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Avisos
Horário de atendimento
Prof. Pascoal – Terça – 18:00 -19:00 – sala 215 – DEQ – Prédio A6
PAD – Arthur –Terça e Quarta: 12:00 às 13:50 – IF 14
PED – Cesar – Quinta-feira – 13:00 – 14:00 - sala D-50 – Prédio D – PósIFGW
PED – Vanessa - Quarta-feira – 12:00 – 13:00 – Sala S 303 – Prédio dos
Laboratórios de Ensino do IFGW
PED – Gabriela - Quarta-feira – 18:00 – 19:00 - sala 205 DRCC – Ramal
1-5535
PED voluntário – Guilherme – Quarta-feira - 13:00 – 14:00 - S-201,
Prédio dos Laboratórios de Ensino do IFGW
PAD – Diego – Seg. e Sexta - 12:00 às 13:50 – IF 14
PAD voluntário – Caique - Quinta-feira – 12:00 às 13:50 – IF 14
Física – FI 092
2o semestre, 2016
Aula – 4
Movimento em 1D, 2D e 3D
1-Resumo das equações e conceitos da aula
passada:
2- Movimento em 2D e 3D
3-Posição e deslocamento
4 - Velocidade e aceleração
5- Projéteis
6-Movimento Circular Uniforme
Física – FI 092
2o semestre, 2016
Resumo
• Definições:
Escalar – Grandeza sem direção associada ( m = 1 kg).
Vetores - Quantidades descritas por uma magnitude (sempre
positiva) e uma direção (sentido) definida (ex: V, F, d).
• Componentes: Um vetor A pode ser decomposto em suas
componentes A = Ax + Ay
Se definimos vetores unitários podemos escrever A = Axi + Ayj
onde Ax e Ay são os módulos das componentes dos vetores.
• Produto Escalar
A . B = A B cos
A . B = AxBx +AyBy +AzBz
• Produto Vetorial
C = |A x B| = A B sen  e
direção perpendicular ao plano formado por A e B, (regra da mão
direita)
Posição e deslocamento
Trajetória é o caminho percorrido
por um objeto (planeta , cometa,
foguete, carro..)
r = rQ – r P
Note que r não depende da origem
O vetor posição em 2-D fica dado por
r(t) = x(t)i + y(t)j
No caso espacial 3-D temos
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
Posição e deslocamento
Exemplo 5: um ponto no carrinho
tem equações
x(t)
x = c1t2+c2t + c3 e y = d1t2+d2t + d3
c1 = 0.2 m/s2
d1 = -1.0 m/s2
c2 = 5.0 m/s
d2 = 10.0 m/s
c3 = 0.5 m
d3 = 2.0 m
em t = 3 s, x(3) =17 m e y(3) =23 m
em t = 6 s, x(6) =38 m e y(6) =26 m
daí r = r(6) –r(3) = (21i + 3 j) m
y(t)
Velocidade e aceleração
O vetor velocidade




dx
d

c1 t 2  c 2 t  c 3  2c1 t  c 2
dt
dt
dy
d

d 1 t 2  d 2 t  d 3  2d 1 t  d 2
dt
dt
em t =3 s


dx
 2 0.2 m s 2 3s   5.0 m s  6.2 m s
dt
dy
2
 2  1.0 m s 3s   10.0 m s  4.0 m s
dt


d (at n )
 nat n 1
dt
Regrinha
da derivada
v em termos de componentes
dx
dy
v
i
j
dt
dt
6.2i  4.0 jm s
Velocidade e aceleração
Similar ao caso de 1-D,
a aceleração média
am 
v(t  )  v(t ) v

t
t
a aceleração instantânea
em termos de componentes
v( t  )  v( t ) dv
a  lim

t 0
t
dt
dv d 2 r( t )
a

dt
dt 2
dv y
d v(t ) dvx
a

i
j
dt
dt
dt
ou
a  a xi  a y j
Velocidade e aceleração
O vetor aceleração
a  a  a 2x  a 2y
magnitude
dv x
d
2c1 t  c 2   2c1

