universidade estadual de feira de santana

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
NÚCLEO DE DESENHO E ARTES UEFS
DEPARTAMENTO DE EXATAS – LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Projeto de Pesquisa II
CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO DE GEOMETRIA:
Uma Proposta de Utilização de Materiais Manipulativos e o uso do Modelo de
Desenvolvimento do Pensamento Geométrico de Van Hiele no Ensino-Aprendizagem de
Geometria.
George Rocha Silva1
[email protected]
Robérico Celso Gomes dos Santos2
[email protected]
Resumo
O presente trabalho tem por pretensão investigar, em fontes escritas – livros, artigos científicos
e teses – que tratam dos problemas recorrentes do ensino de geometria das series iniciais,
fundamental I, no Brasil, com finalidade de levantar os principais problemas vivenciados pelas
escolas no que se refere a este conhecimento do universo da matemática, com o mesmo
propósito busca realçar as habilidades e competências a serem desenvolvidas, no sentido de
otimizar este ensino. Também analisar o uso de recursos didático como estratégia para simular
um ambiente real de aprendizagem. Nesta perspectiva, o interesse dessa pesquisa é discutir a
importância do ensino de Geometria, tendo como foco principal o desenvolvimento do
pensamento geométrico. A sustentação teórica desta analise será calcada no modelo de
desenvolvimento do pensamento geométrico desenvolvido por um casal de holandês, Dilma e
Pierre Van Hiele.
Palavras-chaves
Ensino de Geometria, habilidades geométrica, recursos didático e modelo de Van Hiele.
1. INTRODUÇÃO
O presente trabalho pretende discutir a importância do ensino da Geometria, tendo
como proposta a utilização de materiais manipuláveis para o desenvolvimento do
pensamento geométrico, em discente dos primeiros ciclos de iniciais do ensino
fundamental. O intuito é despertar nos docentes, deste nível de ensino, o interesse para
1
2
Discente do curso Licenciatura em Matemática da UEFS.
Professor orientador da disciplina projeto de pesquisa II do curso Licenciatura em Matemática da UEFS.
trabalhar com essa área do conhecimento matemático com mais dinamismo, oferecendo
lhes elementos para que conheçam quais habilidades procurar desenvolver em seus
alunos, visto que seu ensino tem sido tratado com descaso, isto quando é ensinado.
A Geometria está presente nas mais diferentes situações do cotidiano, em outros tópicos
da matemática, em outra área do conhecimento e em diversas profissões. Os Parâmetros
Curriculares Nacionais – PCNs (Brasil, 1997) apontam seu estudo como importante
para desenvolve um tipo especial de pensamento que nos permite compreender,
descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vivemos. E segundo
Lorenzato, Pesquisas psicológicas indicam que a aprendizagem geométrica é necessária
ao desenvolvimento da criança, pois inúmeras situações escolares requerem percepção
espacial, tanto em Matemática como na leitura e escrita
Infelizmente, na escola a geometria é desenvolvida, geralmente, desvinculada da
realidade dos discentes, através de conceitos abstratos descontextualizados de situações
práticas. Inúmeros pesquisadores têm demonstrado esse fato e segundo Lujan (1997), na
década de 60, com influencia do Movimento da Matemática Moderna, o ensino da
Geometria, no ensino fundamental de 1ª até as 4ª série praticamente desapareceu. Na
Opinião de Fonseca (2002), “falta aos professores clareza sobre o que ensinar de
Geometria e/ou acerca de que habilidades desenvolver nesse nível de ensino” p. 17.
Ainda segundo Fonseca (2002),
“(...) quando se solicita aos professores uma descrição dos conteúdos
referentes a números e operações, em geral é feita de maneira
minuciosa. Entretanto, quando se trata das discussões dos tópicos de
Geometria, estes são relacionadas de maneira sumaria, sem
quaisquer detalhes, dando a impressão de que são pouco trabalhadas
em sala de aula e que os professores não se sentem a vontade ao
abordá-los” p. 21.
