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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
MARIA NEIDE MIKSZA
VENCENDO AS DIFICULDADES DA MATEMÁTICA BÁSICA ATRAVÉS DE NOVAS
TENDÊNCIAS: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
IBAITI – PR.
2011
MARIA NEIDE MIKSZA
VENCENDO AS DIFICULDADES DA MATEMÁTICA BÁSICA ATRAVÉS DE NOVAS
TENDÊNCIAS: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Trabalho de produção didática pedagógica como
quesito parcial de participação do Programa de
Desenvolvimento Educacional (PDE) na área de
Matemática da Secretaria de Estado da Educação
– SEED – Superintendência de Educação
Profª. Orientadora: Anália Maria Dias de Gois
IBAITI – PR.
2011
SUMÁRIO
1 FICHA PARA CATÁLOGO............................................................................
04
2 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 06
3 ATIVIDADES MATEMÁTICAS...........................................................................
3.1 NÚMEROS NATURAIS ..................................................................................
08
09
3.1.1 Adição de Números Naturais ...................................................................... 09
3.1.2 Propriedade da Adição ................................................................................ 10
3.1.3 Multiplicação de Números Naturais .............................................................. 10
3.1.3.1 Propriedades da Multiplicação ................................................................... 10
3.1.3.2
Subtração ..............................................................................................
3.2 DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS .........................................................
11
12
3.3 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS NUMA DIVISÃO DE NÚMEROS 12
NATURAIS ..................................................................................................
3.3.1 POTENCIAÇÃO .......................................................................................... 13
3.3.1.1
Propriedades da Potenciação ................................................................ 13
3.4 NÚMEROS INTEIROS ................................................................................... 14
3.4.1
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS .......................... 15
3.5 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS ............................................... 16
3.6 PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS ........... 17
3.7 POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS .,................................................
18
3.8 RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS .................................................................
18
4
ATIVIDADES A SEREM DESENVOLVIDAS ................................................ 19
5
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..........................................................................
23
REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 24
4
FICHA PARA CATÁLOGO
PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
Título: PRODUÇÃO DIDÁTICA PEDAGÓGICA
Autor
MARIA NEIDE MIKSZA
Escola de Atuação
COLÉGIO ESTADUAL PROFESSORA MARGARIDA
FRANKLIN GONÇALVES-EFM
Município da escola
IBAITI
Núcleo Regional de Educação
IBAITI
Orientador
ANÁLIA MARIA DIAS DE GOIS
Instituição de Ensino Superior
UENP-JACARÉZINHO
Disciplina/Área (entrada no PDE)
MATEMÁTICA
Produção Didático-pedagógica
PRODUÇÃO DIDÁTICA PEDAGÓGICA - 1
Público Alvo
ALUNOS DO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO
Localização
COL. EST. Profª. MARGARIDA FRANKIIN GONÇALVES DISTRITO DE CAMPINHOS – MUN. DE IBAITI – PR.
Apresentação:
Justifica-se esta proposta em proporcionar um
maior rendimento no ensino posterior onde o aluno
possa superar o medo que ora se apresenta em
relação à disciplina, existe uma barreira natural do
aluno em relação ao raciocínio, a facilidade de
assimilação de outras disciplinas faz com que a
própria Matemática “canse” de certa forma mais
rápido o estímulo mental do educando e para tanto há
que se contribuir para o crescimento da auto estima,
da auto confiança, tanto do professor como e,
principalmente, do aluno, em provocar mudanças
significativas
desses
conceitos
em
relação
à
Matemática aliada na interdisciplinaridade com outras
disciplinas, como exemplo, a Física.
O objetivo desse material didático é possibilitar
5
aos alunos do 1º ano do Ensino Médio do Col.
Estadual Profª. Margarida Franklin Gonçalves – EFM.,
que apresentam grande defasagem em relação ao
conhecimento da Matemática básica que é pré
requisito para toda a aprendizagem das séries
posteriores.
