é um
inteiro). Além disso, Q[X] e Z têm a propriedade distributiva, ou seja
se a, b, c são inteiros quaisquer, ou polinômios quaisquer, então
a(b + c) = ab + ac.
Nas próximas aulas daremos o nome de “anel comutativo” às estruturas
algébricas com essas propriedades.
O que queremos fazer agora é extender tal analogia até o algoritmo de
Euclides.
Teorema (Divisão com resto para polinômios.). Sejam A(X), B(X) ∈
Q[X] dois polinômios não nulos. Existem Q(X), R(X) em Q[X] (quociente
e resto) polinômios com R(X) nulo ou de grau menor que o grau de B(X),
tais que
A(X) = Q(X)B(X) + R(X).
3
Por exemplo se A(X) = X 2 + X + 2 e B(X) = X o problema da divisão
com resto é reduzida a “colocar X em evidência”: A(X) = X(X + 1) + 2 =
(X + 1)B(X) + 2 logo Q(X) = X + 1 e R(X) = 2. Observe que R(X) tem
grau zero, e B(X) tem grau 1, o que faz sentido pois 0 < 1.
X2
Um outro exemplo fácil é A(X) = X 2 + 1, B(X) = X + 1, neste caso
+ 1 = (X − 1)(X + 1) + 2 logo Q(X) = X − 1 e R(X) = 2.
Para resolver exemplos mais complicados precisamos de um algoritmo
de divisão.
O algoritmo para fazer a divisão com resto entre A(X) e B(X) é o
seguinte. Sejam n o grau de A(X), m o grau de B(X), daı́ existem polinômios H(X) (de grau menor que n) e J(X) (de grau menor que m) tais
que A(X) = an X n + H(X) e B(X) = bm X m + J(X).
A(X) = an X n + H(X) B(X) = bm X m + J(X)
Q1 (X)B(X)
Q1 (X) =
an
n−m
bm X
A(X) − Q1 (X)B(X)
Feito isso, o algoritmo continua com A(X) − Q1 (X)B(X) no lugar de A(X).
Isso nos dá um “segundo quociente” Q2 (X), etc. No final teremos que o
resto da divisão é o último polinômio da primeira coluna e o quociente é
Q1 (X) + Q2 (X) + . . .
Observe que o polinômio bamn X n−m é um elemento de Q[X], e isso explica
porque escolhemos Q como conjunto dos coeficientes e não Z por exemplo:
porque se an , bm ∈ Q com bm 6= 0 então an /bm ∈ Q (o que não seria verdade
se tivesse Z no lugar de Q). O conjunto dos polinômios com coeficientes
inteiros, Z[X], não admite divisão com resto.
Exemplo. Sejam A(X) = X 4 + X 2 + 1, B(X) = X 2 + X em Q[X].
Faremos a divisão com resto entre A(X) e B(X).
X2 + X
X4 + X2 + 1
4
3
X +X
X2 − X + 2
−X 3 + X 2 + 1
−X 3 − X 2
2X 2 + 1
2X 2 + 2X
−2X + 1
Obtemos que A(X) = B(X)Q(X) + R(X) onde Q(X) = X 2 − X + 2 (quociente) e R(X) = −2X + 1 (resto).
4
Exemplo. Sejam A(X) = X 5 + 10, B(X) = X 3 + X − 1 em Q[X].
Faremos a divisão com resto entre A(X) e B(X).
X 5 + 10
X3 + X − 1
3
2
+X −X
X2 − 1
−X 3 + X 2 + 10
−X 3 − X + 1
X2 + X + 9
Obtemos que A(X) = B(X)Q(X) + R(X) onde Q(X) = X 2 − 1 e
R(X) = X 2 + X + 9.
X5
Exemplo. Sejam A(X) = X 4 − 2X 3 + X 2 − X − 1 e B(X) = 3X 2 + X.
Faremos a divisão com resto entre A(X) e B(X).
X 4 − 2X 3 + X 2 − X − 1
X 4 + 13 X 3
7 3
− 3 X + X2 − X − 1
− 73 X 3 − 97 X 2
16 2
9 X −X −1
16 2
16
9 X + 27 X
43
− 27 X − 1
3X 2 + X
− 79 X +
1 2
3X
16
27
Obtemos que A(X) = B(X)Q(X) + R(X) onde Q(X) = 13 X 2 − 97 X +
43
(quociente) e R(X) = − 27
X − 1 (resto).
16
27
Tendo divisão com resto, podemos aplicar o algoritmo de Euclides exatamente como o aplicamos no conjunto Z. Por exemplo aplicaremos o algoritmo de Euclides a A(X) = X 5 − 3 e B(X) = X 2 + 2 mostrando em
particular que eles são coprimos. Encontraremos dois polinômios G(X),
H(X) em Q[X] tais que A(X)G(X) + B(X)H(X) = 1.
X2 + 2
X5 − 3
1
0
X5 − 3
0
1
X2 + 2
3
1
−X + 2X
4X − 3
−(X/4 + 3/16) 1 + (X/4 + 3/16)(X 3 − 2X) 41/16
Os quocientes são X 3 − 2X e X/4 + 3/16. Logo escolhendo
G0 (X) = −(X/4 + 3/16),
H0 (X) = 1 + (X/4 + 3/16)(X 3 − 2X)
temos
A(X)G0 (X) + B(X)H0 (X) = 41/16,
daı́ escolhendo G(X) = (16/41)G0 (X) e H(X) = (16/41)H0 (X) obtemos
A(X)G(X) + B(X)H(X) = 1.
5
Exercı́cios.
(1) Faça a divisão com resto entre X 6 − X e 2X 2 + X + 1.
(2) Faça a divisão com resto entre X 12 − 1 e X 3 − 1.
(3) Encontre dois polinômios G(X), H(X) ∈ Q[X] tais que
G(X)(X 3 + 2) + H(X)(X 2 + X + 1) = 1.
(4) Encontre dois polinômios G(X), H(X) ∈ Q[X] tais que
G(X)(X 2 − 5X + 6) + H(X)(X 3 − 4X) = X − 2.
(5) Mostre por indução que se n ∈ N existe An (X) ∈ Q[X] tal que
X n − 1 = (X − 1)An (X).
(6) Existe uma formula para o grau de A(X) + B(X) que depende só
dos graus de A(X) e B(X)?
(7) Seja P (X) um polinômio de Q[X] e seja a ∈ Q. Mostre que se
P (a) = 0 então X − a divide P (X). [Dica: faça a divisão com resto
de P (X) por X − a.]