Matemática Aula 5 – Progressões Progressões Aritmética e

Matemática
Aula 5 – Progressões
Progressões Aritmética e Geométrica
Determine os cinco primeiros elementos de uma
sequência tal que 𝑎𝑛 = 10𝑛 + 1, 𝑛 ∈ ℕ∗ .
a1 = 101 + 1 = 10 + 1 = 11
a2 = 102 + 1 = 100 + 1 = 101
a3 = 103 + 1 = 1000 + 1 = 1001
Sequência
a4 = 104 + 1 = 10000 + 1 = 10001
Quando desejamos determinar certos elementos de
um conjunto que são apresentados de forma
ordenada, seguindo um determinado padrão, dizemos
que este conjunto é uma sequência e seus elementos
são os termos da sequência.
a5 = 105 + 1 = 100000 + 1 = 100001
Sequência é todo conjunto no qual os seus
elementos estão ordenados.
Em uma definição mais formal, sequência é uma
função cujo domínio é um conjunto contável e
totalmente ordenado. Assim:
𝑓: 𝐴 ⊂ ℕ → 𝐵
Há diversos exemplos de sequências no cotidiano:

Uma lista em ordem alfabética dos nomes dos
alunos em uma sala de aula

Os números pares positivos (2, 4, 6, 8, 10, ...)

Números primos entre 2 e 14 (2, 3, 5, 7, 11,
13)

Posição relativa de times de futebol da
primeira divisão do futebol brasileiro (1°, 2°,
3°, 4°, 5°, ..., 20°)
As sequências são separadas em dois tipos:
Portanto, a sequência será (11, 101, 1001, 10001,
100001).
As sequências são os pré-requisitos essenciais para
compreendermos o estudo das progressões
geométricas e progressões aritméticas, conhecidas
usualmente com PA e PG. As progressões são
sequências numéricas com algumas propriedades
específicas e com alguns tratamentos particulares, a
identificação e o conhecimento sobre o assunto de
sequências e sucessões é uma ferramenta de grande
auxílio no estudo de progressões.
Progressão Aritmética (PA)
Denomina-se progressão aritmética (PA) a sequência
em que cada termo, a partir do segundo, é obtido
adicionando-se uma constante r ao termo anterior.
Essa constante r chama-se razão da progressão
aritmética.
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑟, 𝑛 ≥ 2
A sequência (2,7,12,17) é uma progressão aritmética
finita de razão 5 pois:
a1 = 2
• Sequência finita é uma sequência numérica na qual
os elementos têm fim, como, por exemplo, a
sequência dos números múltiplos de 5 maiores que 5
e menores que 35.
a2 = 2+5 = 7
• Sequência infinita é uma sequência que não possui
fim, ou seja, seus elementos seguem ao infinito, por
exemplo: a sequência dos números naturais.
Da mesma forma, a razão de qualquer progressão
aritmética é a diferença entre um termo qualquer e o
termo anterior:
Em uma sequência numérica qualquer, o primeiro
termo é representado por 𝑎1 , o segundo termo por 𝑎2 ,
o terceiro por 𝑎3 e assim por diante. Desta forma, um
termo qualquer de uma sequência é representado por
𝑎𝑛 .
𝑟 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 , 𝑛 ≥ 2
As progressões aritméticas podem ser classificadas
de acordo com o valor da razão r.
Para obtermos os termos de uma sequência é preciso
ter uma lei de formação da sequência. Por exemplo:
Se r = 0, então a PA é constante.
a3 = 7 +5 = 12
a4 = 12 + 5= 17
Se r > 0, então a PA é crescente.
Se r < 0, a PA é decrescente.
Termos geral de uma PA
A partir da definição, podemos escrever os elementos
da PA (a1, a2, a3, ..., an ) da seguinte forma:
Soma dos 5 primeiros termos da PA (2, 5, 8, 11, 14,
17, 20).
a1 = a1
2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40
a2 = a1 + r
𝑆𝑛 =
(2 + 14) × 5
= 40
2
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a2 + 2r = a1 + 3r
O termo geral de um PA é dado, portanto, pela
fórmula:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟
Progressão Geométrica (PG)
Denomina-se progressão geométrica (PG) a
sequência em que cada termo, a partir do segundo, é
obtido multiplicando-se o termo anterior por uma
constante q. Essa constante q chama-se razão da
progressão geométrica.
Propriedades de uma PA

Qualquer termo de uma PA, a partir do
segundo, é a média aritmética entre o anterior
e o posterior.
𝑎𝑘 =
𝑎𝑘+1 + 𝑎𝑘−1
,𝑘 ≥ 2
2
𝑎𝑛 = (𝑎𝑛−1 )𝑞, 𝑛 ≥ 2
Por exemplo:
A sequência (1, 2, 4, 8) é uma progressão geométrica
finita de razão 2.
A
sequência
1 1
(4, 2, 1, , )
2 4
é
uma
progressão
1
Exemplo:
geométrica de razão .
2
Para a PA finita de razão 3 (2, 5, 8, 11, 14, 17,
20)
𝑎3 =

𝑎4 + 𝑎2
11 + 5
→8=
2
2
A razão pode ser qualquer número racional (positivos,
negativos, frações, exceto o zero). Para descobrir qual
a razão de uma PG, basta escolher qualquer número
da sequência, e dividir pelo número anterior.
A soma de dois termos equidistantes dos
extremos é igual à soma dos extremos.
As progressões geométricas podem ser classificadas
de acordo com o valor da razão q.
Exemplo:
Se q é negativa, então a PG é oscilante.
Para a mesma PA do exemplo anterior (2, 5,
8, 11, 14, 17, 20)
(3, -6, 12, -24, 48, -96, 192,...), em que a razão é -2.
𝑎1 + 𝑎7 = 2 + 20 = 22
𝑎2 + 𝑎6 = 5 + 17 = 22
𝑎3 + 𝑎5 = 8 + 14 = 22
No caso da PA finita possuir um número ímpar
de termos, existirá um termo central que será
a média aritmética dos extremos desta PA.
𝑎4 =
𝑎7 +𝑎1
2
= 11
Soma dos termos de uma PA finita
A soma dos termos n primeiros termos de uma PA
finita é dada pela fórmula:
𝑆𝑛 =
Exemplo:
(𝑎1 + 𝑎𝑛 )𝑛
2
Uma PG é considerada crescente quando q > 1 e a1
> 0, ou quando 0 < q < 1 e a1 < 0:
(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde a razão é 3 e a1 > 0 (primeiro
caso).
(-4, -2, -1, -0,5, -0,25, -0,125 ...), onde a razão é 0,5 e
a1 < 0 (segundo caso).
Uma PG é considerada constante, quando a
sequência numérica tem sempre os mesmos números.
Para isso, a razão deve ser sempre 1:
(4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...) onde a razão é 1.
Uma PG é considerada decrescente quando q > 1 e
a1 < 0, ou quando 0 < q < 1 e a1 > 0. Assim, os
números da sequência são sempre menores do que o
número anterior:
(-4, -8, -16, -32 ...), razão = 2 (primeiro caso).
(64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64,
1/128, ..) razão = 1/2 (segundo caso).
Termo geral de uma PG
A partir da definição, podemos escrever os elementos
da PG (a1, a2, a3, ..., an ) da seguinte forma:
a1 = a1
𝑆𝑛 =
1 × (1 − 25 ) 1 − 32
=
= 31
1−2
−1
Soma dos termos de uma PG infinita |𝒒| <
𝟏
A soma dos termos n primeiros termos de uma PG
finita é dada pela fórmula:
a2 = a1*q
a3 = a2*q = a1*q2
𝑆𝑛 =
a4 = a3*q= a2*q2 = a1*q3
O termo geral de um PG é dado, portanto, pela
fórmula:
𝑎1
1−𝑞
Exemplo:
1 1
Soma dos termos da PG (4, 2, 1, , , … )
2 4
𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞 𝑛−1
𝑆𝑛 =
Propriedades de uma PG

Qualquer termo de uma PG, a partir do
segundo, é a raiz quadrada da multiplicação
do termo anterior e o posterior.
𝑎𝑘 = √𝑎𝑘+1 × 𝑎𝑘−1 , 𝑘 ≥ 2
𝑎1
4
4
=
= =8
1
1
1−𝑞 1−
2 2
Produto dos termos de uma PG finita
O produto dos termos n primeiros termos de uma PG
finita é dado pela fórmula:
𝑛
𝑃𝑛 = (𝑎1 × 𝑎𝑛 ) 2
Exemplo:
Para a PG finita de razão 2 (1, 2, 4, 8, 16)
𝑎3 = √𝑎2 × 𝑎4 → 4 = √2 × 8

O produto de dois termos equidistantes dos
extremos é igual ao produto dos extremos.
Exemplo:
Para a mesma PG do exemplo anterior (1, 2,
4, 8, 16)
𝑎1 × 𝑎5 = 1 × 16 = 16
𝑎2 + 𝑎4 = 2 × 8 = 16
No caso da PG finita possuir um número ímpar
de termos, existirá um termo central que raiz
quadrada do produto dos extremos.
Soma dos termos de uma PG finita
A soma dos termos n primeiros termos de uma PG
finita é dada pela fórmula:
𝑆𝑛 =
𝑎1 × (1 − 𝑞 𝑛 )
1−𝑞
Exemplo:
Soma dos termos da PG (1, 2, 4, 8, 16).
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31
Exemplo:
Produto dos termos da PG (1, 2, 4, 8, 16).
1 x 2 x 4 x 8 x 16 = 1024
5
𝑃𝑛 = (1 × 16)2 = √165 = √45 = 1024