www.fisicaexe.com.br Seis forças de mesmo módulo F atuam sobre um sólido segundo os lados de um hexágono regular de lado L. Calcule o momento destas forças em relação ao eixo que passa pelo centro e perpendicular ao sólido. Dados do problema • • comprimento do lado do sólido: módulo da força que atua no sólido: L; F. Esquema do problema Adotamos um sistema de referência no eixo que passa pelo centro do sólido e perpendicular a este com sentido positivo anti-horário (figura 1-A). Como o sólido é um hexágono regular ele pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lados L e ângulos θ (figura 1-B). figura 1 A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o, então um ângulo mede o 180 θθθ = 180 o ⇒ 3 θ = 180 o ⇒ θ = ⇒ θ = 60 o (figura 1-C). 3 Solução O momento de uma força é dado por MF=Fd (I) Em um dos triângulos em que se divide o sólido traçamos uma semi-reta auxiliar r do centro do hexágono e perpendicular ao lado deste (forma um ângulo de 90o). Como os triângulos são equiláteros esta reta divide o ângulo central do triângulo em dois ângulo iguais (bissetriz) e também divide o lado do sólido em dois segmentos iguais (mediana), assim obtemos a altura do triângulo que é a distância (h) do centro ao lado onde é aplicada uma força (figura 2). figura 2 1 www.fisicaexe.com.br Usando o Teorema de Pitágoras determina-se a distância da força ao centro do sólido (altura do triângulo) L 2 L2 L 2 = h 2 4 2 L 2 2 h =L − 4 2 2 2 L =h o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 1 e 4 é 4, então 2 4 L −L 4 2 3L 2 h = 4 3L 2 h= 4 3 h= L 2 h2 = 2 Observação: poderíamos obter o mesmo resultado calculando o co-seno do ângulo de 30 o na figura 1 o cos 30 = o cateto adjacente h = hipotenusa L lembrando da Trigonometria que cos30 = 3 , temos 2 3 2 h= = 3 2 h L L Como no ponto médio do lado do hexágono a força é perpendicular à distância ao 3 centro o momento da força será dado pela expressão (I), onde d = h = L 2 MF=FL 3 2 (II) Sendo que o momento total é dado pela somatória dos momentos de todas as seis forças que atuam no corpo, obtemos 6 M = ∑M Fk k =1 M = M F 1 M F 2 M F 3M F 4 M F 5M F 6 como o sólido é simétrico e todas as forças são de igual módulo, seus momento também são iguais M =6MF substituindo (II) em (III), temos finalmente 2 (III) www.fisicaexe.com.br M = 6. 3 2 FL M =3 3 FL 3