Palavras-chave
MATEMÁTICA BÁSICA, RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
6
2 INTRODUÇÃO
Os alunos de hoje estão vivendo a era tecnológica, da velocidade de
informação e da dispersão que fazem parte da vida dos mesmos. Antes mesmo de
falar a criança já sabe como funciona o controle remoto e outras multifacetas
diferentes em todos os setores de nossa sociedade.
Os professores desses alunos tecnológicos muitas vezes não passaram por
estes novos conhecimentos, as várias fases de transições e, muitos, não chegaram,
portanto, a ter uma aproximação de qualquer nova metodologia que estimule que
motive que auxilie e que traga o aluno mais perto da Matemática, este sim, neste
momento, sendo um dos maiores predicados do professor da atualidade.
Cabe à escola e ao educador assegurar-lhe um ambiente educativo
prazeroso, coerente, atualizado, colaborativo e interessante. Para isso, faz-se
importante a utilização de novas ferramentas em sala de aula, principalmente na
disciplina de Matemática. Novos métodos, novos sistemas, novas metodologias,
mais criatividade, uso das multimídias, e outros atrativos que veremos e
apresentaremos no decorrer deste estudo em questão.
Justifica-se esta proposta em proporcionar um maior rendimento no ensino
posterior onde o aluno possa superar o medo que ora se apresenta em relação à
disciplina, existe uma barreira natural do aluno em relação ao raciocínio, a facilidade
de assimilação de outras disciplinas faz com que a própria Matemática “canse” de
certa forma mais rápido o estímulo mental do educando e para tanto há que se
contribuir para o crescimento da auto estima, da auto confiança, tanto do professor
como e, principalmente, do aluno, em provocar mudanças significativas desses
conceitos em relação à Matemática aliada na interdisciplinaridade com outras
disciplinas, como exemplo, a Física.
Para tanto e para a viabilidade dessas atitudes em relação aos alunos, o
professor deve estar atento à novas práticas e novas metodologias, acompanhando
as mudanças de comportamento tanto social e, principalmente, dentro do âmbito
escolar.
A proposta desse material didático é possibilitar aos alunos do 1º ano do
Ensino Médio do Col. Estadual Profª. Margarida Franklin Gonçalves – EFM., que
apresentam grande defasagem em relação ao conhecimento da Matemática básica
que é pré requisito para toda a aprendizagem das séries posteriores.
7
O projeto de intervenção se dará no 2º semestre de 2011 e dará subsídios ao
professor PDE para a implementação do projeto de intervenção na escola.
Na elaboração das atividades propostas será utilizada a tendência de
Resolução de Problemas promovidas pelas Diretrizes Curriculares da Educação
Básica do Paraná. Serão retomados conceitos e atividades relacionados à
matemática básica, sendo que aqui entendidos “fundamentais”.
Pretende-se trabalhar as operações com números naturais e com números
inteiros, cuja defasagem torna-se verdadeiros entraves para o ensino e
aprendizagem dos conteúdos propostos para a série em que esses alunos se
encontram.
8
3 ATIVIDADES MATEMÁTICAS
É um certo privilégio de muitas de nossas escolas públicas estaduais,
através das políticas públicas recentemente implantadas,
para melhorar as
condições de acesso às tecnologias, a organização de laboratórios de informáticos e
outros coadjuvantes para a interação de alunos e professores com acesso livre para
o mundo da informação para ampliar o rol de motivação no processo do ensino e da
aprendizagem, além da dinâmica na prática pedagógica dos professores.
Um dos problemas enfrentados pela maioria dos alunos e principalmente dos
professores, quando estudam Matemática, o percentual de dificuldade se torna
elevado, é uma barreira a ser enfrentada por professores da disciplina, que se
manifesta já no início do Ensino Básico, principalmente devido à abstração da
disciplina e, também, à ausência de metodologias mais atraentes que a relacionem
com o mundo real.
Os exercícios serão apresentados como atividades de treinamento de
habilidades e conhecimentos de habilidades e conhecimentos; já os problemas
propostos necessitarão de uma invenção ou criação significativa destas habilidades.
