condução transiente

CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE
Condições variam com o tempo problema transiente ocorre quando as
condições de contorno variam.
1°) Temperatura na superfície de um sólido é alterada e a temperatura no
interior do sólido começa a variar
2°) Passa-se algum tempo antes que seja atingida a distribuição de
temperatura estacionária
O comportamento da temperatura dependente do tempo e da posição no
sólido ocorre em muitos processos industriais de aquecimento e
resfriamento
A energia é transferida por convecção e radiação na superfície do
sistema e condução no interior do sistema
O problema transiente pode ser resolvido através de duas análises
considerando:
1. A variação de temperatura no interior do sólido desprezível (variação
com a posição) e somente há variação com o tempo: T(t)
2.A variação da temperatura do sólido com a posição e o tempo: T(x,t)
Exemplos de aplicação:
- tratamento térmico
- lingote de metal quente removido de um forno e exposto a uma
corrente de ar frio
- produção de novos materiais com propriedades melhoradas
- congelamento de alimentos
1) MÉTODO DA CAPACITÂNCIA GLOBAL - T(t)
(sólido com resistência interna desprezível)
Sólido submetido a uma variação térmica repentina.
Ex:
- Em t=0 uma peça metálica aquecida e na temperatura Ti é imersa em um
banho líquido na temperatura T (Ti>T)
- Para t>0 a temperatura do metal diminui até alcançar T.
Isto se deve à convecção na interface sólido-líquido
Considerando que:
1) a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer
instante durante o processo, o que implica que o gradiente de
temperatura dentro do sólido é desprezível
2) da Lei de Fourier um gradiente desprezível implica a existência
de uma condutividade térmica, k, infinita.
Admite-se que a resistência interna à transferência de calor por condução
dentro do sólido é muito pequena comparada à resistência externa entre a
superfície e o meio (convecção)
Esta aproximação é mais exata quanto maior for a relação entre a área
superficial e o volume, ex: placas finas e fios.
Desprezando os gradientes de temperatura no interior d sólido a análise não
pode ser feita com a equação do calor.
A resposta transiente da temperatura é determinada por:
Balanço global de energia no sólido
Taxa de perda de calor do sólido = Taxa de variação da energia interna
 E sai  E ac
 hA( T ( t )  T )  Vc
dT ( t )
dt
Por conveniência se define:
 ( t )  T ( t )  T
Substituindo resulta:
Vc  i
ln  t
hA 
Esta equação é usada para determinar o tempo em que um sólido leva para
atingir a temperatura T.
Também pode ser usada para calcular a temperatura do sólido no tempo t.

 T ( t )  T
hA 

 exp t

i
Ti  T
 Vc 
 1 
O termo  hA Vc   


onde  é denominada de constante de tempo térmica, em s. E representa
o tempo que levará um objeto à responder a qualquer variação no seu
conteúdo térmico
 T ( t )  T
 1

 exp t 
i
Ti  T
 
Por analogia:
1
R
hA
Resistência à T.C. por convecção
ρVc = mc = C
Capacitância térmica do sólido
e
então =RC
Qualquer aumento de R ou C causará uma resposta mais lenta do sólido às
mudanças no ambiente térmico e aumentará o tempo para alcançar o
equilíbrio térmico.
- A temperatura cai exponencialmente com o tempo, até alcançar T∞.
- Quanto maior a massa do corpo e seu calor específico, menor  e, por
tanto, mais tempo leva para aquecer ou resfriar.
A energia total transferida Q é:
Q  0t qdt  hA0t dt
substituindo 
Q  hA0t i exp( 
hA
t )dt
Vc

 hA 
Q  Vc i 1  exp 
t  (J)

Vc



ou
–Q=Eac Q é + se o sólido experimenta um decréscimo na energia interna
Q é – se a energia interna aumenta (sólido é aquecido)
Validade do método – para que condições o método pode ser aplicado
Para uma placa com uma superfície mantida à T1 e de temperatura T2 outra
exposta a um fluido com T. Fazendo um balanço na superfície:
kA
( T1  T2 )  hA( T2  T )
L
T1  T2 L / kA Rcond hL