dt
dt
dv y
d
2d1 t  d 2   2d1

dt
dt
4.2 m s 2  2.0 m s 2
Note que a aceleração
é constante
a  2c1i  2d 1 j
0.4i  2.0 jm s
d (at n )
 nat n 1
dt
tan  = ax/ay = 5.0
2
ângulo
Regrinha
da derivada
 = -79o
Aceleração constante
• Aceleração constante  movimento no
plano
• Plano formado pela velocidade inicial e
pelo vetor aceleração
• Movimento fora do plano não é possível.
• A gravidade é um bom exemplo.
• Como ax e ay são constantes  dois
problemas unidimensionais independentes.
Aceleração constante
componente x de r
componente x de v
componente y de r
componente y de v
em t =0
1
x  x 0  v 0x t  a x t 2
2
v x  v 0x  a x t
1
y  y 0  v 0y t  a y t 2
2
v y  v 0y  a y t

r0  x0iˆ  y0 ˆj

v0  v0 x iˆ  v0 y ˆj
Aceleração da gravidade
Nesse caso ay = -g. Na direção x, v é constante!
componente x de r
componente x de v
(constante)
componente y de r
componente y de v
em t =0
x  x0  v0 x t
v x  v0 x
1 2
y  y0  v0 y t  gt
2
v y  v0 y  gt

r0  x0iˆ  y0 ˆj

v0  v0 x iˆ  v0 y ˆj
Aceleração da gravidade
Se tomamos x0 = y0 = 0
de x = v0xt temos t = x/v0x
substituindo na Eq. para y
1 2
y  y0  v0 y t  gt
2
v0y
1 g 2
y
x
x
2
v 0x
2 v 0x
Equação de uma parábola!
Ilustração-Movimento parabólico
Aceleração da gravidade
A coordenada y é independente da
velocidade vx,
Isto é ilustrado na figura abaixo onde
duas bolas são jogadas sob ação da
gravidade. A vermelha é solta e a
amarela tem velocidade inicial vx.
Em cada instante elas tem a
mesma altura!!
Aceleração da gravidade
Bola sai do penhasco com v = 100 m/s na horizontal
Descreva o movimento.
A velocidade é
vx = 100 m/s
v y  v0 y  gt
vy = (-10.0 m/s2) t
A posição é
x = (100 m/s) t
y = (-5.0 m/s2) t2
x10
Aceleração da gravidade
Vetores r, v e a para t = 1s e t = 2s. Enquanto a é
constante r e v variam com o tempo.
Como varia o ângulo
dos vetores r e v?
vetor r
tan  = y/x = (-0.5 s-1)t
vetor v
tan ’ = vy/vx = (-0.1 s-1)t
100
200
200
Alcance
Tempo para atingir altura
máxima h. quando vy = 0.
v y  v0 y  gt
th 
v0y
g

v 0 sen 0
g
Note que
v 0 x  v 0 cos  0
v 0 y  v 0 sen 0
Alcance
Tempo para atingir altura
máxima h. Quando vy = 0.
th 
v0y
g

v 0 sen 0
g
1 2 v 0 sen 0 
h  v 0 sen 0 t h  gt h 
2
2g
2
O alcance R acontece em t = 2 th
2
2v0 sen v 0
R  vox .t  v0 cos  .
 sen2 0
g
g
pois, sen2 0  2sen 0 cos  0
Alcance
Alcance máximo
R
v2
0
g
sen 2 0
Para um valor fixo do módulo
da velocidade inicial o alcance
máximo acontece para 20 =
 / 2 ou seja 0 = 450.
R max 
v
2
0
g
Exemplo
Bola sobre a mesa e cai de altura H = 80 cm com
velocidade inicial v0 = 2.1 m/s. Qual a distância D onde
ela atinge o piso?
A altura H é dada por
H
1 2
gt H ,  t H 
2
2H
g
A vel. horizontal se
mantém constante
D  v0
2H
g
2x 0.80m
D  2.1m / s
 85 cm
2
9.8m / s