Segundo Polya (1978):
Resolver problemas é uma habilidade prática, como nadar, esquiar ou tocar
piano: você pode aprendê-la por meio de imitação e prática. [...] se você
quer aprender a nadar tem que ir à água e se você quer se tornar um
resolvedor de problemas, tem que resolver problemas.
É necessário que o aluno saiba construir seu conhecimento para ter
entendimento sobre o que estuda e de que maneira irá aplicar em sua vida.
Necessário faz-se também que o professor busque alternativas educativas para que
essa construção se efetive. Pode-se citar os “dez mandamentos para professores de
matemática” de Polya:
1º - Tenha interesse por sua matéria;
2º - Conheça sua matéria;
3º - Procure ler o semblante de seus alunos; procure enxergar suas
expectativas e suas dificuldades; ponha-se no lugar deles;
4º - Compreenda que a melhor maneira de aprender alguma coisa é
descobrir você mesmo;
5º - Dê a seus alunos não apenas informação, mas know-how (habilidade),
atitudes mentais, o hábito de trabalhar metodicamente;
6º - Faça-os aprender e dar palpites;
9
7º - Faça-os aprender e demonstrar;
8º - Busque, no problema que está abordando, aspectos que possam ser
úteis nos problemas que virão – procure descobrir o modelo geral que está
por trás da presente situação concreta;
9º - Não desvende o segredo de uma só vez – deixe os alunos darem
palpites antes – deixe-os descobrir por si próprios, na medida do possível;
10º - Sugira; não os faça engolir à força.
O professor deve ter em mente que um problema, mesmo sendo simples,
pode fazer com que o aluno tenha gosto em trabalhar com a mente, desde que esse
problema desafie sua curiosidade.
Segundo Chi e Glaser (1983): “o problema é uma situação na qual um
indivíduo atua com o propósito de alcançar uma meta utilizando para tal alguma
estratégia em particular”.
Em síntese será fornecido aos alunos participantes da implementação da
proposta uma apostila com o conteúdo das operações básicas nos conjuntos dos
Números Naturais e dos Inteiros.
3.1 NÚMEROS NATURAIS
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e é
construído com os algarismos indo-arábicos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Representamos o conjunto entre chaves e com reticências, pois é um
conjunto infinito, pois todo número natural tem sucessor.
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
As duas principais operações possíveis no conjunto N são: adição e
multiplicação.
3.3.2 ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
Tem por finalidade reunir todas as unidades de dois ou mais números em
um só número.
10
3.3.3 Propriedade da Adição
1º Fechamento: A soma de dois ou mais números naturais é um número
natural.
7 é natural
7 + 5 = 12
5 é natural
12 é natural
2º Associativa: Na adição de três ou mais parcelas de números naturais é
possível associar as parcelas de qualquer modo, ou seja, pode-se somar o primeiro
com o segundo e o resultado do terceiro que será igual a soma do primeiro com o
resultado da soma do segundo com o primeiro.
(2+3)+5=2+(3+5)
5+5=2+8
10 = 10
3º Elemento Neutro: Na adição de qualquer número natural com o zero, o
resultado será o próprio número natural.
15 + 0 = 15
4º Comutativa: Na adição de números naturais, a ordem das parcelas não
altera a soma.
3+2=2+3
3.1.3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
A operação tem por finalidade somar o primeiro número (multiplicando),
tantas vezes quantas são as unidades do segundo número (multiplicador).
4x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
3.1.3.1 Propriedades da Multiplicação
1º Fechamento: O produto de dois números naturais sempre será um
número natural.
11
7 é natural
7 x 3 = 21
3 é natural
21 é natural
2º Associativa: Na multiplicação de três ou mais fatores é possível
multiplicar o 1º com o 2º e o resultado pelo 3º que teremos o mesmo resultado ao
multiplicar o 1º pelo produto do 2º com o 3º.
(5x2)x3=5x(2x3)
10 x 3 = 5 x 6
30 = 30
3º Elemento Neutro: Na multiplicação de qualquer número natural por um
(1), o produto será sempre o próprio número, portanto, o elemento neutro da
multiplicação é o número 1.
10 x 1 = 10
1 x 15 = 15
4º Comutativa: Na multiplicação de números naturais a ordem dos fatores
não altera o produto.
