condução em regime transiente

Condução de calor em regime transiente
Condições variam com o tempo
1°) Temperatura na superfície de um sólido é alterada e a temperatura no
interior do sólido começa a variar
2°) Passa-se algum tempo antes que seja atingida a distribuição de
temperatura estacionária
O comportamento da temperatura dependente do tempo e da posição no
sólido ocorre em muitos processos industriais de aquecimento e
resfriamento
A energia é transferida por convecção e radiação na superfície do
sistema e condução no interior do sistema
- O problema transiente pode ser resolvido através de duas análises
considerando:
1. A variação de temperatura no interior do sólido desprezível (variação
com a posição) e somente há variação com o tempo
2.A variação da temperatura do sólido com a posição e o tempo.
Exemplos de aplicação:
- tratamento térmico
- lingote de metal quente removido de um forno e exposto a uma
corrente de ar frio
- produção de novos materiais com propriedades melhoradas
1) Método da capacitância global
(sólido com resistência interna desprezível)
Sólido que é submetido à variação térmica repentina.
Ex: Metal quente a temperatura Ti é imerso em um líquido a T (Ti>T)
em t=0
Para t>0 a temperatura do metal decresce até alcançar T.
Isto se deve a convecção na interface sólido-líquido
Considerando:
1) temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer
instante durante o processo, o que implica que o gradiente de
temperatura dentro do sólido é desprezível
2) da Lei de Fourier um gradiente desprezível implica a existência
de um k infinito.
Admite-se que a resistência interna a transferência de calor por condução
dentro do sólido é muito pequena comparada à resistência externa entre a
superfície e o meio (convecção)
Esta aproximação é mais exata quanto maior for a relação entre a área
superficial e o volume, ex: placas finas e fios.
Balanço de energia no sólido
Taxa de perda de calor do sólido = Taxa de variação da energia interna
 E sai  E ac
 hA( T ( t )  T )  Vc
dT ( t )
dt
Por conveniência se define:
 ( t )  T ( t )  T
Substituindo resulta:
Vc  i
ln  t
hA 
Esta equação pode ser usada para determinar o tempo em que um sólido
leva para atingir a temperatura T
ou

 T ( t )  T
hA 

 exp  t

i
Ti  T
 Vc 
Esta equação pode ser usada para calcular a temperatura do sólido no
tempo t.
O termo
hA 1

Vc 
onde  é denominada de constante de tempo térmica
 T ( t )  T
 1

 exp  t 
i
Ti  T
 
- A temperatura cai exponencialmente com o tempo, até alcançar T∞.
- > , menor o tempo para alcançar T∞ e maior a taxa de decaimento de T
- quanto maior a massa do corpo e seu calor específico, menor  e portanto
mais tempo leva para aquecer ou resfriar
3>2>1
Por analogia:
e
1
R
hA
Resistência à T.C. por convecção
Vc  C
Capacitância térmica do sólido
então =R C
aumentando R ou C o sólido responderá mais lentamente às mudanças
térmicas do meio e aumentará o tempo para alcançar o equilíbrio térmico.
A energia total transferida Q é:
Q  0t Q.dt  hA0t dt
substituindo 
Q  hA0t  i exp( 
hA
t )dt
Vc

 hA 
Q  Vc i 1  exp 
t 

Vc



ou
–Q=Eac Q é + se o sólido experimenta um decréscimo na energia interna
Q é – se a energia interna aumenta (sólido é aquecido)
Validade do método – para que condições o método pode ser aplicado
Para uma placa com uma superfície mantida à T1 e de temperatura T2 outra
exposta a um fluido com T. Fazendo um balanço na superfície:
kA
( T1  T2 )  hA( T2  T )
L
T1  T2 L / kA Rcond hL



 Bi
T2  T 1 / hA Rconv
k
Número de Biot – Bi:
Razão entre as resistências interna e externa. Dá a medida do decréscimo
de temperatura no sólido relativo à diferença de temperatura entre a
superfície e o fluido.
Bi=hL/k
Se
- Bi<<1 é razoável assumir uma distribuição de temperatura
uniforme no sólido em qualquer tempo durante o processo transiente.
(T(x,t)T(t))
- Aumentando o Bi o gradiente de temperatura dentro do sólido é
significativo T(x,t).
- Bi>>1 o gradiente de temperatura no sólido é muito maior que entre
a superfície e o fluido.
Para aplicá-lo testar se:
Bi = hLcond/k < 0,1
onde Lcond é o “comprimento da condução”, que é definido para considerar
outras formas geométricas, Lcond=V/A
Geometrias unidimensionais: todas com característica de simetria
- Parede plana Lcond=L (espessura 2L)
- Cilindro longo Lcond=r/2
- Esfera Lcond=r/3
Número adimensional de Fourier – Fo
Denominado tempo relativo
Fo 
Difusividade térmica

t
Lcond 2
k
c p
(m²/s)
Assim a equação pode ser escrita em função de Bi e Fo:
 T ( t )  T

 exp Bi.Fo
i
Ti  T
A equação escrita com estes dois números generaliza a equação para
diversos tipos geométricos.
Os números de Bi e Fo caracterizam a análise transiente.
Gradientes de temperatura no interior do meio não são desprezíveis
- Determinação da distribuição de temperatura no interior do sólido como
uma função do tempo e da posição
Para unidimensional, k constante e sem geração
 2T
x 2

