Introduç˜ao `a Geometria

Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
LMAC
Introdução à Geometria
Teste de Recuperação / Exame - 31 de Janeiro de 2014 - 15h
Duração: 1h30 (Teste) / 3h (Exame)
Teste 1
1. Considere em R3 a famı́lia de rectas rt (t ∈ R) tais que
rt = (1 − 2t, t + 1, 0) + L{(t + 1, 0, 1)}.
(0,5 val.)
a) Determine as equações cartesianas de rt para cada t.
(0,5 val.)
b) Indique, se existirem, os valores de t para os quais a recta rt e a recta definida pelas
equações x = 1 e y − z = 0 são complanares.
(0,5 val.)
c) Determine o plano H que passa no ponto (1, 1, 2) e tal que r1 seja um eixo de H.
(0,5 val.)
d) Escreva a expressão analı́tica da reflexão RH em H.
(0,5 val.)
e) Determine, se existirem, os valores de t para os quais d(rt , r1 ) > 0.
(0,5 val.)
f) Diga, justificando, se existe algum plano que seja paralelo a todas as rectas rt .
(2 val.)
2. Sendo f : R2 → R2 a isometria definida por
f (x, y) = (y − 1, x + 1)
e Rl a reflexão na recta l ⊂ R2 definida por x = 1, classifique detalhadamente as isometrias
f,
Rl ◦ f
e
f ◦ Rl ◦ f.
3. Diga, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas
(0,5 val.)
a) Em R2 a composta de uma meia-volta com uma translação é uma meia-volta.
(0,5 val.)
b) Uma aplicação afim transforma rectas em rectas.
(0,5 val.)
c) Se f é uma isometria inversa de R2 então f ◦ f é uma translação.
(0,5 val.)
d) Dadas duas rectas distintas l1 , l2 em R2 , se existe um ponto P tal que Rl1 (P ) = Rl2 (P )
então P ∈ l1 ∩ l2 .
(1,5 val.)
4. Descreva a isometria de R2 obtida por composição de duas reflexões deslizantes com eixos
perpendiculares.
(1,5 val.)
5. Seja E um espaço euclidiano de dimensão n e f : E → E uma isometria. Mostre que, se
existe um ponto P ∈ E tal que f 2 (P ) = P e f (P ) 6= P , então existem infinitos pontos em
E nestas condições.
Teste 2
6. Considere os pontos P := [1 : 1 : 0 : 1], Q := [3 : 1 : 0 : 1] e Rt := [t − 1 : t2 − 1 : 0 : 3],
t ∈ R, de P3 .
(0,5 val.)
(0,5 val.)
(0,5 val.)
(0,5 val.)
a) Determine os valores de t para os quais P , Q e Rt são colineares.
b) Descreva por equações o subespaço gerado por P , Q e R3 .
c) Indique, se existir, o ponto de P3 onde a recta que passa em P e Q intersecta a recta
que passa em R1 e R3 .
d) Indique um referencial projectivo que inclua P, Q e R1 .
7. Seja τ : P2 → P2 a transformação projectiva definida por τ ([x : y : z]) = [x+z : 2y+z : 3z].
(1 val.)
(0,5 val.)
(0,5 val.)
a) Determine os pontos fixos de τ .
b) Considere a aplicação φ : R2 → P2 definida por φ(x, y) = [x : y : 1] e a correspondente
identificação de P2 com R2 ∪ P1 . Quais os pontos de P2 cujas imagens por τ são pontos
no infinito?
c) Indique a transformação afim ϕ : R2 → R2 obtida pela restrição de τ aos pontos finitos
de P2 (i.e. aos pontos [x : y : z] com z 6= 0).
8. Considere a isometria f : H → H definida por
f (z) =
(0,5 val.)
(0,5 val.)
(0,5 val.)
(0,5 val.)
2z − 3
.
z−2
a) Quais os pontos fixos de f ?
b) Classifique f .
c) Determine as imagens f (l1 ) e f (l2 ) das rectas hiperbólicas l1 , l2 ⊂ H definidas respectivamente por Re(z) = 0 e Re(z) = 2.
d) Classifique a isometria Rl2 ◦ f onde Rl2 é a reflexão na recta hiperbólica l2 .
9. Diga, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(0,5 val.)
(0,5 val.)
(0,5 val.)
(0,5 val.)
(0,5 val.)
(1,5 val.)
a) Existem triângulos em H com ângulos internos todos iguais a π/2.
b) Em Pn a intersecção de uma recta com um hiperplano tem sempre dimensão 0.
c) Dados três pontos distintos P1 , P2 , P3 ∈ S 2 existe um único par de pontos antı́podas
±X tais que dS 2 (X, Pi ) = dS 2 (X, Pj ) para todo i, j = 1, 2, 3.
d) Qualquer transformação projectiva τ : P2 → P2 que fixa os pontos [1 : 0 : 0], [0 : 1 : 0],
[0 : 0 : 1] e [0 : 1 : 1] é necessariamente a identidade.
e) Três planos projectivos em P3 , ou se intersectam exactamente num ponto, ou têm uma
recta em comum.
10. Dadas duas rectas projectivas l1 , l2 ⊂ P2 chama-se perspectividade de centro no ponto
P ∈ P2 \ (l1 ∪ l2 ) à transformação projectiva fP : l1 → l2 que, a cada ponto X ∈ l1 , faz
corresponder o ponto de intersecção da recta P X com a recta l2 . Mostre que qualquer
transformação projectiva τ : l1 → l1 com um ponto fixo pode ser obtida como a composta
de duas perspectividades.