4x3=3x4
5º Propriedade Distributiva: Podemos multiplicar um número natural pela
soma de outros dois números naturais que o resultado será o mesmo que multiplicar
o fator por cada uma das parcelas da soma e adicionar os resultados.
4x(2+3)=4x2+4x3
4 x 5 = 8 + 12
20
=
20
Temos ainda a subtração e a divisão, que nem sempre são possíveis no
conjunto de números naturais. Vejamos a seguir:
3.1.3.2 Subtração
A operação tem por finalidade retirar uma quantidade (subtraendo) de outra
quantidade (minuendo).
12
10 – 3 = 7
Nem sempre esta operação é possível no conjunto dos naturais. Veja:
3 – 10 = ?
Portanto, a propriedade do fechamento não é válida para a subtração no
conjunto N.
Pode-se observar também que se mudarmos a ordem dos termos na
subtração não teremos o mesmo resultado como na adição. Vejamos:
5–22-5
Logo, a propriedade comutativa não é válida para a subtração no conjunto
N. Na subtração também não é possível associar os termos e manter o mesmo
resultado. Observemos:
(5–2)–1 5–(2–1)
3–1 5-1
2
4
Observamos que a propriedade associativa não é valida.
10 – 0 = 10
0 – 10 = ?
A subtração de números naturais também não apresenta elemento neutro,
na adição o zero não interfere na soma, mas na subtração o mesmo não ocorre.
3.2
DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS
A operação é empregada com a idéia de repartir em partes iguais uma
quantidade ou com a idéia de calcular quantas vezes cabe uma quantidade
(dividendo) em outro (divisor).
No conjunto dos naturais nem sempre é possível dividir um número natural
por outro e neste caso dizemos que a divisão não é exata. Vejamos:
15 ÷ 3 = 5
3.3
mas
10 ÷ 3 = não é exata
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS NUMA DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS
a)- O divisor deve ser sempre menor que o dividendo:
13
10 ÷ 2 = 5
b)- Numa divisão exata, o dividendo é igual ao produto do divisor pelo quociente:
10 = 2 x 5
c)- Não é possível dividir qualquer número natural por zero:
10 ÷ 0 = ?
Percebe-se que não é possível encontrar um número natural (quociente) que
multiplicado por 0 (divisor) resulte em 10 (dividendo).
d)- Quando a divisão não é exata usamos a seguinte relação:
DIVIDENDO = QUOCIENTE X DIVISOR + RESTO
3.3.1 POTENCIAÇÃO
Para representar multiplicações de fatores iguais podemos aplicar a
operação denominada potenciação. Por exemplo:
2 x 2 x 2 = 2³
potência de base 2 e expoente 3.
fatores iguais
Na potenciação, a base o fator que se repete e o expoente indica quantas
vezes esse fator se repete.
Logo:
2³ = 2 x 2 x 2 = 8
3.3.1.1
potência
Propriedades da Potenciação
1º Uma potência de base 1 e expoente natural, será sempre igual a 1.
Exemplos:
a)- 1³ = 1
b)- 1¹º = 1
2º Toda potência de base natural de 0, elevada ao expoente 0 (zero) é igual
a 1. Exemplos:
a)- 5º = 1
b)- 27º = 1
14
3º - Toda potência cuja base é um número natural e o expoente é igual a 1,
será igual a própria base. Exemplos:
a)- 10¹ = 10
b)- 104 = 10.000
c)- 106 = 1.000.000
Na seqüência das operações matemáticas no conjunto dos números
naturais, temos a radiciação.
A radiciação é a operação inversa da potenciação. Ou seja, dada à potência
e o expoente, a operação irá determinar a base. Vejamos:
base² = 25 representa-se da seguinte forma:
²
25
= 5, logo a base seria 5, pois 5² = 25
seus termos são:
índice
²
25= 5, logo a base seria 5, pois 5² = 25
radicando
raiz quadrada
Surgiu da necessidade de representar além das quantidades, o ganho ou a
perda dessas quantidades, fazendo uso dos sinais positivo e negativo.
