Distribuição Gama

Probabilidade II
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
Aula Distribuição Gama
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Distribuições Contínuas de Probabilidade
Distribuição Gama
Distribuição Gama
A variável aleatória contínua X tem distribuição gama quando
sua função densidade de probabilidade é dada por:
f ( x) =
β α α −1 − β x
x e , x > 0
Γ (α )
f ( x ) = 0,
x≤0
NOTAÇÃO:
X~Gama(α,β)
Onde α é o parâmetro de forma (α > 0) e β é o parâmetro de
escala (β > 0).
Observação:
Quando α = 1, tem-se a distribuição exponencial.
Quando α= n/2, n inteiro e β=1/2, tem-se distribução quiquadrado com n graus de liberdade.
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Distribuições Contínuas de Probabilidade
Distribuição Gama
Função Gama
A função gama é definida por:
Integrando por partes, tem-se:
Se α é um número natural, então:
Por exemplo:
Em particular:
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Distribuições Contínuas de Probabilidade
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Esperança, Variância e F.G.M.
Há uma relação estreita entre a distribuição exponencial e a
distribuição gama.
Se α = 1 a distribuição gama se reduz à distribuição exponencial.
Isso segue da definição geral de que se a variável aleatória X é a
soma de α variáveis aleatórias independentes, distribuídas
exponencialmente cada uma com parâmetro β, então X tem uma
densidade Gama com parâmetros α e β.
Vamos obter então a esperança, variância e função geradora de
momentos da distribuição gama, através dessa relação com a
distribuição exponencial.
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Distribuições Contínuas de Probabilidade
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Esperança, Variância e F.G.M
Seja Yi∼Exp(β), com i=1,...,α sendo α inteiro positivo.
Considerando os Yi´s independentes, temos que X=Y1+Y2+...+Yα.
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α
α
α
E ( X ) = E ∑ Yi = ∑ E (Y ) i = ∑
i =1
i =1
α
i =1
α
1
β
=
α
Var ( X ) = Var ∑ Yi = ∑ Var (Y ) i = ∑
i =1
α
i =1
α
M X (t ) = ∏ M X j ( t ) = ∏
j =1
j =1
i =1
α
β
1
β2
=
α
β2
α
 β 

= ∏ 
β − t j =1  β − t 
β
α
1
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Distribuições Contínuas de Probabilidade
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Função de Distribuição Acumulada
A Função de Distribuição Acumulada da distribuição gama é
intratável analiticamente.
x
∞
β α α −1 − βx
β α α −1 − β x
F(X ) = ∫
x e = 1− ∫
x e ,x > 0
Γ (α )
Γ (α )
0
x
Se α é um inteiro positivo, então a equação acima pode ser
integrada por partes, resultando em
e − βx ( β x ) k
,x > 0
k!
k =0
F ( X ) = 0, x ≤ 0
α −1
F (X ) = 1−
∑
A expressão acima é a soma de termos da Poisson com média βx.
Assim, tabelas da Poisson acumulada podem ser usadas para
calcular a função de distribuição gama.
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RELAÇÃO ENTRE AS DISTRIBUIÇÕES POISSON E GAMA:
Teorema 7.1:Se o número de ocorrências de um processo de contagem segue
distribuição de Poisson(λ), então a variável aleatória "Tempo até a n-ésima
ocorrência" do referido processo tem distribuição Gama(n, λ).
Exemplo 1: As falhas em CPU’s de computadores usualmente são modeladas
por processos de Poisson. Isso porque, tipicamente, as falhas não são causadas
por desgaste, mas por eventos externos ao sistema. Assuma que as unidades
que falham sejam imediatamente reparadas e que o número médio de falhas por
hora seja 0, 0001. Determine as probabilidades de que:
a) o tempo entre falhas sucessivas exceda 10.000 horas;
b) o tempo até a quarta falha exceda 40.000 horas;
c) ocorram mais qe 3 falhas em 20.000 horas.
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Exemplo 1:
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Exemplo 2: O tempo entre chegadas de clientes a um caixa eletrônico segue a
distribuição Exponencial com média 5 minutos. Determine a probabilidade de
que:
a) o tempo até a chegada do quinto cliente seja inferior a 15 minutos;
b) o tempo entre chegadas sucessivas exceda 7 minutos, uma vez
que já se tenham passado 5 minutos sem que chegassem clientes.
c) mais que 3 clientes cheguem em 10 minutos
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Exemplo 2:
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Exemplo 3: Mostre que a função densidade de uma variável aleatória gama
satisfaz as condições de uma função densidade.
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Exemplo 4: Suponha que o tempo gasto por um estagiário selecionado
aleatoriamente para realizar uma tarefa em uma empresa tem uma distribuição
gama com média 20 minutos e variância de 80 minutos2 . Quais são os
parâmetros da distribuição gama utilizada?
Qual é a probabilidade de um estagiário realizar a tarefa em no máximo 24
minutos?
Qual é a probabilidade de um estagiário passar entre 20 e 40 minutos realizando
a tarefa?
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Exemplo 5: Encontre a Esperança e a Variância da distribuição gama, utilizando
a definição de valor esperado.
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