Deformações elásticas

Objectivos
• Compreender o conceito de material elástico
• Compreender a Lei de Hooke
• Compreender o conceito dos módulos:
–
–
–
–
Elasticidade por tracção ou de Young
Elasticidade por compressão
Elastância
Módulo de compressibilidade
• Saber aplicar o conceito de deformação elástica:
– Tubos elásticos
– Vasos sanguíneos
• Compreender o conceito de complacência
• Aplicar o conceito de complacência a um vaso sanguíneo
• Relacionar complacência com o módulo de compressibilidade
DEFORMAÇÕES
ELÁSTICAS
M Filomena Botelho
1
Deformações elásticas
Toda a estrutura elástica tem como propriedade fundamental
• oferecer resistência à deformação
e retornar à sua forma original após a remoção da acção
deformante
O comportamento destas estruturas, obedece à:
lei de Hooke
Lei de Hooke
Quando uma substância elástica, sofre uma deformação por
tracção, desenvolve-se uma pressão (força por unidade de
área) que é proporcional à deformação relativa, ou
alongamento unitário
l0
S
Vamos supor que temos uma barra de
material elástico, com:
- secção - S
- comprimento – l0
2
Se a submetermos a uma força de tracção, ela vai passar a ter um:
- comprimento - l
l0
F
S
l
Se a lei de Hooke se verificar, existe uma relação de
proporcionalidade directa entre a:
- força aplicada
e a:
- deformação relativa ou alongamento unitário
F =E
S
l - l0
l0
F = E l - l0
l0
S
l0
F
l
S = área da secção
F = E l - l0
l0
S
Alongamento unitário
ou deformação relativa:
l - l0
l0
E = módulo de Young ou módulo de
elasticidade por tracção
3
Se em vez de força de tracção, for exercida uma força de compressão,
a barra do material em questão, sofre um:
- encurtamento
l
F
Alongamento unitário
ou deformação relativa:
l0 - l
l0
l0
Verifica-se uma relação de proporcionalidade entre a força
aplicada e o encurtamento unitário, sendo neste caso a
constante de proporcionalidade o:
- módulo de elasticidade por compressão
F = E l0 - l
l0
S
E = Módulo de elasticidade
por compressão
Módulo de Young ou
módulo de elasticidade por tracção
Traduz a maior ou menor capacidade que a substância tem de se
deformar
F =E
S
l - l0
l0
Quanto maior o módulo de Young (E) à:
menor a deformação relativa,
ou seja, o material é pouco elástico (sentido comum do termo
elasticidade)
Módulos de Young grandes:
materiais muito rígidos
osso: E ≈ 1010 N/m2
Módulos de Young pequenos:
materiais mais deformáveis
borracha: E ≈ 106 N/m2
4
A tradução gráfica da Lei de Hooke, é uma recta que intercepta o
eixo dos comprimentos, no:
- ponto l0
isto é, no ponto correspondente ao comprimento inicial, antes da
aplicação da acção deformante
F =E
S
l - l0
l0
F/S
A inclinação da recta é:
E/l0
E/l0
l0
F =E
S
l
l - l0
l0
E l
=
a
l0
x
-E
b
Ordenada na origem
inclinação
Mas, a tradução gráfica da Lei de Hooke, pode aparecer de diferente
maneira, continuando contudo a ser uma recta mas que parte da
origem
F =E
S
l - l0
l0
F/S
E
l - l0
l0
A inclinação da recta é:
E
5
Se aplicarmos a Lei de Hooke a uma lâmina muito fina de tecido
elástico, onde possamos desprezar a espessura
F
-F
a
l0
l
Em vez de:
- força por unidade de área (pressão)
vamos ter:
- força por unidade de comprimento (tensão),
passando a constante de proporcionalidade a ser o:
módulo de elasticidade da membrana ou elastância E’
aparecendo a expressão que a traduz:
F = T = E’ l - l0
l0
a
E’ = elastância ou módulo de elasticidade
da membrana (1 só dimensão)
A tradução gráfica da Lei de Hooke, é uma recta que intercepta o
eixo dos comprimentos, no:
- ponto l0
isto é, no ponto correspondente ao comprimento inicial, antes da
aplicação da acção deformante
T = E’
l - l0
l0
T
E’/l0
l0
l
A inclinação da recta é:
E’/l0
6
Também aqui a tradução gráfica da Lei de Hooke, pode aparecer
de diferente maneira, continuando contudo a ser uma recta mas
que parte da origem
T
T = E’
l - l0
l0
E’
l - l0
l0
A inclinação da recta é:
E’
Elastância ou
módulo de elasticidade da membrana
Traduz a propriedade que as lâminas de uma particular substância
elástica têm de:
- resistir a deformação por tracção
De modo semelhante ao módulo de Young, quanto:
maior for a elastância l - l0
menor a deformação relativa
l0
7
Deformação elástica em volume
A Lei de Hooke pode generalizar-se e aplicar-se a:
- deformações elásticas em volume
Quando um corpo elástico de volume V0 é
submetido a uma variação de pressão ∆P
podemos dizer que:
∆V
V
P
F
= ∆P =
S
ε
V0 - V
V0
ε = módulo de compressibilidade
V0 - V
∆V
=
V0
V0
variação relativa de volume
Módulo de compressibilidade
Traduz a propriedade que as lâminas de uma particular substância
elástica têm de:
- resistir a deformação por tracção
Do mesmo modo, para uma mesma variação de pressão quanto:
maior o módulo de compressibilidade menor a deformação em volume
8
A tradução gráfica da Lei de Hooke, é também
uma recta que intercepta o eixo dos volumes,
no:
P
ε/V0
- ponto V0
isto é, no ponto correspondente ao volume
inicial, antes da aplicação da acção deformante
∆P =
ε
V0
V
V0 - V
V0
P
Também aqui a tradução gráfica da
Lei de Hooke, pode aparecer como
uma recta que parte da origem
ε
V0 VV
0
Objectivos
Compreender o conceito de material elástico
Compreender a Lei de Hooke
Compreender o conceito dos módulos:
Elasticidade por tracção ou de Young
Elasticidade por compressão
Elastância
Compressibilidade
9
TUBOS
ELÁSTICOS
M Filomena Botelho
Tubos elásticos
Podemos aplicar a Lei de Hooke aos vasos sanguíneos, pois
devido à constituição das suas paredes, ricas em fibras
elásticas, podem sofrer deformações elásticas
Mas antes de analisarmos o vaso sanguíneo, vamos primeiro
considerar um tubo elástico homogéneo
10
Tubo elástico homogéneo
Para aplicar a Lei de Hooke a este tipo de estruturas (paredes de
tubos elásticos), cortamos um:
anel do tubo, de largura unitária que seccionamos de modo a
obter uma tira fina, de comprimento igual ao perímetro da
circunferência do tubo
T
-T
Se l0 for o comprimento inicial da tira é
igual :
-T
- 2 π R0
P
T
P0
R0 = raio antes da deformação
R = raio depois da deformação
T
-T
Se exercermos nas suas extremidades uma
força de tracção (como a espessura é
muito pequena, as dimensões serão as
de uma tensão) o comprimento (o
perímetro) vai aumentar, ficando:
l=2πR
A expressão que traduz a Lei de Hooke,
tomaria a seguinte forma:
-T
P
T
T = E’
P0
T=
l - l0
R - R0
2πR – 2πR0
= E’
= E’
2π
πR0
l0
R0
E’
R - E’
R0
T = tensão elástica da
parede do tubo
T
E’/R0
A função T(R) é uma recta que corta as
abcissas num ponto:
- R0
e tem um coeficiente angular de E’/R0
α
R0
R
α=
arc tg E’
R0
11
T
-T
-T
P
T
P0
Mas se o tubo elástico homogéneo se encontrar
aberto (não colapsado) é porque há uma:
- pressão transmural positiva (Pint – Pext > 0)
Neste caso podemos aplicar a:
- Fórmula de Laplace,
vindo:
P=
T
R
P = pressão transmural
Se a parede for espessa:
• T – tensão média da parede
• R – raio médio
T
-T
-T
P
T
P0
P=
T
R
P = pressão transmural
A tradução gráfica da fórmula de Laplace,
aplicada a um cilindro (tubo elástico), é:
T
P=
P
T
R
T=P.R
y=a.x
R
12
Colocando as duas rectas:
- que traduz a lei de Hooke – forças de tensão elástica
- que traduz a lei de Laplace – forças de pressão transmural
no mesmo sistema de eixos coordenados, o ponto de cruzamento
corresponde ao:
raio de equilíbrio
pois é o único valor para o raio, onde as duas leis são
T
-T
simultaneamente satisfeitas
-T
P
T
T
P0
Req
R
Neste caso, quando ocorre equilíbrio, as:
• tensões (T)
tangentes à superfície devem compensar as:
•forças de pressão
VASOS
SANGUÍNEOS
M Filomena Botelho
13
Vasos sanguíneos elásticos
Os vasos sanguíneos são estruturas elásticas, pois na composição
da sua parede encontram-se fibras de:
• elastina
• colagénio
as quais apresentam elastâncias diferentes
Elastina
T
- menor elastância
- menor resistência à deformação mais deformável
R
colagénio
- maior elastância
- maior resistência à deformação menos deformável
T
R
Como as fibras de colagénio não se encontram estirados, a
mobilização destes dois tipos de fibras durante uma acção
deformante, ocorre em tempos diferentes:
Para pequenas deformações actuam praticamente só fibras de elastina
Para grandes deformações à medida que a deformação aumenta, são mobilizadas
as fibras de colagénio
14
A elastina e o colagénio
têm elastâncias diferentes
rectas com
inclinação diferente
gráfico T(R)
T
T
E’ = 1 x 109 dine/cm
E’ = 3 x 106 dine/cm
colagénio
elastina
R0
Os R0 correspondem
ao raio inicial
(quando começa a
deformaçãomobilização das fibras)
R’0
R
R
T
R
Curva T(R) para uma
vaso sanguíneo é uma
curva de concavidade
superior, que traduz a
variação da tensão na
parede em função do raio
Nos vasos sanguíneos as diferenças de pressão existentes entre o
interior e o exterior:
pressão transmural
cujo valor é equilibrado pela reacção elástica da parede do tubo
Sempre que:
- aumenta a pressão transmural
a parede do vaso distende,
sendo a relação entre a pressão elástica e o raio, regulada pela:
Lei de Laplace
T
P=
R
T
Graficamente, num gráfico T(R), esta
expressão é:
• uma recta que passa pela origem
P
(a inclinação é igual à pressão transmural)
R
15
Num vaso sanguíneo, que se encontre no raio de equilíbrio tem
que ter simultaneamente satisfeitas a:
T = E’ R - E’
Lei de Hooke
R0
Lei de Laplace
T=P.R
Se traçarmos no mesmo gráfico as curvas que traduzem as duas
leis, temos:
T
No ponto de cruzamento destas duas
curvas, há um:
• equilíbrio entre:
- pressão transmural
- tensão elástica
o que corresponde ao:
raio de equilíbrio do vaso
R0
Req
R
T
No ponto de cruzamento destas duas
curvas, há um:
• equilíbrio entre:
- pressão transmural
- tensão elástica
o que corresponde ao:
raio de equilíbrio do vaso
R0
Req
R
Quando o raio aumenta acima do raio de equilíbrio:
a força elástica é maior do que a força de pressão transmural,
tendo o raio a tendência para:
- diminuir
até ser de novo atingido o raio de equilíbrio
(predominam as forças elásticas)
16
T
No ponto de cruzamento destas duas
curvas, há um:
• equilíbrio entre:
- pressão transmural
- tensão elástica
o que corresponde ao:
raio de equilíbrio do vaso
R0
Req
R
Quando o raio diminui abaixo do raio de equilíbrio:
a força de pressão transmural fica maior do que a força elástica,
tendo o raio a tendência para
- aumentar
até ser de novo atingido o raio de equilíbrio
(predominam as forças de pressão transmural)
Vasos sanguíneos com músculo
Os vasos sanguíneos para além das fibras elásticas, as suas
paredes apresentam:
• fibras musculares
o que lhes confere um tónus basal que resulta numa:
tensão elástica (TA)
Quando a tensão elástica está presente, as curvas
• T(R)
para os vasos sanguíneos tomam um aspecto diferente da anterior
17
Quando o vaso sanguíneo tem músculo, tensão elástica está presente,
modificando as curvas T(R)
T
2
1
Curva 1 – Lei de Hooke
Curva 2 – Lei de Laplace
M
B
TA
R0
R’eq Req
R
Quando há tensão activa, a recta que traduz a Lei de Laplace,
intersepta a curva que traduz a Lei de Hooke (tensão-deformação),
em dois pontos:
•M
•B
T
1
2
O ponto M corresponde ao diâmetro que
o vaso terá quando as
forças de tensão elástica (dadas pela
Lei de Hooke)
foram equilibradas pelas:
forças depressão (dadas pela fórmula de
Laplace), ou seja:
raio de equilíbrio
M
TA
B
R0
R’eq Req
R
Quando o raio aumenta acima do raio de equilíbrio:
a força elástica é maior do que a força de pressão transmural,
tendo o raio a tendência para:
- diminuir
até ser de novo atingido o raio de equilíbrio
(predominam as forças elásticas)
18
T
1
2
O ponto M corresponde ao diâmetro que
o vaso terá quando as
forças de tensão elástica (dadas pela
Lei de Hooke)
foram equilibradas pelas:
forças depressão (dadas pela fórmula de
Laplace), ou seja:
raio de equilíbrio
M
TA
B
R0
R’eq Req
R
Quando o raio diminui abaixo do raio de equilíbrio:
a força de pressão transmural fica maior do que a força elástica,
tendo o raio a tendência para
- aumentar
até ser de novo atingido o raio de equilíbrio
(predominam as forças de pressão transmural)
T
1
2
O ponto B corresponde a um vaso
muito pequeno, dependente:
- somente do valor da tensão activa
M
TA
B
R0
R’eq Req
R
Para valores de raio ligeiramente superiores predominam as forças de pressão transmural tendência para o raio aumentar
(até atingir o valor do ponto M)
19
T
1
2
O ponto B corresponde a um vaso
muito pequeno, dependente:
- somente do valor da tensão activa
M
TA
B
R0
R’eq Req
R
Para valores de raio inferiores ao correspondente ao ponto B predomínio das forças de tensão elástica tendência do raio para diminuir até se anular
(até as paredes colapsarem)
T
1
2
O ponto B corresponde a um vaso
muito pequeno, dependente:
- somente do valor da tensão activa
M
TA
B
R0
R’eq Req
R
A existência deste ponto não tem interesse, pois quando a:
pressão transmural
- diminui
diminui também a inclinação da recta da Laplace
Diferentes pontos de cruzamento com a curva que
traduz a Lei de Hooke
20
O aparecimento de pontos de cruzamento diferentes, com a
curva de Hooke alteração do raio de equilíbrio do vaso (diminuição)
Se a pressão transmural continuar a descer, graficamente:
a inclinação da recta de Laplace é cada vez menor
T
1
2
M
TA
R
À medida que a inclinação da recta diminui, há uma altura em
que fica tangente (recta a verde) à curva da lei de Hooke, no
ponto A
T
1
O valor da tangente do ângulo que
esta recta de Laplace faz com o eixo
dos raios, não é mais do que a:
• pressão transmural limite
que o vaso tem que ter para não
colapsar
2
M
TA
A
α
R
pressão crítica de colapsamento
tg α = P
21
T
1
2
M
tg α = P
A
TA
α
R
Para valores de pressão transmural inferiores a pressão crítica de colapsamneto
as forças de tensão predominam diminuição do raio e
colapsamento do vaso
Objectivos
• Saber aplicar o conceito de deformação
elástica:
– Tubos elásticos
– Vasos sanguíneos
22
COMPLACÊNCIA
DE UM VASO
ELÁSTICO
M Filomena Botelho
Complacência de um vaso
sanguíneo elástico
Para estudar a complacência de um vaso sanguíneo elástico,
vamos partir do:
• raio de equilíbrio
(raio que o vaso tem quando a tensão de Laplace está equilibrada
pela tensão elástica da parede)
Supondo:
l = comprimento do vaso
R = raio de equilíbrio
PTM = pressão transmural
TS = tensão total da parede
TA = tensão activa
TSE = tensão elástica
23
A tensão total da parede do vaso, é igual a:
• TS = TA + TSE
Por sua vez, como o vaso se encontra na posição do raio de equilíbrio,
a tensão total da parede é também igual à tensão resultante da
pressão transmural
PTM x R = TA + TSE
PTM x R = TA +
Fórmula
de Laplace
E’
R – E’
R0
Lei de
Hooke
R
PTM =
TA
E’
E’
+
–
R
R0
R
l
Uma pequena variação da pressão transmural (dPTM), provoca
variações da:
• tensão total da parede (dTs )
• raio (dR )
• volume (dV)
dPTM = -
TA
R2
dR +
E’
dR
R2
l
dPTM = E’ - TA dR
R
R
24
Supondo que não há variações de comprimento:
l é constante
o aumento de volume dV é:
Como:
V = π R2 l
l
dV = π (R + dR)2 l - π R2 l
= π R2 l + π dR2 l + 2 π R dR l - π R2 l
dV = 2 π R dR l
A variação relativa do volume do vaso é:
dV
V
=
dR
2 π R dR l
=2
π R2 l
R
dV
V
=2
dR
dR
R
R
=
1
dV
2
V
Voltando à variação da pressão transmural,
dPTM =
E’ - TA
dR
R
R
Substituindo o valor de dR/R, vem:
dPTM =
E’ - TA
2R
dV
V
Módulo de elasticidade em volume ou
módulo de compressibilidade
25
dPTM =
E’ - TA
2R
dV
V
Módulo de elasticidade em volume ou
módulo de compressibilidade
F
=E
S
l - l0
F
= E’
l
l - l0
∆F
=ε
S
∆V
l0
Esta expressão relaciona o:
· aumento de volume de um vaso secundário
ao aumento de pressão transmural
podendo pois considerar-se
l0
V
E’ - TA
2R
como o:
módulo de elasticidade em volume de um
vaso (ou módulo de compressibilidade)
Este módulo diz respeito somente às:
- propriedades elásticas do vaso
não dependendo da qualidade do seu conteúdo
dPTM =
E’ - TA
2R
dV
V
Continuando a resolver esta expressão vem:
dV =
2VR
dPTM
E’ - TA
Complacência
26
Complacência
-
C
É uma quantidade diferencial, cujo valor para um vaso com
elastância E’, varia com o :
• raio
• tensão activa
supondo invariável o comprimento do tubo
C=
2VR
E’ - TA
=
2 π R2 l R
E’ - TA
dV = C dPTM
C=
=
2 π R3 l
E’ - TA
Complacência
Traduz as variações de volume do vaso,
como consequência das variações de
pressão transmural.