O conjunto dos números inteiros é definido como sendo a reunião dos
números naturais, o conjunto dos opostos dos naturais e o zero. É representado pela
letra Z, e escrito da seguinte maneira:
Z = { ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }
Para representar geometricamente o conjunto Z, podemos utilizar uma reta
numerada, considerando o ponto 0 como origem e colocar os números inteiros da
seguinte maneira:
____________________________
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2 3 4 5
15
Podemos observar que a ordem dos números inteiros é crescente da
esquerda para a direita, podemos também afirmar que cada número inteiro possui
um sucessor e um antecessor. Vejamos algumas operações no conjunto Z:
a)- Adição de Números Inteiros
Associando aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos inteiros
negativos a idéia de perder, teremos melhor entendimento.
Exemplo 1: Ganhar 5 + ganhar 2
(+5)
+
(+2)
= (+7)
Exemplo 2: Ganhar 5 + perder 2
(+5)
+
(-2)
= (+3)
Exemplo 3: Perder 5 + perder 2
(-5)
+
(-2)
= (-7)
Exemplo 4: Perder 5 + ganhar 2
(-5)
+
(+2)
= (-3)
Podemos dispensar o sinal (+) antes de um número inteiro; o sinal (-) nunca
pode ser dispensado.
Exemplos:
a)
b)
5.3.1
- 10 + 4 = - 6
+ 10 – 4 = 6
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
1º Fechamento: A soma de dois números inteiros é um número inteiro.
- 10 é inteiro
- 10 + 7 + - 3
onde
+ 7 é inteiro
- 3 é inteiro
2º Associativa: É impossível na adição de 3 ou mais parcelas de números
inteiros, associar as duas primeiras e somar seu resultado com a terceira que
teremos o mesmo resultado ao somar a 1ª com a associação da 2ª com a 3ª parcela.
(5 + 3) – 4 = 5 + (3 – 4)
16
8 – 4 = 5 + (-1)
4 = 4
3º Comutativa: Na adição de números inteiros a ordem das parcelas não
altera a soma.
(+5) + (-3) = (-3) + (+5)
+2 = +2
4º Elemento Neutro: Todo número inteiro somado com zero será igual a
ele mesmo.
(-10) + 0 = - 10
5º Elemento Oposto: Para todo número inteiro positivo existe um número
inteiro negativo que quando adicionados resultam em zero.
(+8) + (-8)
= 0
5.4 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
A multiplicação de números inteiros é uma forma simplificada de representar
uma adição de parcelas iguais. Exemplo:
a) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 7 x 2 = 14
b) (-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = 5 x (-3) = - 15
Para realizar a multiplicação de números inteiros faz-se necessário obedecer
a seguinte regra de sinais:
(+1) x (+1) = +1
(-1) x (-1)
= +1
(+1) x (-1) = - 1
(-1) x (+1) = -1
Podemos concluir que:
- Sinais iguais
- Sinais diferentes
positivo
negativo
17
5.5 PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
1º Fechamento: A multiplicação de dois números inteiros tem como produto um,
número inteiro.
+ 2 é inteiro
(+2) x (-3) = -6
onde
- 3 é inteiro
- 6 é inteiro
2º Associativa: Na multiplicação de três ou mais fatores, associando os dois
primeiros e multiplicando seu produto pelo terceiro, obtém-se o mesmo resultado ao
multiplicar o primeiro pelo produto do 2º com o 3º fator.
4 x (3 x 2) = (4 x 3) x 2
4 x 6 = 12 x 2
24 = 24
3º Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto.
(+3) x (-7) = (-7) x (+3)
- 21 = - 21
4º Elemento Neutro: Todo número inteiro multiplicado por 1 (um) terá
como produto seu próprio valor.,
(-10) x 1 = - 10
(+25) x 1 = + 25
5º Elemento Inverso: Para todo número inteiro existe seu universo que
torna o produto igual 1 (um).
7 x 7-1
= 7 x 1/7 = 1
6º Propriedade Distributiva: Podemos multiplicar um fator por cada uma
das parcelas da soma (ou diferença) e somar os produtos obtidos que o resultado
será o mesmo ao multiplicar o fator pela soma (ou diferença).