1 T
( x ,t )
 t
Especificar as condições inicial e de contorno
- Para parede plana de espessura 2L (simetria geométrica e térmica na linha
de centro)
Condição inicial
t=0
Condições de contorno x=0
x=L
T(x,0)=Ti
T
0
x
k
(simetria)
dT
 h( T ( L ,t )  T )
dx
T=T(x,t,Ti,T,L,k,,h)
Resolução: - métodos analíticos (separação de variáveis)
- métodos numéricos
Adimensionalizar as equações e condições permite:
- diminuir a dependência da temperatura
- arranjar as variáveis em grupos
* 
Temperatura adimensional
 T  T

i Ti  T
Coordenada espacial ou posição adimensional
x* 
x
L
L = semiespessura da parede plana
t*  Fo 
Tempo adimensional
t
L2
Equação torna-se:
 2 *
 *

*2
Fo
x
Condições de contorno:  * ( x* ,0 )  1
 *
x*
0
 *  f ( x* , Fo, Bi )
 *
x*
  Bi * ( 1,t* )
Para uma dada geometria a distribuição transiente de temperatura é uma
função de x*, Fo e Bi. A solução não depende de valores particulares.
A resolução envolve várias técnicas analíticas e numéricas, incluindo a
transformada de Laplace e outras, método de separação de variáveis,
método das diferenças finitas e dos elementos finitos.
1) Soluções analíticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e esfera
Válidas para Fo > 0,2
A) Parede plana
- Temperatura
 *  C1 exp( 12 Fo ) cos( 1x* )
ou
 *   o* cos( 1x* )
onde
To  T
 o*  C1 exp( 12 Fo ) 
Ti  T
C1 e 1 (em rad) são tabelados para cada geometria em função de Bi.
- Quantidade total de energia que deixou a parede até um dado instante de
tempo t
Qo  cV ( Ti  T )
Energia interna inicial da parede em relação
à temperatura do fluido ou quantidade
máxima de transferência de calor para
tempo infinito.
Q/Qo=qde total de energia transf. ao longo do intervalo de t/transf. máxima
sen 1 *
Q
1

Qo
1 o
Ou
B) Cilindro infinito – raio ro
Idealização que permite utilizar a hipótese de condução unidimensional na
direção radial. Razoável para L/ro>=10.
 *  C1 exp( 12 Fo )Jo( 1r* ) onde Jo= função de Bessel tabelada
ou
To  T
 *   o* Jo( 1r* ) onde  o*  C1 exp( 12 Fo ) 
Ti  T
2 o*
Q
1
J ( )
Qo
1 1 1
onde J1= função de Bessel tabelada
C) Esfera – raio ro
 *  C1 exp( 12 Fo )
ou
 *   o*
1
1r*
sen( 1r* )
To  T
sen( 1r* ) onde  o*  C1 exp( 12 Fo ) 
Ti  T
1r*
1
3 o*
Q
sen( 1 )  1 cos( 1 )
1
Qo
13
Sólido semi-infinito
- Idealização útil para muitos problemas práticos
- Pode ser usado para determinar a resposta transiente perto da superfície
do solo ou a resposta transiente aproximada de um sólido finito onde
nos instantes iniciais a temperatura no interior do sólido ainda não foi
afetada pelas alterações superficiais
 2T
x 2
Condição inicial
t=0

1 T
( x ,t )
 t
T(,t)=Ti
Condições de contorno
Caso 1 - Temperatura constante na superfície: T(0,t)=Ts
Ts
x
Caso 2 – Fluxo de calor constante na superfície: q  k
dT
dx
q
x
Caso 3 – Convecção na superfície:  k
T
h
x
dT
 h( T  T ( 0,t ))
dx
Soluções analíticas aproximadas – resposta dentro do sólido diferente para
cada situação:
Caso 1
T ( x ,t )  Ts
 x 
 erf 

Ti  Ts
 2 t 
t em horas e x em metros
Onde a função erro de Gauss erf é tabelada (Apêndice B2)
q
k ( Ts  Ti )
 t
Caso 2
  x 2  qx
2q t / 
  erfc x 
T ( x ,t )  Ti 
exp
 4t  k
k
 2 t 


Sendo erfc(w)=1-erf(w)
função erro complementar de erf (w)
Caso3- Convecção
2
 x
T ( x ,t )  Ti
h T 
 x    hx h t  

 erfc

  exp  2  erfc
T  Ti
k
k
2

t
2

t

  
k  


Exemplo: