x(d )

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
Instituto de Física
Departamento de Física
Disciplina: Física do Século XX A
Prof. César Augusto Zen Vasconcellos
LISTA TEMÁTICA E DE PROBLEMAS No. 13 – Equação de SCHRÖDINGER. O poço quadrado unidimensional finito;
valores esperados. Poço quadrado de paredes infinitas revisitado. Valores esperados e operadores.
Parte I – O poço quadrado unidimensional finito; representação pictórica.
Representamos o potencial quadrado unidimensional finito na forma apresentada na
figura1.
Figura 1
O poço quadrado unidimensional finito; soluções:
No interior do poço, V(x) = - V0 e portanto a equação de Schrödinger independente do
tempo fica, neste caso, igual a
d2 !(x) 2m
d2 !(x) 2m
d2 !(x)
+ 2 (E # V )!(x) =
+ 2 (V0 # B )!(x) =
+ " 2 !(x)
2
2
2
dx
h
dx
h
dx
sendo neste caso # 2 "
2m(V0 ! B )
e fazendo, para x < b, E = - B e V = - V0.
h2
Solução geral: #(x) = A 1ei!x + A 2 e "i!x . Condição de contorno na origem, !(0) = 0 , leva a
#(0) = A1 + A 2 = 0 " A1 = !A 2 , resultando daí
(
)
#(x) = A1ei!x " A1e "i!x = A1 ei!x " e "i!x = 2iA1 sen !x = A sen !x com 2iA1 ! A.
E portanto "(x) = A sen !x para x < b.
No caso presente, V(x) = 0 no exterior do poço e portanto a equação de Schrödinger
independente do tempo é dada por
d2 !(x) 2m
d2 !(x) 2m
d2 !(x)
+
E
!
(
x
)
=
#
B
!
(
x
)
=
# "2 !(x)
dx2
h2
dx2
h2
dx2
fazendo ,para x > b,
sendo " 2 !
2mB
,
h2
E = - B e V = 0.
Solução geral: #(x) = B1e !x + B2e " !x . Condição de contorno no infinito, "(!) = 0 , leva a
B1=0.
E portanto #(x) = Be " !x ,para x > b, fazendo
constantes de normalização.
B2=B. Nestas expressões, A e B são
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LISTA TEMÁTICA E DE PROBLEMAS No. 13 – Equação de SCHRÖDINGER. O poço quadrado unidimensional finito;
valores esperados. Poço quadrado de paredes infinitas revisitado. Valores esperados e operadores.
O poço quadrado unidimensional finito; condições de continuidade: as condições de
continuidade levam a
A sen #x
A# cos #x
x =b
x =b
= Be " !x
= "B!e " !x
x =b
x =b
$ A sen #b = Be " !b
$ A# cos #b = "B!e " !b .
(I)
Podemos eliminar A e B dividindo as equações da linha de baixo pelas equações da linha
de cima
A# cos #b " B!e " !b
=
$ # cot #b = "! .
A sen #b
Be " !b
Determinação das constantes de integração; As constantes de integração podem ser
obtidas fazendo-se
+$
#
dx !(x)
2
0
=1"
%$
#
%$
dx !(x)
2
b
+
#
dx !(x)
0
2
2
$
+
#
b
dx !(x)
2
$
=
#
dx !(x)
2
0
2
A
(2"b # sen 2"b) + 2B e #2!b = 1 . (II)
"
!
A e B podem ser determinadas combinando-se a equação II com qualquer uma das duas
equações I. Determinação dos auto-valores de energia da partícula imersa no poço
quadrado; soluções gráficas da equação # cot #b = "! . Para resolver esta equação,
multiplicamos inicialmente ambos os lados por b obtendo:
$
%b cot %b = "!b $ # cot # = "!b onde # " !b.
# "b
Graficamos agora $ =
e " = cot ! . Desenhamos a seguir o gráfico de # " !
!
tomando ! como variável independente, na forma " = s! , onde s é um número real
#"b
positivo que varia no intervalo s=0 e s=∞. As interseções entre as funções
e cot !
!
fornecem as raízes das soluções.
Figura 2
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valores esperados. Poço quadrado de paredes infinitas revisitado. Valores esperados e operadores.
Problemas
1. Resolva passo a passo a equação de Schrödinger para o poço quadrado
unidimensional finito no caso considerado no texto. Obtenha a solução
gráfica do poço quadrado unidimensional finito no caso considerado no
texto.