4 x (5 + 2)
= 4 x (5 + 2)
4x5+4x2 = 4x7
20 + 8
=
28
18
3.7 POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
A potenciação é uma operação que simplifica a multiplicação de fatores
iguais. Seus elementos são: base, expoente e potência.
Observemos:
a)
3x3x3x3 = 3
= 81 onde
b)- (-2) x (-2) x (-2) = (-2) =
c)- (-5) + (+5) = (-5) =
d)- (+5) + (+5) = (+5)
3
base
4
expoente
81
potência
-8
+ 25
= + 25
Com os exemplos apresentados podemos concluir que:
- a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número
positivo;
- a potência de todo número inteiro elevado a um expoente impar é um número que
mantém seu sinal.
RESUMO
( + ) PAR =
( - ) PAR =
POSITIVO
POSITIVO
( + ) IMPAR = POSITIVO
( - ) IMPAR = NEGATIVO
3.8 RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
A raiz de um número inteiro é a operação que resulta em outro número inteiro que
elevado a um expoente resulta no número dado; ou seja, podemos defini-la como operação
inversa à potenciação. Vejamos:
(+5)² = + 25, logo
√
25 = 5
Onde
Radical
2
Expoente
25
Radicando
5
Raiz Quadrada
19
Convencionou-se que o sinal que será usado junto à raiz de índice par e radicando
positivo será o mesmo que antecede o sinal do radical.
Observação: Não existe no conjunto dos números inteiros a raiz de índice par e
radicando negativo, pois não existe em Z um número que elevado a um expoente par resulte
em número negativo.
Conclui-se, portanto, ao obedecer a regra de sinais para o produto de números
inteiros que:
- Se a raiz tiver índice par, não existe raiz para um radicando negativo;
- Se a raiz tiver índice impar, o sinal que acompanha a raiz é o sinal do radicando.
Exemplos:
a)-
√4=2
b)- 4 √ - 16 = não existe em Z
c)- 3 √ 8 = 2
d)- 3 √ - 8 = - 2
4
ATIVIDADES A SEREM DESENVOLVIDAS
1 Leia atentamente cada situação. Em seguida indique a operação mais adequada
para resolve-las.
a)- Uma fábrica tem 540 funcionários. Desses, 300 tem mais de 35 anos de idade.
Quantos funcionários têm 35 anos ou menos?
b)- Em uma sala de aula com 35 alunos, será organizada uma gincana. Cada grupo
terá 5 alunos. Quantos grupos serão formados?
c)- Uma bola de voleibol custa R$ 110,00. Antonio tem R$ 92,00. Quanto falta par
Antonio comprar a bola?
d)- Em um navio trabalham 74 tripulantes de nacionalidade brasileira e 320 de outras
nacionalidades. Qual o total de tripulantes que trabalham nesse navio?
e)- A parede lateral de uma piscina foi revestida com 13 linhas de 42 azulejos em
cada linha. Quantos azulejos foram usados para revestir a parede?
f)- Uma volta em uma pista de atletismo tem 400 metros. Numa corrida de 5.000
metros, quantas voltas um atleta terá que dar nessa pista?
20
g)- Marta empresou 1 real a seu irmão e disse que a cada dia emprestado ele teria
que de dar o dobro do que devia no dia anterior. Se a cobrança fosse válida, quanto
Marta receberia após 15 dias?
5
Usando as operações definidas, resolva cada problema do item 1.
6
Sabendo que num quadrado mágico, a soma dos números que estão nas
colunas é igual a soma dos números que estão nas linhas e também à soma
dos números que estão nas diagonais, preencha as celas do quadrados a
seguir, sendo sua soma igual a 2
- 8
3
5
2
-7
7
-5
-3
1
7
Em Janeiro de 2011, Cecília tinha saldo positivo de R$ 900,00 em sua conta
bancária. Ela pagou algumas contas com quatro cheques no valor de R$
120,00 cada; fez um depósito no valor de R4 50,00 e no mesmo dia pagou mais
uma conta com um cheque no valor de R$ 200,00:
a)- Como ficou o saldo bancário de Cecília após esses movimentos bancários?
b)- Represente esse saldo usando números inteiros.
8
Para entender o expoente negativo, podemos usar o seguinte raciocínio:
2 -³ = 2 0 – 3 = 20
/ 2/3
então 20 - 2/3 = 1/8
Como 20 = 1 e 23 e 23 = 2.ç2.2
Dessa forma podemos calcular:
3 -2 = 30 / 32 = 1/9
5 -1 = 50 / 31 = 1/5
2-5 = 20 / 25 = 1/32
Usando esse raciocínio, resolva o problema a seguir:
- Um grão de feijão pesa 2,5. 10 ² g. Cada saco contém 5.10² g de grãos de feijão.
Quantos grãos de feijão cabem em 920 sacos?
21
9
Os cálculos a seguir “demonstram” que 2 = 1. Descubra em que etapa está o
erro.
a)- 2 = 2
b)- 6 – 4 = 3 – 1
c)- 4 – 6 = 1 – 3
d)- 4 – 6 + 9/4 = 1 – 3 + 9/4
e)- 4 – 2 x 2 x 3/2 + 9/4 = 1 – 2 x 1 x 3/2 + 9/4
(
) ² = ( (1 – 3/2 )
g)- √ (2 – 3/2 )2 = ( (1 – 3/2 )
f)- 2 – 3/2
h)- 2 – 3/2 = 1 – 3/2
i)- 2 – 3/2 + 3/2 = 1
10
A idade de Maria é √3249 anos. Guilherme tem atualmente 26 anos menos do
que Maria tinha no ano passado. Qual a idade de Guilherme?
11
Vamos agora ler a lenda do mercador e o vaso, para em seguida resolver as
questões:
Durante sete séculos o gênio espera por aquele momento. Encerrado num vaso
de cobre, no fundo do mar, sofrera cada dia a angústia de continuar preso. No início
do cativeiro fez uma promessa:
- Tornarei rico aquele que me libertar.
Mas passaram-se duzentos anos e o vaso continuou no fundo do mar. O gênio
reforçou seu voto:
- Enriquecerei meu libertador e todos os seus descendentes.
Foi em vão. Nos quatrocentos anos seguintes, nenhuma rede o apanhou, as
ondas não o levaram à praia. Foi paciente mais uma vez:
- Darei todos os tesouros da terra a quem me salvar.
Passaram-se mais cem anos e nada aconteceu. O gênio enfureceu-se e gritou,
contorcendo-se de ódio:
- Matarei sem piedade aquele que me libertar.
Mal acabou de tomar essa decisão, uma grande onda o atirou longe, no areal.
- Que belo vaso! Exclama um mercador que passava. Com certeza poderei
vende-lo a bom preço.
Depois de algum esforço, consegue tirar a tampa. Assusta-se com a fumaça
que sobe do vaso, mas pula de alegria quando vê no meio da névoa a figura do
gênio. Ele tinha ouvido muitas histórias de gênios em vasos e das imensas fortunas
que tinham ofertado a seus salvadores.
Sua decepção foi ainda maior do que sua alegria. Para ele não havia
dinheiro, nem jóias, nem tesouros sem fim. Seu único direito seria escolhera forma
da sua morte.
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Ficou paralisado de medo. Lágrimas, súplicas, lisonjas, nada adiantou. Ele ia
mesmo morrer.
Mas o mercador não desistiu. Era um comerciante esperto, acostumado a
obter vantagem mesmo quando sua mercadoria era ruim ou o cliente não queria
pagar. Tentou o último argumento:
- Reflita, sábio gênio. Morto, nenhum proveito lhe trarei. Vivo, ao contrário,
poderei servi-lo fielmente, trabalhar o resto da minha vida para lhe agradecer ter-me
poupado.
- Está bem. Concordou o gênio.
- Diga o que me propõe.
- Um acordo. Em troca de minha ida lhe darei todos os meses, cem moedas
de ouro. Como esmola, Vossa Senhoria me dará uma moeda no 1º mês, duas no
segundo, quatro no terceiro, oito no quarto e assim por diante, até o fim de meus
dias na terra.