Então o que fazer para despertar o interesse dos docentes e dos discentes pela
Geometria? Muitas pesquisas têm surgido para tentar solucionar essa problemática,
desde que o Movimento da Matemática Moderna fracassou com a retirada da Geometria
dedutiva do currículo. Mas, segundo Carl Allendoerfer, apud Usiskin (1994), “é fácil
encontrar falhas no curso tradicional de geometria, mas é muito difícil encontrar um
caminho correto para superar essas falhas” p. 21. Entretanto têm surgido muitos
trabalhos inovadores alguns destes mais pontuais e outros mais abrangentes, como o
modelo de desenvolvimento do pensamento geométrico proposto pelo casal de
holandês, Dina Van Hiele e Pierre Marie Van Hiele, ao qual se fundamenta esse
trabalho para orientar a formação dos conceitos geométricos.
O modelo de Van Hiele do desenvolvimento do pensamento geométrico segundo Kallef
(1994), “se coloca como guia para aprendizagem e avaliação das habilidades dos
alunos em geometria” (p. 24) e sugere que os alunos progridam seguindo uma
sequência de níveis de compreensão de conceitos através da vivência de atividades
adequadas e cuidadosamente ordenada pelo docente.
Como a Geometria é por natureza um instrumento que surgiu a parti da necessidade
prática, nada melhor para envolver uma turma do que a criação de situações que aguce o
interesse e a curiosidade dos discentes. Nesse sentido, chama-se atenção para o uso de
material manipulável no processo ensino aprendizagem da Geometria. Pois, favorecem
a exploração, experimentação, imaginação, análise e criatividade, além de proporcionar
que os discentes se envolvam mais nas aulas, interaja mais uns com os outros e
compreendam com mais facilidade os assuntos abordados em sala aula de forma bem
mais interativa e dinâmica.
Refletido sobre o assunto, várias questões são levantadas: A utilização de materiais
manipuláveis pode facilita o aprendizado de geometria? Quais habilidades desenvolver
no ensino de geometria? Os docentes tiveram uma formação que lhes possibilitam
trabalhar adequada com o ensino de geometria? Como os professores podem contribuir
para que os alunos aprendam geometria? Mas nem todas serão possíveis de serem
solucionadas neste trabalho, no entanto, é interessante citá-las para instigar outros
pesquisadores.
A inquietação com ensino da Geometria, que veio desencadear esse trabalho, surgiu das
discussões em sala de aula, durante a graduação em Licenciatura em Matemática, na
Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS) e em especial, na disciplina
Instrumentalização para o Ensino da Matemática V, cujo tema era geometria. E das
experiências em sala de aula, como professor do segundo grau, ao perceber as
dificuldades que a maioria dos discentes apresentava em questões que envolvesse
situações geométricas.
A escolha pelas séries iniciais surgiu depois ter conhecido o trabalho desenvolvido pelo
PROJETO CAT (Conhecer, Analisar e Transformar a Realidade do Campo), a algumas
escolas do Campo, principalmente as que se localizam no semi-árido baiano. O CAT é
um projeto de formação continuada de professores do Campo que atuam no nível
fundamental de 1ª a 5ª ano e tem como parceiros a UEFS, o MOC (Movimento de
Organização Comunitária) e algumas prefeituras - maioria do semi-árido baiano. O
Projeto acredita que o papel da escola não é só de repassar o código escrito, ensinar a ler
e a contar. É, sobretudo, de construir valores e conhecimentos e preparar as pessoas para
a vida. Adota como metodologia de ensino os ensinamentos de Paulo Freire, partindo
sempre da realidade local, rural, da vida em comunidade e do processo produtivo,
defendendo sempre o meio ambiente.
