1a Lista de Exercícios

1a Lista de Exercícios
MA673-Elementos de Álgebra - 10 - Semestre-12
Nesta lista denotaremos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, respectivamente, por: N , Z , Q , R e C.
1. Seja G um conjunto não vazio. Em cada um dos casos abaixo decida se ∗ é uma operação binária de G e
em caso afirmativo decida se (G, ∗) é grupo ou não.
a) Dado m ∈ Z, mZ é subconjunto (de Z) definido por mZ = {mz; z ∈ Z}. Tome G = 2Z ∪ 3Z e ∗ a adição
de números inteiros.
b) G = {x ∈ Q : x > 0} = conjunto dos números racionais estritamente positivos e ∗ é a multiplicação de
racionais.
c) G = GL2 (Z) = conjunto das matrizes 2 × 2 com entradas reais e de determinante igual a ±1 e ∗ é a
multiplicação de matrizes.
d) G = conjunto das matrizes não nulas, 2 × 2, com entradas reais e ∗ é a multiplicação de matrizes.
2. Seja Q o conjunto dos números racionais. Defina em Q a seguinte operação binária:
Dados a, b ∈ Q ;
a ∗ b = a + b − ab
Mostre que: a) A operação ∗ é associativa e admite um elemento neutro. Encontre tal elemento.
b) (Q, ∗) não é grupo.
3. Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo. Justifique suas respostas.
a) O conjunto Z \ {0} com a multiplicação de números inteiros é um grupo.
b) Existe um subgro G de (Z, +) que é finito e tem pelo menos 2 elementos.
c) Seja b ∈ Z com b 6= 0. O conjunto G = { ban ∈ Q : a ∈ Z e n ∈, Z} é um subgro de (Q, +).
d) Se G ⊆ C é subgro de (C \ {0}, .) com ](G) > 2 então G é infinito.
e) O único subgro finito de (R \ {0}, .) é o subgro G = {±1}.
4. Verifique em cada caso se H ⊂ G é subgro do grupo G.
a) G = R2 = {(x, y); x, y ∈ R} com a adição usual e H = {(x, x2 ); x ∈ R}
b) G = R2 = {(x, y); x, y ∈ R} com a adição usual e para a ∈ R fixo, H = {(x, ax); x ∈ R}.
√
c) G = R \ {0} com a multiplicação usual e H = {a + b p ; a, b ∈ Q, a 6= 0 ou b 6= 0} e p ∈ N é número primo.
d) ](G) = 100 e ](H) = 35
e) G = Z com a adição usual, H 6= G e −1 ∈ H.
5. Se (G1 , ∗1 ), (G2 , ∗2 ), · · · (Gn , ∗n ) são grupos e G = G1 ×G2 ×· · ·×Gn = {(a1 , a2 · · · , an ); ai ∈ Gi }. Mostre
que:
a) G com a operação ∗ definida por (a1 , a2 · · · , an ) ∗ (b1 , b2 · · · , bn ) = (a1 ∗1 b1 , a2 ∗2 b2 , · · · , an ∗n bn ) é gro.
b) Se para cada i, Hi é subgro de Gi então H = H1 × H2 × · · · × Hn é subgro de G.
c) Se H ⊆ G é subgro então H = H1 × H2 × · · · × Hn ,onde para todo i Hi é subgro de Gi .
d) (G, ∗) é grupo abeliano se e somente se para cada i, (Gi , ∗i ) é abeliano.
6. Seja S3 o conjunto das permutações do conjunto X = {1, 2, 3}, isto é, o conjunto das funções bijetoras
f : X → X. Descreva explicitamente todös os 6 elementos de S3 e faça a tabua da multiplicação ◦ de
S3 (lembre que a multiplicação aqui é a composição de funções, por exemplo se f1 é a função dada por
f1 (1) = 2, f1 (2) = 1 e f1 (3) = 3 e g é a função dada por f2 (1) = 3, f2 (2) = 1 e f2 (3) = 2, então h = f1 ◦ f2 é
dada por h(1) = 3, h(2) = 2 e h(3) = 1).
7. Seja (SX , ◦) o gro de permutações de X, onde X tem pelo menos 3 elementos distintos. Mostre que SX
não é abeliano.
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8. Seja G um conjunto com uma operação ∗ que satisfaz:
i) Para quaisquer a, b, c ∈ G tem-se: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.
ii) Existe e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a para qualquer a ∈ G
iii) Se a, b, c ∈ G e a ∗ b = a ∗ c então b = c
Mostre que:
a) Se G é finito então G é grupo.
(Sugestão: Dado a ∈ G, mostre que a função La : G −→ G definida por: La (x) = a ∗ x é bijetora)
b) Encontre um exemplo de que a) não é verdadeira se retirarmos a hipótese de que G é finito.
9. Sejam (G, .) um grupo, H1 , H2 , · · · , Hn , · · · uma sequência de subgrupos e N, H subgrupos de G.Mostre
que:
a) K = ∩i Hi é subgro de G
b) Se H1 ⊆ H2 ⊆ H3 ⊆ · · · ⊆ Hn ⊆ · · · então L = ∪i Hi é subgro de G.
c) H ∪ N é subgrupo de G se e somente se H ⊆ N ou N ⊆ H
d) Se HN = N H então HN é subgro de G.
10. Seja (G, .) um grupo. Mostre que os seguintes subconjuntos de G são subgrupos:
a) Dado a ∈ G, C(a) = {x ∈ G; ax = xa} (Chamado de o centro de a em G).
b)Z(G) = {x ∈ G; xg = gx, ∀g ∈ G} (Chamado o centro de G).
c) x−1 Hx, onde H é subgro de G e x ∈ G (Chamado de conjugado de H por x)
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