O gênio ficou pensativo por um instante. De repente seu rosto se iluminou.
Ao longo dos séculos, seus antepassados haviam sido enganados por humildes
pescadores, pobres comerciantes ou simples alfaiates, que os libertavam e depois
de infames truques os aprisionavam outra vez. E agora ele tinha a oportunidade de
vingar todas essas humilhações.
O mercador teria de trabalhar como um camelo para lhe pagar 100 moedas
de ouro a cada mês. E ele, para mostrar que os gênios também sabem ser
generosos, lhe daria uma esmola.
E assim foi.
No último dia do primeiro mês, o mercador chegou cabisbaixo, depositou 100
moedas aos pés do gênio e recebeu em troca 1 moeda. No segundo mês, o gênios
orgulhoso e satisfeito deu 2 moedas ao mercador em troca das 100 moedas que
recebeu. No terceiro mês, o mercador voltou para casa com 4 moedas. No quarto
mês, 8 moedas. No quinto, 16 moedas, No sexto 32.
Agora, responda:
a)- Quem fez o melhor negócio: o gênio ou o mercador?
b)- Após 2 anos, quantas moedas de ouro o mercador tinha recebido? E o gênio?
c)- Através de qual operação matemática podemos representar o valor recebido pelo
mercador?
d)- Após que mês o gênio percebeu não ter feito um bom negócio?
e)- Ao final de 2 anos, quantas moedas recebeu o comerciante a mais que o Gênio?
f)- Ao findar esses mesmos dois anos, quantas moedas no total recebeu o gênio? E
o comerciante?
g)- Seria possível representar o total de moedas recebidos pelo comerciante através
de uma operação matemática?
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Para o bom desenvolvimento e sucesso do empreendimento, faz-se
necessária uma prévia investigação junto aos alunos envolvidos quanto ao nível de
seus conhecimentos matemáticos. Após a investigação será possível dar início e
sequência à implementação das atividades propostas. A intencionalidade é a de
rever e revisar conteúdos da matemática básica.
Ao iniciar a resolução de problemas, através da pesquisa de novas
propostas metodológicas serão apresentadas atividades resolúveis através dos
conhecimentos adquiridos a partir da realidade do aluno e ampliando sua visão para
que possamos motivar os mesmos para se apropriarem da idéia do trabalho a ser
realizado e a importância do presente projeto.
A partir do momento dessa apropriação, os problemas serão escalonados
numa forma mais elaborada para sua solução e deverão ser apresentados pelos
próprios alunos, permitindo assim, que percebam que este novo conhecimento
poderá lhes servir em situações posteriores como suporte para outras aplicações
práticas na sua vida civil.
É importante que o professor reflita sobre o fato de que ele próprio não é um
produto acabado, completo. A todo o instante ele se transforma, aprende. A
qualidade da reflexão que faz sobre sua prática determina em que grau está
melhorando seu desempenho como educador.
Além disso, tudo a sua volta está mudando. É importante que ele procure se
aperfeiçoar cada vez mais, buscando, através dos meios de informação pública e da
troca intensa com seus colegas, novas referências para seu trabalho.
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REFERÊNCIAS
BARALDI, Ivete Maria. Matemática na escola: que ciência é esta? Bauru:
EDUSC.1999.
BARBOSA, J.C. Modelagem na Educação Matemática: Contribuições para o
debate teórico. In: Reunião anual da Anped. 24ª. ed. Rio de Janeiro: Anped. 2001.
FIORENTINI, D. LORENZATO, S. Investigação em educação matemática:
percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados. 2006.
PERRENOUD, Philippe. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre:
Artes Médicas Sul, 2000.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência. 1978.
SCHON, D.A. Educando o profissional reflexivo. Porto Alegre: Artmed. 2000.
SIMÕES, Alcino. Dez Mandamentos Para Professores por George Polya in "Jornal
da Matemática Elementar" nº 119. Set 97. Disponível em:. Acessado em:
06/ago/2011.