 Bi
T2  T 1 / hA Rconv
k
Número de Biot – Bi:
Razão entre as resistências interna e externa.
Dá a medida do decréscimo de temperatura no sólido relativo à diferença
de temperatura entre a superfície e o fluido.
Bi=hL/k
Se
- Bi<<1 é razoável assumir uma distribuição de temperatura
uniforme no sólido em qualquer tempo durante o processo transiente.
(T(x,t)T(t))
- Aumentando o Bi o gradiente de temperatura dentro do sólido é
significativo T(x,t).
- Bi>>1 o gradiente de temperatura no sólido é muito maior que entre
a superfície e o fluido.
Para aplicá-lo testar se:
Bi = hLcond/k < 0,1
onde Lcond é o “comprimento da condução”, que é definido para considerar
outras formas geométricas, Lcond=V/A
Geometrias unidimensionais: todas com característica de simetria
geométrica e térmica
- Parede plana Lcond=L (espessura 2L):
- Cilindro longo Lcond=r/2
- Esfera Lcond=r/3
Número adimensional de Fourier – Fo
Denominado tempo relativo
Fo 
Difusividade térmica

k
c p
t
Lc 2
(m²/s)
Assim a equação pode ser escrita em função de Bi e Fo:
 T ( t )  T

 exp Bi.Fo 
i
Ti  T
A equação escrita com estes dois números generaliza a equação para
diversos tipos geométricos.
Os números de Bi e Fo caracterizam a análise transiente.
Exemplo:
Em um processo de fabricação esferas de bronze de 50 mm de diâmetro estão
inicialmente a 120ºC e são submetidas a um processo de têmpera, que consiste em fazêlas passar através de um banho de água a 50ºC por um período de 2 min a uma taxa de
110 esferas por minuto. Se o coeficiente de transferência de calor convectivo é de 240
W/m²K, determine:
a) A temperatura das esferas após o processo.
b) A taxa de calor que deve ser removida do banho de água para manter sua
temperatura em 50ºC.
Esferas 120ºC
Banho de água 50ºC
c) A temperatura na superfície das esferas é diferente da temperatura no centro?
Análise geral do MCG
Outros processos induzem a condição térmica transiente no interior do
sólido:
- sólido pode estar separado da vizinhança por um gás ou pelo vácuo  se
a temperatura do sólido e da vizinhança forem diferentes a radiação pode
causar variação da energia interna no sólido e na sua temperatura
- fluxo térmico na superfície
- início de um processo de geração de calor no interior do sólido (passagem
de corrente elétrica por exemplo)
Vizinhança
Tv
q" s As( a ) + q g - ( q" conv +q" rad ) As( c ,r ) = ρVc
q" s As( a ) + q g - [ h( T
-
T∞ ) + εσ( T 4
-
dT
dt
Tviz 4 )] As( c ,r ) = ρVc
dT
dt
Solução: 1) ou por diferenças finitas
2) ou solução exata para condições simplificadas:
Exemplo 1: sem q”, sem qg, sem convecção
 ( T 4  Tviz 4 ) As( c ,r )  Vc
dT
dt
T
As ,r t
dT
 dt   4
4
Vc 0
Ti ( T  Tviz )
t
Vc
4As ,rT 3 viz
  Tviz  T 
 1  T
 Tviz  Ti 




ln

ln

2
 
 tan 
_
_



T
T
T
Ti
  viz
 Tviz

 viz


Exemplo 2: sem q” e sem qg, mas com convecção e radiação
- [ h( T - T∞ ) + εσ( T 4 - Tviz4 )] As = ρVc
Bi =
Rcond
Rconv + Rrad
τ = ( Rconv + Rrad )C
dT
dt

 Ti
  tan 1 

 Tviz
 
 
 
Gradientes de temperatura no interior do meio não são desprezíveis
- Determinação da distribuição de temperatura no interior do sólido como
uma função do tempo e da posição
Parede exposta a um meio a T∞<Ti em t=0
Transferência de calor da parede para o
meio
Gradiente de temperatura na parede

Problema da condução transiente unidimensional adimensionalizado
Equação diferencial cuja solução envolve séries infinitas e equações
transcendentais.
Parede plana de espessura 2L: unidimensional, k constante e sem geração
Equação diferencial
 2T
x 2

1 T
( x ,t )
 t
-L x +L
Simetria em x = 0 basta analisar: 0  x  L
Condições inicial e de contorno
Condição inicial
t=0
Condições de contorno x=0
x=L
T(x,0)=Ti
T
 0 (simetria)
x
dT
k
 h [ T ( L , t )  T ]
dx
T=T(x,t,Ti,T,L,k,,h)
Adimensionalizar as equações e condições permite:
- diminuir a dependência da temperatura
- arranjar as variáveis em grupos
* 
Temperatura adimensional
 T  T

i Ti  T
0  θ* 1
Coordenada espacial ou posição adimensional
x* 
x
L
0  x* 1
L = semi-espessura da parede plana
t*  Fo 
Tempo adimensional: nº de Fourier, Fo
t
L2
Equação diferencial torna-se:
 2 *
 *

x* 2 Fo
Condição inicial:  * ( x* ,0 )  1
Condições de contorno:
 * ( 0 , Fo )
*
x
0
 * ( 1, Fo )
*
x
  Bi * ( 1, Fo )
 *  f ( x* , Fo , Bi )
Para uma dada geometria a distribuição transiente de temperatura é uma
função de x*, Fo e Bi. A solução não depende de valores particulares.
A resolução envolve várias técnicas analíticas e numéricas, incluindo a
transformada de Laplace e outras, método de separação de variáveis,
método das diferenças finitas e dos elementos finitos.
1) Soluções analíticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e esfera
 2 *
 *

x* 2 Fo
Método de separação de variáveis: consiste em expandir a função
arbitrária da série de Fourier.
A variável dependente é o produto de uma série de funções, cada uma
sendo função de uma única variável independente  reduz a equação
diferencial parcial em uma série de equações diferenciais ordinárias.
*(x*,Fo) = F(x*)G(Fo) 
função de x* e outra de Fo
equações diferencias ordinárias uma
A solução na forma de uma série infinita.
∞
θ = ∑ Cn exp( - ξ12 Fo ) cos( ξ1 x* )
*
n =1
Cn =
4 senξ n
2ξ n + sen( 2ξ n )
onde n são os valores discretos (autovalores) (raízes da equação
característica ou auto função).
Solução aproximada: para Fo > 0,2 a solução pode ser aproximada
pelo primeiro termo da série (erro menor que 2%)
Considerando o comprimento característico: Lc=V/A
- Parede Plana de espessura 2L: semi-espessura L
- Cilindro longo: raio externo, re
- Esfera: raio externo, re
Bi 
hLc
k
Fo 
t
Lc 2
A) Parede plana
- Temperatura
 *  C1 exp( 12 Fo ) cos( 1x* )
ou
 *   o* cos( 1x* )
onde
To  T
 o*  C1 exp( 12 Fo ) 
Ti  T
C1 e 1 (em rad) são constantes tabeladas para cada geometria em função de
Bi
- Quantidade total de energia que deixou a parede até um dado instante de
tempo t
sen1 *
Q
1