2. Identifique na solução gráfica correspondente ao caso do poço quadrado
unidimensional finito as soluções dos auto-valores de energia
correspondentes a n=1,2 e 3. O que você pode concluir dos resultados
obtidos neste problema?
Parte II - Equação de SCHRÖDINGER. Poço quadrado de paredes infinitas revisitado.
Valores esperados e operadores. A figura 3, abaixo, à esquerda, mostra o gráfico da
energia em função da posição x para uma partícula em um poço quadrado de paredes
infinitas. A energia potencial V(x) está indicada por linhas verticais. Classicamente, a
energia poderia ter quaisquer valores. De acordo porém com a mecânica quântica,
apenas valores quantizados de energia, dados por
!2 h 2
!2 h 2
2
;
com
En = n2
=
n
E
E
=
1
1
2mL2
2mL2
com n = 1, 2, 3..., correspondem a soluções consistentes da equação de Schrödinger. A
figura 3 à direita mostra um exemplo específico com L = 0,4nm.
Figura 3
A figura 4 à esquerda mostra gráficos da função de onda para diferentes valores de n
2
& n'x #
sen$
!
L
% L "
e gráficos das correspondentes densidades de probabilidade
2
2
& n'x #
Pn (x) = ( n (x) = ( n (x)2 = sen2 $
!,
L
% L "
( n (x) =
para os valores n = 1, 2 e 3, do número quântico principal n. O gráfico da direita mostra no
eixo das abscissas, os valores das energias, em eV, e no eixo das ordenadas os valores de
largura de um poço quadrado de paredes infinitas, para valor de L = 10nm,
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valores esperados. Poço quadrado de paredes infinitas revisitado. Valores esperados e operadores.
Figura 4
A figura 5 mostra o gráfico da distribuição de probabilidade da solução da equação de
Schrödinger na presença de um poço de potencial quadrado com paredes infinitas para
n = 10,
2
& 10'x #
sen$
!.
L
% L "
A linha tracejada corresponde à densidade de probabilidade clássica dada pelo valor
médio
&
#
n!
21 1
,2
)
,
P = % - n (x)2 médio = * sen2 (k n x )'
=
= , com k n =
"
L
L
L
2
L
+
( médio !n / .
$
( 10 (x) =
[
]
que corresponde à média da distribuição quântica em uma região do espaço que
contém um número muito grande de oscilações (n ⇒ ∞). A figura 6 mostra o gráfico da
densidade de probabilidade
2
& 'x #
((x)2 = sen2 $
!
L
% L "
em função da posição x para uma partícula no estado fundamental (n = 1) de um poço
quadrado infinito. As áreas escuras representam as probabilidades de encontrar a
partícula nos intervalos correspondentes.
Figura 5.
Figura 6.
A figura 7 mostra o diagrama de níveis de energia correspondente a um elétron em uma
caixa do tamanho de um átomo. As setas indicam as transições de níveis do estado com
n = 3, para os estados com n = 2 e 1 e do estado com n = 2 para o estado com n = 1. A
figura 8 mostra os gráficos das funções de onda !(x) e das densidades de probabilidade
2
!(x) para o poço quadrado finito abaixo definido na Figura 9. A comparação com as
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valores esperados. Poço quadrado de paredes infinitas revisitado. Valores esperados e operadores.
soluções do poço quadrado infinito mostra que os comprimentos de onda são neste caso
ligeiramente maiores do que os comprimentos de onda correspondentes no poço
quadrado infinito enquanto que as energias permitidas são ligeiramente menores.
Figura 7.
Figura 8
Figura 9.
Problemas
1. Usando
En = n2
!2 h 2
!2 h 2
2
;
com
=
n
E
E
=
1
1
2mL2
2mL2
encontre os valores dos níveis de energia apresentados na figura 3.
2. Discuta os resultados apresentados fazendo uma análise comparativa entre
aqueles resultados que correspondem ao poço quadrado de paredes infinitas
com aqueles do poço quadrado de paredes finitas.
3. Compare os resultados obtidos na mecânica quântica para a distribuição de
probabilidade (densidade de probabilidade) do poço quadrado infinito com os
resultados correspondentes da física clássica.
4. Compare também os resultados obtidos na mecânica quântica para os autovalores de energia de uma partícula em um poço infinito com os resultados
correspondentes da mecânica clássica. O que você pode afirmar, com base nos
resultados discutidos, sobre algumas diferenças entre as predições físicas da
mecânica quântica e da mecânica clássica.