A relevância desse trabalho se da no campo da Educação Matemática, área que se
preocupa com os aspectos pedagógicos e cognitivos do ensino da matemática. Assim,
este artigo procura desenvolver a idéia de que o uso de materiais manipuláveis, no
ensino da Geometria, pode ajudar a re-construir o raciocínio geométrico, em especial
nas séries iniciais, do ensino fundamental; tendo como principio norteador a teoria de
desenvolvimento do pensamento geométrico dos Van Hiele.
2. O ensino de geometria:
2.1 Movimento da Matemática Moderna; Problemas; Habilidades e
competências; Formação de Professores
3. O uso de material manipulável no ensino de geometria
4. O Modelo de Van Hiele
5. Considerações Finais
6. Referências Bibliográficas
O ensino da Geometria, no Brasil, era baseado em métodos dedutivos e embora sua
presença nas escolas fosse constante, poucos eram os alunos que a compreendiam de
forma eficiente. Com a necessidade de resolver essa problemática, foi implantado no
país, na década de 60, o Movimento da Matemática Moderna, que tinha como proposta
algebrizar o ensino da Geometria.
Entretanto, os professores sem entender direito essa proposta, foi deixando o ensino da
Geometria para segundo plano e às vezes, até deixada de ser ensinada. Os livros
didáticos que foram surgindo na época, com essa nova proposta, deixaram os
professores ainda mais perdidos, pois apresentavam muitas distinções a cerca da
abordagem do ensino da geometria. Alguns deles traziam a nova proposta, mas
mantinham fortes laços com a proposta anterior. Conforme aponta Vianna (2000),
“Quanto aos livros didáticos, se antes parecia haver uma certa
uniformidade na abordagem da Geometria, com a Matemática Moderna,
eles começaram a apresentar mais distinções, dependendo, não só do
envolvimento do autor com o Movimento, mas também, da crença se seriam
pedagogicamente aplicáveis e da coragem de romper com os padrões
tradicionalmente aceitos” (p. 32).
Dessa forma, as outras áreas da matemática, especificamente a álgebra, foram ganhando
cada vez mais espaço no currículo da Matemática e na sala de aula. O resultado foi o
distanciamento da Geometria da sala de aula e do surgimento de vários problemas além
dos existentes.
O Movimento da Matemática Moderna, no Brasil, não teve êxito e segundo Lorenzato
(1995), a proposta além de não vingar, conseguiu eliminar o modelo anterior, criando
uma lacuna nas nossas práticas pedagógicas que pendura até hoje. Na tentativa de
encontrar a solução para os problemas, surgem várias pesquisa pedagógicas. Uma delas,
que não é tão nova assim é o uso de materiais manipuláveis no ensino da Geometria,
que de acordo com Nacarato, o uso desses materiais no ensino foi destacado pela
primeira vez no século XIX, por Pestalozzi “ao defender que a educação deveria
começar pela percepção de objetos concretos, com a realização de ações concretas e
experimentações” p .1.
Como se percebe, a falta de atenção dada ao ensino da Geometria no Brasil, pelos
professores da escola básica é uma questão histórica. Primeiro o ensino da Geometria
era feito por métodos axiomáticos - que pouquíssimos alunos compreendiam. Em
seguida surgiu o movimento da matemática moderna, que também não deu certo, e
como conseqüência o ensino da Geometria foi sendo deixado de lado. Atualmente,
temos várias tendências pedagógicas que tratam sobre o ensino da Geometria, mas todas
elas sofrem influências negativas das anteriores, pois muitos dos professores que
lecionam hoje, principalmente os das séries iniciais, não viram ou viram de forma
superficial o ensino da Geometria quando eram alunos, conforme apontam várias
pesquisas.
Segundo Lorenzato (1995), os principais problemas a cerca do ensino da Geometria na
sala de aula, são dois: um que muitos professores não detêm os conhecimentos
geométricos necessários para realização de suas práticas pedagógicas e o outro a
exagerada importância que desempenha o livro didático para os professores, que na sua
grande maioria tem apresentado os conteúdos da Geometria desligados da realidade do
aluno, geralmente no final do livro e não apresenta nenhuma relação com outras
disciplinas e nem mesmo com outros tópicos da matemática.
Lorenzaro (1995) ainda aponta outras causas, que embora ligados a problemas externos
a sala de aula, merecem importância equivalentes aos citados anteriormente; como pro
exemplo o Movimento da Matemática Moderna e o currículo (entendido diminutamente
como o conjunto de disciplinas) que nos cursos de formação de professores a geometria
possui uma fragilíssima posição, quando consta.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997), também apontam alguns problemas que
embora estejam ligados ao ensino da Matemática refletem também no ensino da
Geometria.
Parte dos problemas referentes ao ensino de Matemática estão relacionados
ao processo de formação do magistério, tanto em relação à formação inicial
como à formação continuada. Decorrentes dos problemas da formação de
professores, as práticas na sala de aula tomam por base os livros didáticos,
que, infelizmente, são muitas vezes de qualidade insatisfatória. A
implantação de propostas inovadoras, por sua vez, esbarra na falta de uma
formação profissional qualificada, na existência de concepções pedagógicas
inadequadas e, ainda, nas restrições ligadas às condições de trabalho (p.
22.)
Fonseca (2002), também identifica alguns problemas a cerca do ensino da Geometria,
como por exemplo: pouco tempo dedicado a abordagem de Geometria nas séries
iniciais; falta ao professores clareza sobre o que ensinar sobre Geometria e/ou acerca de
que habilidades desenvolver nesse nível de ensino; o professor, em geral, toma como
referência para suas aulas um único livro didático; ignoram as propostas curriculares
oficiais e em sua prática pedagógica não se identifica com os conteúdos e orientações
metodológicas de tais propostas.
Quanto ao ensino da Geometria, de acordo com Fonseca (2002), é comum apoiar-se em
caráter utilitário – utilização da geometria na vida cotidiana, profissional ou escolar –
para justificar a importância do ensino da geometria nas escolas de nível fundamental.
Ainda segundo Fonseca (2002), é possível ultrapassar esse uso imediato para ligar-se a
aspectos mais formativos e acrescenta que, “nesse campo, é relevante assinalarmos o
papel da Geometria como veículo para o desenvolvimento de habilidades e
competências tais como a percepção espacial e a resolução de problemas (escolares ou
não), uma vez que ela oferecem aos alunos“ as oportunidades de olhar, comparar,
medir, adivinhar, generalizar e abstrair” (Sherard III,1981)” (2002, p. ??).
O conceito de competência será entendido nesse trabalho como está em Viana (2009)
“um processo de agir de maneira reflexiva e eficaz em um determinado tipo de
situação, apoiado no conjunto de articulado e dinâmico de conhecimentos, saberes,
habilidades e atitudes” (p.159). Krutetskii (1976) apud Resi (2001) definiu habilidade
como um traço pessoal que torna alguém capaz de desempenhar uma determinada tarefa
rapidamente e bem. Assim,
“No caso específico da matemática escolar, o sucesso do individuo seria
influenciado por sua habilidade matemática, caracterizada pela rapidez, pela
facilidade e pela meticulosidade no domínio dos conhecimentos, das destrezas e dos
hábitos próprios da Matemática” Viana (2009, p.160).
Dentre as habilidades matemática, as que interessam esse trabalho são as que
desenvolvem o raciocínio geométrico - formação e manipulação de imagens mentais fundamental para o desenvolvimento do pensamento geométrico e para resolução de
problemas escolares ou não.