dV
dPTM
É um índice da capacidade de um material
sofrer uma deformação por tracção
Voltemos ao módulo de elasticidade em volume de um vaso elástico
K=
E’ - TA
2R
Se o vaso não tiver tensão elástica: TA = 0
K=
E’
2R
E’ - elastância
27
K=
E’ - TA
2R
Podemos relacionar a elastância (E’) com o módulo de elasticidade
ou módulo de Young (E) na parede do vaso
T=
f
∆l
= E’
l
a
f
∆l
f
=
=E
l
a
.
e
S
e
S
a
∴
E’ = E . e
A elastância é igual ao módulo de Young
multiplicado pela espessura da parede
E’ = E . e
Com tensão activa
K=
Sem tensão activa
E’ - TA
2R
K=
∴
K=
(E . e) - TA
2R
=
E’
2R
∴
(E . e) - TA
d
K=
E.e
E.e
=
2R
d
28
Complacência vascular
dPTM = 1/C dV
dV = C dPTM
Podemos estudar a complacência dos
vasos sanguíneos, através das curvas:
• P(V)
• V(P)
curvas P(V)
Quanto menor o
coeficiente angular
P
maior a complacência
1/C
V
maior a deformação
coeficiente angular:
inverso da complacência
Complacência vascular
dPTM = 1/C dV
dV = C dPTM
Podemos estudar a complacência dos
vasos sanguíneos, através das curvas:
• P(V)
• V(P)
curvas V(P)
Quanto maior o
coeficiente angular
V
maior a complacência
C
P
maior a deformação
coeficiente angular:
complacência
29
Complacência vascular sistémica
Se traçarmos as curvas P(V) para a rede vascular arterial e venosa
da circulação sistémica, vemos que a:
complacência venosa é maior do que a complacência arterial
P
mmHg
Esta diferença entre as complacências
das componentes arterial e venosa da
circulação sistémica, é facilmente
compreendida tendo em conta a:
- diferente composição histológica
artérias
veias
C. S. venosa ≈ 2,57 ml/kg . mmHg
V, ml/kg
C. S. arterial ≈ 0,06 ml/kg . mmHg
C = ml/kg . mmHg
Complacência vascular pulmonar
No caso da circulação pulmonar, também a complacência venosa é
maior do que a arterial
P
mmHg
Pulmonar
total
Sistémica
total
V, ml/kg
C = ml/kg . mmHg
30
Complacência vascular
Quando comparamos as complacências das duas circulações:
• sistémica
• pulmonar
a complacência sistémica é maior
P
mmHg
Esta diferença entre as complacências
das componentes arterial e venosa da
circulação sistémica, é facilmente
compreendida tendo em conta a:
- diferente composição histológica
artérias
veias
C. S. venosa ≈ 2,57 ml/kg . mmHg
V, ml/kg
C. S. arterial ≈ 0,06 ml/kg . mmHg
C = ml/kg . mmHg
Objectivos
Compreender o conceito de material elástico
Compreender a Lei de Hooke
Compreender o conceito dos módulos:
Elasticidade por tracção ou de Young
Elasticidade por compressão
Elastância
Módulo de compressibilidade
Saber aplicar o conceito de deformação elástica:
Tubos elásticos
Vasos sanguíneos
Compreender o conceito de complacência
Aplicar o conceito de complacência a um vaso sanguíneo
Relacionar complacência com o módulo de compressibilidade
31
Leitura adicional
Biofísica Médica. JJ Pedroso de Lima
Capítulo IVpag. 310 a 316
pag. 445 a 456
pag. 502 a 504
32