Qo
1 o
Qo - Energia interna inicial da parede em relação à temperatura do fluido
ou quantidade máxima de transferência de calor para tempo infinito.
Qo  cV ( Ti  T )
B) Cilindro infinito – raio re
Idealização que permite utilizar a hipótese de condução unidimensional na
direção radial. Razoável para L/re  10
 *  C1 exp( 12 Fo )Jo( 1r* )
Jo= função de Bessel tabelada
ou
e
r* 
r
re
To  T
 *   o* Jo( 1r* ) onde  o*  C1 exp( 12 Fo ) 
Ti  T
2 o*
Q
1
J ( )
Qo
1 1 1
J1= função de Bessel tabelada
C) Esfera – raio re
 *  C1 exp( 12 Fo )
ou
 *   o*
r* 
r
re
1
1r*
sen( 1r* )
To  T
sen( 1r* ) onde  o*  C1 exp( 12 Fo ) 
Ti  T
1r*
1
3 o*
Q
sen( 1 )  1 cos( 1 )
1
Qo
13
Coeficientes usados nas soluções aproximadas (um termo das soluções em
série) para condução transiente unidimensional
Parede plana
Cilindro longo
Esfera
Bi = hL/k para parede plana e Bi=hre/k para cilindro e esfera
Funções de Bessel de primeiro tipo
Exemplos:
1. No estágio de reaquecimento do processo de têmpera uma
placa de aço de 100 mm de espessura que está inicialmente
a 200ºC deve ser aquecida até a temperatura máxima de
550ºC.
O aquecimento é efetuado em um forno de fogo direto, onde
os produtos de combustão a 800ºC e mantêm um coeficiente
de transferência de calor de 250 W/m²K em ambas as
superfícies da placa.
a) Quanto tempo a placa deve ser deixada no forno?
b) Qual a energia total transferida, por unidade de área?
2. Um eixo cilíndrico longo de 30 mm de diâmetro
inicialmente a 1000 K, é subitamente resfriado pela imersão
em um grande banho de óleo que se encontra a uma
temperatura constante de 350 K.
k=1,7 W/mK, c=1600 J/kgK e =400 kg/m³.
O coeficiente de transferência de calor convectivo é de 50
W/m²K.
a) Qual o tempo necessário para que a superfície do cilindro
atinja 400 K? E no centro qual seria a temperatura neste
tempo?
b) Represente a variação de temperatura da superfície do
cilindro no intervalo de tempo 0 <=t<= 300 s. Se o óleo
fosse agitado, fornecendo um coeficiente convectivo de
200 W/m²K como ficaria a variação de temperatura no
cilindro com o tempo de resfriamento?
Sólido semi-infinito
- Idealização útil para muitos problemas
práticos
- Pode ser usado para determinar a resposta
transiente perto da superfície do solo ou a resposta transiente
aproximada de um sólido finito onde nos instantes iniciais a temperatura
no interior do sólido ainda não foi afetada pelas alterações superficiais
 2T
x 2
Condição inicial

t=0
1 T
( x ,t )
 t
T(x,0)=Ti
Condições de contorno
Caso 1 - Temperatura constante na superfície: T(0,t)=Ts e T(,t)=Ti
Temperatura aumenta gradualmente dentro do sólido a medida que o calor
penetra mais fundo no sólido
dT
e T(,t)=Ti
dx
Calor é continuamente fornecido ao
sólido aumentando a Ts e do interior
do mesmo
Caso 2 – Fluxo de calor constante na superfície: q  k
Caso 3 – Convecção na superfície:  k
dT
 h( T  T ( 0,t )) e T(,t)=Ti
dx
Soluções analíticas aproximadas: resposta dentro do sólido diferente para
cada situação:
Caso 1
T ( x ,t )  Ts
 x 
 erf 

Ti  Ts
 2 t 
t em segundos e x em metros
erf é função erro de Gauss
e
q
k ( Ts  Ti )
t
Caso 2
  x 2  qx
2q t / 
  erfc x 
T ( x ,t )  Ti 
exp
 4t  k
k
 2 t 


Sendo erfc(w)=1-erf(w)
função erro complementar de erf (w)
Caso3- Convecção
2
 x
T ( x ,t )  Ti
h T 
 x    hx h t  

 erfc

  exp  2  erfc
T  Ti
k
k
2

t
2

t

  
k  


Exemplo:
Na instalação de adutoras deve haver a preocupação com a possibilidade de
ocorrer congelamento durante períodos de baixa temperatura ambiente, em
locais de clima frio.
Considerando a temperatura da superfície constante ao longo de um
período prolongado de tempo frio, qual é a profundidade mínima que seria
recomendado para evitar o congelamento em condições nas quais o solo
está a uma temperatura inicial uniforme de 20ºC e é submetido a uma
temperatura constante na superfície de -15ºC por 60 dias?
-15ºC
solo
20ºC