Na definição de habilidade espacial, adotaremos dois subcomponentes: a percepção
visual e a representação mental. A percepção é referida aqui, como um “conjunto de
processo pelos quais reconhecermos, organizamos e entendemos as sensações recebidas
dos estímulos ambientais” Sternberg (2000) apud Rezi (2001, p. 34) através dos órgãos
sensoriais. Dentre todos os órgãos sensoriais, o que mais utilizamos nas realizações das
atividades é o visual, pois possibilita identificar a semelhança e diferença dos objetos.
Os objetos além de ser percebidos pelos os órgãos dos sentidos podem também ser
lembrados através de associações feita pela mente que cria e recria imagens mentais
representando situações que de alguma maneira se estrutura formando as imagens.
A imagem mental é uma das formas de representação pela qual “criamos
estruturas mentais que representam coisas que, presentemente não estão
sendo percebidas pelos órgãos sensoriais” (Sternberg, 2000, p. 180). (...)
Segundo Kosslyn (1992), a imagem mental refere-se à possibilidade de
criação mental com representações de objetos, pessoas e situações, mesmo
na ausência de estímulos visuais apropriado. (Rezi, 2001, p. 33).
As imagens mentais são chamadas por Viana (2009) de representações mentais, a qual
define como: a maneira pela qual o indivíduo torna presentes no pensamento alguns
aspectos do meio ambiente, sejam externos ou pertencentes ao seu próprio mundo
imaginário.
Porém, mais do que perceber as formas, o indivíduo deve adquirir habilidade para
manipular mentalmente as representações dessas formas. Sternbeg (2000), apud Rezi
(2001) definiu essa habilidade como visualização espacial, que será referenciado no
corpo desse trabalho com mais veemência como raciocínio espacial. Concordo com
Viana (2009) ao afirmar que o raciocínio espacial “é essencial para o pensamento
científico, pois permite ao homem formar modelos do mundo físico através de
representações visuais mentais e operar utilizando esses modelos” (p. 154). Também
concordo com Primi e Almeida (2000) apud Viana (2009), ao afirmar que o raciocínio
espacial “seria avaliado pela capacidade visualizar, isto é, de criar representações
mentais visuais e manipulá-las, transformando-as em novas representações” (p. 165). E
com Kallef apud Fonseca, ao afirmar que “ao visualizar objetos geométricos, o
indivíduo passa a ter controle sobre o conjunto das operações mentais básicas exigidas
no trato da Geometria” (p. 74).
Nesse aspecto, os indivíduos que possuírem as habilidades geométricas bem construídas
saíram bem em situações envolvendo problemas geométricos, tanto escolares ou não.
Ao ensinar Geometria, principalmente em series inicias, é fundamental que o docente
além de desenvolver as habilidades ligadas ao pensamento geométrico desenvolva
habilidades para resolver problemas como também habilidades psicomotoras, artísticas,
leitura de desenho, entre outras. Acreditamos que a utilização de recursos didáticos,
como a utilização e manipulação de materiais concretos nas aulas de geometria facilita o
desenvolvem dessas habilidades, em especial o pensamento geométrico.
Atualmente existem muitas pesquisas sobre o uso de recursos didático no ensino de
Matemática, sobretudo no uso dos materiais manipulativos para o ensino da Geometria.
Essas pesquisas indicam que o uso responsável desses materiais proporciona um
aprendizado significativo. Mas também apontam que, se esses recursos forem mal
utilizados, não contribuirá efetivamente para melhoria da educação matemática,
especialmente no ensino da geometria.
A utilização incorreta dos materiais pode gerar uma inversão didática - utilização do
objeto em si mesmo. A inversão didática “ocorre quando um instrumento pedagógico,
idealizado para facilitar o processo de aprendizagem, passa a ser utilizado como se
fosse o próprio objeto de estudo em si mesmo” (Pais, 2000, p. 5). Segundo Nacarato
(2005),
“O uso de materiais manipuláveis no ensino foi destacado pela primeira vez por
Pestalozzi, no século XIX, ao defender que a educação deveria começar pela
percepção de objetos concretos, com a realização de ações concretas e
experimentações. No Brasil o discurso em defesa da utilização de recursos didáticos
nas aulas de Matemática surgiu na década de 1920. Esse período foi marcado pelo
surgimento de uma tendência no ensino de Matemática que ficou conhecida como
empírico-ativista, decorrente dos ideais escolanovistas que se contrapunham ao
modelo tradicional de ensino no qual o professor era tido como elemento central do
processo de ensino” (p. 1).
A manipulação dos materiais concretos faz com que os alunos se envolvam mais nas
aulas, interaja mais uns com os outros e compreendam com mais facilidade os assuntos
abordados em sala aula de forma bem mais interativa e dinâmica.
Nesse sentido, é importante que os alunos tenham contato direto com os matérias, no
processo ensino aprendizagem de geometria e para tal faz-se necessário que o professor
disponha de alguns destes materiais, como por exemplo: geoplanos e os Blocos
geométricos e/ou construam outros na sala de aula com os alunos, como pro exemplo o
tangam e os sólidos geométricos, podendo, assim, formar um laboratório de matemática
com materiais manipuláveis.
Essa pesquisa defende o ensino de geometria utilizando os materiais manipuláveis e
pautados no modelo de Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico. “O
modelo de Van Hiele do pensamento geométrico se coloca como guia para
aprendizagem e avaliação das habilidades dos alunos em geometria” (Kallef, 1994, p.
24). O modelo de Van Hiele surgiu com os trabalhos de doutoramento de um casal de
holandês Dina Van Hiele – Geoldof e Pierre Marie Van Hiele, na Universidade de
Utrecht. Um pouco depois de apresentar sua tese, Dina faleceu, assim foi Pierre quem
esclareceu aperfeiçoou e promoveu a teoria, salvo na União Soviética, cujo currículo de
geometria foi reformulado na década de 60 para adaptar-se ao modelo do casal Van
Hiele.
O trabalho do casal demorou a merecer atenção internacional. Na década de 70 o
americano Izaak Wirszup começou a escrever e a falar sobre o modelo. Na década de 80
o interesse dos americanos pelos trabalhos dos Van Hiele cresceu o que se acentuou
particularmente através das traduções para o inglês de alguns dos trabalhos principais do
casal. Também da década de 70, Hans Freudenthal chamou atenção para os trabalhos do
caso no livro “Mathematics as na Educational Task” (Crowley, 1994).
A motivação do casal para formular o modelo veio da experiência que tiveram em sala
de aula observando o comportamento geométrico de seus alunos.
O modelo consiste em cinco níveis de compreensão que descreve as características do
processo de pensamento geométrico. Os níveis estão denominados de: nível 0 –
Visualização, nível 1 – analise, nível 2 dedução informal, nível 3 dedução e nível 4 –
rigor.
No nível inicial – É o estágio no qual o aluno percebe o espaço apenas como algo que
existe em torno deles. As figuras ou objetos geométricos são reconhecidas em sua
totalidade, e não pelas suas partes. Neste nível o aluno consegue aprender um
vocabulário geométrico e identificar as formas específicas e, dada uma figura reproduzila (Crowley, 1994).
No nível 1 é onde se inicia a análise dos conceitos geométricos. Através da observação e
experimentação as figuras podem ser identificadas por suas partes; entretanto, cada uma
delas é vista isoladamente, ou seja, as relações entre assas partes não podem ser ainda
compreendidas, assim como as definições (Crowley, 1994).
No nível 2 Dedução informal – Segundo Crowley (1994), neste nível os alunos
conseguem estabelecer relações de propriedades tanto dentro de figuras, quanto entre
figuras. Assim são capazes de deduzir propriedades de uma figura e reconhecer classes
de figuras. As definições têm significado. Os alunos acompanham e formulam
argumentos informais, mas não compreendem o significado da dedução na sua
totalidade, nem o papel dos axiomas.
Nível 3 – dedução formal, neste nível compreende-se o significado da dedução como
uma maneira de estabelecer a teoria geométrica no contexto de um sistema axiomático.
São percebidos a inter-relação e o papel de termos não definidos, axiomas, postulados,
definições, enxerga a possibilidade de desenvolver uma demonstração de mais de uma
maneira, compreender a interação das condições necessárias e suficientes, é capaz de
fazer distinções entre uma afirmação e sua recíproca.
Nível 4 – Rigor, neste estágio o aluno é capaz de trabalhar em vários sistemas
axiomáticos, isto é, podem-se estudar geometrias não euclidianas e comparar sistemas
diferentes.
Os Van Hiele além de caracterizarem cada nível identificaram que a passagem de um
nível a outro deve ser seqüencial e depende mais do conteúdo, dos métodos e das
instruções recebidas do que da idade. Afirma ainda que cada nível deva ter sua própria
linguagem, que os conhecimentos estudados em um nível deve ser utilizados no nível
subseqüente e que o nível de ensino do professor deva coincidir com o nível de
aprendizagem do aluno.
Nesta perspectiva, o interesse dessa pesquisa é discutir a importância do ensino de
Geometria, tendo como foco principal o desenvolvimento do pensamento geométrico,
por meio do uso de materiais manipuláveis, sustentada no modelo de desenvolvimento
do pensamento geométrico desenvolvido por Dilma e Pierre Van Hiele.
1. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CROWLEY, M. L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico. In
Aprendendo e ensinando geometria. Lindquist, Mary Montgomery e Shulte, Albert P. (org),
trad. De Hygino H. Domingues, São Paulo, Atual 1994.
FONSECA, Maria da Conceição F. R. et. al.O ensino da geometria na escola fundamental:
três questões para a formação do professor dos ciclos iniciais. 2º ed. Belo Horizonte: Autentica,
2002.
Lorenzato, Sérgio. Por que não ensinar geometria? Educação matemática em revista, SBEM,
São Paulo, n. 4, p. 3-13, 1995.
Lopes, L. M. L. e Nasser, L. Geometria na Era da Imagem e do Movimento. Rio de
Janeiro: Instituto de Matemática/UFRJ, 1997.
LUJAN, M. L. A Geometria na 1ª série do 1º grau: Um trabalho na perspectiva de van
Hiele. Tese de Mestrado - Universidade Estadual de Campinas –
Unicamp/Campinas/SP,1997.
Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Fundamental e
Médio:Matemática, Brasília:MEC/SEF,1997.
Nacarato, Adair Mendes. Eu Trabalho Primeiro no Concreto. Educação matemática
em revista, SBEM, São Paulo, n. 1, p.1-6, 2005.
NASSER, Lilian, SAN'ANNA, Neide F. Parracho. Geometria segundo a teoria de
Van Hiele. Projeto Fundão. 4ª edição, 2004.
PAIS, L. C. Uma análise do significado da utilização de recursos didáticos no
ensino da geometria. Disponível em: <www.anped.org.br/23/textos/19/1919t.pdf>.
Acesso em 4 de novembro de 2009.
Rezi,Viviane. Um Estudo Exploratório sobre os Componentes das Habilidades
Matemáticas Presentes no Pensamento em Geometria. Dissertação de Mestrado Universidade Estadual de Campinas – Unicamp/Campinas/SP,2001.
Viaana, Claudia C. de Segadas; Teixeira, Mario Touresse. O Raciocínio Dedutivo do
Ensino da Geometria. SBEM, São Paulo, n. 1, p. 1-3, 2000.
Viana, Odaléa Aparecida. Conceitos e Habilidades Espaciais Requeridos pelas
Questões de Geometria do ENC/ENADE para a Licenciatura em Matemática.
Bolema, Ria Claro (SP), n. 34, p. 153-184, 2009.